2024年小升初數(shù)學(xué)重難點(diǎn)&壓軸題專練（拓展提高）

第十講數(shù)論（47題）

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)一：數(shù)字問題

1．（2022?新城區(qū)）如圖，我們?cè)谕茖?dǎo)平行四邊形的面積公式時(shí)，把求平行四邊形面積的問題

變成了求長(zhǎng)方形面積的問題，這里蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法是（）

A．方程B．轉(zhuǎn)化C．抽象

2．（2023?沙坪壩區(qū)）有這樣一類三位數(shù)，它們的各位數(shù)字之和等于4，如130的各位數(shù)字之

和是1+3+0＝4，像這樣的三位數(shù)共有個(gè)。

3．（2023?歷城區(qū)）有一個(gè)三位數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不相同，百位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的2倍，

百位與個(gè)位數(shù)字的乘積恰好是十位上數(shù)字的2倍，這個(gè)三位數(shù)是多少？請(qǐng)用合理的方式表

示你的思考過程。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)二：奇偶性問題

4．（2023?武進(jìn)區(qū)）a是奇數(shù)，b是偶數(shù)，下列式子結(jié)果是奇數(shù)的是（）

A．a(chǎn)+bB．2a+bC．2（a+b）D．4a+4b

5．（2023?高州市）學(xué)校舉行象棋比賽，共有甲、乙、丙、丁4支隊(duì)。規(guī)定每支隊(duì)都要和另外

3支隊(duì)各比賽一場(chǎng)，勝得3分，敗得0分，平雙方各得1分。已知：（1）這4支隊(duì)三場(chǎng)比

賽的總得分為4個(gè)連續(xù)的奇數(shù)；（2）乙隊(duì)總得分排在第一；（3）丁隊(duì)恰有兩場(chǎng)同對(duì)方打成

平局，其中有一場(chǎng)是與丙隊(duì)打成平局的。最終丙隊(duì)得分。

6．（2023?城廂區(qū)）六年（2）班有53名學(xué)生，參加下午課后延時(shí)服務(wù)的同學(xué)有A名。如果A

是奇數(shù)，那么沒有參加下午課后延時(shí)服務(wù)的同學(xué)人數(shù)是。（填“奇數(shù)”或“偶數(shù)”）

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)三：質(zhì)數(shù)與合數(shù)問題

7．（2023?江北區(qū)）在1～8這八張數(shù)字卡片中，任意摸一張，摸到（）的可能性最小。

A．奇數(shù)B．偶數(shù)C．質(zhì)數(shù)D．合數(shù)

8．（2022?金溪縣）在1、2、5、29、57、這些數(shù)中，是合數(shù)，是質(zhì)數(shù)，

既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。是這些數(shù)的公因數(shù)。

9．（2022?通城縣）用0、1、2、3四個(gè)數(shù)字組沒有重復(fù)的兩位數(shù)。如果組成的數(shù)是質(zhì)數(shù)，則

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兩位數(shù)是；如果組成的數(shù)是2、3的公倍數(shù)，則兩位數(shù)是。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)四：因數(shù)與倍數(shù)

10．（2022?寧津縣）某班學(xué)生人數(shù)在40人到50人之間，男生和女生人數(shù)的比是5：6，這個(gè)

班有男生人，女生人．

11．（2021?彭水縣）商店里有6箱貨物，分別重15千克、16千克、18千克、19千克、20千

克、31千克，兩名顧客買走的其中的5箱。已知一名顧客買走的貨物質(zhì)量是另一名顧客的

2倍，商店里剩下那一箱貨物重千克。

12．（2023?環(huán)縣）兩根木棒長(zhǎng)分別為24厘米和32厘米，要把它們截成整厘米的同樣長(zhǎng)的小

棒，不能有剩余，每根小棒最長(zhǎng)是多少厘米？一共分成了多少根小棒？

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)五：整數(shù)的裂項(xiàng)與拆分

13．（2022?南岸區(qū)）小亮是一名中學(xué)生，他代表學(xué)校參加了全市數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他說：“我的名次、

得分和年齡的乘積是4074?！彼拿巍⒌梅趾湍挲g之和是（）

A．97B．98C．114D．115

14．（2021?武城縣）一種酸奶有4瓶裝和2瓶裝兩種不同規(guī)格的包裝，王阿姨要買12瓶這種

酸奶，一共有種不同的選擇方法。

15．（2023?山海關(guān)區(qū)）水果店推出4種特價(jià)水果，每種特價(jià)水果僅限兩人購買，小張、小王、

小李、小趙四人各自購買兩種水果，且四人購買的水果品種不完全相同。

①小張購買了桃子，小趙買了蘋果。②小王購買了香蕉，沒買梨。

③小王與小趙購買的水果完全不同。④買桃子的人沒買梨。

用“×”表示“沒買”，用“√”表示“買了”，根據(jù)上面信息列表分析：

桃子蘋果香蕉梨

小張

小王

小李

小趙

小張買了和，小王買了和，

小李買了和，小趙買了和。

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重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)六：位值原則

16．（2021?金昌）有三個(gè)不同的數(shù)，用他們組成6個(gè)不同的三位數(shù)，這6個(gè)三位數(shù)的和是

1554，那么這三個(gè)數(shù)字分別是。

17．純循環(huán)小數(shù)0.寫成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)時(shí)，分子和分母和是58，則三位數(shù)＝．

18．（2020?大渡口區(qū)）一個(gè)三位數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不相同，且個(gè)位數(shù)字×十位數(shù)字×

百位數(shù)字的積是72，若把十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù)，這個(gè)新數(shù)和原來的數(shù)

的差是百位數(shù)字的6倍，則原來的三位數(shù)是多少？

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)七：數(shù)的整除特征

19．（2023?晉源區(qū)）計(jì)算11335×55779、四個(gè)同學(xué)給出了四個(gè)不同的答案，只有一個(gè)正確，

一個(gè)同學(xué)利用學(xué)過的一些數(shù)的倍數(shù)的特征很快找到了它，它是（）

A．632254965B．632244965C．632234965D．632213965

20．（2020?寧德）1～200這200個(gè)自然數(shù)中，能被4或能被6整除的數(shù)有多少個(gè)（）

A．65B．66C．67D．68

21．（2022?錦江區(qū)）一個(gè)五位數(shù)91□3□能被6整除，□里填同一個(gè)數(shù)，它是。

22．（2022?重慶）已知一個(gè)自然數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被13整除，

那么這個(gè)自然數(shù)就一定能被13整除，我們把能被13整除的自然數(shù)稱為“夢(mèng)想數(shù)”。

例如：判斷26260是否為“夢(mèng)想數(shù)”，這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字是260，末三位以前的數(shù)字組成

的數(shù)是26，這兩個(gè)數(shù)的差是：260﹣26＝234，234能被13整除，因此26260是“夢(mèng)想數(shù)”。

（1）判斷1158和254514是否為“夢(mèng)想數(shù)”，并說明理由；

（2）如果一個(gè)四位自然數(shù)M，千位和百位上的數(shù)字均為a，十位與個(gè)位上的數(shù)字均為b，

我們就稱它為“OOKK數(shù)”。已知一個(gè)四位數(shù)M既是“夢(mèng)想數(shù)”又是“OOKK數(shù)”。求數(shù)M

的值。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)八：帶余除法

23．（2020?三明）有四個(gè)自然數(shù)A、B、C、D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5

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余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個(gè)自然數(shù)的和是（）

A．216B．108C．314D．348

24．一本書如果每天讀80頁，那么4天讀不完，5天又有余；如果每天讀90頁，那么3天

讀不完，4天又有余；如果每天讀N頁，恰好N（N是自然數(shù)）天讀完，這本書是

頁．

25．有一個(gè)數(shù)，除以3的余數(shù)是2；除以4的余數(shù)是1．這個(gè)數(shù)除以12的余數(shù)是．

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)九：約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理

26．（2020?綿陽）24的約數(shù)一共有（）個(gè)．

A．10B．8C．6D．4

27．（2020?泗洪縣）已知a＝2×3×5，那么a的因數(shù)共有（）

A．8個(gè)B．6個(gè)C．5個(gè)D．3個(gè)

28．某自然數(shù)有10個(gè)不同的約數(shù)，但質(zhì)約數(shù)只有2和3，滿足條件的自然數(shù)最大是。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)十：同余定理

29．（2020?陽山縣）一箱桃子有40多個(gè)，如果把這箱桃子每8個(gè)裝一盒，還剩5個(gè)；如果每

10個(gè)裝一盒，也剩余5個(gè)，這箱桃子有（）個(gè)。

A．40B．45C．48

30．（2019?鄭州）一堆蘋果不少于10個(gè)，三個(gè)三個(gè)的數(shù)，四個(gè)四個(gè)的數(shù)，五個(gè)五個(gè)的數(shù)都多

兩個(gè)，這堆蘋果最少有多少個(gè)？

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)十一：完全平方數(shù)性質(zhì)

31．（2022?中原區(qū)）小明準(zhǔn)備利用假期去讀一本書，如果每天讀80頁，那么4天讀不完，5

天又有余；如果每天讀90頁，那么3天讀不完，4天又有余；如果每天讀N頁，恰好N

（N是自然數(shù)）天讀完，這本書是頁。

32．（2019?長(zhǎng)沙）甲、乙兩人合買了n個(gè)籃球，每個(gè)籃球n元，付錢時(shí)，甲先乙后，10元，

10元地輪流付錢，當(dāng)最后要付的錢不足10元時(shí)，輪到乙付，付完全款后，為了使兩人所

付的錢數(shù)同樣多，則乙應(yīng)給甲元

33．（2022?江夏區(qū)）當(dāng)a大于0小于1時(shí)，a2小于2a。（判斷對(duì)錯(cuò)）

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)十二：數(shù)字和問題

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34．（2018?綿陽）我國(guó)古代的“河圖”是由3×3的方格構(gòu)成，每個(gè)方格內(nèi)均有數(shù)目不同的點(diǎn)

圖，每一行、每一列以及每一條對(duì)角線上的三個(gè)點(diǎn)圖的點(diǎn)數(shù)之和均相等．如圖給出了“河

圖”的部分點(diǎn)圖，請(qǐng)你推算出P處所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)圖．其中，正確的是（）

A．B．C．D．

35．（2021?南陽）如圖是標(biāo)有1、2、3、4、5、6數(shù)字的正方體的三種不同的擺法，三個(gè)正方

體朝左那一面的數(shù)字之和是。

36．a(chǎn)、b、c、d是四個(gè)不同的自然數(shù)，且a×b×c×d＝2790，a+b+c+d最小是．

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)十三：等量關(guān)系與方程

37．（2023?確山縣）一次知識(shí)競(jìng)賽，共有10道題，每答對(duì)一題得10分，答錯(cuò)或不答倒扣5

分，小明共得55分，他答對(duì)（）道。

A．3B．6C．7D．11

38．（2020?長(zhǎng)沙）若＝2。求△代表的數(shù)。

39．（2023?迎澤區(qū)）中國(guó)自主研發(fā)的復(fù)興號(hào)列車的速度已經(jīng)達(dá)到350千米/時(shí)，民航飛機(jī)的一

般速度比復(fù)興號(hào)列車速度的2倍還多200千米。民航飛機(jī)的一般速度是多少？

40．（2023?汝城縣）有30個(gè)人去參加一個(gè)會(huì)議，住在一個(gè)賓館里，安排11個(gè)房間（3人間

和2人間）剛好住完。他們住了個(gè)3人間，有人住在2人間。

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重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)十四：二元一次方程組的求解

41．（2020?阿壩州）（填“是”或“不是”）方程2x+y＝7的一個(gè)解．

42．（2021?重慶）自來水廠的供水池有7個(gè)進(jìn)出水口，每天早晨6點(diǎn)開始進(jìn)出水，且此時(shí)水

池中有水15%，在每個(gè)進(jìn)出水口是勻速進(jìn)出的情況下，如果開放3個(gè)進(jìn)口和4個(gè)出口，5

小時(shí)將水池注滿；如果開放4個(gè)進(jìn)口和3個(gè)出口，2小時(shí)將水池注滿。若某天早晨6點(diǎn)時(shí)

水池中有水24%，又因?yàn)樗芨脑?，只能開放3個(gè)進(jìn)口和2個(gè)出口，則從早晨6點(diǎn)開始經(jīng)

過多少小時(shí)水池的水剛好注滿？

43．（2019?長(zhǎng)沙）1分、2分、5分三種硬幣共26枚，2分全部換成5分硬幣，1分全部換成

5分硬幣后，硬幣總數(shù)變?yōu)?1枚，原有5分硬幣多少枚？

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)十五：不定方程的分析求解

44．有271位游客欲乘大、小兩種客車旅游，已知大客車有37個(gè)座位，小客車有20個(gè)座位。

為保證每位游客均有座位，且車上沒有空座位，則需要大客車的輛數(shù)是（）

A．1輛B．3輛C．2輛D．4輛

45．（2023?余干縣）滿足等式2002＝1949×M﹣25×N的一組自然數(shù)是（）

A．M＝125、N＝9508B．M＝122、N＝9506

C．M＝124、N＝9507D．M＝123、N＝9509

46．（2022?古縣）某蛋糕店采用發(fā)放號(hào)牌的方式銷售蛋糕，同一批次只發(fā)放4個(gè)號(hào)牌（每人

限領(lǐng)1個(gè)號(hào)牌），每個(gè)號(hào)牌最多購買3盒蛋糕、最少購買1盒蛋糕（每盒里有3個(gè)蛋糕）。

要保證同一批次的人都能買到所需要的蛋糕，蛋糕店每批次至少要準(zhǔn)備個(gè)蛋糕。

47．（2021?和平區(qū)）用載重5噸和3噸的大小卡車往城市運(yùn)39噸蔬菜。大卡車和小卡車各用

幾輛正好一次運(yùn)完？

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2024年小升初數(shù)學(xué)重難點(diǎn)&壓軸題專練（拓展提高）

第十講數(shù)論（47題）

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)一：數(shù)字問題

1．（2022?新城區(qū)）如圖，我們?cè)谕茖?dǎo)平行四邊形的面積公式時(shí)，把求平行四邊形面積的問題

變成了求長(zhǎng)方形面積的問題，這里蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法是（）

A．方程B．轉(zhuǎn)化C．抽象

試題思路分析：把求平行四邊形面積的問題變成了求長(zhǎng)方形面積的問題，這種數(shù)學(xué)思想方

法是轉(zhuǎn)化法。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：我們?cè)谕茖?dǎo)平行四邊形的面積公式時(shí)，把求平行四邊形面積的問題變

成了求長(zhǎng)方形面積的問題，這里蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法是轉(zhuǎn)化。故選：B。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：此題考查了平行四邊形面積公式的推導(dǎo)和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

2．（2023?沙坪壩區(qū)）有這樣一類三位數(shù)，它們的各位數(shù)字之和等于4，如130的各位數(shù)字之

和是1+3+0＝4，像這樣的三位數(shù)共有個(gè)。

試題思路分析：根據(jù)題意，三位數(shù)的各位數(shù)字之和等于4，分類討論：百位為4，百位為

3，百位為2，百位為1的數(shù)；把這四種情況下符合要求的三位數(shù)都列舉出來，數(shù)一數(shù)即可。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：①當(dāng)百位為4時(shí)，有400，共1個(gè)；

②當(dāng)百位為3時(shí)，有310、301，共2個(gè)；

③當(dāng)百位為2時(shí)，有220、202、211，共3個(gè)；

④當(dāng)百位為1時(shí)，有103、130、121、112，共4個(gè)。

一共：1+2+3+4＝10（個(gè)）

答：像這樣的三位數(shù)共有10個(gè)。故答案為：10。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：本題考查三位數(shù)的組成，以及分類討論解決問題。

3．（2023?歷城區(qū)）有一個(gè)三位數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不相同，百位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的2倍，

百位與個(gè)位數(shù)字的乘積恰好是十位上數(shù)字的2倍，這個(gè)三位數(shù)是多少？請(qǐng)用合理的方式表

示你的思考過程。

試題思路分析：根據(jù)“這個(gè)三位數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不相同，百位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的2

倍”，分別假設(shè)個(gè)位是1、2、3、4，再求出百位和十位數(shù)字，列舉出所有情況即可解題。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：百位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的2倍，假設(shè)個(gè)位是1，則百位是2，十位是：2×

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1÷2＝1，個(gè)位與十位數(shù)字相同，不符合題意；

假設(shè)個(gè)位是2，則百位是4，十位是：2×4÷2＝4，個(gè)位與十位數(shù)字相同，不符合題意；

假設(shè)個(gè)位是3，則百位是6，十位是：3×6÷2＝9，這個(gè)數(shù)是693，符合題意；

假設(shè)個(gè)位是4，則百位是8，十位是：4×8÷2＝16，不能組成三位數(shù)，不符合題意；

答：這個(gè)三位數(shù)是693。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：解答本題的關(guān)鍵是設(shè)個(gè)位是1、2、3、4，再分別求出百位和十位數(shù)

字。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)二：奇偶性問題

4．（2023?武進(jìn)區(qū)）a是奇數(shù)，b是偶數(shù)，下列式子結(jié)果是奇數(shù)的是（）

A．a(chǎn)+bB．2a+bC．2（a+b）D．4a+4b

試題思路分析：根據(jù)奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)，可進(jìn)行判斷。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：A：因?yàn)閍是奇數(shù)，b是偶數(shù)，根據(jù)奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)，所以a+b的結(jié)

果是奇數(shù)；

B：因?yàn)?a是偶數(shù)，b是偶數(shù)，根據(jù)偶數(shù)+偶數(shù)＝偶數(shù)，所以2a+b的結(jié)果是偶數(shù)；

C：因?yàn)閍是奇數(shù)，b是偶數(shù)，根據(jù)奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)，奇數(shù)×2＝偶數(shù)，所以2（a+b）的

結(jié)果是偶數(shù)；

D：因?yàn)閍是奇數(shù)，4a是偶數(shù)，b是偶數(shù)，4b是偶數(shù)，根據(jù)偶數(shù)+偶數(shù)＝偶數(shù)，所以4a+4b

的結(jié)果是偶數(shù)；

綜上所述，A選項(xiàng)符合題意。故選：A。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：本題考查的是奇偶性問題，關(guān)鍵是根據(jù)奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)，奇數(shù)×

偶數(shù)＝偶數(shù)。

5．（2023?高州市）學(xué)校舉行象棋比賽，共有甲、乙、丙、丁4支隊(duì)。規(guī)定每支隊(duì)都要和另外

3支隊(duì)各比賽一場(chǎng)，勝得3分，敗得0分，平雙方各得1分。已知：（1）這4支隊(duì)三場(chǎng)比

賽的總得分為4個(gè)連續(xù)的奇數(shù)；（2）乙隊(duì)總得分排在第一；（3）丁隊(duì)恰有兩場(chǎng)同對(duì)方打成

平局，其中有一場(chǎng)是與丙隊(duì)打成平局的。最終丙隊(duì)得分。

試題思路分析：因?yàn)橐粓?chǎng)勝利可以得到3分，所以3場(chǎng)比賽最多得到9分，又根據(jù)題目可

知得分為4個(gè)連續(xù)奇數(shù)，所以得分為：9，7，5，3或者7，5，3，1；由于題目說乙隊(duì)排

名第1，而丁隊(duì)有2場(chǎng)踢平，且有一場(chǎng)是對(duì)丙隊(duì)的平局，那么乙隊(duì)的分?jǐn)?shù)只能是7分；因

為如果乙隊(duì)獲得9分，那么意味著，丁隊(duì)的戰(zhàn)績(jī)?yōu)?平1負(fù)，得到2分，不符合題意中的

連續(xù)奇數(shù)，那么，確定了乙隊(duì)的分?jǐn)?shù)，就可以知道丁隊(duì)了，丁隊(duì)的分?jǐn)?shù)是5分或者3分；

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根據(jù)題目，丁隊(duì)有2場(chǎng)平局，而且其中一場(chǎng)是對(duì)丙隊(duì)的，而乙隊(duì)的分?jǐn)?shù)已經(jīng)確定，7分，

意味著2勝1平；由此確定，丙隊(duì)的戰(zhàn)績(jī)只可能為2平1勝，（因?yàn)楸?duì)不可能在與乙隊(duì)的

比賽中獲勝，而與丁隊(duì)又是一場(chǎng)平局，最后，根據(jù)分?jǐn)?shù)為奇數(shù)的原則，確定丙隊(duì)為5分。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：由題意可知，每隊(duì)需賽三場(chǎng)，最多可得3×3＝9分，

所以四隊(duì)的得分應(yīng)是：9，7，5，3或者7，5，3，1；

乙隊(duì)排名第1，而丁隊(duì)有2場(chǎng)踢平，且有一場(chǎng)是對(duì)丙隊(duì)的平局，那么乙隊(duì)的分?jǐn)?shù)只能是7

分；

乙隊(duì)得7分，則丁隊(duì)的分?jǐn)?shù)是5分或者3分；

丁隊(duì)有2場(chǎng)平局，而且其中一場(chǎng)是對(duì)丙隊(duì)的，而乙隊(duì)的分?jǐn)?shù)已經(jīng)確定，7分，意味著2勝1

平；

由此確定，丙隊(duì)的戰(zhàn)績(jī)只可能為2平1勝，即得5分。故答案為：5。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：完成本題思路要清晰，在確定最高得分的前提下，根據(jù)所給條件進(jìn)

行分析推理是完成本題的關(guān)鍵。

6．（2023?城廂區(qū)）六年（2）班有53名學(xué)生，參加下午課后延時(shí)服務(wù)的同學(xué)有A名。如果A

是奇數(shù)，那么沒有參加下午課后延時(shí)服務(wù)的同學(xué)人數(shù)是。（填“奇數(shù)”或“偶數(shù)”）

試題思路分析：偶數(shù)+偶數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)，53和A都是是

奇數(shù)，奇數(shù)﹣奇數(shù)＝偶數(shù)，依次解答。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：因?yàn)?3和A都是奇數(shù)，所以它們的差是偶數(shù)。故答案為：偶數(shù)。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：本題考查對(duì)奇偶性的判斷。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)三：質(zhì)數(shù)與合數(shù)問題

7．（2023?江北區(qū)）在1～8這八張數(shù)字卡片中，任意摸一張，摸到（）的可能性最小。

A．奇數(shù)B．偶數(shù)C．質(zhì)數(shù)D．合數(shù)

試題思路分析：在1～8這八張數(shù)字卡片中，奇數(shù)有1、3、5、7，共4個(gè)數(shù)字；偶數(shù)有2、

4、6、8，共4個(gè)數(shù)字；質(zhì)數(shù)有2、3、5、7，共4個(gè)數(shù)字；合數(shù)有4、6、8，共3個(gè)數(shù)字，

哪種數(shù)字少，任意摸一張，摸到哪種數(shù)字的可能性最小。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：在1～8這八張數(shù)字卡片中，任意摸一張，摸到合數(shù)的可能性最小。

故選：D。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：本題解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確判斷在1～8這八張數(shù)字卡片中，奇數(shù)、

偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)各有幾個(gè)數(shù)字。

8．（2022?金溪縣）在1、2、5、29、57、這些數(shù)中，是合數(shù)，是質(zhì)數(shù)，

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既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。是這些數(shù)的公因數(shù)。

試題思路分析：質(zhì)數(shù)與合數(shù)的意義：一個(gè)自然數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的

數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；一個(gè)自然數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)；1既

不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，公因數(shù)是指所有數(shù)共有的因數(shù)，只有1，由此解答。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：在1、2、5、29、57、這些數(shù)中，57是合數(shù)，2，5，29是質(zhì)數(shù)，1既

不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。1是這些數(shù)的公因數(shù)。故答案為：57，2，5，29，1，1。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：此題主要考查質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念及意義，明確1既不是質(zhì)數(shù)也不是

合數(shù)。

9．（2022?通城縣）用0、1、2、3四個(gè)數(shù)字組沒有重復(fù)的兩位數(shù)。如果組成的數(shù)是質(zhì)數(shù)，則

兩位數(shù)是；如果組成的數(shù)是2、3的公倍數(shù)，則兩位數(shù)是。

試題思路分析：質(zhì)數(shù)是只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)，據(jù)此找出即可；

根據(jù)2、3的倍數(shù)的特征可知：同時(shí)是2和3的倍數(shù)，個(gè)位上必須是偶數(shù)且各位上的數(shù)字之

和是3的倍數(shù)。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：用0、1、2、3四個(gè)數(shù)字組沒有重復(fù)的兩位數(shù)。如果組成的數(shù)是質(zhì)數(shù)，

則兩位數(shù)是13或23或31；如果組成的數(shù)是2、3的公倍數(shù)，則兩位數(shù)是12或30。

故答案為：13或23或31；12或30。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：理解掌握2、3的倍數(shù)特征以及質(zhì)數(shù)的定義是解答關(guān)鍵。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)四：因數(shù)與倍數(shù)

10．（2022?寧津縣）某班學(xué)生人數(shù)在40人到50人之間，男生和女生人數(shù)的比是5：6，這個(gè)

班有男生人，女生人．

試題思路分析：本題可先根據(jù)男女生的比求出全班共有多少人，男女生比例為5：6，如果

男生有5人的話，女生有6人，班里共5+6＝11人，所以班里人的總數(shù)一定是11的倍數(shù)，

而40到50之間11的倍數(shù)只有44，所以班里有44人，然后，再根據(jù)男女生比求出男生有

多少人，從而求解．

規(guī)范詳細(xì)解答：解：男女生比例為5：6，所以班內(nèi)人數(shù)總數(shù)一定為5+6＝11的倍數(shù)，而

40到50之間11的倍數(shù)只有44，所以班里有44人．

男生有：44×＝20（人）；女生有：44﹣20＝24（人）．

答：這個(gè)班男生有20人，女生有24人．故答案為：20，24．

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：本題的關(guān)鍵是根據(jù)男女生的比例及人數(shù)范圍確定好全班人數(shù)是多少．

11．（2021?彭水縣）商店里有6箱貨物，分別重15千克、16千克、18千克、19千克、20千

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克、31千克，兩名顧客買走的其中的5箱。已知一名顧客買走的貨物質(zhì)量是另一名顧客的

2倍，商店里剩下那一箱貨物重千克。

試題思路分析：由題中“一位顧客買的貨物的質(zhì)量是另一位顧客的2倍”可知：兩人買走

的重量是3的倍數(shù)。應(yīng)選5箱質(zhì)量和是3的倍數(shù)的箱子。6箱一共重：15+16+18+19+20+31

＝119（千克），現(xiàn)在計(jì)算119減去哪一箱的重量后差是3的倍數(shù)。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：兩人買走的重量是3的倍數(shù)，五箱的重量和是3的倍數(shù)。

6箱的總重量是：15+16+18+19+20+31＝119（千克）。

計(jì)算119減去哪一箱的重量后差是3的倍數(shù)：119分別減去15，16，18，19，20，31得

104，103，101，100，99，88。里面只有99能被3整除。

所以剩下的1箱就是119﹣99＝20（千克）。答：剩下的一箱貨物重20千克。

故答案為：20。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：利用3的倍數(shù)的特征求解。

12．（2023?環(huán)縣）兩根木棒長(zhǎng)分別為24厘米和32厘米，要把它們截成整厘米的同樣長(zhǎng)的小

棒，不能有剩余，每根小棒最長(zhǎng)是多少厘米？一共分成了多少根小棒？

試題思路分析：分別把24和32兩個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，求出它們的最大公因數(shù)，就是每根小

棒最長(zhǎng)厘米數(shù)，然后再進(jìn)一步用除法解答即可．

規(guī)范詳細(xì)解答：解：24＝2×2×2×3

32＝2×2×2×2×2

所以24和32的最大公因數(shù)是2×2×2＝8，所以每根小棒最長(zhǎng)能有8厘米；

（24+32）÷8

＝56÷8

＝7（根）答：每根小棒最長(zhǎng)是8厘米，一共分成了7根小棒．

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：主要考查幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的求法，并用它解決實(shí)際問題．

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)五：整數(shù)的裂項(xiàng)與拆分

13．（2022?南岸區(qū)）小亮是一名中學(xué)生，他代表學(xué)校參加了全市數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他說：“我的名次、

得分和年齡的乘積是4074?！彼拿?、得分和年齡之和是（）

A．97B．98C．114D．115

試題思路分析：根據(jù)題意，把4074分解質(zhì)因數(shù)，4074＝2×3×7×97，小亮是個(gè)中學(xué)生，

年齡在12～18之間，可能的值只有2×7＝14（歲），名次是個(gè)位數(shù)，所以是第三名，據(jù)此

解答。

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規(guī)范詳細(xì)解答：解：4074＝2×3×7×97

因?yàn)樾×潦侵袑W(xué)生，年齡介于12～18歲之間；

可能的值只有2×7＝14（歲）；

名次是個(gè)位數(shù)，所以是第三名；

因此李明得了97分。

他的名次、得分和年齡之和是：3+97+14＝114。故選：C。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：本題關(guān)鍵是分解質(zhì)因數(shù)，然后再根據(jù)中學(xué)生的年齡階段進(jìn)一步解答。

14．（2021?武城縣）一種酸奶有4瓶裝和2瓶裝兩種不同規(guī)格的包裝，王阿姨要買12瓶這種

酸奶，一共有種不同的選擇方法。

試題思路分析：要求有多少種不同的選擇方法，實(shí)際就是求有幾種不同的包法，因?yàn)橛?

瓶裝和4瓶裝兩種不同規(guī)格的包裝，所以把12分成2的倍數(shù)和4的倍數(shù)相加的和即可。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：（1）12＝4×3，所以4瓶裝有3袋；

（2）12＝4×1+2×4，所以4瓶裝有1袋、2瓶裝有4袋；

（3）12＝4×2+2×2，所以4瓶裝有2袋，2瓶裝有2袋；

（4）12＝2×6，所以2瓶裝有6袋；

所以共有4種不同的方法。答：一共有4種不同的選擇方法。故答案為：4。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：本題主要考查了整數(shù)的拆分，把12分成2的倍數(shù)和4的倍數(shù)相加的

和是解答的關(guān)鍵。

15．（2023?山海關(guān)區(qū)）水果店推出4種特價(jià)水果，每種特價(jià)水果僅限兩人購買，小張、小王、

小李、小趙四人各自購買兩種水果，且四人購買的水果品種不完全相同。

①小張購買了桃子，小趙買了蘋果。②小王購買了香蕉，沒買梨。

③小王與小趙購買的水果完全不同。④買桃子的人沒買梨。

用“×”表示“沒買”，用“√”表示“買了”，根據(jù)上面信息列表分析：

桃子蘋果香蕉梨

小張

小王

小李

小趙

小張買了和，小王買了和，

小李買了和，小趙買了和。

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試題思路分析：根據(jù)①、②、③可得，小王購買了香蕉和桃子；根據(jù)①、②、④可得小張

購買了桃子和蘋果；根據(jù)①、③可得小趙購買了蘋果和梨；又根據(jù)每種特價(jià)水果僅限兩人

購買可得小李購買了香蕉和梨。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：用“×”表示“沒買”，用“√”表示“買了”，根據(jù)上面信息列表分

析如下：

桃子蘋果香蕉梨

小張√√××

小王√×√×

小李××√√

小趙×√×√

小張買了桃子和蘋果，小王買了桃子和香蕉。

小李買了香蕉和梨，小趙買了蘋果和梨。

故答案為：桃子，蘋果，桃子，香蕉，香蕉，梨，蘋果，梨。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：運(yùn)用列表法來推理解答是解決本題的關(guān)鍵。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)六：位值原則

16．（2021?金昌）有三個(gè)不同的數(shù)，用他們組成6個(gè)不同的三位數(shù)，這6個(gè)三位數(shù)的和是

1554，那么這三個(gè)數(shù)字分別是。

試題思路分析：假設(shè)這三個(gè)數(shù)字分別是a，b，c，則它們組成的三位數(shù)表示為

（100a+10b+c），（100a+10c+b），（100b+10a+c），（100b+10c+a），（100c+10a+b），

（100c+10b+a），利用6個(gè)三位數(shù)的和，計(jì)算出三個(gè)數(shù)的和，然后找出符合要求的數(shù)。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：假設(shè)這三個(gè)數(shù)字分別是a，b，c，由分析可知：222a+222b+222c＝

1554，則a+b+c＝7，所以這三個(gè)數(shù)字是1，2，4。故答案為：1，2，4。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：姐姐本題的關(guān)鍵是找出這6個(gè)三位數(shù)的和與這三個(gè)數(shù)的和之間的數(shù)

量關(guān)系。

17．純循環(huán)小數(shù)0.寫成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)時(shí)，分子和分母和是58，則三位數(shù)＝．

試題思路分析：純循環(huán)小數(shù)都可以寫成分母是99…（9的個(gè)數(shù)等于循環(huán)節(jié)的位數(shù)），循環(huán)節(jié)

是分子的分?jǐn)?shù)；所以這個(gè)循環(huán)小數(shù)可寫成分?jǐn)?shù)形式是，999＝3×3×3×37＝27×37，

所以分母只可能是37和27，又因?yàn)楹蜑?8，是真分?jǐn)?shù)，所以分子要小于分母，分母為

37，分子就為58﹣37＝21．此最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為，通分得，所以這個(gè)純循環(huán)小數(shù)為

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0.．據(jù)此解答即可．

規(guī)范詳細(xì)解答：解：這個(gè)循環(huán)小數(shù)可寫成分?jǐn)?shù)形式是，999的質(zhì)因數(shù)為3、3、3、37，

因?yàn)楹蜑?8，所以分母只可能是37和27，由于是真分?jǐn)?shù)，分子要小于分母，所以分母為

37，分子為58﹣37＝21，

此最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為，通分得，所以這個(gè)純循環(huán)小數(shù)為0.．

三位數(shù)＝567；故答案為：567．

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：此題考查純循環(huán)小數(shù)改寫成分?jǐn)?shù)的方法和運(yùn)用．

18．（2020?大渡口區(qū)）一個(gè)三位數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不相同，且個(gè)位數(shù)字×十位數(shù)字×

百位數(shù)字的積是72，若把十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù)，這個(gè)新數(shù)和原來的數(shù)

的差是百位數(shù)字的6倍，則原來的三位數(shù)是多少？

試題思路分析：此題可通過字母代替數(shù)的方法解決，設(shè)個(gè)位數(shù)為x，十位數(shù)為y，百位數(shù)為

z，則：x×y×z＝72，（100z+10x+y）﹣（100z+10y+x）＝6z，所以9x﹣9y＝6z，3x﹣3y＝

2z，因?yàn)楦鱾€(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不相同，所以72只有兩種劃分：①2、4、9；②3、4、6。這

兩種情況，又要滿足x比y答，且3x﹣3y＝2z，又因?yàn)閤、y、z都是10以內(nèi)的數(shù)字，推出

x、y、z的值，進(jìn)而求出這三個(gè)數(shù)。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：設(shè)個(gè)位數(shù)為x，十位數(shù)為y，百位數(shù)為z，則：

x×y×z＝72，（100z+10x+y）﹣（100z+10y+x）＝6z

化簡(jiǎn)為：3x﹣3y＝2z

因?yàn)楦鱾€(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不相同，

所以72只有兩種劃分：①2、4、9；②3、4、6。這兩種情況，又要滿足x比y大，且3x﹣

3y＝2z

又因?yàn)閤、y、z都是10以內(nèi)的數(shù)字，

所以x＝6，y＝4，z＝3。

所以這個(gè)數(shù)為346。答：原來的這個(gè)三位數(shù)是346。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：解決此類問題，一班采取用字母代替數(shù)的方法解決，根據(jù)題目特點(diǎn)，

靈活設(shè)出這個(gè)數(shù)，然后根據(jù)位置關(guān)系，列出等式，通過推理，解決問題。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)七：數(shù)的整除特征

19．（2023?晉源區(qū)）計(jì)算11335×55779、四個(gè)同學(xué)給出了四個(gè)不同的答案，只有一個(gè)正確，

一個(gè)同學(xué)利用學(xué)過的一些數(shù)的倍數(shù)的特征很快找到了它，它是（）

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A．632254965B．632244965C．632234965D．632213965

試題思路分析：等式左邊55779是3的倍數(shù)，那么11335×55779的積也應(yīng)該是3的倍數(shù)；

據(jù)此選擇即可。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：632254965是3的倍數(shù)，

632244965不是3的倍數(shù)，

632234965不是3的倍數(shù)，

632213965不是3的倍數(shù)，

所以只有632254965是正確的。故選：A。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：解答此題通過發(fā)現(xiàn)55779是3的倍數(shù)，根據(jù)能被3整除的特征判斷。

20．（2020?寧德）1～200這200個(gè)自然數(shù)中，能被4或能被6整除的數(shù)有多少個(gè)（）

A．65B．66C．67D．68

試題思路分析：先分別求出從1到200的自然數(shù)中，能被4整除的數(shù)的個(gè)數(shù)和能被6整除

的數(shù)的個(gè)數(shù)，然后相加后，減去能被12整除的數(shù)的個(gè)數(shù)即可。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：1～200這200個(gè)自然數(shù)中，

能被6整除的數(shù)的個(gè)數(shù)：

200÷6＝33……2

所以有33個(gè)

能被4整除的數(shù)的個(gè)數(shù)：

200÷4＝50（個(gè)）

因?yàn)?和4的最小公倍數(shù)是：12

所以能被4和6同時(shí)整除的數(shù)有：

200÷12＝16……8

所以有16個(gè)

所以1～200這200個(gè)自然數(shù)中，能被4或6整除的數(shù)共有：

33+50﹣16＝67（個(gè)）

答：1～200這200個(gè)自然數(shù)中，能被4或6整除的數(shù)共有67個(gè)。故選：C。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：解答此題的關(guān)鍵：找出從1到200的自然數(shù)中，能被6整除的數(shù)的

個(gè)數(shù)和能被4整除的數(shù)的個(gè)數(shù)，然后相加，其中能被6整除又能被4整除的數(shù)多算了一次，

應(yīng)減去。

21．（2022?錦江區(qū)）一個(gè)五位數(shù)91□3□能被6整除，□里填同一個(gè)數(shù)，它是4。

第15頁共29頁

試題思路分析：如果一個(gè)整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3整除，那么它必能被3整除；如果一

個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)是偶數(shù)，那么它必能被2整除。能被6整除的數(shù)同時(shí)滿足能被3、2整除數(shù)

的特征。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：9+1+3＝13，13+8＝21，21能被3整除，那么8÷2＝4?！趵锾钔?/p>

個(gè)數(shù)，它是4。故答案為：4。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：明確能被6整除數(shù)的特征是解決本題的關(guān)鍵。

22．（2022?重慶）已知一個(gè)自然數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被13整除，

那么這個(gè)自然數(shù)就一定能被13整除，我們把能被13整除的自然數(shù)稱為“夢(mèng)想數(shù)”。

例如：判斷26260是否為“夢(mèng)想數(shù)”，這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字是260，末三位以前的數(shù)字組成

的數(shù)是26，這兩個(gè)數(shù)的差是：260﹣26＝234，234能被13整除，因此26260是“夢(mèng)想數(shù)”。

（1）判斷1158和254514是否為“夢(mèng)想數(shù)”，并說明理由；

（2）如果一個(gè)四位自然數(shù)M，千位和百位上的數(shù)字均為a，十位與個(gè)位上的數(shù)字均為b，

我們就稱它為“OOKK數(shù)”。已知一個(gè)四位數(shù)M既是“夢(mèng)想數(shù)”又是“OOKK數(shù)”。求數(shù)M

的值。

試題思路分析：（1）根據(jù)“夢(mèng)想數(shù)”的定義，計(jì)算即可；

（2）根據(jù)位值原則以及給出的新定義，列出整除關(guān)系求解即可。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：（1）158﹣1＝157

157÷13＝12……1

所以1158不是“夢(mèng)想數(shù)”；

514﹣254＝260

260÷13＝20

所以254514是“夢(mèng)想數(shù)”；

（2）根據(jù)位置原則，M＝（1000+100）a+（10+1）b＝1100a+11b，a，b均為整數(shù)，

根據(jù)“夢(mèng)想數(shù)”的定義：

100a+10b+b﹣a＝99a+11b是13的倍數(shù)，

99a+11b＝11×（9a+b）

所以9a+b是13的倍數(shù)，

9a+b＝13a+b﹣4a

所以b﹣4a也是13的倍數(shù)，

因?yàn)閎﹣4a≤9﹣4×1＝5且b﹣4a≥0﹣4×9＝﹣36

第16頁共29頁

所以b﹣4a＝0或﹣13或﹣26，

當(dāng)b﹣4a＝0時(shí)，a＝1，b＝4或a＝2，b＝8；

當(dāng)b﹣4a＝﹣13時(shí)，a＝4，b＝3或a＝5，b＝7；

當(dāng)b﹣4a＝﹣26時(shí)，a＝7，b＝2或a＝8，b＝6。

綜上所述，M＝1144或2288或4433或5577或7722或8866。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：本題主要考查了位置原則和定義新運(yùn)算，根據(jù)整除的特性來求解是

本題解題的關(guān)鍵。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)八：帶余除法

23．（2020?三明）有四個(gè)自然數(shù)A、B、C、D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5

余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個(gè)自然數(shù)的和是（）

A．216B．108C．314D．348

試題思路分析：根據(jù)A與B、C、D三個(gè)數(shù)的關(guān)系有：A＝5B+5，A＝6C+6，A＝7D+7，得

出：5（B+1）＝6（C+1）＝7（D+1）＝A，所以A為5、6、7的公倍數(shù)，因?yàn)?、6、7的

最小公倍數(shù)為210，根據(jù)題意可知，它們的和不超過400，所以A＝210，進(jìn)而求出另外三

個(gè)數(shù)的值，求其和即可。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：根據(jù)題意：

A＝5B+5，A＝6C+6，A＝7D+7

5（B+1）＝6（C+1）＝7（D+1）＝A

所以A為5、6、7的公倍數(shù)，因?yàn)?、6、7的最小公倍數(shù)為210，

因?yàn)樗鼈兊暮筒怀^400，所以A＝210

所以：210÷5﹣1＝41

210÷6﹣1＝34

210÷7﹣1＝29

B＝41

C＝34

D＝29

這四個(gè)自然數(shù)的和是210+41+34+29＝314。故選：C。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：本題主要考查帶余除法的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)A與其它三個(gè)數(shù)的關(guān)系，

找到符合題意的A的值。

24．一本書如果每天讀80頁，那么4天讀不完，5天又有余；如果每天讀90頁，那么3天

第17頁共29頁

讀不完，4天又有余；如果每天讀N頁，恰好N（N是自然數(shù)）天讀完，這本書是

頁．

試題思路分析：設(shè)頁數(shù)為x，①由“一本書如果每天讀80頁，那么4天讀不完，5天又有

余”得320＜x＜400；②由“如果每天讀90頁，那么3天讀不完，4天又有余”得270＜x

＜360；③由①②得320＜x＜360．滿足上述條件的只有N＝18.320＜18×18＝324＜360．

規(guī)范詳細(xì)解答：解：設(shè)頁數(shù)為x，①320＜x＜400；

②270＜x＜360；

③由①②得：320＜x＜360，

滿足上述條件的只有N＝18．

320＜18×18＝324＜360．故答案為：324．

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：此題考查了帶余除法的知識(shí)，以及分析問題的能力．

25．有一個(gè)數(shù)，除以3的余數(shù)是2；除以4的余數(shù)是1．這個(gè)數(shù)除以12的余數(shù)是．

試題思路分析：此題可采用列舉法由一般到特殊進(jìn)行推理解決．如：除以3余2的數(shù)，應(yīng)

是3的倍數(shù)+2；除以4余1的數(shù)，應(yīng)是4的倍數(shù)+1，從中找出同時(shí)符合“除以3余數(shù)是2

且除以4余數(shù)是1的數(shù)”，即可解決問題．

規(guī)范詳細(xì)解答：解：除以3余2的數(shù)，應(yīng)是3的倍數(shù)+2，那么除以3余2的數(shù)有：5，8，

11，14，17，20，23，26，29，32…；

除以4余1的數(shù)，應(yīng)是4的倍數(shù)+1，那么除以4余1的數(shù)有：5，9，13，17，21，25，

29，33…

所以，同時(shí)符合除以3余數(shù)是2，除以4余數(shù)是1的數(shù)5，17，29，…，（5不符合題意），

所以17，29，…，這個(gè)數(shù)除以12余數(shù)均為5．

答：這個(gè)數(shù)除以12余數(shù)是5．故答案為：5．

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：此題采用列舉法列舉出符合題意的數(shù)據(jù)，由特殊到一般推理出最后

結(jié)果．

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)九：約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理

26．（2020?綿陽）24的約數(shù)一共有（）個(gè)．

A．10B．8C．6D．4

試題思路分析：根據(jù)求一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式解答即可．

規(guī)范詳細(xì)解答：解：24＝23×31，

所以24的約數(shù)一共有：（3+1）×（1+1）＝4×2＝8（個(gè)）；

第18頁共29頁

答：24的約數(shù)一共有8個(gè)．故選：B．

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：此題是數(shù)論中的約數(shù)個(gè)數(shù)問題；當(dāng)合數(shù)比較小時(shí)，可以用枚舉法；

當(dāng)合數(shù)較大時(shí)，用求一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式比較簡(jiǎn)單：N＝pα×qβ×rγ（其中N

為合數(shù)，p、q、r是質(zhì)數(shù)），則N的約數(shù)共（α+1）（β+1）（γ+1）個(gè)約數(shù)．

27．（2020?泗洪縣）已知a＝2×3×5，那么a的因數(shù)共有（）

A．8個(gè)B．6個(gè)C．5個(gè)D．3個(gè)

試題思路分析：根據(jù)求一個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)的計(jì)算方法：所有相同質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)加1連乘的

積就是這個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，據(jù)此解答即可。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：a＝2×3×5

（1+1）×（1+1）×（1+1）

＝2×2×2

＝8（個(gè)）答：a的因數(shù)共有8個(gè)。故選：A。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：此題主要考查一個(gè)合數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式：a＝pα×qβ×rγ（其

中a為合數(shù)，p、q、r是質(zhì)數(shù)），則a的因數(shù)共有（α+1）（β+1）（γ+1）個(gè)因數(shù)。

28．某自然數(shù)有10個(gè)不同的約數(shù)，但質(zhì)約數(shù)只有2和3，滿足條件的自然數(shù)最大是。

試題思路分析：首先把10分成兩個(gè)數(shù)的乘積，用因數(shù)減1當(dāng)作所求自然數(shù)的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)，

從最小的質(zhì)數(shù)2開始考慮，使3的個(gè)數(shù)最多，算出乘積即可得出答案。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：因?yàn)?0＝2×5＝（1+1）×（4+1），

所以一個(gè)自然數(shù)有10個(gè)不同的因數(shù)，則這個(gè)自然數(shù)最大：21×34＝162。

答：滿足條件的自然數(shù)最大是162。故答案為：162。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：此題主要考查一個(gè)合數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式：a＝pα×qβ×rγ（其

中a為合數(shù)，p、q、r是質(zhì)數(shù)），則a的因數(shù)共有（α+1）（β+1）（γ+1）個(gè)因數(shù)。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)十：同余定理

29．（2020?陽山縣）一箱桃子有40多個(gè)，如果把這箱桃子每8個(gè)裝一盒，還剩5個(gè)；如果每

10個(gè)裝一盒，也剩余5個(gè)，這箱桃子有（）個(gè)。

A．40B．45C．48

試題思路分析：如果把這箱桃子每8個(gè)裝一盒，還剩5個(gè)；如果每10個(gè)裝一盒，也剩余5

個(gè)，說明這個(gè)數(shù)減去5后，能被8和10整除，這個(gè)數(shù)就是8和10的公倍數(shù)再加上5，據(jù)

此解答。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：8和10的最小公倍數(shù)為40，

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40+5＝45（個(gè)）符合題意。答：這箱桃子有45個(gè)。故選：B。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：本題主要考查了同余定理，題目較為簡(jiǎn)單，找到8和10的公倍數(shù)是

本題解題的關(guān)鍵。

30．（2019?鄭州）一堆蘋果不少于10個(gè)，三個(gè)三個(gè)的數(shù)，四個(gè)四個(gè)的數(shù)，五個(gè)五個(gè)的數(shù)都多

兩個(gè)，這堆蘋果最少有多少個(gè)？

試題思路分析：“三個(gè)三個(gè)的數(shù)，余2個(gè)，四個(gè)四個(gè)的數(shù)，余2個(gè)，五個(gè)五個(gè)的數(shù)，余2

個(gè)”，說明這堆蘋果的個(gè)數(shù)是3、4、5的公倍數(shù)加2；3、4、5的最小公倍數(shù)是3×4×5＝

60，又知這堆蘋果不少于10個(gè)，可確定這堆蘋果最少有60+2個(gè)，由此解決問題即可．

規(guī)范詳細(xì)解答：解：3、4、5兩兩互質(zhì)，

3、4和5的最小公倍數(shù)是：3×4×5＝60

60+2＝62（個(gè)）答：這堆蘋果最少有62個(gè)，

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：此題主要考查求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：三個(gè)數(shù)互質(zhì)，它們的

最小公倍數(shù)是它們的積，并用此決解實(shí)際問題．

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)十一：完全平方數(shù)性質(zhì)

31．（2022?中原區(qū)）小明準(zhǔn)備利用假期去讀一本書，如果每天讀80頁，那么4天讀不完，5

天又有余；如果每天讀90頁，那么3天讀不完，4天又有余；如果每天讀N頁，恰好N

（N是自然數(shù)）天讀完，這本書是頁。

試題思路分析：根據(jù)題干中的三句話求出N的取值范圍，再根據(jù)完全平方數(shù)的特征解答即

可。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：設(shè)總頁數(shù)為M

根據(jù)如果每天讀80頁，4天讀不完，5天又有余，可得：320＜M＜400；

根據(jù)如果每天讀90頁，那么3天讀不完，4天又有余，可得：270＜M＜360；

再根據(jù)如果每天讀N頁，恰好用了N（N是自然數(shù)）天讀完，可得：320＜N2＜360；

在320～360之間，只有182＝324符合要求，所以N＝18，即總頁數(shù)是324。故答案為：

324。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：本題考查了有余數(shù)除法和完全平方數(shù)的性質(zhì)的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是求

出總頁數(shù)的取值范圍。

32．（2019?長(zhǎng)沙）甲、乙兩人合買了n個(gè)籃球，每個(gè)籃球n元，付錢時(shí)，甲先乙后，10元，

10元地輪流付錢，當(dāng)最后要付的錢不足10元時(shí)，輪到乙付，付完全款后，為了使兩人所

付的錢數(shù)同樣多，則乙應(yīng)給甲元

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試題思路分析：籃球的總價(jià)為n2．由題意“首先由甲付10元，然后乙付10元，甲再付10

元，乙再付10元，…直到某次甲付10元后，乙只需要再付不足10元“可知，每輪他們付

20元，最后一輪甲付了10元后乙沒付夠10元，所以他們支付的總價(jià)格的十位上必定是奇

數(shù)。

由下面可以推出十位上是奇數(shù)個(gè)位必定是6：

假設(shè)一個(gè)數(shù)為n＝10x+y，其中x和y是整數(shù)，且0＜y≤9，于是，我們有：

n*n＝100x*x+20xy+y*y

＝20x（5x+y）+y*y

如果n*n的十位數(shù)字是奇數(shù)，那么y的平方十位數(shù)字是奇數(shù)，由此推得：

y的平方等于16或36。

所以n的平方個(gè)位數(shù)字是6。

所以最后乙付的錢肯定是6元，由此可以作答。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：總價(jià)為n2元，由題意得，總價(jià)的十位數(shù)上為奇數(shù)，所以個(gè)位數(shù)上必定

為6。

所以最后一輪乙支付了6元，甲支付了10元。

所以乙需要給甲（10+6）÷2﹣6＝2（元）

答：按照約定，乙需要再給甲2元。故答案為：2。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：本題考差了平方數(shù)的一些規(guī)律，靈活運(yùn)用即可作答。

33．（2022?江夏區(qū)）當(dāng)a大于0小于1時(shí)，a2小于2a。（判斷對(duì)錯(cuò)）

試題思路分析：根據(jù)一個(gè)大于0的數(shù)乘1其積等于這個(gè)數(shù)，乘小于1的數(shù)其積小于這個(gè)數(shù)，

乘大于1的數(shù)其積大于這個(gè)數(shù)；因?yàn)閍大于0小于1，所以a2＜a，2a＞a；據(jù)此判斷即可。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：因?yàn)閍大于0小于1，a2＜a，2a＞a；

所以即a2＜2a，故原題說法正確。故答案為：√。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：此題主要是考查平方的意義．也可舉例驗(yàn)證結(jié)論正確。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)十二：數(shù)字和問題

34．（2018?綿陽）我國(guó)古代的“河圖”是由3×3的方格構(gòu)成，每個(gè)方格內(nèi)均有數(shù)目不同的點(diǎn)

圖，每一行、每一列以及每一條對(duì)角線上的三個(gè)點(diǎn)圖的點(diǎn)數(shù)之和均相等．如圖給出了“河

圖”的部分點(diǎn)圖，請(qǐng)你推算出P處所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)圖．其中，正確的是（）

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A．B．C．D．

試題思路分析：把一個(gè)點(diǎn)看成1，那么中間數(shù)是5，幻和就是5×3＝15；再根據(jù)這個(gè)幻和

進(jìn)行推算．

規(guī)范詳細(xì)解答：解：每個(gè)點(diǎn)表示1，中間數(shù)就是5，幻和是5×3＝15．

左下角的數(shù)是：15﹣5﹣2＝8，

P點(diǎn)的數(shù)是：15﹣8﹣1＝6．

P點(diǎn)有6個(gè)點(diǎn)組成，與C相同．故選：C．

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：解決本題關(guān)鍵是根據(jù)中間數(shù)求出幻和，再根據(jù)幻和推算．

35．（2021?南陽）如圖是標(biāo)有1、2、3、4、5、6數(shù)字的正方體的三種不同的擺法，三個(gè)正方

體朝左那一面的數(shù)字之和是。

試題思路分析：從第一種擺法可知道，3的對(duì)面不是1和2，從第二種擺法可知道，3的對(duì)

面不是4，從第三種擺法可知道，3的對(duì)面不是6，所以3的對(duì)面只能是5，即第一個(gè)正方

體朝左那一面的數(shù)字是5；從第一種擺法可知，2的對(duì)面不是1、3、5，從第二種擺法可知，

2的對(duì)面不是4，所以2的對(duì)面只能是6；于是1的對(duì)面只能是4，所以第二個(gè)正方體朝左

一面的數(shù)字是1，第三個(gè)正方體朝左一面的數(shù)字是4。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：5+1+4＝10

答：三個(gè)正方體朝左那一面的數(shù)字之和是10。故答案為：10。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：解答此題的關(guān)鍵是掌握最多只能看到正方體的三個(gè)面，不可能同時(shí)

看到兩個(gè)相對(duì)的面。

36．a(chǎn)、b、c、d是四個(gè)不同的自然數(shù)，且a×b×c×d＝2790，a+b+c+d最小是．

試題思路分析：由于a、b、c、d是四個(gè)不同的自然數(shù)，且a×b×c×d＝2790，因此可先

將2790分解質(zhì)因數(shù)，2790＝2×3×3×5×31，所以2790含有5個(gè)質(zhì)因數(shù)，這些質(zhì)因數(shù)中，

只有2×3＝6的值最小，所以這四個(gè)因數(shù)可為3×6×5×31＝2790，則a+b+c+d最小是

第22頁共29頁

3+5+6+31＝45．

規(guī)范詳細(xì)解答：解：由于2790＝2×3×3×5×31，

只有2×3＝6的值最小，a×b×c×d＝3×6×5×31＝2790，

則a+b+c+d最小是3+5+6+31＝45．故答案為：45．

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：先根據(jù)題意將2790分解質(zhì)因數(shù)，再根據(jù)其質(zhì)因數(shù)的情況進(jìn)行分析是

完成本題的關(guān)鍵．

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)十三：等量關(guān)系與方程

37．（2023?確山縣）一次知識(shí)競(jìng)賽，共有10道題，每答對(duì)一題得10分，答錯(cuò)或不答倒扣5

分，小明共得55分，他答對(duì)（）道。

A．3B．6C．7D．11

試題思路分析：假設(shè)他答對(duì)x道，則能得到10x分，由于答錯(cuò)或不答要倒扣5（10﹣x）分，

根據(jù)“得到的分?jǐn)?shù)﹣倒扣的分?jǐn)?shù)＝55”列方程解答即可。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：設(shè)他答對(duì)了x道題，根據(jù)題意可得：

10x﹣5（10﹣x）＝55

10x﹣50+5x＝55

15x＝105

x＝7

答：他答對(duì)7道。故選：C。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：此題屬于雞兔同籠問題，解這類題也可以用假設(shè)法或列表法。

38．（2020?長(zhǎng)沙）若＝2。求△代表的數(shù)。

試題思路分析：根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，化簡(jiǎn)等式的左邊，然后根據(jù)等式的基本性質(zhì)解方

程即可。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：＝2

[2×（1﹣）]÷[3÷（△+1）]＝2

×（﹣）÷×（△+）＝

×××（△+）＝

第23頁共29頁

×（△+）＝

×（△+）×＝×

△+＝

△+﹣＝﹣

△＝

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：本題主要考查了解方程的能力，充分利用等式的基本性質(zhì)，分?jǐn)?shù)與

除法的關(guān)系，是本題解題的關(guān)鍵。

39．（2023?迎澤區(qū)）中國(guó)自主研發(fā)的復(fù)興號(hào)列車的速度已經(jīng)達(dá)到350千米/時(shí)，民航飛機(jī)的一

般速度比復(fù)興號(hào)列車速度的2倍還多200千米。民航飛機(jī)的一般速度是多少？

試題思路分析：根據(jù)題意可知：復(fù)興號(hào)列車的速度×2+200＝民航飛機(jī)的一般速度，據(jù)此

列式解答。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：350×2+200

＝700+200

＝900（千米/時(shí)）答：民航飛機(jī)的一般速度是900千米/時(shí)。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：此題主要考查了解決問題，弄清題意，找出合適的等量關(guān)系，進(jìn)而

列式是解答此類問題的關(guān)鍵。

40．（2023?汝城縣）有30個(gè)人去參加一個(gè)會(huì)議，住在一個(gè)賓館里，安排11個(gè)房間（3人間

和2人間）剛好住完。他們住了個(gè)3人間，有人住在2人間。

試題思路分析：方法一：可設(shè)他們住了x個(gè)3人間，則2人間住了（11﹣x）個(gè)，則根據(jù)總

人數(shù)30人列出方程可得：3x+2（11﹣x）＝30，解方程即可解決問題。

方法二：此題可以假設(shè)全是3人間，則一共有11×3＝33人，這比已知的30人多了33﹣

30＝3人，因?yàn)?間3人間比1間2人間多1人，則2人間有3÷1＝3個(gè)，由此即可解答。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：方法一：設(shè)他們住了x個(gè)3人間，則2人間住了（11﹣x）個(gè)，則根據(jù)

題意可得方程：

3x+2（11﹣x）＝30

3x+22﹣2x＝30

x＝8

則住2人間的有：（11﹣8）×2＝6（人）。

方法二：假設(shè)全住3人間，則2人間有：

第24頁共29頁

（11×3﹣30）÷（3﹣2）

＝3÷1

＝3（個(gè)）

所以3人間有11﹣3＝8（個(gè)）

住2人間的有：2×3＝6（人）答：他們住了8個(gè)3人間，有6人住在2人間。

故答案為：8；6。

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：（1）解答此題的關(guān)鍵是正確設(shè)出未知數(shù)，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程即

可解答；

（2）此題問題原型是雞兔同籠問題，也可以采用假設(shè)法即可解答。

重點(diǎn)考察知識(shí)點(diǎn)十四：二元一次方程組的求解

41．（2020?阿壩州）（填“是”或“不是”）方程2x+y＝7的一個(gè)解．

試題思路分析：要判斷是否是不定方程2x+y＝7的一個(gè)解，只要代入方程2x+y＝7

驗(yàn)證即可．

規(guī)范詳細(xì)解答：解：把代入方程2x+y＝7的左邊可得：

左邊＝2×+3＝4，

右邊＝7，

左邊≠右邊，

所以，不是方程2x+y＝7的一個(gè)解．故答案為：不是．

考察重難點(diǎn)與注意點(diǎn)：本題考查了不定方程解的驗(yàn)證方法，注意驗(yàn)證的書寫格式．

42．（2021?重慶）自來水廠的供水池有7個(gè)進(jìn)出水口，每天早晨6點(diǎn)開始進(jìn)出水，且此時(shí)水

池中有水15%，在每個(gè)進(jìn)出水口是勻速進(jìn)出的情況下，如果開放3個(gè)進(jìn)口和4個(gè)出口，5

小時(shí)將水池注滿；如果開放4個(gè)進(jìn)口和3個(gè)出口，2小時(shí)將水池注滿。若某天早晨6點(diǎn)時(shí)

水池中有水24%，又因?yàn)樗芨脑?，只能開放3個(gè)進(jìn)口和2個(gè)出口，則從早晨6點(diǎn)開始經(jīng)

過多少小時(shí)水池的水剛好注滿？

試題思路分析：設(shè)每個(gè)進(jìn)水口每小時(shí)進(jìn)水量為x，每個(gè)出水口每小時(shí)出水量為y，根據(jù)“如

果開放3個(gè)進(jìn)口和4個(gè)出口，5小時(shí)將水池注滿；如果開放4個(gè)進(jìn)口和3個(gè)出口，2小時(shí)將

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水池注滿（水池中有水15%）”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可求出x、

y的值；再將其代入中即可求出結(jié)論。

規(guī)范詳細(xì)解答：解：設(shè)每個(gè)進(jìn)水口每小時(shí)進(jìn)水量為x，每個(gè)出水口每小時(shí)出水量為y，依題

意，可得：

解得：

所以，