第一章數(shù)與式

第03講分式

口題型08分式化簡求值

模擬基礎(chǔ)練口題型09分式運(yùn)算的應(yīng)用

□題型10分式的規(guī)律探究問題

口題型01分式有、無意義的條件

口題型11與分式運(yùn)算有關(guān)的新定義問題

口題型02分式值為0的條件

□題型03求使分式值為整數(shù)時未知數(shù)的值重難創(chuàng)新練

口題型04分式基本性質(zhì)的運(yùn)用

口題型05約分

口題型06分式運(yùn)算真題實(shí)戰(zhàn)練

□題型07判斷分式運(yùn)算的錯誤步驟

模擬基礎(chǔ)練

口題型01分式有'無意義的條件

1.（2024?湖北恩施?模擬預(yù)測）函數(shù)y=碧的自變量的取值范圍是（）

A.%<—3B.%之一3且工。2

C.x<—3且%W2D.%>—3

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）在函數(shù)y=-3一77不I中，自變量”的取值范圍是_

3.（2024.江西吉安?模擬預(yù)測）已知分式三（a,b為常數(shù)）當(dāng)久=2時，分式無意義，當(dāng)％=0.5時分式的

值為0,則6。=.

4.（2024?河北邢臺?模擬預(yù)測）已知分式三匚（爪為常數(shù)）滿足如下表格中的信息，則爪=，p=.

久的取值3V

分式無意義值為7

5.（2024?湖南?模擬預(yù)測）先化簡，再求值：直誓X亨！--六，然后從-2,0,1,2中選一個合適的a

az-4az+2aaz+a

值代入求解.

□題型02分式值為0的條件

1.（2024?廣西?模擬預(yù)測）如果分式"的值為零，那么％值的為（）

X

A.0或2B.2C.0D.不存在

2.（2024.江蘇泰州.一模）對于分式了的值，下列說法一定正確的是（）

1-?71

A.不可能為0B.比1大C.可能為2D.比加大

3.（2024.貴州黔東南.一模）若分式注值為0,則％的取值范圍是（）

x+2

A.x=-2B.x=2C.%H—2D.%=±2

4（2024.湖南.模擬預(yù)測）當(dāng)％=3時，分式二的值為0,貝b的值為

x+4--------

5.（2024.遼寧鐵嶺?二模）（1）|-2|-（7T-3.14）°+Q）234-2sin600+V12-（-1）2024,

（2）先化簡，再求值：盛士+匕三-％-2）的值，其中x使分式會值為5

□題型03求使分式值為整數(shù)時未知數(shù)的值

1.（2024.江蘇揚(yáng)州.三模）能使分式竽=值為整數(shù)的整數(shù)％有____個.

2x—3

2.（2023?河北石家莊?模擬預(yù)測）代數(shù)式告J+劣的值為工則/為整數(shù)值的個數(shù)有（）

-4x+4x+6

A.0個B.7個C.8個D.無數(shù)個

3.（2024.河北秦皇島.模擬預(yù)測）已知4=B=工,計算力+（1+8）=.若4+（1+B）的

az-2a+la-1------

值為正整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)。的和為.

4.（2023?重慶?模擬預(yù)測）已知兩個多項式力=/+3%+3,8=/_3X+3（x為實(shí)數(shù)），以下結(jié)論中正確

的個數(shù)是（）

①若4+B=14,則x=±2；

②若B—8|+|X-5+4|=12,則一

③若4x8=0,則關(guān)于久的方程無實(shí)數(shù)根；

④若%為整數(shù)（％。1）,且言的值為整數(shù)，貝氏的取值個數(shù)為5.

A.4B.3C.2D.1

5（2023?山西大同?三模）閱讀與思考

下面是小宇同學(xué)課外閱讀的一則數(shù)學(xué)材料，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

“真分式”與“假分式”

我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和的形式，例如：1=1+1-在分式中，對于只含有一個字母的

分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我

們稱之為真分式.如二，二…這樣的分式是假分式；如吳，島…這樣的分式是真分式.類似地，假分

x-1x-2xz+lxz+2

式也可以化為整式與真分式的和的形式.

例如:

將分式三化成一個整式與一個真分式的和的形式，過程如下:

x—2.(x+3)—3—2(x+3)—515

x+3x+3x+3x+3

將分式石化成一個整式與一個真分式的和的形式，過程如下:

X2+4X-5_X2+3X+X-5x(x+3)+(x+3)—8y8

-------------------=%+1--------.

x+3x+3x+3x+3

方法2：由于分母為％+3,可設(shè)/+4%—5=(%+3)(%+a)+b(a,b為常數(shù)),

??,(%+3)(%+a)+b=/++3%+3。+力=%2+(a+3)x+(3a+b),

???x2+4%—5=%2+(a+3)x+(3a+b).

(a+3=4,解得｛j二

(3a+b=-5

???%2+4%—5=(x+3)(%+1)—8.

X2+4X-5(X+3)(X+1)-8(X+3)(X+1)8,8

---------=---------------------------------------=%+]4--------

x+3x+3x+3x+3x+3

這樣，分式舍就被化成了一個整式與一個真分式的和的形式.

任務(wù):

⑴分式高是-----------分式（填“真"或"假"）；將假分式等化為一個整式與一個真分式的和的形式為

（2）請將立"化為一個整式與一個真分式的和的形式.

x—3

（3）若分式式誓1的值為整數(shù)，請根據(jù)（2）的結(jié)果直接寫出符合條件的2個％的值.

x—3

口題型04分式基本性質(zhì)的運(yùn)用

1.（2023?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）下列說法正確的是（）

A.代數(shù)式上是分式B.分式當(dāng)中x,y都擴(kuò)大3倍，分式的值不變

11

C.分式號是最簡分式D.分式￡有意義

22

2.（2024.重慶.模擬預(yù)測）將分式二中x,y同時擴(kuò)大10倍，則分式的值將（）

x+y

A.擴(kuò)大10倍B.擴(kuò)大100倍C.擴(kuò)大100倍D.擴(kuò)大1000倍

3.（2023?河北石家莊?二模）下列各式的計算結(jié)果與2-g互為倒數(shù)的是（）

ab

a1

A”aUabC11r>

a+bb-abaabb-ab

4.（2023?河北衡水?二模）已知a>6>c>0,M=-,N=學(xué)，其中“△”代表“+、一、X、十”中的一種運(yùn)

aaAc

算符號，下列說法正確的是（）

A.若“△”代表的是“+”，則M<NB.若“A”代表的是“一"，則M<N

C.若“△”代表的是“x"，則M<ND.若“△”代表的是“+”，則M<N

□題型05約分

1.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測）化簡：空押=分，括號內(nèi)應(yīng)填（）

6%2y（）

A.6xyB.3yC.3%D.3xy

2.（2023?山西陽泉?一模）如圖是徐同學(xué)的答卷，他的得分應(yīng)是（）

判斷題（每小題25分，共100分）

⑴當(dāng)久。1時，分式占有意義.（J）

*--I-1

⑵當(dāng)％=2時，分式1的值為0.（J）

x-2

（3）—=V）

mnm

（4）3xy2+*=|x2-（V）

A.25分B.50分C.75分D.100分

3.（2024.寧夏銀川.三模）若（=百，則分式第得的值為

4.（2024?廣東.二模）己知a=0.3,b=0.1,則處此M

3a+b

5.（2。24.浙江寧波.一模）代數(shù)式黑冷的最大值為.

□題型06分式運(yùn)算

1.（2024.河北邢臺.模擬預(yù)測）化簡（一弁+好點(diǎn)正確的是（）

y4cy4y2y2

A4.--B.—C.--D.—

*xzxz

2.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）計算廣一-產(chǎn)鼻的結(jié)果是_______.

2m-n（2m-n）z

3.（2024?四川廣安?模擬預(yù)測）已知a2-3a+l=0,貝！14a2-9a-2+的值為

1+a2

4.（2024.河北保定.三模）圖1中陰影部分的面積為Si（邊長為。的大正方形中有一個邊長為b的小正方形）.圖

2中陰影部分的面積為S2（邊長為a的大正方形中有一個長為°、寬為b的小長方形），a>6>0,設(shè)k=fl,

則上的取值范圍為.

5.（2024.福建泉州?模擬預(yù)測）根據(jù)如圖所示的程序，求輸出。的化簡結(jié)果.

口題型07判斷分式運(yùn)算的錯誤步驟

1.（2024廣東?模擬預(yù)測）下面是某同學(xué)化簡分式（￡-1）+三產(chǎn)的運(yùn)算過程?

解：原式=（六—六）.田…第一步

2—X—1x—1.t,

…弟^?少

=x-l'7（%-3）2

1-XX-lA-A--'tp.

=W(*-3)2…弟二”

=■…第四步

上面的運(yùn)算過程中第一步出現(xiàn)錯誤，請你寫出正確的解答過程.

2.(2024.寧夏銀川.一模)先化簡怒-J，再從一L。，L2中選擇一個值代入求值.

小陳同學(xué)在進(jìn)行分式化簡時，過程如下：

解：原式=高篇—(1—六)①

2(a-2)q]_2(a-2)上1①

(a-l)(a+l)(a—l)(a+l)a—1

=2-2)------------2-2)x(a—1)③

(1)上述過程中，從第一步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是

(2)請完成正確的完整解題過程.

3.(2024?吉林?二模)請你閱讀下列解題過程，并回答所提出的問題.

計算：4

x2-l1-x

解:原式=X+14第一步

(x+l)(x-l)x-l

_x+14(x+l)第二步

(x+1)(x-l)(x+1)(x-l)

=%+1-4(%+1)第三步

=-3%-3第四步

(1)上述計算過程中，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤；

(2)從第二步到第三步是否正確？,同分母分式相加減，分母,分子；

(3)正確的結(jié)果是.

4.(2024.寧夏.一模)在數(shù)學(xué)課上，老師出了一道題，讓甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行“接力游戲”.

規(guī)則如下：每位同學(xué)可以完成化簡分式的一步變形，即前一位同學(xué)完成一步后，后一個同學(xué)接著前一個同

學(xué)的步驟進(jìn)行下一步化簡變形，直至將該分式化簡完畢.

請根據(jù)如表的“接力游戲”回答問題:

接力游戲

老師：化簡：(1一?二)一三空

\X+2)2X+4

x+2-(3x-2),X*2-344X+4

甲同學(xué):/zF.—

x+22x4-4

%+2-3%—22(%+2)

乙同學(xué):原式=

x+2(x-2)2

-2.x2(%+2)

丙同學(xué):原式=

x+2(x-2)2

-4%

丁同學(xué):原式=

(%-2產(chǎn)

（1）:①在“接力游戲”中，丁同學(xué)是依據(jù)進(jìn)行變形的.

A等式的基本性質(zhì)A不等式的基本性質(zhì)C.分式的基本性質(zhì)D乘法分配律

②在“接力游戲”中，從同學(xué)開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是.

（2）：請你寫出該分式化簡的正確結(jié)果.

5.（2024?山東?模擬預(yù)測）小明的作業(yè)如下：

解:島-A號

cL—ci—b（a+b）（a-匕）（__「一）

a-bb

=-a—b.（第二步）

⑴指出小明的作業(yè)是從哪一步開始出現(xiàn)錯誤的，請更正過來，并計算出正確結(jié)果;

⑵若a,b是不等式組（丫：：0的整數(shù)解（a<b）,求原分式的值.

口題型08分式化簡求值

1.（2024?河北?模擬預(yù)測）如圖，若a=66,則義仿一出士）的值在（）

a-b\a/

①②③④

,一、一一、/一、，一、

A.第①段B.第②段C.第③段D.第④段

2.（2024?四川德陽?模擬預(yù)測）已知/—x—1=0,計算（京—以+白券的值是（）

A.2B.-2C.1D.-1

3.（2024.山東聊城?二模）若（1+2）+這期的計算結(jié)果為正整數(shù)，則對x值的描述最準(zhǔn)確的是（）

A.x為自然數(shù)B.x為大于1的奇數(shù)

C.久為大于0的偶數(shù)D.x為正整數(shù)

4.（2024?黑龍江綏化?模擬預(yù)測）化簡_2y+9+&+總）的結(jié)果是?

5.（2024.黑龍江綏化?模擬預(yù)測）當(dāng)％=y+2023時，代數(shù)式工?（空—1）+白的值為

6.（2024?山東濱州?模擬預(yù)測）先化簡，再求值：（3等一今）一黑，其中％=（1）1一（豆一2024）。+|-3|.

7.（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測）先化簡，再求值（1-2）十日駕，再從0,123這4個數(shù)中選擇一個恰當(dāng)?shù)?/p>

x值代入求值.

□題型09分式運(yùn)算的應(yīng)用

1.（2023?河北廊坊?二模）。克糖放入水中，得到6克糖水，此時糖水的濃度為是式6>。>0）.

（1）再往杯中加入巾（爪>0）克糖，生活經(jīng)驗告訴我們糖水變甜了.用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為.

（2）請證明（1）中的數(shù)學(xué)關(guān)系式.

2.（2023?福建福州?一模）福州市的市花是茉莉花.“飄香1號”茉莉花實(shí)驗種植基地是邊長為am（a>l）的

正方形去掉一塊邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“飄香2號”茉莉花實(shí)驗種植基他是邊長為

（a-l）m的正方形，兩塊實(shí)取種植基地的茉莉花都收獲了500kg.請說明哪種茉莉花的單位面積產(chǎn)量更高？

3.（2024?寧夏銀川?一模）現(xiàn)在汽車已成為人們出行的交通工具.小李和小王元旦那天相約一起到某加油站

加油，當(dāng)天95號汽油的單價為加元/升，他倆加油的情況如圖所示.半個月后的某天，他倆再次相約到同

一加油站加油，此時95號汽油的單價下調(diào)為〃元/升，他倆加油的情況與上次相同，請運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識

計算小李、小王兩次加油誰的平均單價更低？

4.（2023?浙江杭州?模擬預(yù)測）已知p==/一（k>左一1）.

mm+1

方方說：“p一定大于q”.以下是方方的解答過程.

解：p—q=------=k（m+1）—km=k,

mm+1

因為k>0,所以p-q>0,即p一定大于

你覺得方方說法正確嗎？為什么？

□題型10分式的規(guī)律探究問題

1.(2022?廣西賀州?一模)對于正數(shù)x,規(guī)定"%)=七，例如："3)=后=[,/@)=.=3則/(康)+

十3

，島)+…+「1)+/⑵+…+f(2021)+f(2022)的值為.

2.(2024.浙江.模擬預(yù)測)觀察下面的一列數(shù)：的=：,1+pa3=7+1+P。4=：+：+：+：...

2334445555

、1

(1)嘗試：。2—&=%-。2=；。4-。3=?

(2)歸納：。九+1—ctn=?

⑶推理：運(yùn)用所學(xué)知識，推理說明你歸納的結(jié)論是正確的.

3.(2024?四川內(nèi)江?二模)已知，若a,b為非零實(shí)數(shù)，則哼=工—上

abab

(1)觀察下列各式并補(bǔ)充完整：

工=1」

1X22’

1_1_1

2X3-23'

1_11

3X4-34’

-^-=________5為正整數(shù)).

n(n+l)

—+—+—^-=5為正整數(shù)).

1x22X33x4九(71+1)

(2)計算：—+—+—+-+^

'71X33x55X797X99;

aa

(3)設(shè)an=⑦工;/(九為正整數(shù)),求證：%+a2+3+…+n<卷.

4.(2022.安徽合肥.二模)觀察以下等式：第1個等式:(x(2—|)=3—|；第2個等式:yx(2-|)=3-1；

第3個等式：gx(2-|)=3-|;第4個等式:||x(2-|)=3-|；……；

按照以上規(guī)律，解答下列問題：

⑴寫出第5個等式：_；

(2)寫出你猜想的第〃個等式：一(用含〃的等式表示)，并證明.

□題型11與分式運(yùn)算有關(guān)的新定義問題

1.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)對于實(shí)數(shù)b,定義運(yùn)算：①m十兀=」一;②m③n=—

m+nmA-nA

例如①3十5=*=a3?5=言=一依此定義方程x便)2—2十久=1的解為.

22

2.（2023?浙江寧波?三模）定義一種新運(yùn)算：對于任意的非零實(shí)數(shù)x,y,=^-y.若284=-12,

則1<8）2的值為.

3.（2024?四川廣元?二模）定義一種新運(yùn)算：71*5+1）=-^,如1*2=2-,2*3=」-,3*4=--,

1x22x33X4

已知1*2+2*3+3*44------1-m*（m+1）=（m為正整數(shù)），則m=.

4.（2024.云南.模擬預(yù)測）定義：不大于實(shí)數(shù)%的最大整數(shù)部分，記作[劃.例如：[a]=1,[一2.6]=-3,

按此規(guī)定，若a=[V36],b=[-V2],則小的值為（）

A.-B.-C.—D.-6

3936

5.（2022?河北?二模）對于代數(shù)式a,b,c,d規(guī)定一種運(yùn)算：『9=2一匕按照此規(guī)定，|：?,二\|化

lcdlde1%+1%+H

簡的結(jié)果為（）

重難創(chuàng)新練

1.（2022?浙江杭州?中考真題）照相機(jī)成像應(yīng)用了一個重要原理，用公式,=1+力/）表示，其中/表示

照相機(jī)鏡頭的焦距，〃表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離.已知力v,則〃=（）

A.比B.占C.比D.厘

f-vfvv-ffv

2.（2024,四川眉山,中考真題）己知a1=x+1（x豐。且比力—1）,a2=-----,ct^—..........,,c1n=---------，則

1-01l-a2l-an_1

。2024的值為?

3.（2023?廣東廣州?中考真題）已知a>3,代數(shù)式：A=2a2-8,B=3a2+6a,C=a34-4a2+4a.

（1）因式分解A；

（2）在4,B,C中任選兩個代數(shù)式，分別作為分子、分母，組成一個分式，并化簡該分式.

4.（2023?江蘇鹽城?中考真題）課堂上，老師提出了下面的問題：

已知3a>b>0,M=-,N=—,試比較”與N的大小.

bb+3

小華：整式的大小比較可采用“作差法”.

老師：比較/+1與2%-1的大小.

小華：'.'(x2+1)—(2%-1)=x2+1—2x+1=(%—I)2+1>0,

???x2+1>2x—1.

老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎?

（1）請用“作差法''完成老師提出的問題.

⑵比較大小：-（填或y"）

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真題實(shí)戰(zhàn)練

一、單選題

1.（2024.山東淄博?中考真題）下列運(yùn)算結(jié)果是正數(shù)的是（）

A.3TB.-32C.-|-3|D.-V3

2.（2024.廣東廣州?中考真題）若aK0,則下列運(yùn)算正確的是（）

.aa—a口3.2—65

A.1——D.Cl'nCL—CL

235

C-.—2?—3=-5D-—.ao+a=l

CLCLCl

3.（2024?上海?中考真題）函數(shù)f（x）=三的定義域是（）

A.x=2B.C.%=3D.XW3

4.（2023?浙江湖州?中考真題）若分