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文檔簡介
專題04指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及塞函數(shù)
目錄
題型一:指數(shù)運算及指數(shù)函數(shù)
易錯點01對根式性質(zhì)理解不到位出錯
易錯點02忽略底數(shù)對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的影響
題型二對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)
易錯點03忽視對數(shù)式成立的條件而出錯
易錯點04判斷對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性忽略定義域
易錯點05利用換元法求值域遺忘范圍
題型三幕函數(shù)
易錯點05錯判基函數(shù)的性質(zhì)
題型一:指數(shù)運算及指數(shù)函數(shù)
易錯點01:對根式性質(zhì)理解不到位出錯
,易錯陷阱與避錯攻略
典例(24-25高三?全國?專題)下列說法正確的個數(shù)是()
①49的平方根為7;②(蚯)3=。;③77=。;④y(_3『=(-3)\
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【分析】根據(jù)根式的運算,逐一判斷即可.
【詳解】49的平方根是±7,故①錯誤;
3(1V
(五)==a,故②正確;
\7
V7=|?|,故③錯誤;
^<=3^故④錯誤.
故選:A.
【易錯剖析】
本題容易混淆根式的性質(zhì)和分數(shù)指數(shù)幕的運算律而認為府=a,祖才=(-3?成立而誤選C.
【避錯攻略】
1.根式的概念
一般地,如果xn=a,那么x叫做。的〃次方根,其中〃〉1,且〃eN*.
(1)當〃是奇數(shù)時,正數(shù)的〃次方根是一個正數(shù),負數(shù)的〃次方根是一個負數(shù),這時,。的〃次方根用符號標
表示.
(2)當〃是偶數(shù)時,正數(shù)。的〃次方根有兩個,記為土標,負數(shù)沒有偶次方根.
(3)0的任何次方根都是0,記作^0=0.
式子4a叫做根式,其中〃(及>1,且〃eN*)叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù).
2.根式的性質(zhì)
根據(jù)〃次方根的意義,可以得到:
1—I——/—
(1)(標)"=Q.(2)當〃是奇數(shù)時,療=Q;當〃是偶數(shù)時,寸優(yōu)=\a\=\八
[-a.a<0
3.分數(shù)指數(shù)幕的意義
絲/——
正分數(shù)指數(shù)累規(guī)定Q〃="a"(Q〉0,加,〃£N*,且〃〉1)
分數(shù)指數(shù)幕規(guī)定。〃=F(a〉°,加,〃eN*,且
負分數(shù)指數(shù)幕
an
0的分數(shù)指數(shù)幕0的正分數(shù)指數(shù)早等于0,0的負分數(shù)指數(shù)累沒有意義
易錯提醒:(1)處理根式問題一定要注意分析根指數(shù)的奇偶性,因為根指數(shù)奇偶性的不同,被開方數(shù)的取值
范圍不同,如(布)"中當〃為奇數(shù)時,aeR;〃為偶數(shù)時,a20,另外根式的化簡結(jié)果也不同;
m
—Z2
(2)分數(shù)指數(shù)塞。〃中的一不能隨便約分,要注意底數(shù)取值范圍的改變.
m
舉一反三
1.(2024?河南?三模)若“20/eR,則化簡2幅?+(&>+后的結(jié)果是()
A.3+Q+bB.3+a+同
C.2+a+bD.2+a+\b\
【答案】B
【分析】根據(jù)指數(shù)運算法則和對數(shù)運算法則化簡求值即可.
【詳解】由*”=3,(正『=","=間可知,
2蜒23+(&>+正=3+.+同.
故選:B
2.(2025高一?全國?課后作業(yè))[(3—無)'("eN,〃N2)=()
A.3—兀B.71—3
C.|3-兀|D.當“為奇數(shù)時,3-兀;當〃為偶數(shù)時,71-3
【答案】D
【分析】當〃為奇數(shù)時,43H=3-兀;當“為偶數(shù)時,叱3-兀)"=|3-兀即可求解.
【詳解】當“為奇數(shù)時,《(3-兀)"=3F
當”為偶數(shù)時,必(3-兀)"=|3-司=n-3.
故選:D
3.(24-25高一上?黑龍江大慶?期中)下列根式與分數(shù)指數(shù)基的互化正確的是()
1
【答案】c
【分析】根據(jù)分式與指數(shù)累的互化逐項判斷可得答案.
11___
【詳解】對于A選項:一五=一戶(工20),(_幻5=口(工00),故A錯誤;
對于B選項:57=_戶3<0),故B錯誤;
對于C選項:龍3故c正確;
r-_______o13i1
對于D選項:當無<0時,W(f)27=㈠產(chǎn)w=㈠尸,而當x<0時,/=石沒有意義,故D錯誤.
故選:C
?易錯題通關(guān)
1.(23-24高一上?北京延慶?期末)0(一2)4的值為()
A.±2B.±4C.2D.4
【答案】C
【分析】根據(jù)根式的運算求得正確答案.
【詳解】=H=2.
故選:C
1
2.(23-24高三上?山東濰坊?期中)將療寫成分數(shù)指數(shù)幕的形式為()
7a
4477
A.小B.a7C./D./
【答案】B
【分析】根據(jù)根式與指數(shù)塞的互化即可求解.
1
【詳解】將彳寫成分數(shù)指數(shù)幕的形式為q;4.
故選:B.
3.(23-24高一上?廣東佛山?階段練習(xí))下列運算結(jié)果中正確的是()
A.a3-a4=a12B.a2j=a6
C.V7=aD.行心-兀
【答案】D
【分析】根據(jù)有理數(shù)指數(shù)累、根式的運算法則計算可得答案.
【詳解】對于A選項,/./=/+4=",故A錯誤;
對于B選項,(-a2)3=-a6,故B錯誤;
對于C選項,當時,#3=。,當時,迎=-a,故C錯誤;
對于D選項,而丁=-兀,故D正確.
故選:D.
4.(23-24高三上?廣東中山?階段練習(xí))設(shè)。>0,將;7七表示成指數(shù)累的形式,其結(jié)果是(
1573
A*a2B.mC,白%D.〃2
【答案】C
【分析】結(jié)合根式與分數(shù)指數(shù)幕的互化,根據(jù)指數(shù)運算法則化簡即可求解.
222c57
ClClCl2-T—
所以_5__________—仁—_________—ZJO-Z7O
【詳解】因為“>o,
\7
故選:C
5.(24-25高三上?江蘇鹽城?開學(xué)考試)(多選)下列選項中正確的有()
A.4a"=aB.若aeR,貝-a+l)°=1
C+y3=x^+yD.為=折^
【答案】BD
【分析】結(jié)合指數(shù)運算法則及其性質(zhì)逐項判斷即可得.
【詳解】對A:當”為偶數(shù)時,叱=同,故叱=.不一定成立,故A錯誤;
MB:a2-a+l=^a+^+|^0,故-a+l)。=1,故B正確;
對C:顯然不成立,如當x=y=l時,左邊為蚯,右邊為2,故C錯誤;
對D:療=5;=痣,故D正確.
故選:BD.
6.(24-25高三上?寧夏銀川?階段練習(xí))(多選)下列運算正確的是()
A.昭=&B.(/丫=/
C.log43=21og23D.Ig5-e-lg2=log25
【答案】BD
【分析】運用根式性質(zhì),指數(shù)塞性質(zhì)和對數(shù)性質(zhì)化簡計算即可.
【詳解】療=加,故A錯誤.
指數(shù)塞性質(zhì),知道(/)'=/,B正確;
對數(shù)運算性質(zhì),知道Iog43=glog23,C錯誤;
換底公式逆用,知道坨5+炮2=108252正確.
故選:BD.
7.(24-25高三上?海南海口?階段練習(xí))(多選)若代數(shù)式K萬+萬工有意義,則
6-2尤+1+#(無-2)4=.
【答案】1
【分析】由二次根式有意義得到x的取值范圍,化簡所求代數(shù)值,由x的取值范圍去掉絕對值符號即可得到
解.
[x-l>0
【詳解】由題意可知:、.-.l<x<2
[2-x>0
???yjx2-2x+l+W(x-2)4=不(x-l)2+N(x-2)4=|x-l|+|x-2|=x-l+2-x=l
故答案為:1
8.(2023高三?全國?專題練習(xí))(多選)/一2)7(-3),的值為.
【答案】1
【分析】利用根式的性質(zhì)進行化簡求值即可.
【詳解】^7+^<=-VF+VF=-2+3=l.
故答案為:1.
易錯點02:忽略底數(shù)對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的影響
易錯陷阱與避錯攻略
Q
典例(2024?四川攀枝花?模擬預(yù)測)己知奇函數(shù)/@)=優(yōu)+從鼠'(4>0,。21)在卜1,1]上的最大值為3,則
a=()
A.1■或3B.g或2C.3D.2
【答案】A
【分析】根據(jù)奇偶性求得b,分類討論函數(shù)的單調(diào)性得出最大值,根據(jù)已知條件列方程求解即可.
【詳解】因為/(x)是奇函數(shù),所以f(r)=-f(x),所以〃r)+〃x)=0.
BPa~x+b-ax+ax+b-a~x=0?則(6+1)(優(yōu)+a')=0,解得6=-1,
經(jīng)檢驗6=-l符合題意,所以/(%)=/-。一)
當Q>1時,
a
則函數(shù)>在[-1,1]上單調(diào)遞增,y=a-XjL\在[-1,1]上單調(diào)遞減,
所以/(X)=優(yōu)-“r在[-1,1]上單調(diào)遞增,
Q
所以,/a)max=/Xi)=q—qT=§,整理得3/—8〃—3=0,
解得Q=3或。=-g(舍去),所以4=3;
當0<4<1時,—>1,
a
貝IJ函數(shù)》二優(yōu)在[-1,1]上單調(diào)遞減,y=尸=在[-1,1]上單調(diào)遞增,
所以/(%)=優(yōu)-在[-1J]上單調(diào)遞減,
Q
所以,/Mmax=/(-!)=?-'-a=|,整理得3/+8”3=0,
解得或。=-3(舍去),所以a=g,
綜上,°或3.
故選:A.
【易錯剖析】
本題求解時容易忽略底數(shù)對指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響沒有對a進行討論而漏解.
【避錯攻略】
1指數(shù)函數(shù)的概念
一般地,函數(shù)y=a工伍〉0,且awl)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,底數(shù)a是一個大于0且不等
于1的常量,定義域是A.
【注意】學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的定義,注意一下幾點
(1)定義域為:R
(2)規(guī)定a>0,且awl是因為:
①若a=l,則y=優(yōu)三1(恒等于1)沒有研究價值;
②若a=0,則x>0時,y=ax=0(恒等于0),而當xWO時,優(yōu)無意義;
③若a<0,則口:中加為偶數(shù),"為奇數(shù)時,口2無意義.
④只有當0<。<1或。>1時,即。>0,且awl,x可以是任意實數(shù).
2底數(shù)對指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)的影響
(1)底數(shù)。與1的大小關(guān)系決定了指數(shù)函數(shù)歹=優(yōu)(。〉0且awl)圖象的“升”與“降”.
①當。>1時,指數(shù)函數(shù)的圖象是“上升”的,且當x>0時,底數(shù)。的值越大,函數(shù)的圖象越
“陡”,說明其函數(shù)值增長的越快.
②當0<。<1時,指數(shù)函數(shù)的圖象是“下降”的,且當x<0時,底數(shù)a的值越小,函數(shù)的圖象越
“陡”,說明其函數(shù)值減小的越快.
(2)底數(shù)。的大小決定了圖象相對位置的高低:不論是。>1還是0<。<1,底數(shù)越大,在第一象
限內(nèi)的函數(shù)圖象越“靠上”.
在同一平面直角坐標系中,底數(shù)a的大小決定了圖象相對位置的高低;
在歹軸右側(cè),圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小,即“底數(shù)大圖象高”;
在y軸左側(cè),圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由小變大,即“底數(shù)大圖象低”;
易錯提醒:I當指數(shù)函數(shù)的底數(shù)含有參數(shù)時,若應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),一定要討論底數(shù)與1的大小關(guān)系.
舉一反三
1.(23-24高一上?湖南株洲'I?期末)若函數(shù)/(x)=a*(a>0且OR1)在[0,1]上的最小值與最大值的和為3,則
函數(shù)y=2ax-1在[0,1]上的最大值是.
【答案】3
【分析】對指數(shù)函數(shù)的底數(shù)進行分情況討論求出。值,代入所求函數(shù),判斷單調(diào)性即得其最大值.
【詳解】當。>1時,/(x)=a*在[0,1]上為增函數(shù),
則f(x)wx+〃x)1m.=/(1)+/(0)=。+1=3,解得a=2;
當Ova<1時,〃x)=a”在[0,1]上為減函數(shù),
則/(x)max+/(x)mm=/(0)+〃l)=l+a=3,解得。=2(舍去);
于是函數(shù)y=2"-l=4x-l,顯然在[0,1]上為增函數(shù),
故當xe[0,l]時,ymax=4x1-1=3.
故答案為:3.
2.已知函數(shù)=a標(a>0且awl)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,則。的取值范圍為()
B.(1,+8)
1j_
D.
352
【答案】c
【詳解】由。>0且QW1,得v=為單調(diào)遞減函數(shù),
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則得。£(0,1),
又[[1心-3?細>0解得<(。,1斗1
故選:C.
3.函數(shù)了=3-優(yōu)一/在區(qū)間曰,2]上的最小值是_3,貝ija的值是.
【答案】/或g
【詳解】令優(yōu)=/,則了=-產(chǎn)—+3=-1+£|+?,其對稱軸為/=-;,
當時,因為xe[T,2],所以,4區(qū)/,
a
所以函數(shù)了=-~+3=-1+;;+7在:/上單調(diào)遞減,
所以當/=/時,>*=一/一/+3=-3,解得0=
當0<a<l時,因為xe[-l,2],所以"wL
所以函數(shù)了=-/27+3=-卜+£|在a:上單調(diào)遞減,
所以當f時,加.=一二二+3=-3,解得
aaa2
綜上,所以Q=0或。=;.
故答案為:V2或y
叁易錯題通關(guān)
1.函數(shù)y=a"-2(a>0S.a1,-1<x<1)的值域是[一|,1],則實數(shù)。=()
A.3B.C.3或gD.g或g
【答案】C
【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別對0<a<1和a>1的情況討論單調(diào)性并求值域,從而列方程組即可得到
答案.
【詳解】函數(shù)y=aX-2(a>OJLa^1,-1<%<1)的值域為
又由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,
當0<a<l時,函數(shù)y=a*-2在[-1,1]上單調(diào)遞減,值域是[a-2,。一]一2]
(0<a<1p<a<l
所以有卜1_2=一|,即.a=g,解得a=,;
(a-i-2=1、a-1=3
當a>l時,函數(shù)y=ax-2在[—1,1]上單調(diào)遞增,值域是[a-1—2,a—2]
fa>1Ca>1
所以有IL—2=一[即]a-1=|,解得a=3.
(a1—2=1Ia=3
綜上所述,@=々或。=3.
故選:C.
rQ”xw]
2.(23-24高三上?北京海淀?階段練習(xí))已知a>0且”1,函數(shù)/(x)='一,,若函數(shù)“X)在區(qū)間
[-x+a,x>l
[0,2]上的最大值比最小值大g,則a的值為()
12717
A.一或2B.—或2C.2或—D.一或一
23222
【答案】D
【分析】按照。與1的大小進行分類討論,求出函數(shù)〃X)在[0,2]上的最值,從而可得。的值.
【詳解】①當0<a<1時,函數(shù)〃x)在[0』上是減函數(shù),在(1,2]上也是減函數(shù).
...〃0)=/=l>-l+a,...函數(shù)的最大值為"0)=1,而/⑵=-2+°<°=/⑴,.?.函數(shù)〃x)的最小值為
/(2)=-2+?,
.---2+a+|=l,解得a=ge(O,l),符合題意.
②當”>1時,函數(shù)〃x)在[05上是增函數(shù),在0,2]上是減函數(shù).
=Q>—1+Q,
???函數(shù)/(X)的最大值為〃1)=0,而*2)=-2+*/⑼=。°=1,
當ae(l,3)時,一2+。<1,止匕時函數(shù)〃x)的最小值為/■(2)=-2+。,因止匕有一2+a+g=。,無解;
當a?3,+co)時,-2+。卻,此時函數(shù)的最小值為"0)=1,因此有1+:S=。,解得。=5743,+8),
符合題意.
綜上所述,實數(shù)。的值為1;或:7.
22
故選:D
((a-2)x+4o+l,x<2
3.(23-24高三上?安徽六安?階段練習(xí))己知函數(shù)/'(》)=;-(a>0且awl),若存在
最小值,則實數(shù)。的取值范圍為()
A.(0,1B,舊_
C.mJD.1o撲(1,2)
【答案】A
【分析】通過對參數(shù)。分類討論,研究〃x)在(--2]和(2,+8)的單調(diào)性,再結(jié)合已知條件,即可求解.
【詳解】由題意,不妨令g(x)=(a-2)x+4a+l,XG(^?,2];h(x)=2尸,xe(2,+oo),
①當0<a<1時,g(x)=(a-2)x+4a+1在(—co,2]上單調(diào)遞減,
A(x)=2al在(2,+s)上單調(diào)遞減,易知力(無)=2/T在(2,+s)上的值域為(0,2a),
又因為/(x)存在最小值,只需g(2)=(a-2)x2+4a+lV0,解得,a<1,
又由0<a<l,從而0<aV;;
②當1<a<2時,g(x)=(a—2)x+4a+1在(-8,2]上單調(diào)遞減,h(x)=2al在(2,+8)上單調(diào)遞增,
又因為/(X)存在最小值,故g(2)<7/(2),
3
即(a-2)x2+4a+142a,解得,a<—,這與1<。<2矛盾;
4
…[9,x<2
③當。=2時,/(*)=2:尤>2'易知"X)的值域為(4,+0,顯然〃x)無最小值;
④當。>2時,g(x)n(a-2)x+4a+l在(F,2]上單調(diào)遞增,/x)=在(2,+co)上單調(diào)遞增,從而〃x)無
最小值.
綜上所述,實數(shù)。的取值范圍為[o,;.
故選:A.
5.(23-24高一上?黑龍江綏化?階段練習(xí))已知指數(shù)函數(shù)/(司=優(yōu)在[-1川上的最大值與最小值之差為2,則
實數(shù)。的值為()
.3—2-\/2?/-?2-$/2+3?/—
A.------B.J2-1C.-----------D.J2+1
22
【答案】BD
【分析】分0<。<1和〃〉1兩種情況,根據(jù)題意列方程求解即可.
【詳解】當0<〃<1時,y(x)=0'單調(diào)遞減,
所以,a-l-a=2,即工-。=2,解得.=也一1(負根已舍棄);
a
當0>1時,/(%)=優(yōu)單調(diào)遞增,
所以,a-al=2,即。-1=2,解得.=&+1(不符合條件的根己舍棄).
a
綜上,實數(shù)。的值為亞-1或血+1.
故選:BD
6.(2024高三,全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/0)=優(yōu)(。>0且。大1)在區(qū)間[-2,4]上的最大值是16,求實數(shù)
。的值;
【答案】;或2.
【詳解】根據(jù)給定條件,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分類求解即得.
【分析】當0<。<1時,函數(shù)/(X)在[-2,4]上單調(diào)遞減,1Mx=〃-2)=32=16,因此。=;;
當。>1時,函數(shù)“X)在[-2,4]上單調(diào)遞增,/⑴111ax=”4)=/=16,因此a=2,
所以實數(shù)。的值為:或2.
7.(2024高三下?全國?專題練習(xí))函數(shù)/(x)=/*+優(yōu)+1(a>0,且aw1)在[T』上的最大值為13,求實
數(shù)a的值.
【答案】3或;
【分析】令"=入討論。>1或0<a<l,求出/的取值范圍,再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】???〃x)=++a,+l
令a'=t,貝ll,〉0,
i3i
貝Uy=『+/+1=?+/)2+彳,其對稱軸為/=一,.
該二次函數(shù)在[-g,+°°)上是增函數(shù).
①若。>1,由得/=a*e-,a,
_a
故當,=4,即X=1時,
Xnax=/+4+1=13,解得Q=3(Q=-4舍去).
②若0<。<1,由可得,=優(yōu)£a,—
a_
故當,=4,即工=-1時,
a
?,?°=/或一;(舍去).
綜上可得。=3或g.
8.(21-22高一上?河北?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=1"X(_1a>0且。片1).
(1)若了(2)=;,求〃一2)的值;
(2)若/(x)在上的最大值為g,求。的值.
【答案】(1)-,;
⑵;或3.
【分析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷/(x)是奇函數(shù),再由-2)=-/(2)即可求解;
(2)討論0<a<l和。>1時,函數(shù)/(x)在11川上的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性求出最值列方程,解方程可得。
的值.
【詳解】(1)因為/'(x)的定義域為R關(guān)于原點對稱,
屋一1
=-〃x),
優(yōu)+1
所以“X)為奇函數(shù),故/(-2)=-〃2)=-g.
2
若則歹=優(yōu)+1單調(diào)遞減,歹=—二單調(diào)遞增,
a+\
2
可得/(x)=l--為減函數(shù),
71
當xe[T,l]時,/?ax=/(-l)=l--z?7T=-!
解得:。=;,符合題意;
2
若〃〉1,則歹=優(yōu)+1單調(diào)遞增,歹=丁7單調(diào)遞減,
a+1
2
可得/(x)=l--為增函數(shù),
71
當xe[T,l]時,/(x)max=/(l)=l--=-
解得:<7=3,符合題意,
綜上所述:。的值為;或3.
9.(23-24高三上?甘肅蘭州?階段練習(xí))已知函數(shù)P+。-2*+加(優(yōu)_「)僅>0且“片1).
⑴若沉=2,求函數(shù)/(x)的最小值;
(2)若〃x)2-1恒成立,求實數(shù)加的取值范圍.
【答案】⑴1
(2)[-273,273]
【分析】(1)換元令:優(yōu)-尸武-吟+⑹,可得了=產(chǎn)+2f+2=?+l)2+l,結(jié)合二次函數(shù)即可得最小值;
(2)換元令:優(yōu)-「武-叫+⑹,可得/+皿+320恒成立,結(jié)合AVO運算求解.
【詳解】(1)若旭=2,貝1」/(%)=/工+.3+2(/-3,)=(優(yōu)一院")+2+2(優(yōu)-qf),
令ax—ax=t,
故原式化為y=/+2f+2=(/+1)+1,
若a>l時,可知j==-/*在R上單調(diào)遞增,
可知"優(yōu)-a-,在R上單調(diào)遞增,可知左(-8,+8);
若0<。<1時,可知y=優(yōu))=-a-”在R上單調(diào)遞減,
可知f=優(yōu)-在R上單調(diào)遞減,可知(-00,+00);
xx
綜上所述:t=a-a~6(-00,+00),
可知當t=T時,y=?+1)2+l?e(-8,+oo))取至Ij最小值為1.
(2)因為〃無)=/*+。一”-a-*)+2+加(優(yōu)-尸),
t—Q.X—aF_8,+8),
由題意得即”+M+22-1恒成立,即r+“"+320恒成立,
>Ze(-co,+oo),貝必=>一12?0,解得
所以實數(shù)加的取值范圍為卜26,2百].
題型二對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)
易錯點03:忽略對數(shù)式成立的條件而出錯
,易錯陷阱與避錯攻略
典例(24-25高三上?山西太原?期中)已知函數(shù)〃x)=log,x(a>0,awl)的圖象經(jīng)過點(2,-1),則不
等式/(x)</(2x-1)的解集為.
【答案】例
【分析】由題意建立方程,結(jié)合對數(shù)運算可得參數(shù)的值,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),建立不等式組,可得答案.
【詳解】由題意可得/'(2)=log.2=-1,則/=2,解得
由函數(shù)=l°g1x在(0,+動上單調(diào)遞減,
2
x>2x-1
則可得,x>0,解得;<x<l,
2x—1〉0
故答案為:o
【易錯剖析】
本題在求解過程中容易忽略對數(shù)式成立的條件,漏掉〈x>0,這一隱含條件而出錯.
2x—1>0
【避錯攻略】
1.對數(shù)的定義
一般地,如果a、=N(a>0,且awl),那么數(shù)x叫做以。為底N的對數(shù),記作x=log°N,其中。叫
做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).
2.常用對數(shù)與自然對數(shù)
通常我們將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),記為IgN.在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828…
為底的對數(shù),以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù),并記為InN.
3.指數(shù)與對數(shù)的互化
當a〉0,aw1時,a*=N。x=logflN.
4.對數(shù)的性質(zhì)
(1)log“1=0;⑵log“a=l;⑶零和負數(shù)沒有對數(shù).
5.對數(shù)運算性質(zhì)
如果a〉0,且awl,V>0,N>0,那么:
(1)logfl(M-N)=logflM+logflN;
M
⑵logfl—=logaM-logaN;
n
(3)logaM=nlogflM(neR).
【注意】對數(shù)的這三條運算性質(zhì),都要注意只有當式子中所有的對數(shù)都有意義時,等式才成立.
易錯提醒:基于對數(shù)式log”N,其中對應(yīng)的參數(shù)各自有其成立的條件,分別為底數(shù)。>0且aWl,真數(shù)20,
在解決對數(shù)問題時,一定要充分考慮對應(yīng)的隱含條件或限制條件,避免出現(xiàn)遺漏或多解.
舉一反三
1.(24-25高一上?廣東廣州?期中)(1)已知loggG?-7X+13)=0,求x的值;
【答案】4
【分析】根據(jù)方程可得V-7X+13=1,并結(jié)合對數(shù)的定義取舍;
【詳解】(1)因為10&一)1一7x+13)=0,可得X2-7X+13=1,解得X=4或X=3,
又因為、-2>0且x-2wl,可得x>2且"3,
綜上所述:x=4;
2.(24-25高三上?北京?階段練習(xí))若log2(x+l)W0,則實數(shù)x的取值范圍是.
【答案】-l<x<0
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性及定義域得到不等式,求出X的取值范圍.
【詳解】log2(x+l)<0^0<x+l<l,解得-1<XWO,
故實數(shù)x的取值范圍為-1<x40.
故答案為:-l<x<0
3.(24-25高三上?湖北武漢?期中)若。:log4(aT)<g,4:a2-2a-3<0,則P是4的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】解兩個不等式,分別得到1<。<3和-1<。<3,根據(jù)真包含關(guān)系,得到。是1的充分不必要條件.
【詳解】log4(a-1)<^-=>log4(a-1)<log42,故0<a-l<2,解得l<a<3,
a?—2Q-3<0,解得-1<Q<3,
因為何1<a<3}是{a|-l<a<3}的真子集,
所以。是4的充分不必要條件.
故選:A
?易錯題通關(guān)
1.(2025?廣東?模擬預(yù)測)若log2加+log/=2,則機,=()
A.3B.4C.9D.16
【答案】D
【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡給定式子求解即可.
【詳解】因為Iog2m+log4"=2,所以Iog2?7+;log2"=2,
1rD
故得log?加+log?"5=log24,化間得l°ggmn=,
\7
所以心〃5=4,故加2〃=16,故D正確.
故選:D.
2.(24-25高三上?四川成都?階段練習(xí))已知集合/=3噓2》41},2?={x|0<x<4},則()
A.{x|x<2}B.{x|x<4}
C.{x|0<x<4jD.{x|0<x<2}
【答案】C
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡集合A,即可由并集的定義求解.
【詳解】Slog2X<1,則log2X4log22,所以0<尤42,
所以/=|x|log2x<1}={x[0<x<21,A<JB={x[0<x<4}
故選:C
3.(24-25高三上?內(nèi)蒙古赤峰?期中)已知。,Z>eR,lgo+lg(2/>)=l,則4a+6的最小值為()
A.2亞B.4V2C.2V5D.475
【答案】D
【分析】由對數(shù)及運算性質(zhì)可得=5,a>0,b>Q,再由基本不等式即可求解.
【詳解】lga+lg(2fe)=l,所以lg2仍=1,且
所以2必=10,即必=5,
4a+/?>2V4^K=2V4^5=475,
I0
當且僅當4a=b且ab=5,即<2時等號成立,
b=2小
所以4a+6的最小值為4石.
故選:D.
4.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)若x,yeR,貝卜2*-2>>0”是“111(工一切>0"的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】由指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求解不等式,再由充分條件以及必要條件的定義,即可判斷.
【詳解】因為>=2*在xeR上單調(diào)遞增,
由2'-2>>0可得2*>2,',即x>>,所以x-y>0,
但無法保證故ln(x-力>0不一定成立,充分性不滿足;
由ln(x-日>0可得所以尤一定成立,故必要性滿足;
所以“2、_2>>0”是“l(fā)n(x-y)>0”的必要不充分條件.
故選:B
5.(24-25高三上?四川綿陽?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=》3忖,則不等式〃210g3%)+〃3-唾3到<0的解集是
()
AJ/27)B.(0,^C.(0,27)D.(27,+8)
【答案】B
【分析】分析可知“X)為定義在R上的奇函數(shù),且為增函數(shù),結(jié)合函數(shù)性質(zhì),對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】由題意可知:/(x)的定義域為R,且〃5)=(-可]-司=*國=一〃耳,
可知/(x)為定義在R上的奇函數(shù),
且當x20,則〃x)=x4在[0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增,
可知;'(X)在(-叫0]內(nèi)單調(diào)遞增,所以“X)在R上單調(diào)遞增,
因為7(21og3X)+〃3-k)g3X)<0,則/(21og3X)<-/(3-log3X)=/(log3X-3),
可得210g3X<log3X-3,gplog3x<-3=:log3,解得0<x<(,
所以原不等式的解集為
故選:B.
6.(24-25高三上?湖北?期中)若關(guān)于x的函數(shù)/(xhlgDog/f+G+z)]的定義域為R,則實數(shù)。的取值
范圍為()
A.(O,l)U(l,2)B.(0,l)u(l,2V2)C.(1,2)D.[1,272)
【答案】C
【分析】根據(jù)定義域為實數(shù)集,轉(zhuǎn)化為》2+依+2>0且1。8°(,+^+2)>0恒成立,
結(jié)合二次不等式恒成立求解即可.
【詳解】由題意,Q>O,QW1,且對任意XER,
+cix+2〉0,(J)
且log。(無2+辦+2)>0,②
對于①,、="-8<0,結(jié)合得ae(0,l)u(l,2?
若ae(O,l),由②知對任意xeR,—+亦+2€(0,1),矛盾;
若ae(l,20),由②知對任意xeR,—+。工+2>1,BPx2+ax+1>0,
2
JUOA2=a—4<0,得ae(1,2),
綜上,當ae(l,2)時,對任意xeR,①②同時成立.
故選:C
7.(24-25高三上?上海閔行?期中)設(shè)0<a<1,若log//+1)>loga(3x+5),則實數(shù)x的取值范圍是
【答案】-l<x<4
【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性求解即可;
【詳解】因為0<。<1,所以函數(shù)y=bg“x為減函數(shù),
2
又log“(x+l)>loga(3x+5),
x2+l>0
所以,3x+5>0,解得-1Vx<4,
x2+1<3x+5
故答案為:-l<x<4.
8.(23-24高三下?上海?階段練習(xí))方程lg(2-》)+愴(3-》)=坨12的解是.
【答案】x=-l
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則計算可得.
【詳解】由方程lg(2-x)+lg(3-x)=lgl2,可得lg[(2-x)(3-x)]=lgl2,
2-x>0
/.<3—x>0,解得x=-1.
(2-x)(3-x)=12
故答案為:'=-1
9.(24-25高三上河南?期中)已知函數(shù)〃x)=log2(e-1為奇函數(shù).
⑴求a的值;
(2)求滿足f(x)<log2(x+2)-log,x的x的取值范圍.
【答案】⑴。=4
(2)(0,1)
【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可;
(2)先求出函數(shù)/(x)的定義域,再結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】(1)因為函數(shù)/(x)為奇函數(shù),所以f(—W=一/(%),
則噫(曰-1]=-噫[號-1],
[2+x)\l-x)
(a-2-xy(a八1ra-2+x\.(2-x、
即log2-TZ-=Tt°g?9-------1=T°g2—z-------=!og—7—,
I2+xJ<2-xJI2-x)2\a-2+x)
貝!JQ=4.
(2)由(1)知,/(x)=logj-^--11=小尹。
\l-x)2-x
由言>0,解得-2<X<2,即函數(shù)〃X)的定義域為(-2,2),
2-x
/(x)<log2(X+2)-log^x,0<x<2,
0_1.y
即log?--<log?(x+2)-logQX,
2.—x
即log2(x+2)-log2(2-x)<log2(x+2)-log&x,
即log2(2-x)>log^x=log2尤②,
貝!J2-X>X2,解得一2<x<l,
又0<x<2,貝
即x的取值范圍為(0,1).
易錯點04:判斷對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性忽略定義域
,易錯陷阱與避錯攻略
典例(24-25高三上?遼寧大連?期中)函數(shù)〃%)=1限卜2-4)的單調(diào)遞增區(qū)間為()
A.(0,+oo)-oo,0)C.(2,+co)D.(-oo,-2)
【答案】C
【分析】首先求出函數(shù)的定義域,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計算可得.
【詳解】函數(shù)〃x)=log3(/-4),令/一4>0,即(無一2)(尤+2)>0,解得尤>2或x<-2,
所以/(x)的定義域為(-e,-2)。(2,+巧,
又)=logsx在定義域上單調(diào)遞增,了=/-4在(2,+⑹上單調(diào)遞增,在(-叫-2)上單調(diào)遞減,
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+C0).
故選:C
【易錯剖析】
本題求解時容易錯解中忽視了函數(shù)的的定義域,因為單調(diào)區(qū)間是定義域的子集,在解函
數(shù)問題時,一定要樹立“定義域優(yōu)先”的意識.
【避錯攻略】
1.復(fù)合型函數(shù)單調(diào)性規(guī)律
若函數(shù)y=/(M)在Z內(nèi)單調(diào),M=g(x)在5內(nèi)單調(diào),且集合{瓦/M=g(x),xeB}NZ.
(1)若y=/(M)是增函數(shù),M=g(x)是增(減)函數(shù),則y=/[g(x)]是增(減)函數(shù)
(2)若y=/(M)是減函數(shù),M=g(x)是增(減)函數(shù),則y=/[g(x)]是減(增)函數(shù)
2.復(fù)合型函數(shù)單調(diào)性判斷步驟
第一步:求函數(shù)的定義域
第二步:令內(nèi)函數(shù)為瓦=g(x),畫出其圖像,從而確定其函數(shù)的單調(diào)性
第三步:畫出外函數(shù)y=/(M)的圖象并確定其單調(diào)性
第四步:利用結(jié)論同增異減判斷.
易錯提醒:在處理對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時,一定要注意兩個易錯點:(1)注意分析對數(shù)底數(shù)對單調(diào)
性的影響;(2)樹立定義域優(yōu)先的思想.
舉一反三
1.(24-25高三上?寧夏石嘴山?階段練習(xí))函數(shù)/(x)=lnx+ln(2-x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()
A.(0,1)B.(1,2)C.(-8,1)D.(l,+°o)
【答案】A
【分析】根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
Ix>0
【詳解】函數(shù)〃x)=hu+ln(2-x),因為解得0<x<2.
[2—x>0
所以函數(shù)/(x)=lnx+ln(2-x)的定義域為(0,2),且/(刈=皿*+2x),(xe(0,2)).
因為函數(shù)f=f2+2x(xe(0,2))在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,
在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,函數(shù)y=lm單調(diào)遞增,
所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)〃x)=hu+ln(2-x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,
在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,
故選:A
2.(24-25高三上?山東德州?期中)已知關(guān)于》的函數(shù)^=1°81(/+^+°-1)在[-3,-2]上單調(diào)遞增,則實數(shù)
2
。的取值范圍是()
A.a<4B.a<4
C.a<3D.a<3
【答案】D
【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的定義域,知道內(nèi)函數(shù)在區(qū)間[-3,-2]上單調(diào)遞減且函數(shù)值
一定為正,建立不等式組,求得。的取值范圍.
【詳解1-^t=x2+ax+a-l>
貝"=logj,「oKvl,2在(0,+功上單調(diào)遞減,
22
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,,在[-3,-2]單調(diào)遞減,
一建一2(a<4
2,則,
(-2)-+(-2)a+a-l>0
???Q<3
故選:D
3.(24-25高三上?江蘇泰州?期中)函數(shù)/'(x)=ln(/一品+12)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【答案】(6,+“)
【分析】先求得函數(shù)的定義域,然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減來求得單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】由X2-8X+12=(X-2
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