*

.0第1章隨機(jī)變量及其分布

DIERZHANG2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差

2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值

卜課前自主預(yù)習(xí)

K］知識(shí)導(dǎo)學(xué)

知識(shí)點(diǎn)F離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望

1.離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望

若離散型隨機(jī)變量x的分布列為

??????

XXIX2XiXn

??????

PPiP2PiPn

則稱(chēng)E(X)=回m+X202~1-----1~xp~1------1~Xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期

望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的辿平均水平.

2.均值的性質(zhì)

若^=4乂+。，其中a,6為常數(shù)，X是隨機(jī)變量，

(1)Y也是隨機(jī)變量；

⑵E(aX+b)=鳳￡兇+4

知識(shí)點(diǎn)亡兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的均值

(1)兩點(diǎn)分布：若X服從兩點(diǎn)分布，則用&=旦2

(2)二項(xiàng)分布：若X?3(”，p),則E(X)=限卯.

K］知識(shí)拓展

要掌握離散型隨機(jī)變量均值的幾個(gè)常用結(jié)論：

(1)E(0=C(。為常數(shù))；

(2)E(aXi+bXi)=aE(X。+bE(X*；

(3)如果Xi,X2相互獨(dú)立，則E(X：X2)=E(XI>E(X2).

□自診小測(cè)

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個(gè)變量，其隨X的變化而變化.()

(2)隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值相同.()

(3)若隨機(jī)變量f的數(shù)學(xué)期望E(0=3,則E(4f-5)=7.()

答案(1)X(2)X(3)V

2.做一做

(1)若隨機(jī)變量〃的分布列為

012

p0.20.3m

則〃的數(shù)學(xué)期望E(〃)=.

(2)設(shè)隨機(jī)變量X?3(16,p),且E(X)=4,則夕=.

(3)設(shè)口袋中有黑球、白球共7個(gè)，從中有放回地依次任取2個(gè)球，已知取到

白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為上則口袋中白球的個(gè)數(shù)為.

答案(1)1.3(2)1(3)3

解析(1)由題意可知m=0.5,故〃的數(shù)學(xué)期望E(〃)=0X0.2+lX0.3+2X0.5

=1.3.

(2)若隨機(jī)變量X?3(16,p),且E(X)=4,則162=4,所以p=/

(3)設(shè)口袋中有白球〃個(gè)，由題意知口袋中有黑球、白球共7個(gè)，從中任取2

個(gè)球，取到白球的概率是力因?yàn)槊恳淮稳〉桨浊虻母怕适且粋€(gè)定值，且每一次的

結(jié)果只有取到白球和取不到白球兩種結(jié)果，所以符合二項(xiàng)分布，所以2X］=*

所以〃:3.

卜課堂互動(dòng)探究

探究1求離散型隨機(jī)變量的均值

例1袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機(jī)取出4只球，設(shè)取到一只紅

球記2分，取到一只黑球記1分，試求得分〈的數(shù)學(xué)期望.

［解］取出4只球顏色分布情況是：4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑

得6分，1紅3黑得5分，相應(yīng)的概率為

一八4…,、Gd18

蛇一5)一G—35,m6)—e—35,

cici12Cic21

P^=7)=-CF=35'P^=8)=-CF=35-

隨機(jī)變量^的分布列為

e5678

418121

P35353535

41812144

所以E((f)=5X—+6X—+7X—+8X—=—

拓展提升

求隨機(jī)變量的期望關(guān)鍵是寫(xiě)出分布列，一般分為四步：

(1)確定^的可能取值；

(2)計(jì)算出產(chǎn)(^=左)；

(3)寫(xiě)出分布列；

(4)利用E(0的計(jì)算公式計(jì)算E?.

［跟蹤訓(xùn)練1］盒中裝有5節(jié)同牌號(hào)的五號(hào)電池，其中混有兩節(jié)廢電池.現(xiàn)在

無(wú)放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn)，直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)X的分布列及

均值.

解X可取的值為1,2,3,

3233

則P(X=1)=5，P(X=2)=^X-=—,

P(X=3)=|x《Xl$

抽取次數(shù)X的分布列為

X123

331

P5ToTo

331

￡1(X)=1X-+2X—+3X—=1.5.

金版教程I數(shù)學(xué)?選修2—3［A］第二章隨機(jī)變量及其分布

探究2均值性質(zhì)的應(yīng)用

例2已知某一隨機(jī)變量1f的概率分布列如下，且E(?=6.3.

e4a9

p0.50.1b

⑴求b；

⑵求a；

(3)若〃=2^—3,求E(〃).

［解］(1)由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，得

0.5+0.1+Z?=l.

解得b=0A.

(2)E(a=4X0.5+aX0.1+9X0.4=6.3.

解得a=7.

(3)由公式E(aX+b)=aE(X)+b

得E(〃)=EQ「3)=2E?—3=2X6.3—3=96

拓展提升

求均值的關(guān)鍵是求出隨機(jī)變量的分布列，只要求出隨機(jī)變量的分布列，就可

以套用求均值的公式求解.對(duì)于求aX+6型隨機(jī)變量的均值，可以利用均值的性

質(zhì)求解，當(dāng)然也可以先求出隨機(jī)變量(aX+與的分布列，再用定義求解.

［跟蹤訓(xùn)練2］已知隨機(jī)變量4的分布列為

e-101

11

Pm

23

7

若〃=a4+3,E(〃)=1,貝I]a=.

答案2

解析由分布列的性質(zhì)，得[+[+根=1,即m=*,

23o

所以E(^)=(—l)X^+0x|+lx|=—1.

7

則(喈+3)=〃/?+3=不

17

即一1口+3=1,得a=2.

探究3離散型隨機(jī)變量均值的實(shí)際應(yīng)用

例3某商場(chǎng)為刺激消費(fèi)，擬按以下方案進(jìn)行促銷(xiāo)：顧客消費(fèi)每滿(mǎn)500元便

得到抽獎(jiǎng)券1張，每張抽獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為:，若中獎(jiǎng)，則商場(chǎng)返回顧客現(xiàn)金100

元.某顧客現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)價(jià)格為2300元的臺(tái)式電腦一臺(tái)，得到獎(jiǎng)券4張.每次抽獎(jiǎng)互不

影響.

(1)設(shè)該顧客抽獎(jiǎng)后中獎(jiǎng)的抽獎(jiǎng)券張數(shù)為2求t的分布列；

(2)設(shè)該顧客購(gòu)買(mǎi)臺(tái)式電腦的實(shí)際支出為〃(單位：元)，用/表示〃，并求〃的

數(shù)學(xué)期望.

［解］(1)、.每張獎(jiǎng)券是否中獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的，

."?X4,1}

?*-P^=0)=CW)==P(f=l)=eg)=：,

P(<f=2)=C?4=|,pq=3)=c嗎4='

p(e=4)=c(1)=^.

???4的分布列為

e01234

11311

p

1648416

⑵:飛?聲,1.,.E(J=4X；=2.

又由題意可知7=2300-1006

E⑺=￡(2300-100a=2300-100E?=2300-100X2=2100.

即所求變量〃的數(shù)學(xué)期望為2100元.

拓展提升

解答此類(lèi)題目時(shí)，首先應(yīng)把實(shí)際問(wèn)題概率模型化，然后利用有關(guān)概率的知識(shí)

去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)

期望.

［跟蹤訓(xùn)練3］隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126

件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得

的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元，設(shè)1件產(chǎn)品的利

潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)為X.

(1)求X的分布列；

(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)(即X的均值)；

(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1%,一等品率提高

為70%.如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則三等品率最多是

多少？

解(1)X的所有可能取值有6,2,1,-2,

P(X=6)=荻=0.63,尸(X=2)=痂=0.25,

P(X=1)=200=°,,-2)=2QQ=0.02.

故X的分布列為

X621一2

p0.630.250.10.02

(2)E(X)=6X0.63+2X0.25+lX0.1+(-2)X0.02=4.34.

即1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為4.34萬(wàn)元.

(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x,則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為E(X)=6X0.7

+2X(1—0.7—0.01—力+lX龍+(—2)X0.01=4.76—x(0WxW0.29),

依題意，E(X)>4.73,即4.76—x24.73,解得xW0.03,所以三等品率最多為

3%.

那刖--------------------

f---------------------1

1.求離散型隨機(jī)變量均值的步驟

(1)確定離散型隨機(jī)變量X的取值；

(2)寫(xiě)出分布列，并檢查分布列的正確與否；

(3)根據(jù)公式寫(xiě)出均值.

2.若X,y是兩個(gè)隨機(jī)變量，且/=。乂+。，則E(y)=aE(X)+。；如果一個(gè)隨

機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布，可直接利用公式計(jì)算均值.

卜隨堂達(dá)標(biāo)自測(cè)

1.今有兩臺(tái)獨(dú)立工作的雷達(dá)，每臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和

0.85,設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)臺(tái)數(shù)為X,則E(X)=()

A.0.765B.1.75C.1.765D.0.22

答案B

解析P(X=0)=(l-0.9)X(1-0.85)=0.1X0.15=0.015；

P(X=l)=0.9X(1-0.85)+0.85X(l-0.9)=0.22；

P(X=2)=0.9X0.85=0.765.

/.E(X)=0X0.015+1X0.22+2X0.765=1.75.

2.已知隨機(jī)變量^的分布列為

e4a910

P0.30.1b0.2

若E(J=7.5,則。等于()

A.5B.6C.7D.8

答案C

解析由題意得，

03+0.1+5+0.2=1,仿=0.4,

<得《

[4X0.3+?X0.1+9&+10X0.2=7.5,[a=l.

3.拋擲兩顆骰子，若至少有一顆出現(xiàn)4點(diǎn)或5點(diǎn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則

在10次試驗(yàn)中，成功次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為.

答案f

4X45

解析一次試驗(yàn)成功的概率為不，

1—oX7o7=3y

故X?小0,|),因此X的數(shù)學(xué)期望為挈

4.隨機(jī)變量4的概率分布列如下表：

e123

p?!?

盡管“！”處完全無(wú)法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)

“？”處的數(shù)值相同，則E(f)=.

答案2

解析設(shè)“？”處的數(shù)值為t,則“！”處的數(shù)值為1—2f,所以E(O=/+2(1

—2f)+3f=2.

5.交5元錢(qián)可以參加一次抽獎(jiǎng)，一袋中有同樣大小的10個(gè)球，其中有8個(gè)

標(biāo)有1元錢(qián)，2個(gè)標(biāo)有5元錢(qián)，抽獎(jiǎng)?wù)咧荒軓闹腥稳?個(gè)球，他所得獎(jiǎng)勵(lì)是所抽2

球的錢(qián)數(shù)之和，求抽獎(jiǎng)人獲利的數(shù)學(xué)期望.

解設(shè)4為抽到的2球錢(qián)數(shù)之和，則^的取值如下：

^=2(抽到2個(gè)1元)"=6(抽到1個(gè)1元，1個(gè)5元)，<=10(抽到2個(gè)5元).

所以由題意得P(4=2)=C"=布，

“C^Ci16Ci1

收=6)=高=后℃=1°)=瓦=后

所以E(^)=2X—+6X^+10X—=—

又設(shè)〃為抽獎(jiǎng)?wù)攉@利的可能值，則〃=4—5,所以抽獎(jiǎng)?wù)攉@利的數(shù)學(xué)期望為

187

E(〃)=E?-5=y-5=-^.

卜課后課時(shí)精練

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.已知1f的分布列如圖所示，若〃=34+2,則E⑺=()

e123

11

Pt

23

1559

A.-B，2C，2D.5

答案A

解析〃的分布列為

5811

11

pt

23

111

-則

---?m.5,8,1115

236??項(xiàng)7)—/5

2.已知15000件產(chǎn)品中有1000件廢品，從中有放回地抽取150件進(jìn)行檢查,

查得廢品數(shù)的均值為()

A.20B.10C.5D.15

答案B

解析廢品率為卷，設(shè)150件中的廢品數(shù)為X,則X?3(150,總，由二項(xiàng)

分布的均值公式得E(X)=150X^=10.

3.甲、乙兩人獨(dú)立地從六門(mén)選修課程中任選三門(mén)進(jìn)行學(xué)習(xí)，記兩人所選課程

相同的門(mén)數(shù)為蜃則a0為()

35

A.1B.yC.2D，2

答案B

解析隨機(jī)變量q的可能取值為0,1,2,3,則「仁=°)=需=右，P《=l)=

改支3-ciclcl_j__cL_X川r國(guó)一ox^+ix2

)x+1X

del-20,)(—)—cr「20,3)—er廠20,^)-2020

913

+2Xm+3義布=5.故選B.

4.在某次射擊訓(xùn)練中，每人最多射擊3次，擊中目標(biāo)即終止射擊，第&=

1,2,3)次擊中目標(biāo)得(4—。分，3次均未擊中目標(biāo)得0分.已知甲每次擊中目標(biāo)的

概率為0.9,各次射擊結(jié)果互不影響，若他的得分記為蜃則隨機(jī)變量4的數(shù)學(xué)期

望為()

A.2.889B.2.988C.2D.2.96

答案A

解析。的所有可能取值為0,1,2,3/《=0)=0.13=0.001,P(^=l)=0.12X0.9

=0.009,P(f=2)=0.1X0.9=0.09,P(f=3)=0.9,故。的分布列為

e0123

P0.0010.0090.090.9

故E(0=0X0.001+1X0.009+2X0.09+3X0.9=2.889.

5.如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方

體，經(jīng)過(guò)攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的油漆面數(shù)為X,則X的均值

E(&等于()

1266八168

A-125B虧C-125D5

答案B

解析125個(gè)小正方體中8個(gè)三面涂漆，36個(gè)兩面涂漆，54個(gè)一面涂漆，27

2754

個(gè)沒(méi)有涂漆，，從中隨機(jī)取一個(gè)正方體，涂漆面數(shù)X的均值E(X)=叵X0+市XI

需3覆3櫻=|.

二、填空題

6.同時(shí)拋擲5枚均勻的硬幣80次，設(shè)5枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，3

枚反面向上的次數(shù)為X,則X的均值是.

答案25

C?5

解析拋擲一次正好出現(xiàn)3枚反面向上，2枚正面向上的概率為寸=而.所以

X?3(80,簡(jiǎn)故E(X)=80%=25.

7.兩封信隨機(jī)投入A、B、C三個(gè)空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)。的數(shù)學(xué)期望

E?=.

2

答案I

C1-C14

解析。的取值有0』,2.尸(。=0)=4廣=亨

Ci-Cl41

P(^=l)=-^-=o,尸(。=2)=§,

4412

-+X-+2X-

99-3

-

8.某畢業(yè)生參加人才招聘9會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷.假

2

定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為丞得到乙、丙兩公司面試的概率均為Q且

三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的.記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù).若

P(X=0)=e，則隨機(jī)變量X的均值E(X)=.

答案3

解析VP(X=0)=^=(l—/?)2x1,易知隨機(jī)變量X的可能值為

0,1,2,3,P(X=0)=*,P(X=l)=|x］；｝+2xgx&2=g,P(x=2)=|xg>x2

.-.E(X)=0X-+lX-+2X-+3X-=-

三、解答題

9.某旅游公司向國(guó)內(nèi)外發(fā)行總量為2000萬(wàn)張的旅游優(yōu)惠卡，其中向境外人

士發(fā)行的是旅游金卡(簡(jiǎn)稱(chēng)金卡)，向境內(nèi)人士發(fā)行的是旅游銀卡(簡(jiǎn)稱(chēng)銀卡).現(xiàn)有

一個(gè)由36名游客組成的旅游團(tuán)到某地參觀旅游，其中;是境外游客，其余是境內(nèi)

游客.在境外游客中有點(diǎn)寺金卡，在境內(nèi)游客中有"寺銀卡.在該團(tuán)的境內(nèi)游客中

隨機(jī)采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期

望E(X).

解該團(tuán)的境內(nèi)游客共有36X。一號(hào)=9名，其中持銀卡的游客有9\|=6

名.

X的所有可能取值為0』,2,3.

__cl_X__cici_A

尸p(rXy―0m)—eg—84,PR(Xy—1n)—eg.14，

P(X=2