2025屆大理市重點中學高三數學試題下學期3月教學質量監測考試試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，則（）A．∥ B．⊥ C．∥() D．⊥()2．已知函數，若函數的圖象恒在軸的上方，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．3．閱讀下側程序框圖，為使輸出的數據為31，則①處應填的數字為A．4 B．5 C．6 D．74．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現將沿翻折，使點移動至點，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．5．已知函數，為的零點，為圖象的對稱軸，且在區間上單調，則的最大值是（）A． B． C． D．6．為得到y=sin(2x-πA．向左平移π3個單位B．向左平移πC．向右平移π3個單位D．向右平移π7．已知全集，則集合的子集個數為（）A． B． C． D．8．正的邊長為2，將它沿邊上的高翻折，使點與點間的距離為，此時四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．9．已知f（x）=ax2+bx是定義在[a–1，2a]上的偶函數，那么a+b的值是A． B．C． D．10．若集合，，則=（）A． B． C． D．11．若，則實數的大小關系為（）A． B． C． D．12．已知復數，則的虛部為（）A． B． C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知“在中，”，類比以上正弦定理，“在三棱錐中，側棱與平面所成的角為、與平面所成的角為，則________．14．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年級的人數依次成等差數列，現用分層抽樣的方法從中抽取60人，那么高二年級被抽取的人數為________．15．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積是______.16．五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”.中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，如果把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側，可排成______種不同的音序.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合，集合.（1）求集合；（2）若，求實數的取值范圍.18．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），為上的動點，點滿足，點的軌跡為曲線.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在以為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與的異于極點的交點為，與的異于極點的交點為，求.19．（12分）已知函數（1）解不等式；（2）若函數，若對于任意的，都存在，使得成立，求實數的取值范圍.20．（12分）已知橢圓的短軸長為，左右焦點分別為，，點是橢圓上位于第一象限的任一點，且當時，.（1）求橢圓的標準方程；（2）若橢圓上點與點關于原點對稱，過點作垂直于軸，垂足為，連接并延長交于另一點，交軸于點.（ⅰ）求面積最大值；（ⅱ）證明：直線與斜率之積為定值.21．（12分）已知函數，.（1）當時，①求函數在點處的切線方程；②比較與的大小;（2）當時，若對時，，且有唯一零點，證明：．22．（10分）已知曲線的參數方程為（為參數）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）若過點的直線與交于，兩點，與交于，兩點，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由題意利用兩個向量坐標形式的運算法則，兩個向量平行、垂直的性質，得出結論.【詳解】∵向量（1，﹣2），（3，﹣1），∴和的坐標對應不成比例，故、不平行，故排除A；顯然，?3+2≠0，故、不垂直，故排除B；∴（﹣2，﹣1），顯然，和的坐標對應不成比例，故和不平行，故排除C；∴?（）＝﹣2+2＝0，故⊥（），故D正確，故選：D.【點睛】本題主要考查兩個向量坐標形式的運算，兩個向量平行、垂直的性質，屬于基礎題.2、B【解析】

函數的圖象恒在軸的上方，在上恒成立.即，即函數的圖象在直線上方，先求出兩者相切時的值，然后根據變化時，函數的變化趨勢，從而得的范圍．【詳解】由題在上恒成立.即，的圖象永遠在的上方，設與的切點，則，解得，易知越小，圖象越靠上，所以.故選：B．【點睛】本題考查函數圖象與不等式恒成立的關系，考查轉化與化歸思想，首先函數圖象轉化為不等式恒成立，然后不等式恒成立再轉化為函數圖象，最后由極限位置直線與函數圖象相切得出參數的值，然后得出參數范圍．3、B【解析】考點：程序框圖．分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環求S的值，我們用表格列出程序運行過程中各變量的值的變化情況，不難給出答案．解：程序在運行過程中各變量的值如下表示：Si是否繼續循環循環前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當i＜5時退出，故選B．4、A【解析】

將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計算半徑即可.【詳解】由，，可知平面．將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同．由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得．又，故在中，，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為．故選：A【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數學運算的能力，屬于較難題.5、B【解析】

由題意可得，且，故有①，再根據，求得②，由①②可得的最大值，檢驗的這個值滿足條件．【詳解】解：函數，，為的零點，為圖象的對稱軸，，且，、，，即為奇數①．在，單調，，②．由①②可得的最大值為1．當時，由為圖象的對稱軸，可得，，故有，，滿足為的零點，同時也滿足滿足在上單調，故為的最大值，故選：B．【點睛】本題主要考查正弦函數的圖象的特征，正弦函數的周期性以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題．6、D【解析】試題分析：因為，所以為得到y=sin(2x-π3)的圖象，只需要將考點：三角函數的圖像變換．7、C【解析】

先求B.再求，求得則子集個數可求【詳解】由題=,則集合,故其子集個數為故選C【點睛】此題考查了交、并、補集的混合運算及子集個數，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵，是基礎題8、D【解析】

如圖所示，設的中點為，的外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，利用正弦定理可得，利用球心的性質和線面垂直的性質可得四邊形為平行四邊形，最后利用勾股定理可求外接球的半徑，從而可得外接球的表面積.【詳解】如圖所示，設的中點為，外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，則平面，.因為，故，因為，故.由正弦定理可得，故，又因為，故.因為，故平面，所以，因為平面，平面，故，故，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，故外接球的半徑為，外接球的表面積為.故選：D.【點睛】本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計算，還考查正弦定理和余弦定理，折疊問題注意翻折前后的變量與不變量，外接球問題注意先確定外接球的球心的位置，然后把半徑放置在可解的直角三角形中來計算，本題有一定的難度.9、B【解析】

依照偶函數的定義，對定義域內的任意實數，f（﹣x）=f（x），且定義域關于原點對稱，a﹣1=﹣2a，即可得解.【詳解】根據偶函數的定義域關于原點對稱，且f（x）是定義在[a–1，2a]上的偶函數，得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），∴b=0，∴a+b=．故選B．【點睛】本題考查偶函數的定義，對定義域內的任意實數，f（﹣x）=f（x）；奇函數和偶函數的定義域必然關于原點對稱，定義域區間兩個端點互為相反數．10、C【解析】試題分析：化簡集合故選C．考點：集合的運算．11、A【解析】

將化成以為底的對數，即可判斷的大小關系；由對數函數、指數函數的性質，可判斷出與1的大小關系，從而可判斷三者的大小關系.【詳解】依題意，由對數函數的性質可得.又因為，故.故選:A.【點睛】本題考查了指數函數的性質，考查了對數函數的性質，考查了對數的運算性質.兩個對數型的數字比較大小時，底數相同，則構造對數函數，結合對數的單調性可判斷大小；若真數相同，則結合對數函數的圖像或者換底公式可判斷大小；若真數和底數都不相同，則可與中間值如1,0比較大小.12、C【解析】

先將，化簡轉化為，再得到下結論.【詳解】已知復數，所以，所以的虛部為-1.故選：C【點睛】本題主要考查復數的概念及運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

類比，三角形邊長類比三棱錐各面的面積，三角形內角類比三棱錐中側棱與面所成角．【詳解】，故，【點睛】本題考查類比推理．類比正弦定理可得，類比時有結構類比，方法類比等．14、【解析】

由三個年級人數成等差數列和總人數可求得高二年級共有人，根據抽樣比可求得結果.【詳解】設高一、高二、高三人數分別為，則且，解得：，用分層抽樣的方法抽取人，那么高二年級被抽取的人數為人．故答案為：.【點睛】本題考查分層抽樣問題的求解，涉及到等差數列的相關知識，屬于基礎題.15、【解析】

先由三視圖在長方體中將其還原成直觀圖，再利用球的直徑是長方體體對角線即可解決.【詳解】由三視圖知該幾何體是一個三棱錐，如圖所示長方體對角線長為，所以三棱錐外接球半徑為，故所求外接球的表面積.故答案為：.【點睛】本題考查幾何體三視圖以及幾何體外接球的表面積，考查學生空間想象能力以及基本計算能力，是一道基礎題.16、1【解析】

按照“角”的位置分類,分“角”在兩端,在中間,以及在第二個或第四個位置上,即可求出.【詳解】①若“角”在兩端,則宮、羽兩音階一定在角音階同側，此時有種；②若“角”在中間,則不可能出現宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側；③若“角”在第二個或第四個位置上,則有種；綜上，共有種.故答案為：1．【點睛】本題主要考查利用排列知識解決實際問題,涉及分步計數乘法原理和分類計數加法原理的應用,意在考查學生分類討論思想的應用和綜合運用知識的能力,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）求出函數的定義域，即可求出結論；（2）化簡集合，根據確定集合的端點位置，建立的不等量關系，即可求解.【詳解】（1）由，即得或，所以集合或.（2）集合，由得或，解得或，所以實數的取值范圍為.【點睛】本題考查集合的運算，集合間的關系求參數，考查函數的定義域，屬于基礎題.18、（Ⅰ）（為參數）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設點，，則，代入化簡得到答案.（Ⅱ）分別計算，的極坐標方程為，，取代入計算得到答案.【詳解】（Ⅰ）設點，，，故，故的參數方程為：（為參數）.（Ⅱ），故，極坐標方程為：；，故，極坐標方程為：.，故，，故.【點睛】本題考查了參數方程，極坐標方程，弦長，意在考查學生的計算能力和轉化能力.19、（1）（2）【解析】

（1）將表示為分段函數的形式，由此求得不等式的解集.（2）利用絕對值三角不等式，求得的取值范圍，根據分段函數解析式，求得的取值范圍，結合題意列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】（1），由得或或；解得.故所求解集為.（2），即.由（1）知，所以，即.∴，∴.【點睛】本小題考查了絕對值不等式，絕對值三角不等式和函數最值問題，考查運算求解能力，推理論證能力，化歸與轉化思想.20、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.【解析】

（1）由，解方程組即可得到答案；（2）（ⅰ）設，，則，，易得，注意到，利用基本不等式得到的最大值即可得到答案；（ⅱ）設直線斜率為，直線方程為，聯立橢圓方程得到的坐標，再利用兩點的斜率公式計算即可.【詳解】（1）設，由，得.將代入，得，即，由，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）設，，則，（ⅰ）易知為的中位線，所以，所以，又滿足，所以，得，故，當且僅當，即，時取等號，所以面積最大值為.（ⅱ）記直線斜率為，則直線斜率為，所以直線方程為.由，得，由韋達定理得，所以，代入直線方程，得，于是，直線斜率，所以直線與斜率之積為定值.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系，涉及到橢圓中的最值及定值問題，在解橢圓與直線的位置關系的答題時，一般會用到根與系數的關系，考查學生的數學運算求解能力，是一道有一定難度的題.21、（1）①見解析，②見解析；（2）見解析【解析】

（1）①把代入函數解析式，求出函數的導