2.1.1指數與指數塞的運算

第一課時根式

層析教材，新知無師自通

知識點一

［提出問題］

(1)若f=9,則x是9的平方根，且/=±3；

(2)若f=64,則x是64的立方根，且*=4；

(3)若9=81,則x是81的4次方根，且戶±3；

(4)若f=-32,則x是一32的5次方根，且x=-2.

問題1：觀察(1)(3),你認為正數的偶次方根都是兩個嗎？

提示：是.

問題2：一個數的奇次方根有幾個？

提示：1個.

問題3：由于丁=4,小明說，2是4的平方根；小李說，4的平方根是2,你認為誰說

的正確？

提示：小明.

［導入新知］

根式及相關概念

(1)a的"次方根定義：

如果x"=a,那么x叫做a的〃次方根，其中,且"GN*.

(2)a的〃次方根的表示：

a的〃次方根

n的奇偶性a的取值范圍

的表示符號

力為奇數的R

〃為偶數+y[a[0,+°0)

(3)根式:

式子^叫做根式，這里〃叫做根指數，a叫做被開方數.

［化解疑難］

根式記號的注意點

⑴根式的概念中要求〃>1,且〃GN*.

(2)當〃為大于1的奇數時，a的〃次方根表示為編(aGR)；當〃為大于1的偶數時,

缶(a20)表示a在實數范圍內的一個〃次方根，另一個是一解,

知識點二根式的性質

［提出問題］

問題1：臉，(g)，(肥)分別等于多少?

提不：2,—2,2.

問題2：§-2/亞，_2\甄'分別等于多少？

提示:—2,2,2,2.

問題3：等式港=a及(/)2=a恒成立嗎？

提示：當a20時，兩式恒成立；當水0時，夜=一a,(FT無意義.

［導入新知］

根式的性質

(1)(<「)"=0(〃為奇數時，a￡R；"為偶數時,a20,且〃>1).

門口a〃為奇數，且〃>1

⑵“"=［包〃為偶數,且〃>1

⑶

(4)負數沒有偶次方根.

［化解疑難］

(船)”與《自的區別

(1)當〃為奇數，且adR時，有，》=(<「)"=去

⑵當〃為偶數，且a20時，有§1=(缶)"=a

鎖定考向，考題干變不離其宗

根式的概念

［例1］(1)下列說法：①16的4次方根是2；②加的運算結果是±2；③當〃為大于

2

1的奇數時，爽對任意aCR都有意義；④當〃為大于1的偶數時，《「只有當a20時才有

意義.其中說法正確的序號為.

⑵有意義，則實數a的取值范圍是

［解析］⑴①16的4次方根應是±2；②娠=2,所以正確的應為③④.

（2）要使斗3有意義，則a—3W0,即a#3.

???a的取值范圍是{a|aK3}.

［答案］⑴③④⑵{a|aW3}

［類題通法］

判斷關于〃次方根的結論應關注兩點

（1"的奇偶性決定了〃次方根的個數；

（2）〃為奇數時，a的正負決定著〃次方根的符號.

［活學活用］

已知d=2,則勿等于（）

AB.-1加

C.次D.±1匹

解析：選D,:ni'=2,：.m是2的10次方根.

又???10是偶數，

；.2的10次方根有兩個，且互為相反數.

加=±%

題型二’利用根式的性質化簡求值

［例2］化簡:

(1)y/~X—nn,〃￡N*)；

(2)<4才_4名+

［解］⑴.,"一”<0,

當n為偶數時，g~X—n~IX—JiI=冗—X\

當n為奇數時，yj―x一n~~n=x—n.

Ji—x,〃為偶數，pGN*,

綜上，yj~X—n

x—n,〃為奇數，〃eN*.

(2)Va<|,.,.l-2a>0.

"\/4a2—4a+l=?—2a—1―%—|2a—1|=1—2a.

［類題通法］

根式化筒應注意的問題

(1)(船)已暗含了能有意義，據〃的奇偶性不同可知a的取值范圍.

(2)中的a可以是全體實數，的值取決于"的奇偶性.

［活學活用］

求下列各式的值：

(1)飛~x~2~5；

(2)^3—2^/2+(71一小)【

---------(x-2fx22,

解：⑴A/X-2'l=\x-2\=1

2—x,x\2.

(2)因為3-2*=「-2*+(啦尸=(/一1產，

所以后而+(y/1-巾)3=y/y/2-l2+1

=鏡-］+1—y［2=0.

題型三"條件根式的化簡

［例3］⑴若叱0,則使而？=—2燈成立的條件可能是()

A.x>0,y>0B.JV>0,y<0

C.x20,y20D.KO,j<0

(2)設一3<水3,求)港-2x+1—y/x+Gx+9的值.

［解］(1)選B,.,也行=2|孫j=-2孫，

又,.?xyW0,

；.燈<0,故選B.

(2)原式=7~x—1~~x+3~|X—11—|x+31.

V-3<K3,

???當一3〈水1時，

4

原式=一(x—1)—(x+3)=—2x—2.

當時，原式=(x—1)—(x+3)=-4.

—2x—2,—

，原式=,

-4,UV3.

［類題通法］

有條件根式的化簡

(1)有條件根式的化簡問題，是指被開方數或被開方的表達式可以通過配方、拆分等方

式進行化簡.

(2)有條件根式的化簡經常用到配方的方法.當根指數為偶數時，在利用公式化簡時，

要考慮被開方數或被開方的表達式的正負.

［活學活用］

(1)若：2—萬有意義,化簡40_48+4_13—*|；

⑵已知y=q3x-2+42-3x+乎,求實數x及y的值.

解：(1)由題意知xW2,

則.f_4x+4_13—x|=|x-21—13一x|

=2—3+^r=-1.

陽一2川,

⑵要使y有意義，需°°、八

〔2-3x20,

.2近

??x=W，從而7=j".

O/

修補短板，拉分題一分不丟

金尊@@系列,

偏定堡/

5.忽略〃的范圍導致式子aWR化簡出錯

［典例］化簡-1+*1—m?

3__________4__________

［解析］1+723+^/1-V24=(1+V2)+11-^2|=1+A/2+V2-1=

［答案］2啦

［易錯防范］

1.本題易忽視勺1—m’>0,而誤認為力1—*'=1—/而導致解題錯誤.

2.對于根式相的化簡一定要注意〃為正奇數還是正偶數，因為的成立的

條件是"為正奇數，如果〃為正偶數，那么，》=|a|.

［活學活用］

當a,6GR時，下列各式恒成立的是（）

A.（y/a—y［b）'=a-bB.（y［a+ti）］=a+b

C.—=a—bD.yj~a+b~=a+b

解析：選B當且僅當a=620時，（如一缶）“=a—b-

當且僅當力20時，，yfa^—yjb^a—b；

當且僅當a+b^0時，yja+bi=a+b.

由于a,。符號未知，因此選項A,C,I）均不一定恒成立.

選項B中，由^/a+8可知a+820,

41---------

所以（而1）4=a+b.

1sl庖周自主演練，百煉方成鋼

［隨堂即時演練］

1.化簡41-2%的結果是()

A.1—2xB.0

C.2x—1D.(1—Zx)?

解析：選C<7~l—2x—|i—2x\,x>],

.??1一2水0,

/.yj1—2x~'—2x-1.

2.下列式子中成立的是()

A.a\j-a=y]—aB.a^—a=-y[2

C.W-a=—.—JD.

6

解析：選C要使八「二有意義，則aWO,

故d\J-a=-(-a)yj-a=_yj-a~'-a=一.一￡

3.若x>3,則[x?—6x+9—2—x|=.

解析：..—6x+9—12—x|=7x—3~—12—x|=|x—3!-12—x\=x—3—(x—2)

=-l.

答案：一1

___________Q________

4.化簡Za-1)z+71-a+-^1-a5=__.

解析：由根式VI有意義可得a—1》O,即

，原式=(a—1)+(a—1)+(1—a)=a—1.

答案：a-1

5.已知水灰0,〃>1,/?GN,,化簡§~a~b~'+yf_a+6

解：?.?水伙0,：.a~b<0,a+儀0.

當〃是奇數時，原式=(a—⑸+(a+6)=2a；

當〃是偶數時，

原式=|a-b\+|a+引=(6—a)+La-6)=~2a.

2a,〃為奇數，

yj~a~b~；,+yj~a+6~

一2a,〃為偶數.

［課時達標檢測］

一、選擇題

4,____

1.若五用+(a—4)°有意義，則a的取值范圍是()

A.(—8,2)U(2,+8)

B.[2,4-oo)

C.(-°°,4)U(4,+°0)

D.[2,4)U(4,+8)

[a—220,

解析：選D要使原式有意義，只需即且aW4.

〔a-4W0,

2.*~—6~、+?一乖一4~'+y/y/5—4一''的值為()

A.-6B.2^5-2

C.2mD.6

解析：選Ayj—65=-6,

yj~乖一4~l^/s—4|=4一乖,

yj~y/5-4~=y/5—4,

.,.原式=-6+4—乖+/一4=-6.

3.當13>0時，yl—ax=()

A.x\[axB.x\]-ax

C.-x\f--axD.-x\[ax

解析：選CVa>0,.,.A-<0,

y]—ax=Ix\'\]-ax=-x\j-ax,故選C.

4.化簡M7+4鏡+。7-4怎等于()

A.-4B.2^3

C.-273D.4

解析：選D7計4幣+^7-4#=72+#?+N2f

=(2+m)+(2—[5)=4.

5.已知二次函數y=af+6x+0.1的圖象如圖所示，則1a-b'的值為()

y

,一

-V--X

A.a+bB.-Q+6)

C.a—bD.b—a

解析：選D由圖象知a(—1)-+/?X(—1)+0.l<0,

4.-------------

:?a〈b,；.弋a-b'=\a-b=b-a.

二、填空題

6.設成0,則(^[~~in)2=.

解析：?:成0,-*/?>0,工N—血”=—加

答案：一力

7.若W-8x+16=x-4,則實數x的取值范圍是

解析：VyjxSx+lQ=\l_x—4~%=\x-41,

又、7—8x+16=x—4,

，Ix—41=x—4,.??94.

答案：{x|x24}

8

8.設F(x)=?夕—4,若OVa〈l,則

答案：』—a

a

三、解答題

9.計算:"\y5+2'\y6+yjl—4'^3-,^6—4,^2.

解:15+2乖+77-4水76-4啦

=、％q\r((\r(3))2+2\r(3)?\r(2)+(\r(2))2+,6―2X2#+小、一

*—2X2小+木2

3舟mX2f272f2

=yli+y[21+12—^31—12—\[2\

=小+乖+2-小一2+/

—2yf2.

10.寫出使下列等式成立的x的取值范圍：

⑵7~x—5x~25-=(5—x)〈x+5.

解：⑴要使凱日』與立,

只需%—3^0即可，

即xW3.

⑵7~x—5/-25-=?~7—5~~x+5

要使~x—5~~x+5-=(5—x)]x+5成立,

fx+520,

只需｛即-5WxW5.

〔才一5<0,

能頒提硼題I

_________________________71___________

11.化簡：3a-1)"+y]1—a+yja—1

解：由題意可知，a—1有意義,

，原式=(a—1)+|l—a\+(a—1)

=a—l+a—l+a-1=3a—3.

求書的值.

⑵設尸夕寸

yll+yjx-y］l-yjx

解71+F+41______3+5+71-5?l+Vx+l—Vx+2-\/l—x

yj1+,\[x—yl1—\[xyji+y/xyji—yl-x~2m

x=~f=,/.-=8—4A/3,

8-4-73xV

.?.原式=^8-473+,8-4■T=^8-2^12+.7-2"=一乖f"+

72一小三乖一m+2一乖=2+鄧一乖一/.

第二課時指數幕及運算

層析教材，新知無師自通

分數指數幕的意義

[提出問題]

問題1：判斷下列運算是否正確.

(1)^7^=V(t?)5=/=&￥(40)；

(2)Ja'?—?(a")3=a1=a^(a>0).

提示：正確.

問題2：能否把羽，游，V?寫成下列形式:

a*(<￡>0)；

W=(6>0)；

V?=c亨(c>0).

提示：能.

［導入新知］

10

分數指數累的意義

(1)規定正數的正分數指數暴的意義是：

m

in,刀￡N*,且7?>1).

(2)規定正數的負分數指數幕的意義是：

.收1

n1

a=--m-=~^(a>0,ni,〃￡N*,且力>1).

a"俺

(3)0的正分數指數幕等于0,0的負分數指數幕無意義.

［化解疑難］

對分數指數基的理解

m

—Ill

(1)指數幕a"不可以理解為一個a相乘，它是根式的一種新寫法.在定義的規定下，根

n

式與分數指數塞是表示相同意義的量，只是形式上不同而已，這種寫法更便于指數運算，所

以分數指數基與根式可以相互轉化；

(2)通常規定分數指數基的底數a>0,但要注意在像(-a)/=%不中的a,則需要aWO.

知識點有理數指數幕的運算性質

［導入新知］

有理數指數基的運算性質

(1)aar,sGQ)；

(2)(.a)s=a^(a>0,r,sGQ)；

(3)(at))'—ab'(a>0,b>0,rCQ).

［化解疑難］

有理數指數基的運算性質的理解與巧記

(1)有理數指數幕的運算性質是由整數指數幕的運算性質推廣而來，可以用文字語言敘

述為：①同底數基相乘，底數不變，指數相加；②累的累，底數不變，指數相乘；③積的累

等于事的積.

(2)有理數指數塞的運算性質中嘉指數運算法則遵循：乘相加，除相減，塞相乘.

［例1］(1)下列根式與分數指數幕的互化正確的是()

A.—yj~x—(—X)2(x>0)B.(jXO)

」3

D.x§=—

(2)用分數指數基的形式表示下列各式:

①才,,(a>0)；

③(，/孑)(6>0)；

WP=(/)K=—(XO)；

i,_iin

(2)①才?y[a=a,a―1=a2+—22+-1=a—2.

②7aJa=\la?=\l~^~=(涓)+=Q予.

③原式=[(b專)+[i=&(-l)xix(分=啟.

④法一：從外向里化為分數指數系.

法二：從里向外化為分數指數基.

12

［類題通法］

根式與分數指數基的互化技巧

(1)在解決根式與分數指數基互化的問題時，關鍵是熟記根式與分數指數暴的轉化式子:

m機］.J

a；=黃和a；=%=—,其中字母a要使式子有意義.

(2)將含有多重根號的根式化為分數指數幕的途徑有兩條：一是由里向外化為分數指數

幕；二是由外向里化為分數指數累.

［活學活用］

用分數指數基的形式表示下列各式(其中a>0)：

(l)a?；

(2)7a\[a；

(3)力、?x/T77?V(a-5)-^(a-2)13.

O23+21

解：(1)才?才?a'=a5=^3.

(2)\la區=(a?=

(3)原式=(版?a?E(a5)3-(ai)13]i

=(a°)3?(J?+

=(Q—4)/=a~2.

題型二V指數募的運算

［例2］計算下列各式:

q]01

(1)2^+2-2X2v-0.oi0-5；

54

)r7i0

(2)0.0647—-卷+[(-2)31T4+16f75；

、o,

(3)fy12----(a>0,b>0).

I4I0.l-2(a3r3)i

［解］⑴原式=1+*肝-島)2=1+—若

⑵原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3=1-1+?+(事

Z10O10

13.

47?473333

(3)原式=a29a~2?I)2?b2

100

44

=25a^=25-

［類題通法］

利用指數暴的運算性質化簡求值的方法

(1)進行指數基的運算時，一般化負指數為正指數，化根式為分數指數幕，化小數為分

數，同時兼顧運算的順序.

(2)在明確根指數的奇偶(或具體次數)時，若能明確被開方數的符號，則可以對根式進

行化簡運算.

(3)對于含有字母的化簡求值的結果，一般用分數指數幕的形式表示.

［活學活用］

計算下列各式(式中字母都是正數):

211115、

(1)(2a3/)?)(-6a7/,3)4-(-3a^)；

71+8°-25X72+(72XJ3)6

(2)1.5rX

6

2

3,

14

解：（1）（2J4）（一6/點）+（—3］諦）

=L2X（-6）4-（-3）］/+/,1+i-f

=4ab°=4a.

7］。

（2）1.5TX一卷十8。磔X場+（場X后＞

0

=y3+2^X2^+22X33-yj3

=2】+4X27=110.

修補短板，拉分題一分不丟

轡電圖系列

4.含附加條件的基的求值問題

［典例］（12分）已知x+y=12,0=9,且水y,求：（l）x5+6；（2）*"一/；（3）x

-y-

［解題流程］

審結論.明解題方向I______:＞審條件?挖解題信息I〉建聯系?找解題突破口

（1）將/+a,V-/平方后即可（/+，/=x+y+2國

求爐+｝方,u.2—，工一

建立其與工+、及工丫的關系；

（工7—9）2=x+y—2'Jayj,

y的值?應建立其與義+y

（2）可利用平方差公式將乂一丫分解

及外的關系后求解—y=（產￥—（y7）2=（工？+：

成（，+求解

#）（/一，）

［規范解答］

［名師批注］

（l）（a7+vb2=x+v+2歷=18,（2分）

由」與與力都具有平方關系，故可先求

.?.：/+/=3歷.（4分）

（―+聲）2,然后求，+聲的值，解題時常

（2）（工+―/*=j+y-2\Try=6,（.6分）

因找不到此關系而使問題不能得以正確求解.

又TYY,

：.=-）6.（8分）1---------------?裒電近條擇:Wf”而淳山一氯琴豪.：

（3）u—,=（，）2—（聲）2=（/+/）（工/_51）（10分）,匕處巧務利用了（1）（2）拓反論展問題

=3j2X（-^6）=-3X2^X2^X3^=-6反（12分）潰—必蟹迷］...........................J

［活學活用］

已知a+a-'=5,求下列各式的值:

_!_1

（1）才+/」；（2）a“一a?.

解：（1）法一：由3+，1=5兩邊平方得：

a+2a?，'+4-2=25,即才+〃T=23.

法二：3+尸=才+2己?a~x+sTl-2a?ax

=（a+a‘）2—2=25—2=23.

（2）V（a2-a2）2=4+，]-2=5—2=3,

ii

/.ia1—a&\二木.

ii

...a，—a3=±y[i.

10!回周1自主演練，百煉方成鋼

［隨堂即時演練］

「-|W

1.化簡_5二下的結果為（）

A.5B.乖

C.一y/5D.-5

解析：選B_——j］*=（犒J=（5§）彳=5,=m.

131121

2.（一2方廠與）?（一淋心+）6+（-3滔5號）等于（）

A22_5,八2在

A.—a3b-B.——a3

2152i5

C.-ya?rfD.ya?6?

1321?

解析:選A原式=（一2）X（—1）號（-3）?①3?。?（才?8-2）+（a3“）=（

0

1,23./1、82

—+3—-?—?2-（--Io/—

43-44=/65,注意符號不能弄錯.

3.若10*=3,10'=4,則102r=

解析：：10*=3,

...1。2*=9,

102,9

6=7

9

答案：4

4.化簡卬石的結果是

16

3___iiim!!

解析：yla\[a=(cr\[a)，=(a?a，)§=(a，)§=H".

i

答案：〉

5.計算(或化簡)下列各式：

2

⑴4f■廣可■6戶;

(八/一bu+b~~2a：?欣

a2~bb2a萬——l)2

2

解：⑴原式=(22)^+1?237d?(26)

=2寸+2.23Td?2T

=2守+3-『

=2'=2.

（1+加）（a+一訪）(/一心〉

（2）原式=-ii-

a-/

1

=a7——(a-—6~)=0.

［課時達標檢測］

一、選擇題

1.---(a>0)的值是()

y[a?

A.1B.a

lF7

C./D.”

141417

解析：選D原式=a?a2?a1=a*&=aiQ.

1_Ao2-i-1

2.設M—a2=勿，則^=()

a

A.zff_2B.2—in

C./?+2D.m

解析：選C將￡5=0兩邊平方得

1.1

（a2—a2y=/n,即a—2+，|=序，

]

所以a+a~=/n+2f

O--U1

即a+-=/+2=-----—m+2.

aa

3.(甘)一(1一0.5-2)小管J的值為()

11

A.一耳B.~

47

C.-D.-

解析：選D原式=1—(1—2?)(―3)義t=(.

4.若a>l,b>0,a"+ai=2*,則才一且一”等于()

A.乖B.2或一2

C.-2D.2

解析:選DVa>l,6>0,

.\aya~\{a—a~b)2=(a+a~b)2—4=(2小)？-4=4,

?,?才一/=2.

5.設x,y是正數，且/=/,y=9x,則x的值為()

1

A-9

C.1D.弱

解析：選B產=(9獷,(/)=(9x)\

?"=9x..?.X8=9.

x=yl9=y[i.

二、填空題

3商

,■!■昌、4

(a4b2)一

6.化簡ya(a>0,8>0)的結果是一

解析：原式=■?內?■?戊卜

答案4

18

解析：7/一3加一6-^|+43匹=7X3?-3X3§X2-6X3^+(3X3^)5=3

2￡21

一6義3-3+3§=2X3§-2X3X33=2X3§-2X3§=0.

答案：0

8.設才=6=zz?(a>0,Z?>0),且a+6=6,則勿等于.

解析：\'才=6'=0(a>0,b>0),

工a=M,b=m4,a=o.

由a+b=6得b2+6—6=0,解得b=2或6=—3(舍去).