年茂名市高三年級第二次綜合測試數學試卷試卷共4頁，小題，滿分分考試用時分鐘.注意事項：．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上將條形碼橫貼在答題卡右上角條形碼粘貼處．作答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答的答案無效.．考生必須保持答題卡的整潔考試結束后，請將答題卡交回.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】化簡求模長即可．【詳解】，，故選：A．2.設集合，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件第1頁/共20頁【答案】A【解析】【分析】根據已知條件，推得是的真子集，即可判斷．【詳解】∵集合，，∴是的真子集，是的充分不必要條件．故選：A．3.已知向量不共線，且，則實數（）A.3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據向量共線，可設，利用向量相等的條件求解即可．【詳解】因為向量不共線，且，設，即，所以，解得．故選：D．4.若，則（）A.0B.C.1D.4【答案】C【解析】【分析】根據兩角和正切公式展開后再代入即可.【詳解】，即，第2頁/共20頁則，.故選：C.5.二項式的展開式中的系數為（）A.B.C.40D.80【答案】B【解析】【分析】由二項式定理的通項公式列方程，求出，求出項的系數即可．【詳解】由二項式定理的通項公式得：，令，解得：，所以的系數為：，故選：B．6.甲、乙、丙三人練習傳球，每次傳球時，持球者會等可能地傳給另外兩人中的任意一位，若第一次由甲開始傳球，則經過四次傳球后，球回到甲手中的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意可列出球在甲手中的概率遞推關系式，構造出等比數列，求出第次球在甲手中的概率表達式，代入計算即可.【詳解】設事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”，那么由題意可知：，又，所以，構造等比數列，因為第一次由甲傳球，可認為第次傳球在甲，即，第3頁/共20頁所以是以為首項，公比為的等比數列，故，則.故選：C.7.已知函數為上的奇函數，，當時，，不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】構造函數，利用導數得到在各區間的符號，再分類討論即可解出不等式.【詳解】構造，則，因為當時，，則此時，單調遞增，則正負符號由決定，又因為，則，因為在上單調遞增，則當時，，所以此時，當時，，所以此時，又因為為上的奇函數，則當時，，則，當時，，則，且，則若，則或第4頁/共20頁即或，解得或，綜上，的解集為.故選：D.8.設為坐標原點，為雙曲線與的漸近線在第一象限的交點為，若，則的離心率為（）AB.C.D.【答案】B【解析】建立等式求解離心率即可.【詳解】的漸近線為，聯立，因為在第一象限的交點為，得，即，所以，又，故，第5頁/共20頁化簡得：，故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.等差數列中，．記數列前項和為，下列選項正確的是（）A.數列的公差為2B.取最小值時，C.D.數列的前10項和為50【答案】AD【解析】【分析】根據等差數列通項公式得關于的方程，解出，則得到，最后一一判斷選項即可.【詳解】對A，設等差數列的公差為，則由題意知，解得，故A正確；對B，，，則當時，取最小值，故B錯誤；對C，，，則，故C錯誤；對D，數列的前10項和為，故D正確.故選：AD.10.的內角的對邊分別為，已知，下列選項正確的是（）A.B.可能成立第6頁/共20頁C.可能是等腰三角形D.面積的最大值為20【答案】AC【解析】【分析】由三角恒等變換公式結合正弦定理化簡即可判斷A邊關系即可判斷B，假設結合余弦定理代入計算，即可判斷C，由三角形的面積公式結合余弦定理代入計算，即可判斷D.【詳解】由正弦定理可得,即，即，即，且，所以，且，所以，故A正確；假設，則，又，則，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，故不可能成立，故B錯誤；假設，由余弦定理可得，代入可得，又，即，則成立，所以成立，成立，所以成立，故C正確；由三角形的面積公式，由余弦定理可得，即，且，，第7頁/共20頁所以，化簡可得，解得，所以時，三角形的面積最大，最大值為，故D錯誤；故選：AC設為坐標原點，對點（其中）進行一次變換，得到點，記為，則（）A.若，則B.若，則C.若，則D.為圖象上一動點，，若的軌跡仍為函數圖象，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A，驗證旋轉后的點是否滿足，即斜率乘積是否為，對于B，旋轉不改變點到原點的距離，直接計算和是否相等，對于C，根據變換得到的坐標關系可得變換形式，從而可判斷正誤，對于D，根據導數的范圍可出參數的范圍后可判斷正誤.【詳解】因為，，所以，所以，故A正確；因為，，所以，故B正確；因為，故，故，而，故第8頁/共20頁，同理，故，故C錯誤；對于D，因為，故將順時針旋轉后仍為函數圖像，故圖象上的任意一點切線的斜率大于或等于，故即在上恒成立，故，故D成立.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，垂直軸于點，若，則______．【答案】8【解析】等于其到準線的距離，即.【詳解】由題意可知焦點，準線方程為，又點在拋物線上，所以點到準線的距離為，由拋物線的定義可知.故答案為：.13.已知函數，若恒成立，則實數a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】恒成立問題，可以用參變分離求最值的方法，結合放縮即可得答案.【詳解】第9頁/共20頁由于，兩者都是當且僅當x＝1等號成立則所以．故答案：．14.已知棱長為的正四面體，為側面，則點的軌跡長為______．【答案】【解析】【分析】以為原點，建立空間直角坐標系，設，由，得到，得到點在側面內的軌跡為以為半徑的圓的一部分，求得，得到，進而求得點的軌跡長度.【詳解】以為原點，以的方向為軸，建立空間直角坐標系，可得，因為，可得，設，因為，即，可得，整理得，第10頁/共20頁所以點在空間中的軌跡是以為球心，半徑為的球，又因為在側面內，過點作平面于點，則為的中心，點在側面內的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓的一部分，因為，所以，所以，則，所以點的軌跡長度為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知為常數，且．（1）若，求函數的單調區間；（2）若方程有且僅有2個不等的實數解，求的值．【答案】（1）單調增區間為和，單調減區間為.（2）【解析】1）直接代入求導即可得到其單調區間；（2）求導得到其單單調性，再跟三次函數特點得到，解出方程即可.第11頁/共20頁【小問1詳解】因為，所以，所以，當和時，單調遞增；當時，單調遞減，所以的單調增區間為和，單調減區間為.【小問2詳解】因為方程有2個不同的實數解，所以有2個零點，又由（1）可知，，因為，則當，，當，，則在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，所以，解得或或或，又，所以.16.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為的中點，．（1）證明：；（2）若為線段上一點，且四點共面，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；第12頁/共20頁（2）.【解析】1）利用向量數量積證得，再利用線面垂直的性質與判定定義即可證明；（2）建立合適的空間直角坐標系得平面的一個法向量，再設，根據垂直關系得值，最后利用體積公式即可.【小問1詳解】由題意知，因為，所以，又平面，又平面，所以，又平面，且，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】因為平面，又平面，所以，又，所以兩兩垂直，如圖以A為原點，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為則，不妨令，則所以設，則，第13頁/共20頁因為四點共面，則，解得，即，所以.17.某運動員為了解自己的運動技能水平，記錄了自己1000次訓練情況并將成績（滿分100分）統計如下表所示.成績區間頻數100200300240160（1（2）該運動員用分層抽樣的方式從的訓練成績中隨機抽取了6次成績，再從這6次成績中隨機選2次，設成績落在區間的次數為X，求X的分布列及數學期望；（3）對這1000次訓練記錄分析后，發現某項動作可以優化.優化成功后，原低于80分的成績可以提高10分，原高于80分的無影響，優化失敗則原成績會降低10分，已知該運動員優化動作成功的概率為80分.用樣本估計總體的方法，求使得入圍的可能性變大時p的取值范圍.【答案】（1）平均值為，上四分位數為；（2）分布列見解析，數學期望為；（3）.【解析】1）根據平均值計算公式和上四分位數計算方法即可得到答案；第14頁/共20頁（2）寫出的可能取值，再分別計算出其分布列，最后再利用數學期望公式即可；（3）法一：利用互斥事件加法公式和全概率計算公式得到關于的表達式，從而得到不等式，解出即可；法二：根據比例法得到相關概率表達式，解出不等式即可.【小問1詳解】依題意，平均值，，上四分位數落在區間，且等于.【小問2詳解】由樣本數據可知，訓練成績在之內的頻數之比為2:1，由分層抽樣的方法得，從訓練成績在中隨機抽取了6次成績，在之內的4次，在之內的抽取了2次，所以可取的值有：0，1，2，，，，分布列為：012.【小問3詳解】法一：設事件分別表示動作優化前成績落在區間，，，則相互互斥，所以動作優化前，在一次資格賽中，入圍的概率，設事件B為＂動作優化成功＂，則，第15頁/共20頁動作優化后，在一次資格賽中，入圍事件為：，且事件相互互斥，所以在一次資格賽中入圍的概率，故，由解得，又的取值范圍是.法二：因為入圍的成績標準是80分，所以進行某項動作優化前，該運動員在資格賽中入圍的概率為：，進行某項動作優化后，影響該運動員入圍可能性變化的是落在區間或的成績，當且僅當動作優化成功，落在這兩個區間的成績才能符合入圍標準，所以進行優化后，該運動員在資格賽中入圍的概率，由，得，又的取值范圍是.18.已知橢圓的焦距為2，點在上，是的右焦點，設過點的直線與交于兩點．（1）求的方程；（2）直線不與軸重合，且平分．①求的值；②若點是直線與的交點，證明：．【答案】（1）；（2）①；②證明見解析.【解析】1）根據焦距得到，再代入點坐標即可得到橢圓方程；（2第16頁/共20頁整體代入化簡即可；②轉化為證明，而，替換其中的化簡即可.【小問1詳解】橢圓的焦距為，∴橢圓的左右焦點分別是，又點在橢圓上，，，橢圓的方程為：．【小問2詳解】①依題意設直線的方程為：，聯立方程組：，則，即，且，①由，的坐標可知軸，平分，等價于，即，把代入并化簡得：，把①代入上式得：，化簡得：（經檢驗，符合，則.②欲證，只需證：，第17頁/共20頁由（2）可得，又，，即.19.已知滿足：是關于的“可差數列”，記數列的前項和為．（1）若是關于的“可差數列”，求的通項公式及；（2）已知滿足：，若