專題04指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及塞函數(shù)

目錄

題型一：指數(shù)運算及指數(shù)函數(shù)

易錯點01對根式性質(zhì)理解不到位出錯

易錯點02忽略底數(shù)對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的影響

題型二對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)

易錯點03忽視對數(shù)式成立的條件而出錯

易錯點04判斷對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性忽略定義域

易錯點05利用換元法求值域遺忘范圍

題型三幕函數(shù)

易錯點05錯判基函數(shù)的性質(zhì)

題型一：指數(shù)運算及指數(shù)函數(shù)

易錯點01：對根式性質(zhì)理解不到位出錯

，易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三?全國?專題）下列說法正確的個數(shù)是（）

①49的平方根為7；②（蚯）3=。；③77=。；④y（_3『=（-3）\

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)根式的運算，逐一判斷即可.

【詳解】49的平方根是±7,故①錯誤；

3（1V

（五）==a,故②正確；

\7

V7=|?|,故③錯誤；

^<=3^故④錯誤.

故選:A.

【易錯剖析】

本題容易混淆根式的性質(zhì)和分數(shù)指數(shù)幕的運算律而認為府=a，祖才=（-3?成立而誤選C.

【避錯攻略】

1.根式的概念

一般地，如果xn=a，那么x叫做。的〃次方根，其中〃〉1,且〃eN*.

（1）當〃是奇數(shù)時，正數(shù)的〃次方根是一個正數(shù),負數(shù)的〃次方根是一個負數(shù),這時,。的〃次方根用符號標

表示.

（2）當〃是偶數(shù)時，正數(shù)。的〃次方根有兩個，記為土標，負數(shù)沒有偶次方根.

（3）0的任何次方根都是0,記作^0=0.

式子4a叫做根式，其中〃（及>1,且〃eN*）叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù).

2.根式的性質(zhì)

根據(jù)〃次方根的意義，可以得到：

1—I——/—

（1）（標）"=Q.（2）當〃是奇數(shù)時，療=Q；當〃是偶數(shù)時，寸優(yōu)=\a\=\八

[-a.a<0

3.分數(shù)指數(shù)幕的意義

絲/——

正分數(shù)指數(shù)累規(guī)定Q〃="a"（Q〉0,加,〃￡N*，且〃〉1）

分數(shù)指數(shù)幕規(guī)定。〃=F（a〉°，加，〃eN*,且

負分數(shù)指數(shù)幕

an

0的分數(shù)指數(shù)幕0的正分數(shù)指數(shù)早等于0,0的負分數(shù)指數(shù)累沒有意義

易錯提醒：（1）處理根式問題一定要注意分析根指數(shù)的奇偶性，因為根指數(shù)奇偶性的不同，被開方數(shù)的取值

范圍不同，如（布）"中當〃為奇數(shù)時,aeR；〃為偶數(shù)時,a20,另外根式的化簡結(jié)果也不同；

m

—Z2

（2）分數(shù)指數(shù)塞。〃中的一不能隨便約分，要注意底數(shù)取值范圍的改變.

m

舉一反三

1.（2024?河南?三模）若“20/eR,則化簡2幅？+（&>+后的結(jié)果是（）

A.3+Q+bB.3+a+同

C.2+a+bD.2+a+\b\

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)運算法則和對數(shù)運算法則化簡求值即可.

【詳解】由*”=3,（正『="，"=間可知，

2蜒23+（&>+正=3+.+同.

故選：B

2.（2025高一?全國?課后作業(yè)）［（3—無）'（"eN,〃N2）=（）

A.3—兀B.71—3

C.|3-兀|D.當“為奇數(shù)時，3-兀；當〃為偶數(shù)時，71-3

【答案】D

【分析】當〃為奇數(shù)時，43H=3-兀;當“為偶數(shù)時，叱3-兀）"=|3-兀即可求解.

【詳解】當“為奇數(shù)時，《（3-兀）"=3F

當”為偶數(shù)時，必（3-兀）"=|3-司=n-3.

故選：D

3.（24-25高一上?黑龍江大慶?期中）下列根式與分數(shù)指數(shù)基的互化正確的是（）

1

【答案】c

【分析】根據(jù)分式與指數(shù)累的互化逐項判斷可得答案.

11___

【詳解】對于A選項：一五=一戶（工20），（_幻5=口（工00），故A錯誤;

對于B選項：57=_戶3<0）,故B錯誤；

對于C選項：龍3故c正確;

r-_______o13i1

對于D選項：當無<0時，W（f）27=㈠產(chǎn)w=㈠尸,而當x<0時，/=石沒有意義，故D錯誤.

故選：C

?易錯題通關(guān)

1.（23-24高一上?北京延慶?期末）0（一2）4的值為（）

A.±2B.±4C.2D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)根式的運算求得正確答案.

【詳解】=H=2.

故選：C

1

2.（23-24高三上?山東濰坊?期中）將療寫成分數(shù)指數(shù)幕的形式為（）

7a

4477

A.小B.a7C./D./

【答案】B

【分析】根據(jù)根式與指數(shù)塞的互化即可求解.

1

【詳解】將彳寫成分數(shù)指數(shù)幕的形式為q；4.

故選：B.

3.（23-24高一上?廣東佛山?階段練習(xí)）下列運算結(jié)果中正確的是（）

A.a3-a4=a12B.a2j=a6

C.V7=aD.行心-兀

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)指數(shù)累、根式的運算法則計算可得答案.

【詳解】對于A選項，/./=/+4=",故A錯誤；

對于B選項，（-a2）3=-a6,故B錯誤；

對于C選項，當時，#3=。，當時，迎=-a，故C錯誤；

對于D選項，而丁=-兀，故D正確.

故選：D.

4.（23-24高三上?廣東中山?階段練習(xí)）設(shè)。>0,將；7七表示成指數(shù)累的形式，其結(jié)果是（

1573

A*a2B.mC,白%D.〃2

【答案】C

【分析】結(jié)合根式與分數(shù)指數(shù)幕的互化，根據(jù)指數(shù)運算法則化簡即可求解.

222c57

ClClCl2-T—

所以_5__________—仁—_________—ZJO-Z7O

【詳解】因為“>o,

\7

故選：C

5.（24-25高三上?江蘇鹽城?開學(xué)考試）（多選）下列選項中正確的有（）

A.4a"=aB.若aeR,貝-a+l）°=1

C+y3=x^+yD.為=折^

【答案】BD

【分析】結(jié)合指數(shù)運算法則及其性質(zhì)逐項判斷即可得.

【詳解】對A：當”為偶數(shù)時，叱=同，故叱=.不一定成立，故A錯誤;

MB：a2-a+l=^a+^+|^0,故-a+l）。=1,故B正確；

對C：顯然不成立，如當x=y=l時，左邊為蚯，右邊為2,故C錯誤;

對D：療=5；=痣，故D正確.

故選：BD.

6.（24-25高三上?寧夏銀川?階段練習(xí)）（多選）下列運算正確的是（）

A.昭=&B.（/丫=/

C.log43=21og23D.Ig5-e-lg2=log25

【答案】BD

【分析】運用根式性質(zhì)，指數(shù)塞性質(zhì)和對數(shù)性質(zhì)化簡計算即可.

【詳解】療=加，故A錯誤.

指數(shù)塞性質(zhì)，知道（/）'=/,B正確；

對數(shù)運算性質(zhì)，知道Iog43=glog23,C錯誤；

換底公式逆用，知道坨5+炮2=108252正確.

故選：BD.

7.（24-25高三上?海南海口?階段練習(xí)）（多選）若代數(shù)式K萬+萬工有意義，則

6-2尤+1+#（無-2）4=.

【答案】1

【分析】由二次根式有意義得到x的取值范圍，化簡所求代數(shù)值，由x的取值范圍去掉絕對值符號即可得到

解.

[x-l>0

【詳解】由題意可知：、.-.l<x<2

[2-x>0

???yjx2-2x+l+W（x-2）4=不（x-l）2+N（x-2）4=|x-l|+|x-2|=x-l+2-x=l

故答案為：1

8.（2023高三?全國?專題練習(xí)）（多選）/一2）7（-3），的值為.

【答案】1

【分析】利用根式的性質(zhì)進行化簡求值即可.

【詳解】^7+^<=-VF+VF=-2+3=l.

故答案為：1.

易錯點02：忽略底數(shù)對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的影響

易錯陷阱與避錯攻略

Q

典例（2024?四川攀枝花?模擬預(yù)測）己知奇函數(shù)/@）=優(yōu)+從鼠'（4>0,。21）在卜1,1]上的最大值為3，則

a=（）

A.1■或3B.g或2C.3D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)奇偶性求得b,分類討論函數(shù)的單調(diào)性得出最大值，根據(jù)已知條件列方程求解即可.

【詳解】因為/（x）是奇函數(shù),所以f（r）=-f（x）,所以〃r）+〃x）=0.

BPa~x+b-ax+ax+b-a~x=0?則(6+1)(優(yōu)+a')=0,解得6=-1,

經(jīng)檢驗6=-l符合題意，所以/（%）=/-。一）

當Q>1時，

a

則函數(shù)>在［-1,1］上單調(diào)遞增，y=a-XjL\在［-1,1］上單調(diào)遞減,

所以/（X）=優(yōu)-“r在［-1,1］上單調(diào)遞增,

Q

所以，/a）max=/Xi）=q—qT=§，整理得3/—8〃—3=0，

解得Q=3或。=-g（舍去），所以4=3；

當0<4<1時，—>1,

a

貝IJ函數(shù)》二優(yōu)在［-1,1］上單調(diào)遞減，y=尸=在［-1,1］上單調(diào)遞增,

所以/（%）=優(yōu)-在［-1J］上單調(diào)遞減，

Q

所以，/Mmax=/（-!）=?-'-a=|，整理得3/+8”3=0,

解得或。=-3（舍去），所以a=g,

綜上，°或3.

故選：A.

【易錯剖析】

本題求解時容易忽略底數(shù)對指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響沒有對a進行討論而漏解.

【避錯攻略】

1指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=a工伍〉0,且awl）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，底數(shù)a是一個大于0且不等

于1的常量，定義域是A.

【注意】學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的定義，注意一下幾點

（1）定義域為：R

（2）規(guī)定a>0,且awl是因為：

①若a=l,則y=優(yōu)三1（恒等于1）沒有研究價值；

②若a=0,則x>0時，y=ax=0（恒等于0）,而當xWO時，優(yōu)無意義；

③若a＜0,則口：中加為偶數(shù)，"為奇數(shù)時，口2無意義.

④只有當0＜。＜1或。＞1時，即。＞0,且awl,x可以是任意實數(shù).

2底數(shù)對指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)的影響

(1)底數(shù)。與1的大小關(guān)系決定了指數(shù)函數(shù)歹=優(yōu)(。〉0且awl)圖象的“升”與“降”.

①當。＞1時，指數(shù)函數(shù)的圖象是“上升”的，且當x＞0時，底數(shù)。的值越大，函數(shù)的圖象越

“陡”，說明其函數(shù)值增長的越快.

②當0＜。＜1時，指數(shù)函數(shù)的圖象是“下降”的，且當x＜0時，底數(shù)a的值越小，函數(shù)的圖象越

“陡”，說明其函數(shù)值減小的越快.

(2)底數(shù)。的大小決定了圖象相對位置的高低：不論是。＞1還是0＜。＜1,底數(shù)越大，在第一象

限內(nèi)的函數(shù)圖象越“靠上”.

在同一平面直角坐標系中，底數(shù)a的大小決定了圖象相對位置的高低；

在歹軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即“底數(shù)大圖象高”；

在y軸左側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由小變大，即“底數(shù)大圖象低”；

易錯提醒：I當指數(shù)函數(shù)的底數(shù)含有參數(shù)時，若應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，一定要討論底數(shù)與1的大小關(guān)系.

舉一反三

1.(23-24高一上?湖南株洲'I?期末)若函數(shù)/(x)=a*(a＞0且OR1)在［0,1］上的最小值與最大值的和為3,則

函數(shù)y=2ax-1在［0,1］上的最大值是.

【答案】3

【分析】對指數(shù)函數(shù)的底數(shù)進行分情況討論求出。值，代入所求函數(shù)，判斷單調(diào)性即得其最大值.

【詳解】當。＞1時，/(x)=a*在［0,1］上為增函數(shù)，

則f(x)wx+〃x)1m.=/(1)+/(0)=。+1=3,解得a=2；

當Ova＜1時，〃x)=a”在［0,1］上為減函數(shù)，

則/(x)max+/(x)mm=/(0)+〃l)=l+a=3,解得。=2(舍去)；

于是函數(shù)y=2"-l=4x-l,顯然在［0,1］上為增函數(shù)，

故當xe［0,l］時，ymax=4x1-1=3.

故答案為：3.

2.已知函數(shù)=a標(a＞0且awl)在區(qū)間［2,3］上單調(diào)遞增，則。的取值范圍為()

B.(1,+8)

1j_

D.

352

【答案】c

【詳解】由。>0且QW1,得v=為單調(diào)遞減函數(shù),

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則得。￡（0,1）,

又[[1心-3?細>0解得<（。,1斗1

故選：C.

3.函數(shù)了=3-優(yōu)一/在區(qū)間曰,2]上的最小值是_3,貝ija的值是.

【答案】/或g

【詳解】令優(yōu)=/,則了=-產(chǎn)—+3=-1+￡|+?,其對稱軸為/=-；,

當時,因為xe[T,2],所以,4區(qū)/,

a

所以函數(shù)了=-~+3=-1+；；+7在:/上單調(diào)遞減,

所以當/=/時，>*=一/一/+3=-3,解得0=

當0<a<l時，因為xe[-l,2],所以"wL

所以函數(shù)了=-/27+3=-卜+￡|在a：上單調(diào)遞減,

所以當f時，加.=一二二+3=-3,解得

aaa2

綜上，所以Q=0或。=；.

故答案為：V2或y

叁易錯題通關(guān)

1.函數(shù)y=a"-2(a>0S.a1,-1<x<1)的值域是[一|,1],則實數(shù)。=()

A.3B.C.3或gD.g或g

【答案】C

【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別對0<a<1和a>1的情況討論單調(diào)性并求值域，從而列方程組即可得到

答案.

【詳解】函數(shù)y=aX-2（a>OJLa^1,-1<%<1）的值域為

又由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，

當0<a<l時，函數(shù)y=a*-2在［-1,1］上單調(diào)遞減，值域是［a-2,。一］一2］

（0<a<1p<a<l

所以有卜1_2=一|,即.a=g,解得a=,；

（a-i-2=1、a-1=3

當a>l時，函數(shù)y=ax-2在［—1,1］上單調(diào)遞增，值域是［a-1—2,a—2］

fa>1Ca>1

所以有IL—2=一［即］a-1=|,解得a=3.

（a1—2=1Ia=3

綜上所述，@=々或。=3.

故選：C.

rQ”xw］

2.（23-24高三上?北京海淀?階段練習(xí)）已知a>0且”1,函數(shù)/（x）='一，，若函數(shù)“X）在區(qū)間

［-x+a,x>l

［0,2］上的最大值比最小值大g,則a的值為（）

12717

A.一或2B.—或2C.2或—D.一或一

23222

【答案】D

【分析】按照。與1的大小進行分類討論，求出函數(shù)〃X）在［0,2］上的最值，從而可得。的值.

【詳解】①當0<a<1時，函數(shù)〃x）在［0』上是減函數(shù)，在（1,2］上也是減函數(shù).

...〃0）=/=l>-l+a,...函數(shù)的最大值為"0）=1,而/⑵=-2+°<°=/⑴，.?.函數(shù)〃x）的最小值為

/（2）=-2+?,

.---2+a+|=l,解得a=ge（O,l）,符合題意.

②當”>1時，函數(shù)〃x）在［05上是增函數(shù),在0,2］上是減函數(shù).

=Q>—1+Q,

???函數(shù)/(X)的最大值為〃1)=0,而*2)=-2+*/⑼=。°=1,

當ae(l,3)時，一2+。<1,止匕時函數(shù)〃x)的最小值為/■(2)=-2+。，因止匕有一2+a+g=。，無解；

當a?3,+co)時，-2+。卻，此時函數(shù)的最小值為"0)=1,因此有1+：S=。，解得。=5743,+8),

符合題意.

綜上所述，實數(shù)。的值為1;或:7.

22

故選：D

((a-2)x+4o+l,x<2

3.(23-24高三上?安徽六安?階段練習(xí))己知函數(shù)/'(》)=；-(a>0且awl),若存在

最小值，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,1B,舊_

C.mJD.1o撲(1,2)

【答案】A

【分析】通過對參數(shù)。分類討論，研究〃x)在(--2］和(2,+8)的單調(diào)性，再結(jié)合已知條件，即可求解.

【詳解】由題意，不妨令g(x)=(a-2)x+4a+l,XG(^?,2］；h(x)=2尸,xe(2,+oo),

①當0<a<1時，g(x)=(a-2)x+4a+1在(—co,2］上單調(diào)遞減，

A(x)=2al在(2,+s)上單調(diào)遞減，易知力(無)=2/T在(2,+s)上的值域為(0,2a),

又因為/(x)存在最小值，只需g(2)=(a-2)x2+4a+lV0,解得，a<1,

又由0<a<l,從而0<aV；；

②當1<a<2時，g(x)=(a—2)x+4a+1在(-8,2］上單調(diào)遞減，h(x)=2al在(2,+8)上單調(diào)遞增，

又因為/(X)存在最小值，故g(2)<7/(2),

3

即(a-2)x2+4a+142a,解得，a<—,這與1<。<2矛盾；

4

…［9,x<2

③當。=2時，/(*)=2：尤>2'易知"X)的值域為(4,+0，顯然〃x)無最小值；

④當。>2時，g(x)n(a-2)x+4a+l在(F,2］上單調(diào)遞增,/x)=在(2,+co)上單調(diào)遞增，從而〃x)無

最小值.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍為［o,；.

故選：A.

5.（23-24高一上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)/（司=優(yōu)在［-1川上的最大值與最小值之差為2,則

實數(shù)。的值為（）

.3—2-\/2?/-?2-$/2+3?/—

A.------B.J2-1C.-----------D.J2+1

22

【答案】BD

【分析】分0＜。＜1和〃〉1兩種情況，根據(jù)題意列方程求解即可.

【詳解】當0＜〃＜1時，y（x）=0'單調(diào)遞減，

所以，a-l-a=2,即工-。=2,解得.=也一1（負根已舍棄）；

a

當0＞1時，/（%）=優(yōu)單調(diào)遞增，

所以，a-al=2,即。-1=2,解得.=&+1（不符合條件的根己舍棄）.

a

綜上，實數(shù)。的值為亞-1或血+1.

故選：BD

6.（2024高三,全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/0）=優(yōu)（。＞0且。大1）在區(qū)間［-2,4］上的最大值是16,求實數(shù)

。的值；

【答案】；或2.

【詳解】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分類求解即得.

【分析】當0＜。＜1時，函數(shù)/（X）在［-2,4］上單調(diào)遞減，1Mx=〃-2）=32=16,因此。=；；

當。＞1時，函數(shù)“X）在［-2,4］上單調(diào)遞增，/⑴111ax=”4）=/=16,因此a=2,

所以實數(shù)。的值為:或2.

7.（2024高三下?全國?專題練習(xí)）函數(shù)/（x）=/*+優(yōu)+1（a＞0,且aw1）在［T』上的最大值為13,求實

數(shù)a的值.

【答案】3或;

【分析】令"=入討論。＞1或0＜a＜l,求出/的取值范圍，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】???〃x）=++a，+l

令a'=t,貝ll，〉0,

i3i

貝Uy=『+/+1=?+/)2+彳，其對稱軸為/=一,.

該二次函數(shù)在［-g,+°°)上是增函數(shù).

①若。＞1,由得/=a*e-,a,

_a

故當,=4,即X=1時，

Xnax=/+4+1=13,解得Q=3(Q=-4舍去).

②若0＜。＜1,由可得,=優(yōu)￡a,—

a_

故當，=4，即工=-1時，

a

?,?°=/或一;(舍去).

綜上可得。=3或g.

8.(21-22高一上?河北?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=1"X(_1a＞0且。片1).

(1)若了(2)=；,求〃一2)的值；

(2)若/(x)在上的最大值為g,求。的值.

【答案】(1)-,;

⑵;或3.

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷/(x)是奇函數(shù)，再由-2)=-/(2)即可求解;

(2)討論0＜a＜l和。＞1時，函數(shù)/(x)在11川上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最值列方程，解方程可得。

的值.

【詳解】(1)因為/'(x)的定義域為R關(guān)于原點對稱,

屋一1

=-〃x),

優(yōu)+1

所以“X)為奇函數(shù)，故/(-2)=-〃2)=-g.

2

若則歹=優(yōu)+1單調(diào)遞減，歹=—二單調(diào)遞增，

a+\

2

可得/(x)=l--為減函數(shù)，

71

當xe[T,l]時，/?ax=/(-l)=l--z?7T=-!

解得：。=；，符合題意；

2

若〃〉1,則歹=優(yōu)+1單調(diào)遞增，歹=丁7單調(diào)遞減，

a+1

2

可得/(x)=l--為增函數(shù)，

71

當xe[T,l]時，/(x)max=/(l)=l--=-

解得：＜7=3,符合題意，

綜上所述：。的值為;或3.

9.(23-24高三上?甘肅蘭州?階段練習(xí))已知函數(shù)P+。-2*+加(優(yōu)_「)僅＞0且“片1).

⑴若沉=2,求函數(shù)/(x)的最小值；

(2)若〃x)2-1恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

【答案】⑴1

(2)[-273,273]

【分析】(1)換元令:優(yōu)-尸武-吟+⑹，可得了=產(chǎn)+2f+2=?+l)2+l,結(jié)合二次函數(shù)即可得最小值;

(2)換元令:優(yōu)-「武-叫+⑹，可得/+皿+320恒成立，結(jié)合AVO運算求解.

【詳解】(1)若旭=2,貝1」/(%)=/工+.3+2(/-3，)=(優(yōu)一院")+2+2(優(yōu)-qf),

令ax—ax=t，

故原式化為y=/+2f+2=(/+1)+1,

若a＞l時，可知j==-/*在R上單調(diào)遞增，

可知"優(yōu)-a-，在R上單調(diào)遞增，可知左(-8,+8)；

若0＜。＜1時，可知y=優(yōu))=-a-”在R上單調(diào)遞減,

可知f=優(yōu)-在R上單調(diào)遞減，可知(-00,+00);

xx

綜上所述：t=a-a~6(-00,+00),

可知當t=T時，y=?+1)2+l?e(-8,+oo))取至Ij最小值為1.

(2)因為〃無)=/*+。一”-a-*)+2+加(優(yōu)-尸)，

t—Q.X—aF_8,+8),

由題意得即”+M+22-1恒成立，即r+“"+320恒成立，

>Ze(-co,+oo),貝必=>一12?0,解得

所以實數(shù)加的取值范圍為卜26,2百］.

題型二對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)

易錯點03：忽略對數(shù)式成立的條件而出錯

,易錯陷阱與避錯攻略

典例(24-25高三上?山西太原?期中)已知函數(shù)〃x)=log,x(a>0,awl)的圖象經(jīng)過點(2,-1),則不

等式/(x)</(2x-1)的解集為.

【答案】例

【分析】由題意建立方程，結(jié)合對數(shù)運算可得參數(shù)的值，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，建立不等式組，可得答案.

【詳解】由題意可得/'(2)=log.2=-1,則/=2,解得

由函數(shù)=l°g1x在(0,+動上單調(diào)遞減，

2

x>2x-1

則可得，x>0,解得;<x<l,

2x—1〉0

故答案為：o

【易錯剖析】

本題在求解過程中容易忽略對數(shù)式成立的條件，漏掉〈x>0,這一隱含條件而出錯.

2x—1>0

【避錯攻略】

1.對數(shù)的定義

一般地，如果a、=N（a>0,且awl）,那么數(shù)x叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=log°N,其中。叫

做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

2.常用對數(shù)與自然對數(shù)

通常我們將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記為IgN.在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828…

為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并記為InN.

3.指數(shù)與對數(shù)的互化

當a〉0,aw1時，a*=N。x=logflN.

4.對數(shù)的性質(zhì)

（1）log“1=0；⑵log“a=l；⑶零和負數(shù)沒有對數(shù).

5.對數(shù)運算性質(zhì)

如果a〉0,且awl,V>0,N>0,那么：

（1）logfl（M-N）=logflM+logflN；

M

⑵logfl—=logaM-logaN；

n

（3）logaM=nlogflM（neR）.

【注意】對數(shù)的這三條運算性質(zhì)，都要注意只有當式子中所有的對數(shù)都有意義時，等式才成立.

易錯提醒：基于對數(shù)式log”N,其中對應(yīng)的參數(shù)各自有其成立的條件，分別為底數(shù)。>0且aWl,真數(shù)20,

在解決對數(shù)問題時，一定要充分考慮對應(yīng)的隱含條件或限制條件，避免出現(xiàn)遺漏或多解.

舉一反三

1.（24-25高一上?廣東廣州?期中）（1）已知loggG?-7X+13）=0,求x的值；

【答案】4

【分析】根據(jù)方程可得V-7X+13=1,并結(jié)合對數(shù)的定義取舍；

【詳解】（1）因為10&一）1一7x+13）=0,可得X2-7X+13=1,解得X=4或X=3,

又因為、-2>0且x-2wl,可得x>2且"3,

綜上所述：x=4；

2.（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）若log2（x+l）W0,則實數(shù)x的取值范圍是.

【答案】-l<x<0

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性及定義域得到不等式，求出X的取值范圍.

【詳解】log2(x+l)<0^0<x+l<l,解得-1<XWO,

故實數(shù)x的取值范圍為-1<x40.

故答案為：-l<x<0

3.(24-25高三上?湖北武漢?期中)若。：log4(aT)<g,4：a2-2a-3<0,則P是4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】解兩個不等式，分別得到1<。<3和-1<。<3,根據(jù)真包含關(guān)系，得到。是1的充分不必要條件.

【詳解】log4(a-1)<^-=>log4(a-1)<log42,故0<a-l<2,解得l<a<3,

a?—2Q-3<0,解得-1<Q<3,

因為何1<a<3}是{a|-l<a<3}的真子集，

所以。是4的充分不必要條件.

故選：A

?易錯題通關(guān)

1.(2025?廣東?模擬預(yù)測)若log2加+log/=2,則機,=()

A.3B.4C.9D.16

【答案】D

【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡給定式子求解即可.

【詳解】因為Iog2m+log4"=2,所以Iog2?7+；log2"=2,

1rD

故得log?加+log?"5=log24，化間得l°ggmn=,

\7

所以心〃5=4，故加2〃=16,故D正確.

故選：D.

2.(24-25高三上?四川成都?階段練習(xí))已知集合/=3噓2》41},2?={x|0<x<4},則()

A.{x|x<2}B.{x|x<4}

C.{x|0<x<4jD.{x|0<x<2}

【答案】C

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡集合A,即可由并集的定義求解.

【詳解】Slog2X<1,則log2X4log22,所以0<尤42,

所以/=|x|log2x<1}={x[0<x<21,A<JB={x[0<x<4}

故選：C

3.（24-25高三上?內(nèi)蒙古赤峰?期中）已知。，Z>eR,lgo+lg（2/>）=l,則4a+6的最小值為（）

A.2亞B.4V2C.2V5D.475

【答案】D

【分析】由對數(shù)及運算性質(zhì)可得=5,a>0,b>Q,再由基本不等式即可求解.

【詳解】lga+lg（2fe）=l,所以lg2仍=1,且

所以2必=10,即必=5,

4a+/?>2V4^K=2V4^5=475,

I0

當且僅當4a=b且ab=5,即<2時等號成立，

b=2小

所以4a+6的最小值為4石.

故選：D.

4.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）若x,yeR,貝卜2*-2>>0”是“111（工一切>0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求解不等式，再由充分條件以及必要條件的定義，即可判斷.

【詳解】因為>=2*在xeR上單調(diào)遞增，

由2'-2>>0可得2*>2，'，即x>>,所以x-y>0,

但無法保證故ln(x-力>0不一定成立，充分性不滿足;

由ln(x-日>0可得所以尤一定成立，故必要性滿足；

所以“2、_2>>0”是“l(fā)n(x-y)>0”的必要不充分條件.

故選：B

5.(24-25高三上?四川綿陽?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=》3忖,則不等式〃210g3%)+〃3-唾3到<0的解集是

()

AJ/27)B.(0,^C.(0,27)D.(27,+8)

【答案】B

【分析】分析可知“X)為定義在R上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】由題意可知：/(x)的定義域為R,且〃5)=(-可］-司=*國=一〃耳，

可知/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，

且當x20,則〃x)=x4在［0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

可知;'(X)在(-叫0］內(nèi)單調(diào)遞增，所以“X)在R上單調(diào)遞增，

因為7(21og3X)+〃3-k)g3X)<0,則/(21og3X)<-/(3-log3X)=/(log3X-3),

可得210g3X<log3X-3,gplog3x<-3=：log3,解得0<x<(，

所以原不等式的解集為

故選：B.

6.(24-25高三上?湖北?期中)若關(guān)于x的函數(shù)/(xhlgDog/f+G+z)］的定義域為R,則實數(shù)。的取值

范圍為()

A.(O,l)U(l,2)B.(0,l)u(l,2V2)C.(1,2)D.［1,272)

【答案】C

【分析】根據(jù)定義域為實數(shù)集，轉(zhuǎn)化為》2+依+2>0且1。8°(，+^+2)>0恒成立，

結(jié)合二次不等式恒成立求解即可.

【詳解】由題意，Q>O,QW1,且對任意XER,

+cix+2〉0,(J)

且log。（無2+辦+2）>0,②

對于①，、="-8<0,結(jié)合得ae（0,l）u（l,2?

若ae（O,l）,由②知對任意xeR,—+亦+2€（0,1）,矛盾；

若ae（l,20）,由②知對任意xeR,—+。工+2>1,BPx2+ax+1>0,

2

JUOA2=a—4<0,得ae（1,2）,

綜上，當ae(l,2)時，對任意xeR,①②同時成立.

故選：C

7.(24-25高三上?上海閔行?期中)設(shè)0<a<1,若log//+1)>loga(3x+5),則實數(shù)x的取值范圍是

【答案】-l<x<4

【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性求解即可；

【詳解】因為0<。<1,所以函數(shù)y=bg“x為減函數(shù)，

2

又log“(x+l)>loga(3x+5),

x2+l>0

所以,3x+5>0,解得-1Vx<4,

x2+1<3x+5

故答案為：-l<x<4.

8.(23-24高三下?上海?階段練習(xí))方程lg(2-》)+愴(3-》)=坨12的解是.

【答案】x=-l

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則計算可得.

【詳解】由方程lg(2-x)+lg(3-x)=lgl2,可得lg[(2-x)(3-x)]=lgl2,

2-x>0

/.<3—x>0,解得x=-1.

（2-x）（3-x）=12

故答案為：'=-1

9.(24-25高三上河南?期中)已知函數(shù)〃x)=log2(e-1為奇函數(shù).

⑴求a的值;

(2)求滿足f(x)<log2(x+2)-log,x的x的取值范圍.

【答案】⑴。=4

(2)(0,1)

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

(2)先求出函數(shù)/(x)的定義域，再結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)因為函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，所以f(—W=一/(%)，

則噫(曰-1]=-噫[號-1]，

[2+x)\l-x)

(a-2-xy(a八1ra-2+x\.(2-x、

即log2-TZ-=Tt°g?9-------1=T°g2—z-------=!og—7—，

I2+xJ<2-xJI2-x)2\a-2+x)

貝!JQ=4.

(2)由(1)知，/(x)=logj-^--11=小尹。

\l-x)2-x

由言>0,解得-2<X<2,即函數(shù)〃X)的定義域為(-2,2),

2-x

/(x)<log2(X+2)-log^x,0<x<2,

0_1.y

即log?--<log?(x+2)-logQX,

2.—x

即log2(x+2)-log2(2-x)<log2(x+2)-log&x,

即log2(2-x)>log^x=log2尤②，

貝!J2-X>X2,解得一2<x<l,

又0<x<2,貝

即x的取值范圍為(0,1).

易錯點04：判斷對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性忽略定義域

,易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?遼寧大連?期中）函數(shù)〃%）=1限卜2-4）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.(0,+oo)-oo,0)C.(2,+co)D.(-oo,-2)

【答案】C

【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計算可得.

【詳解】函數(shù)〃x)=log3(/-4),令/一4>0,即(無一2)(尤+2)>0,解得尤>2或x<-2,

所以/(x)的定義域為(-e，-2)。(2,+巧,

又)=logsx在定義域上單調(diào)遞增，了=/-4在(2,+⑹上單調(diào)遞增，在(-叫-2)上單調(diào)遞減,

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+C0).

故選：C

【易錯剖析】

本題求解時容易錯解中忽視了函數(shù)的的定義域，因為單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，在解函

數(shù)問題時，一定要樹立“定義域優(yōu)先”的意識.

【避錯攻略】

1.復(fù)合型函數(shù)單調(diào)性規(guī)律

若函數(shù)y=/(M)在Z內(nèi)單調(diào)，M=g(x)在5內(nèi)單調(diào)，且集合{瓦/M=g(x),xeB}NZ.

(1)若y=/(M)是增函數(shù)，M=g(x)是增(減)函數(shù)，則y=/[g(x)]是增(減)函數(shù)

(2)若y=/(M)是減函數(shù)，M=g(x)是增(減)函數(shù)，則y=/[g(x)]是減(增)函數(shù)

2.復(fù)合型函數(shù)單調(diào)性判斷步驟

第一步：求函數(shù)的定義域

第二步：令內(nèi)函數(shù)為瓦=g(x),畫出其圖像，從而確定其函數(shù)的單調(diào)性

第三步：畫出外函數(shù)y=/(M)的圖象并確定其單調(diào)性

第四步：利用結(jié)論同增異減判斷.

易錯提醒：在處理對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時，一定要注意兩個易錯點：(1)注意分析對數(shù)底數(shù)對單調(diào)

性的影響；(2)樹立定義域優(yōu)先的思想.

舉一反三

1.(24-25高三上?寧夏石嘴山?階段練習(xí))函數(shù)/(x)=lnx+ln(2-x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(-8,1)D.(l,+°o)

【答案】A

【分析】根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

Ix>0

【詳解】函數(shù)〃x)=hu+ln(2-x),因為解得0<x<2.

［2—x>0

所以函數(shù)/(x)=lnx+ln(2-x)的定義域為(0,2),且/(刈=皿*+2x),(xe(0,2)).

因為函數(shù)f=f2+2x(xe(0,2))在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,

在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，函數(shù)y=lm單調(diào)遞增，

所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)〃x)=hu+ln(2-x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，

在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，

故選：A

2.(24-25高三上?山東德州?期中)已知關(guān)于》的函數(shù)^=1°81(/+^+°-1)在［-3,-2］上單調(diào)遞增，則實數(shù)

2

。的取值范圍是()

A.a<4B.a<4

C.a<3D.a<3

【答案】D

【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的定義域，知道內(nèi)函數(shù)在區(qū)間［-3,-2］上單調(diào)遞減且函數(shù)值

一定為正，建立不等式組，求得。的取值范圍.

【詳解1-^t=x2+ax+a-l>

貝"=logj,「oKvl,2在(0,+功上單調(diào)遞減，

22

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，，在［-3,-2］單調(diào)遞減，

一建一2(a<4

2,則,

(-2)-+(-2)a+a-l>0

???Q<3

故選：D

3.(24-25高三上?江蘇泰州?期中)函數(shù)/'(x)=ln(/一品+12)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

【答案】(6,+“)

【分析】先求得函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減來求得單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】由X2-8X+12=(X-2