第18頁（共18頁）2024-2025學年下學期初中數學北師大版（2024）七年級期中必刷常考題之兩條直線的位置關系一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?德化縣期末）如圖，∠AOB的大小可由量角器測得，則∠AOB的補角的大小為（）A．140° B．130° C．50° D．40°2．（2024秋?微山縣期末）在同一平面內，我們把n條直線中任一條直線都和其余的直線相交叫做直線兩兩相交．兩條直線相交，最多有1個交點；三條直線兩兩相交，最多有3個交點；四條直線兩兩相交，最多有6個交點…按照此規律，n條直線兩兩相交，最多交點個數是（）A．12n(n-C．n（x+1） D．（n﹣1）（n+1）3．（2024秋?西山區校級期末）將一副三角板按如圖所示的位置擺放，其中∠α與∠β一定互余的是（）A． B． C． D．4．（2024秋?渝北區期末）九曲橋九曲十八彎彎折的道路不僅可以增加美感，還可以增加游客在橋上行走的路程，如圖，A，B兩地修建曲橋相比修建直橋增加了橋的長度，這其中的數學原理是（）A．兩點確定一條直線 B．垂線段最短 C．兩點之間，線段最短 D．經過一點有無數條直線5．（2024秋?內鄉縣期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB于O，∠DOB＝43°，∠COE的度數是（）A．43° B．137° C．57° D．47°二．填空題（共5小題）6．（2024秋?德化縣期末）已知一個角的度數為72°20'，則這個角的余角為．7．（2024秋?冠縣期末）如果一個角的余角的3倍比這個角的補角少24°，那么這個角的度數為．8．（2024秋?高新區期末）如圖，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝155°，則∠BOC的度數為．9．（2024秋?金東區期末）一副三角板按如圖所示的方式擺放，若∠2＝27.5°，則∠1的度數為．10．（2024秋?金鄉縣期末）將一副三角板如圖所示疊放在一起，使直角的頂點重合于點O，此時∠AOB＝5∠COD，則∠AOD的度數為．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?儀征市期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）圖中∠AOF的余角除了∠AOC，還有；（2）若∠EOF＝35°，求∠AOD的度數．12．（2024秋?騰沖市期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE把∠BOD分成兩部分．（1）圖中∠AOC的對頂角為，∠BOE的鄰補角為；（2）若∠AOC＝80°，且∠BOE：∠EOD＝2：3，求∠AOE的度數．13．（2024秋?榆樹市期末）如圖，已知直線AB和CD相交于O點，∠DOE是直角，OF平分∠AOE，∠BOD＝22°，求∠COF的度數．14．（2024秋?拱墅區期末）如圖，有一副三角板△ABC和△ADE，它們的斜邊AB和AD按圖1所示擺放在直線MN上，∠BAC＝30°，∠DAE＝45°，已知AP平分∠CAD，AQ平分∠CAE．（1）求初始位置∠PAE的度數．（2）若將三角板ADE繞點A轉到如圖2位置，使∠DAN＝α，且0°＜α＜45°，求∠PAQ的度數．（3）在（2）的基礎上，若繼續將三角板ABC繞點A轉動到圖3位置，使∠MAB=23α，求∠15．（2024秋?義烏市期末）如圖，射線OC，OD在∠AOB的內部，∠AOD＝∠BOC＝90°，∠COD＝26°．（1）求∠AOB的度數．（2）若另一條射線OE也在∠AOB的內部且滿足∠DOE=1

2024-2025學年下學期初中數學北師大版（2024）七年級期中必刷常考題之兩條直線的位置關系參考答案與試題解析題號12345答案BACCD一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?德化縣期末）如圖，∠AOB的大小可由量角器測得，則∠AOB的補角的大小為（）A．140° B．130° C．50° D．40°【考點】余角和補角．【專題】常規題型．【答案】B【分析】由量角器可得出∠AOB的度數，從而可求出∠AOB的度數．【解答】解：由量角器可知∠AOB＝50°，∴∠AOB的補角的大小為130°，故選：B．【點評】本題考查余角與補角，解題的關鍵是正確理解余角與補角的定義，本題屬于基礎題型．2．（2024秋?微山縣期末）在同一平面內，我們把n條直線中任一條直線都和其余的直線相交叫做直線兩兩相交．兩條直線相交，最多有1個交點；三條直線兩兩相交，最多有3個交點；四條直線兩兩相交，最多有6個交點…按照此規律，n條直線兩兩相交，最多交點個數是（）A．12n(n-C．n（x+1） D．（n﹣1）（n+1）【考點】相交線；規律型：圖形的變化類．【專題】規律型；線段、角、相交線與平行線；運算能力；推理能力．【答案】A【分析】根據兩條直線相交，最多有1個交點，三條直線兩兩相交，最多有3＝1+2個交點，四條直線兩兩相交，最多有6＝1+2+3個交點，則n條直線兩兩相交，最多交點個數是1+2+3+…+（n﹣1）=12n（n﹣【解答】解：兩條直線相交，最多有1個交點，三條直線兩兩相交，最多有3個交點，即3＝1+2，四條直線兩兩相交，最多有6個交點，即6＝1+2+3，…，按照此規律，n條直線兩兩相交，最多交點個數是：1+2+3+…+（n﹣1）=12n（n﹣故選：A．【點評】此題主要考查了相交線，圖形的變化規律，理解直線兩兩相交的概念，準確地歸納總結出規律是解決問題的關鍵．3．（2024秋?西山區校級期末）將一副三角板按如圖所示的位置擺放，其中∠α與∠β一定互余的是（）A． B． C． D．【考點】余角和補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】C【分析】根據余角的定義，可得答案．【解答】解：C中的α+β＝180°﹣90°＝90°，故選：C．【點評】本題考查了余角，利用余角的定義是解題關鍵．4．（2024秋?渝北區期末）九曲橋九曲十八彎彎折的道路不僅可以增加美感，還可以增加游客在橋上行走的路程，如圖，A，B兩地修建曲橋相比修建直橋增加了橋的長度，這其中的數學原理是（）A．兩點確定一條直線 B．垂線段最短 C．兩點之間，線段最短 D．經過一點有無數條直線【考點】垂線段最短；直線的性質：兩點確定一條直線；線段的性質：兩點之間線段最短．【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀．【答案】C【分析】根據線段的性質進行分析即可解答．【解答】解：某兩地間修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長度，其中蘊含的數學道理是：兩點之間，線段最短，故選：C．【點評】本題考查了直線的性質，線段的性質，垂線段最短，熟練掌握這些數學概念是解題的關鍵．5．（2024秋?內鄉縣期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB于O，∠DOB＝43°，∠COE的度數是（）A．43° B．137° C．57° D．47°【考點】垂線；對頂角、鄰補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】D【分析】根據垂直定義可得：∠BOE＝90°，然后利用平角定義進行計算，即可解答．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∵∠DOB＝43°，∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠DOB＝47°，故選：D．【點評】本題考查了垂線，對頂角、鄰補角，根據題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?德化縣期末）已知一個角的度數為72°20'，則這個角的余角為17°40'．【考點】余角和補角；度分秒的換算．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】17°40'．【分析】根據余角的定義，進行計算即可解答．【解答】解：∵∠1＝72°20'，∴∠1的余角＝90°﹣72°20'＝17°40'，故答案為：17°40'．【點評】本題考查了余角和補角，熟練掌握余角的定義是解題的關鍵．7．（2024秋?冠縣期末）如果一個角的余角的3倍比這個角的補角少24°，那么這個角的度數為57°．【考點】余角和補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】57°．【分析】設這個角為x，根據余角和補角的概念列出方程，解方程即可．【解答】解：設這個角為x，由題意得，180°﹣x﹣24°＝3（90°﹣x），解得x＝57°．故答案為：57°．【點評】本題主要考查余角和補角，若兩個角的和為90°，則這兩個角互余；若兩個角的和等于180°，則這兩個角互補．8．（2024秋?高新區期末）如圖，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝155°，則∠BOC的度數為25°．【考點】余角和補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】25°．【分析】根據圖形可得∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD，求得∠AOB，再由∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB，即可求解．【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°．∠AOD＝155°，∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝155°﹣90°＝65°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣65°＝25°，故答案為：25°．【點評】本題主要考查了余角與補角，角的和差，熟練掌握角的和差關系是解題的關鍵．9．（2024秋?金東區期末）一副三角板按如圖所示的方式擺放，若∠2＝27.5°，則∠1的度數為62.5°．【考點】余角和補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】62.5°．【分析】根據圖形，結合已知條件，余角的定義，得到∠1的度數．【解答】解：∵∠DOC＝90°，∠2＝27.5°，∴∠1＝180°﹣∠DOC﹣∠2＝180°﹣90°﹣27.5°＝62.5°．故答案為：62.5°．【點評】本題考查了余角的定義，正確認識圖形，熟練掌握余角定義是解題的關鍵．10．（2024秋?金鄉縣期末）將一副三角板如圖所示疊放在一起，使直角的頂點重合于點O，此時∠AOB＝5∠COD，則∠AOD的度數為60°．【考點】余角和補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】60°．【分析】根據∠AOD+∠COD+∠BOC+∠COD＝180°，∠AOD+∠COD+∠BOC＝∠AOB，即可推出∠AOB+∠COD＝180°，再根據∠AOB＝5∠COD即可求出∠COD的度數，便能求出∠AOD的度數．【解答】解：∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠COD＝180°，∠AOD+∠COD+∠BOC＝∠AOB，∴∠AOB+∠COD＝180°，由題意可得：6∠COD＝180°，∴∠COD＝30°，∴∠AOD＝90°﹣∠COD＝60°，故答案為：60°．【點評】本題考查了三角板中角度的計算，解題的關鍵是根據兩個角之間的數量關系來解答．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?儀征市期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）圖中∠AOF的余角除了∠AOC，還有∠FOE、∠BOD；（2）若∠EOF＝35°，求∠AOD的度數．【考點】余角和補角；對頂角、鄰補角；垂線．【專題】線段、角、相交線與平行線；應用意識．【答案】（1）∠FOE、∠BOD；（2）∠AOD＝145°．【分析】（1）根據余角的定義，即可作答；（2）先求出∠AOC的度數，再根據平角的定義，即可求出答案．【解答】解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠AOC+∠AOF＝90°，∠FOE+∠AOF＝90°，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD+∠AOF＝90°．故答案為：∠FOE、∠BOD．（2）由（1）可知，∠AOC＝∠EOF，∵∠EOF＝35°，∴∠AOC＝35°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣35°＝145°．【點評】本題主要考查余角和補角、對頂角、鄰補角及垂線，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．12．（2024秋?騰沖市期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE把∠BOD分成兩部分．（1）圖中∠AOC的對頂角為∠BOD，∠BOE的鄰補角為∠AOE；（2）若∠AOC＝80°，且∠BOE：∠EOD＝2：3，求∠AOE的度數．【考點】對頂角、鄰補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】（1）∠BOD，∠AOE；（2）148°．【分析】（1）根據對頂角的定義，鄰補角的定義求解即可．（2）由對頂角的定義得出∠BOD＝80°，再結合已知條件可得出∠BOE＝32°，最后根據鄰補角的定義求解即可．【解答】解：（1）圖中∠AOC的對頂角為∠BOD，∠BOE的鄰補角為∠AOE；故答案為：∠BOD，∠AOE；（2）由條件可知∠BOD＝80°，∵∠BOE：∠EOD＝2：3且∠BOD＝∠BOE+∠EOD，∴∠BOE∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣32°＝148°．【點評】本題主要考查了對頂角的定義，鄰補角的定義，幾何圖中的角度計算，熟練掌握以上知識點是關鍵．13．（2024秋?榆樹市期末）如圖，已知直線AB和CD相交于O點，∠DOE是直角，OF平分∠AOE，∠BOD＝22°，求∠COF的度數．【考點】垂線；角的計算；對頂角、鄰補角．【專題】計算題．【答案】見試題解答內容【分析】利用圖中角與角的關系即可求得．【解答】解：∵∠DOE是直角，∴∠COE＝180°﹣90°＝90°，又∠AOC＝∠BOD＝22°，∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝112°，又OF平分∠AOE，∴∠AOF=12∠AOE＝∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝56°﹣22°＝34°．【點評】此題考查的知識點是垂線、角的計算及對頂角知識，關鍵是根據垂線、角平分線定義得出所求角與已知角的關系轉化求解．14．（2024秋?拱墅區期末）如圖，有一副三角板△ABC和△ADE，它們的斜邊AB和AD按圖1所示擺放在直線MN上，∠BAC＝30°，∠DAE＝45°，已知AP平分∠CAD，AQ平分∠CAE．（1）求初始位置∠PAE的度數．（2）若將三角板ADE繞點A轉到如圖2位置，使∠DAN＝α，且0°＜α＜45°，求∠PAQ的度數．（3）在（2）的基礎上，若繼續將三角板ABC繞點A轉動到圖3位置，使∠MAB=23α，求∠【考點】余角和補角；角的計算．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】（1）30°；（2）22.5°；（3）4∠PAD﹣∠BAN＝120°．【分析】（1）由補角的定義得到∠CAD＝150°，再根據角平分線的定義得到∠PAD=12∠CAD＝（2）同（1）思路一致，利用∠PAQ＝∠PAC﹣∠QAC，分別求出∠PAC和∠QAC即可得解；（3）由題易得∠BAN＝180°﹣∠MAB＝180°-23α，∠PAD=12∠CAD＝75°-1【解答】解：（1）∵∠BAC＝30°，∴∠CAD＝150°，∵AP平分∠CAD，∴∠PAD=12∠CAD＝∵∠EAD＝45°，∴∠PAE＝∠PAD﹣∠EAD＝30°；（2）∵∠BAC＝30°，∠DAN＝α，∠DAE＝45°∴∠CAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAN＝150°﹣α，∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠DAN﹣∠DAE＝105°﹣α，∵AP平分∠CAD，AQ平分∠CAE，∴∠PAC=12∠CAD＝75°-12α，∠QAC=1∴∠PAQ＝∠PAC﹣∠QAC＝22.5°；（3）∵∠BAC＝30°，∠MAB=2∴∠CAM＝30°-23α，∠BAN＝180°﹣∠MAB＝180°-∴∠CAD＝180°﹣∠CAM﹣∠DAN＝180°﹣30°+23α-α＝150∵AP平分∠CAD，∴∠PAD=12∠CAD＝75°∴4∠PAD＝300°-23∴4∠PAD﹣∠BAN＝120°．【點評】本題主要考查了角平分線的定義、角的計算等內容，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．15．（2024秋?義烏市期末）如圖，射線OC，OD在∠AOB的內部，∠AOD＝∠BOC＝90°，∠COD＝26°．（1）求∠AOB的度數．（2）若另一條射線OE也在∠AOB的內部且滿足∠DOE=1【考點】余角和補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】（1）∠AOB＝154°；（2）∠BOE的度數為51°或77°．【分析】（1）由題意，先求出∠BOD的度數，再由∠AOB＝∠AOD+∠BOD，得到結果；（2）分兩種情況，OE在∠BOD內部時或OE在∠COD內部，結合圖形，可得到結果．【解答】解：（1）∵∠AOD＝∠BOC＝90°，∠COD＝26°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝64°，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝90°+64°＝154°；（2）∵∠COD＝26°，∴∠DOE如圖2，當OE在∠BOD內部時，∴∠BOE＝∠BOC﹣∠DOE﹣∠COD＝90°﹣26°﹣13°＝51°，如圖3，當OE在∠COD內部時，∴∠BOE＝∠BOC﹣∠COE＝90°﹣13°＝77°，綜上所述，∠BOE的度數為51°或77°．【點評】本題考查了余角的定義，角的計算，正確認識圖形是解題的關鍵．

考點卡片1．規律型：圖形的變化類圖形的變化類的規律題首先應找出圖形哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，通過分析找到各部分的變化規律后直接利用規律求解．探尋規律要認真觀察、仔細思考，善用聯想來解決這類問題．2．直線的性質：兩點確定一條直線（1）直線公理：經過兩點有且只有一條直線．簡稱：兩點確定一條直線．（2）經過一點的直線有無數條，過兩點就唯一確定，過三點就不一定了．3．線段的性質：兩點之間線段最短線段公理兩點的所有連線中，可以有無數種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．簡單說成：兩點之間，線段最短．4．度分秒的換算（1）度、分、秒是常用的角的度量單位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．（2）具體換算可類比時鐘上的時、分、秒來說明角的度量單位度、分、秒之間也是60進制，將高級單位化為低級單位時，乘以60，反之，將低級單位轉化為高級單位時除以60．同時，在進行度、分、秒的運算時也應注意借位和進位的方法．5．角的計算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射線OC是∠AOB的三等分線，則∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠（2）度、分、秒的加減運算．在進行度分秒的加減時，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，分秒相加，逢60要進位，相減時，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除運算．①乘法：度、分、秒分別相乘，結果逢60要進位．②除法：度、分、秒分別去除，把每一次的余數化作下一級單位進一步去除．6．余角和補角（1）余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角．即其中一個