高中數學第三章不等式3.4.3簡單的線性規劃的應用教學設計北師大版必修5科目授課時間節次--年—月—日（星期——）第—節指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節名稱）高中數學第三章不等式3.4.3簡單的線性規劃的應用教學設計北師大版必修5設計思路嗨，同學們！今天咱們來聊聊高中數學第三章的不等式，特別是3.4.3節——簡單的線性規劃的應用。咱們先從課本中的例子入手，比如那個“農夫過河”的問題，這不僅能讓我們感受到數學的魅力，還能鍛煉我們的邏輯思維能力。我會通過一些有趣的實例，引導大家一步步走進線性規劃的世界。咱們一起動手，看看如何用數學的方法解決實際問題吧！??????核心素養目標分析在本節課的學習中，我們旨在培養學生的數學抽象能力，讓他們學會將實際問題轉化為數學模型，通過線性規劃方法解決問題。同時，通過合作學習，提升學生的邏輯推理和數學建模能力，培養他們的創新意識和解決實際問題的能力，使學生能夠在生活中發現數學，運用數學。學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：

同學們之前已經學習了不等式的基本性質和一元一次不等式組，對不等式的解法和應用有了初步的了解。此外，對于坐標軸和直線方程，大家也已經有了一定的認識，這些都是本節課學習線性規劃的基礎。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

高中階段的學生對數學學科普遍抱有較高的興趣，尤其是對于能夠解決實際問題的數學知識。他們在學習上具備較強的邏輯思維能力，能夠通過觀察、比較、分析等方法理解新概念。在課堂學習中，學生傾向于通過動手實踐和合作探究來加深理解，這也符合線性規劃應用教學的特點。

3.學生可能遇到的困難和挑戰：

在學習線性規劃時，學生可能會遇到將實際問題轉化為數學模型的問題，這需要較強的抽象思維能力。此外，線性規劃問題的解法可能會讓學生感到復雜，特別是在處理多變量不等式組時，如何選擇合適的決策變量和目標函數，以及如何畫出可行域等，都是可能遇到的難點。因此，教師需要引導學生逐步建立數學模型，并通過實例講解和練習來幫助學生克服這些困難。教學方法與手段教學方法：

1.講授法：通過生動講解，引入線性規劃的概念和基本步驟，幫助學生建立初步的認識。

2.討論法：組織學生針對實際問題進行討論，鼓勵他們提出解決方案，培養團隊協作能力。

3.實驗法：設計小規模實驗，讓學生親自動手解決實際問題，加深對線性規劃應用的理解。

教學手段：

1.多媒體展示：利用PPT展示線性規劃的實際案例，直觀展示問題的轉化過程和求解步驟。

2.教學軟件應用：借助線性規劃軟件，讓學生體驗計算機輔助求解的過程，提高學習效率。

3.互動練習：通過在線平臺布置練習題，實現即時反饋，幫助學生鞏固所學知識。教學過程設計**用時：45分鐘**

###導入環節（5分鐘）

**用時：5分鐘**

1.**創設情境**：播放一段關于物流配送的視頻，展示物流公司如何優化路線以減少成本和提高效率。

2.**提出問題**：引導學生思考，如果物流公司需要在一個區域進行配送，如何確定最佳的配送路線和數量，以最小化總成本？

3.**引入課題**：通過上述問題引入線性規劃的概念，提出本節課的學習目標——學習如何應用線性規劃解決實際問題。

###講授新課（20分鐘）

**用時：20分鐘**

1.**線性規劃的定義**：簡要介紹線性規劃的概念，解釋其作為優化問題解決方法的重要性。

2.**模型建立**：以物流配送為例，講解如何將實際問題轉化為線性規劃模型，包括目標函數和約束條件。

3.**圖形解法**：展示如何通過繪制可行域和目標函數圖像來找到最優解，強調圖形在理解線性規劃中的作用。

4.**代數解法**：介紹使用單純形法等代數方法求解線性規劃問題的步驟，強調關鍵步驟和注意事項。

###鞏固練習（15分鐘）

**用時：15分鐘**

1.**練習題**：分發練習題，包括簡單和復雜程度不同的線性規劃問題，讓學生獨立完成。

2.**小組討論**：將學生分成小組，討論各自的問題解決方案，并分享給全班。

3.**教師點評**：針對學生的解答，進行點評和講解，糾正錯誤，強化重點。

###課堂提問（5分鐘）

**用時：5分鐘**

1.**提問環節**：針對課堂內容提出問題，如“如何確定目標函數和約束條件？”、“如何判斷解的唯一性？”等。

2.**學生回答**：邀請學生回答問題，鼓勵他們積極思考并表達自己的觀點。

###師生互動環節（5分鐘）

**用時：5分鐘**

1.**角色扮演**：教師扮演物流公司經理，學生扮演顧問，通過角色扮演的方式讓學生提出解決方案。

2.**創新思維**：鼓勵學生在解決實際問題時，嘗試不同的方法，培養學生的創新思維。

3.**核心素養拓展**：引導學生思考線性規劃在現實生活中的應用，如資源分配、生產計劃等，拓展學生的核心素養。

###總結與反思（5分鐘）

**用時：5分鐘**

1.**總結要點**：回顧本節課的學習內容，強調線性規劃的關鍵步驟和應用。

2.**反思討論**：讓學生反思自己在本節課中的學習體驗，提出改進建議。學生學習效果學生學習效果主要體現在以下幾個方面：

1.**知識掌握**：

-學生能夠理解并掌握線性規劃的基本概念，包括目標函數、約束條件、可行域等。

-學生能夠識別和建立簡單的線性規劃模型，將實際問題轉化為數學問題。

-學生熟悉并能夠運用圖形法和代數法求解線性規劃問題。

2.**技能提升**：

-學生在解決實際問題時，能夠運用線性規劃的方法進行優化決策。

-學生通過小組討論和角色扮演，提升了團隊合作和溝通能力。

-學生在練習和討論中，提高了邏輯推理和問題解決的能力。

3.**思維發展**：

-學生通過學習線性規劃，培養了抽象思維和數學建模能力。

-學生在分析問題和解決問題的過程中，學會了從多個角度思考問題，提高了創新思維能力。

-學生在遇到復雜問題時，能夠運用線性規劃的思想和方法進行簡化，提高了問題解決效率。

4.**情感態度**：

-學生對數學學科的興趣得到提升，認識到數學在解決實際問題中的重要性。

-學生在解決問題的過程中，體驗到成功的喜悅，增強了自信心。

-學生在面對挑戰時，學會了堅持和克服困難，培養了良好的學習態度。

5.**核心素養**：

-學生通過線性規劃的學習，培養了數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養。

-學生在解決實際問題的過程中，提升了數據分析、信息處理、批判性思維等核心素養。

-學生在團隊合作和交流中，培養了合作精神、社會責任感和公民意識等核心素養。課堂小結，當堂檢測**課堂小結：**

在本節課的學習中，我們一起探討了線性規劃的應用，從實際問題出發，學習了如何將問題轉化為數學模型，并通過圖形法和代數法求解。以下是我們本節課的重點內容：

1.**線性規劃的概念**：我們了解了線性規劃是解決優化問題的數學方法，它涉及到目標函數和約束條件。

2.**模型建立**：通過實例，我們學會了如何識別問題中的決策變量、目標函數和約束條件，并建立相應的數學模型。

3.**圖形解法**：我們通過繪制可行域和目標函數圖像，直觀地找到了最優解。

4.**代數解法**：我們學習了單純形法等代數方法，能夠通過計算求解線性規劃問題。

**當堂檢測：**

1.**選擇題**（用時5分鐘）

-問題：一個線性規劃問題的目標函數是\(z=2x+3y\)，約束條件是\(x+y\leq4\)和\(2x-y\geq0\)。以下哪個點可能是該問題的最優解？

A.(0,0)B.(1,3)C.(2,2)D.(4,0)

-答案：B

2.**填空題**（用時10分鐘）

-問題：給定線性規劃問題\(z=3x+4y\)，約束條件是\(x+2y\leq8\)和\(2x+y\leq6\)，以及\(x\geq0\)和\(y\geq0\)。寫出目標函數的標準形式。

-答案：\(z=3x+4y\)（需要減去松弛變量或人工變量的系數）

3.**應用題**（用時15分鐘）

-問題：一個農場主有兩種作物A和B可以種植，每單位作物A的利潤是$100，每單位作物B的利潤是$150。作物A需要2單位的水和1單位的肥料，作物B需要1單位的水和2單位的肥料。農場的總水資源是100單位，總肥料資源是120單位。農場最多能獲得多少利潤？

-答案：首先建立目標函數\(z=100x+150y\)，約束條件\(2x+y\leq100\)，\(x+2y\leq120\)，\(x\geq0\)，\(y\geq0\)。然后使用圖形法或代數法求解。內容邏輯關系①線性規劃的概念與定義

-線性規劃是一種數學優化方法。

-目標函數和約束條件必須是線性的。

-優化目標通常是最小化或最大化某個線性函數。

②線性規劃模型的建立

-確定決策變量：表示問題中可調整的量。

-建立目標函數：根據問題目標定義。

-列出約束條件：限制決策變量的取值范圍。

③可行域與最優解

-可行域：所有滿足約束條件的解的集合。

-目標函數圖像：在可行域內繪制目標函數的等值線。

-最優解：在可行域內使目標函數達到最大或最小值的點。

④圖形解法

-繪制約束條件的直線或半平面。

-確定可行域的邊界和頂點。

-找到目標函數的等值線與可行域的交點。

-確定最優解。

⑤代數解法（單純形法）

-初始基本可行解：通過引入松弛變量或人工變量轉換成標準形式。

-迭代過程：計算檢驗數，確定進入和離開基變量的變量。

-終止條件：找到最優解或無可行解。

⑥線性規劃的應用

-生產計劃：優化生產過程，減少成本。

-資源分配：合理分配資源，提高效率。

-交通運輸：優化路線，降低運輸成本。

-等等。典型例題講解1.**例題**：某工廠生產兩種產品，產品A和產品B。生產一個產品A需要3小時機器時間和2小時人工時間，生產一個產品B需要2小時機器時間和3小時人工時間。工廠每天有8小時機器時間和10小時人工時間。如果產品A的利潤是每件$20，產品B的利潤是每件$30，那么工廠應該如何安排生產，以最大化利潤？

**解答**：

-決策變量：設生產產品A的數量為x，生產產品B的數量為y。

-目標函數：最大化\(z=20x+30y\)。

-約束條件：

-機器時間：\(3x+2y\leq8\)。

-人工時間：\(2x+3y\leq10\)。

-非負約束：\(x\geq0\)，\(y\geq0\)。

-使用圖形法或代數法求解，得到最優解為\(x=2\)，\(y=1\)，最大利潤為\(z=80\)。

2.**例題**：一個農夫有5畝地，可以種植玉米或大豆。玉米每畝需要200升水，大豆每畝需要150升水。農夫每天有600升水可用。玉米每畝利潤為$300，大豆每畝利潤為$400。農夫應該如何種植，以最大化利潤？

**解答**：

-決策變量：設種植玉米的畝數為x，種植大豆的畝數為y。

-目標函數：最大化\(z=300x+400y\)。

-約束條件：

-水資源：\(200x+150y\leq600\)。

-非負約束：\(x\geq0\)，\(y\geq0\)。

-使用圖形法或代數法求解，得到最優解為\(x=3\)，\(y=0\)，最大利潤為\(z=900\)。

3.**例題**：一家公司生產兩種產品，產品C和產品D。生產一個產品C需要4小時機器時間和2小時人工時間，生產一個產品D需要3小時機器時間和1小時人工時間。公司每天有12小時機器時間和8小時人工時間。如果產品C的利潤是每件$50，產品D的利潤是每件$70，公司應該如何安排生產，以最大化利潤？

**解答**：

-決策變量：設生產產品C的數量為x，生產產品D的數量為y。

-目標函數：最大化\(z=50x+70y\)。

-約束條件：

-機器時間：\(4x+3y\leq12\)。

-人工時間：\(2x+y\leq8\)。

-非負約束：\(x\geq0\)，\(y\geq0\)。

-使用圖形法或代數法求解，得到最優解為\(x=1\)，\(y=2\)，最大利潤為\(z=170\)。

4.**例題**：一家餐廳提供兩種飲料，果汁和咖啡。制作一杯果汁需要1分鐘機器時間和2分鐘人工時間，制作一杯咖啡需要2分鐘機器時間和1分鐘人工時間。餐廳每天有30分鐘機器時間和40分鐘人工時間。果汁每杯利潤為$3，咖啡每杯利潤為$5，餐廳應該如何安排制作，以最大化利潤？

**解答**：

-決策變量：設制作果汁的數量為x，制作咖啡