數列的綜合應用基礎練

2025年高考數學一輪復習備考

一、單選題

1.若數列｛4｝滿足“向=則稱｛4｝為“對奇數列”.己知正項數列也+1｝為“對奇數列”，且4=2,

則4024=（）

A.2x32023B.22023C.22024D.22025

2.已知數列｛。,｝滿足％=2,4+1=｝，則數列｛凡｝前2023項的積為（）

1—4

A.2B.3C.--D.-6

2

3.函數1=區是取整函數，也被稱為高斯函數，其中[司表示不超過尤的最大整數，例如：[3.9]=3,

[-2.1]=-3.若在的定義域內，均滿足在區間[%,。用）上，。=[〃可]是一個常數，則稱也｝為

“X）的取整數列，稱｛%｝為“X）的區間數列，下列說法正確的是（）

A./⑺=log221）的區間數列的通項an=2"

B./（^）=log2x（j;>l）的取整數列的通項6“=〃

C./（力=豌2（33可（行1）的取整數列的通項22〃+5

n

D.若=1鳴x（l<x<2）,則數列也（——4）｝的前n項和Sn=（〃-2）2"+2

4.在半徑為1的圓。中作內接正方形ABCD,作正方形ABCD的內切圓。I，再作圓的內接正方形

AACR,依此方法一直繼續下去.我們定義每作出一個正方形為一次操作，則至少經過（）次操

作才能使所有正方形的面積之和超過10粵23.

256

A.9B.10C.11D.12

5.公差為d的等差數列｛4｝的首項為里，其前〃項和為S“，若直線y=%x+機與圓（x-2）2+y=l的兩

個交點關于直線>=-六對稱，則數列

的前100項和等于（）

10099

A.----B.----cD.1

101100-H

6.有一袋子中裝有大小、質地相同的白球k個，黑球2024-左（左eN*）.甲、乙兩人約定一種游戲規則

如下：第一局中兩人輪流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局獲勝但從第二局起，上一局的負者先摸

球.若第一局中甲先摸球，記第"局甲獲勝的概率為p“，則關于以下兩個命題判斷正確的是（）

①0=北Ur且%=(i-2pjp“+p；

②若第七局甲獲勝的概率不小于0.9,則上不小于1992.

A.①②都是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①②都是假命題

7.數列｛q｝的前九項和為S“，S”=2a“-3〃+4,若4(%+3)-3〃+2>0對任意〃?N*恒成立，則實

數4的取值范圍為()

A.[；,+00jB.(1,+<?)C.匕,+°°]D.(2,+co)

8.設數列｛%｝滿足q=0,an+l=cal+l-c,"eZ+,其中c為實數，數列｛個｝的前〃項和是S,，下列說

法不正確的是()

A.cG[0,1]是%e[0,1]的充分必要條件B.當c>l時，｛4｝一定是遞減數列

C.當c<0時，不存在c使｛%｝是周期數列D.當。=:時，Sn>n-7

二、多選題

9.已知。“=2"，bn=3n-l,數列｛4｝和色｝的公共項由小到大排列組成數列｛%｝,貝U()

｛g｝為等比數列

的前”項和Sae[L5)

D.加、屈、也不是任一等差數列的三項

10.分形幾何學是美籍法國數學家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀70年代創立的一門新學科，它的

創立為解決傳統科學領域的眾多難題提供了全新的思路.下圖展示了如何按照圖①的分形規律生長成

一個圖②的樹形圖，設圖②中第〃行白心圈的個數為風，黑心圈的個數為4，則下列說法正確的是

()

B.4=2

C.數歹為等比數列

12022_i

D.圖②中第2023行的黑心圈的個數是——

2

11.已知數歹！!｛?！埃凉M足g+1=。；-2%+2,則下列說法正確的是()

A.當q=3時，l<a“V?(w22)B.若數列｛4｝為常數列，則%=2

C.若數列｛叫為遞增數列，貝何>2D.當弓=3時，q,=2*+l

12.斐波那契數列｛力｝滿足fn+2=fn+l+f?(〃eN*).下列命題正確的有()

A.%2="+1

B.存在實數彳，使得"用-血,｝成等比數列

C.若｛與｝滿足％=1,an+l=l+—(〃eN*),則％=今

anJ"

；；：：：：；；

D.c°o+C9+C+C7+C6+C5+C4+C3+/+M+C°=f20

三、填空題

13.已知數列｛%｝的前〃項積為T“，若%則滿足焉,o]的正整數人的最小值

為.

14.設數列口｝的通項公式為4=川-a〃wN*,該數列中個位數字為0的項按從小到大的順序排列

構成數列｛b?｝,則bzou被7除所得的余數是.

15.x(xeR)表示不小于x的最小整數，例如「2]=2,-|=-1.已知等差數列｛%｝的前見項和為S“，

且$7=-7,ai+a6=-3.記么=0，則數列｛￡｝的前10項的和.

16.已知數列｛%｝滿足。3=-7,""+?！?1=布〃2。。5耳，貝1。240=.

四、解答題

17.如圖是一個各棱長均為1米的正四棱錐S-ABCZ),現有一只電子蛾蛾在棱上爬行，每次從一個

頂點開始，等可能地沿棱爬到相鄰頂點，已知電子蛾蛾初始從頂點S出發，再次回到頂點S時停止爬

行.

(1)求電子蟲觸曲爬行2米后恰好回到頂點S的概率;

（2）在電子岫蝴停止爬行時爬行長度不超過4米的條件下，記爬行長度為求J的分布列及其數學期

望E楂）;

（3）設電子蛾蝸爬行22）米后恰好停止爬行（首次回到頂點S）的概率記為匕，求匕（用九表示）.

18.已知等差數列｛g｝的前〃項和為5“,外向=2%+2,且，殺;為等差數列.

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵在。與2年之間插入〃個數，使這〃+2個數組成一個公差為d”（Z>。）的等差數列，記數列［上］

的前幾項和為I，求證：I<3.

19.已知數列｛%｝中，4+i=2a“-6cos（r-鄉.

236

rjyr

（1）證明：數列為常數列；

⑵求數列｛加訂的前2024項和.

參考答案:

1.C

因為正項數列｛2+1｝為“對奇數列”，所以％1+1=2(2+1)-1,

則%1=2優，即數列｛%｝是公比為2的等比數列，又因為仇=2,

20232024

所以蜃24=2x2=2，

2.B

1+CL

依題意，4=2,an+i=-------,

1+-

1+2c1-3121

所以=—J,a,=-----%=7~=2=%,

1—231+32'3

1+11--

23

所以數列｛q｝是周期為4的周期數列，

q%%%=2x(—3)x^——^jx—=1,2023=505x4+3,

所以數列｛%｝前2023項的積為2x(-3)X'￡|=3.

3.D

選項A：當XE[1,2)時，0Wlog2%<l,[log2x]=0,所以%=1,4=2,

又當尤《2,4)時,1<log2x<2,[log2x]=1,所以出=2,%=4,

同理可知在[2〃工2〃)上，n-l<log2x<n,[log2x]=n-l,所以%=2〃T,A錯誤.

選項B：由選項A的分析可知，bn=[/(x)]=[log2x]=n-l,B錯誤.

選項C：因為[/(x)]=[log2(33%)]=[log2X+log233]

2[log2x]+[log233]=[log2x]+5,

因為[kgxjnz—l,所以僅2九+4,C錯誤.

H11

選項D：由選項A的分析可知，bn(??+1-a?)=(n-l)(2-2--)=(?-1)2-,

2

貝I]Sn=0+1x21+2x2+3x23+…+(“-1)X2"T①，

所以2S“=0+1X22+2X23+3x24+…+(〃-2)X2"T+(〃一1)2”②,

2(1-2"-1)

②-①得S“=-(2'+22+---+2”T)+(〃-1)2"+(?-l)2"

1-2

=2—2"+(“—1)2"=2+(〃-2)2",D正確.

4.C

第一個正方形的邊長為血，面積為(魚了=2,

第二個正方形的邊長為理x點=1,面積為1,

2

第三個正方形的邊長為工*0=變，面積為=1

2212J2

以此類推，正方形的面積是首項為2,公比為1的等比數列，

2

.12"J/,1023111匚匚zs

由-----3-----=41----->--------,--<------=-77T9所以〃>[0,

「I12〃J2562”1024210

~2

所以至少經過11次操作才能使所有正方形的面積之和超1過02塔3.

5.A

因為直線y=中+加與圓(％-2)2+/=1的兩個交點關于直線y=-寸對稱,

所以直線y=-——經過圓心(2,0),且直線y=4%+根與直線y=-——垂直,

所以2—d=0且—5。]=—1,解得：d=2,%=2.

n(n-\\1111

則S“=2〃+」---=+77，

n2')nyn+i)nn+1

所以數列!的前100項和為l—工+!—工+…+」——-=1--=—.

[Sn\223100101101101

6.A

第一局：摸1次甲獲勝概率為：熹,摸3次甲獲勝概率為：(2024———,

2024(2024)2024

摸5次甲獲勝概率：［2。24曰_L_,摸7次甲獲勝概率：［2021］上，L,

(2024)2024(2024)2024

2024-左『一2卜

摸2〃?-1次甲獲勝概率:2024J2024

k(2024kf2024-^Ymlk

所以Pi=lim2024+12024J2024+"'+<2024J2024

kJ2O24_『

k

I2024)

202420242024

所以月=lim/、2

zn—>+oo(2024-A:

12024-4048

'I2024J2024)

第〃+l局甲獲勝包括兩種情況：第"局甲贏且第〃+1局甲后摸球和第"局甲輸且第〃+1局甲先摸球,

則P,+i=(1一月)+(1-PM=(1一2R)%+R，故①正確；

由％+1=(1_2p)0“+口，設p“+|+/l=(l_2月)(p,+X),解得彳=一；,

所以P“+1_g=(l_2pj]p“_g),

所以，P“是首項為R-；，公比為1-2”的等比數列，

則07—g=]pi_；j(l_2pj6,即0?=(p1_；｝l_2pj6+gz0.9,

所以[一2pJ20.4,即.一>0.4,

即26[口一1)204,即12竽,即月一；2^^,

In412024

則“zMr+—"0?984，即Pj=------------>0.984,解得左N1991.089,

V2624048

所以人不小于1992,所以②正確.

7.B

由于S.=2%-3〃+4,故％=S[=2%-3*1+4,從而生=-1.

2a3

又有?！?1=Sa+]-S”=(2%-3(〃+1)+4)-(2%-3〃+4)=2aM-n-.

所以4,+i=24+3,故%+3=2(q,+3),而q+3=-1+3=2,故紇+3=2".

這表明命題等價于X.2"-3"+2>0對〃eN*恒成立.

若2W1,貝！!322-3*2+2=4幾-4W4-4=0,從而原不等式對〃=2不成立，不滿足條件；

若4>1,由于我們可以直接驗證2"—3"+220在〃=1和九=2時成立，且對九>2有

2,!-3n+2=2,,-22-3(77-2)=^(2^-2*-1)-^3=^(2M-3)>^(22-3)>0,

k=3k=3k=3k=3

故2"-3/7+220對〃eN*恒成立.

而此時由4>1有九2"—3〃+2>2"—3w+220,故;1?2"—3〃+2>0對〃eN-恒成立，滿足條件.

所以彳的取值范圍是(1,+8).

8.C

若%則出即必要性成立；

若cd[0,1],則%=l-ce[0，U

假設〃=笈(%21,%eN")時，ane[0,1]

則〃=%+1時,a?+1=ca^+1-ce[1-c,1]G[0,1]

因此cd[0,1]時，4c[0,1],即充分性成立；故A成立；

c>l,y=cx3+l-c單調遞增,

^—0,622=1—CV0Cl^—于(^2)Vf(。1)=1—C—4^2

同理。4=/(%)</4)=%，依次類推可得?！?1<?！ǎ矗āǎ欢ㄊ沁f減數列，故B成立；

3

當c<0時，ax=0,「.做=1-c>0..?3=c(l-c)+1-c<1-c=?2

由的=0=>C(1-c)2+1=0,令g(c)=c(l-c)2+1,Qg(-1)<。,g(-g)>og(c)存在零點,即存在c使｛%｝是周

期數列，即C錯誤；

當C=:時，%+1+*〃+1T=T)=MT)3；+4〃+1)，

由A得見e[0,1],所以?！?i-1之1&-1)(1+1+1)>(0?_1-1).(-)2>￡>(0-1).(-)",

a用>1一2弓尸(心2)

3

…+匕「卜7-2」

因為”=1時，51=0>-7,所以S.>〃_7,即D成立；

9.BCD

設的第〃項與｛4｝的第加項相等，即2〃=3a-1，〃￡N*

當"二根=1時，%=4=。=2,

當〃=3,根=3時，/=4=。2=8,

當〃=5,a=n時，a5=bn=c3=32,故A錯；

m

令%=4=4，即cn=2=3k-l,

4,用=2-2'"=2（3左一1）=3（2左—1）+1,不是｛%｝中的項，即不是匕｝的項,

4”+2=42"=4（3"1）=3（軟—1）—1,是也｝中的項,即不是匕｝的項，

所以於=警=4,則C.=2.4"T=22"T,即｛%｝為等比數列，故B對；

Cnam+l

由S"=2xg+5x[g[+---+（3ra-l）-Q^,

得曰"=2'出+5xg[+…+(3”1).出，

1

兩式相減得，-S=2x—+3xI+???+3x

2n〃22

所以S.=5-笄，且%>°，所以S〃單調遞增，所以色目1,5），故C對;

a

2n

設加、行、場是等差數列｛4｝的第八力P項，｛4｝的首項為4,公差為d,

y/2=dx+(i-l)d

乒舁(j_i)d=^一拒=三=?_2,

<\[5=4+(j-1)d=<

6=(p_i)d'p-

y/s=4+(p-l)d

因為公是有理數，質-2是無理數

所以原假設不成立，即屈、施、其不是任一等差數列的三項

10.ACD

由題可得%=5,&=4,故A正確，B錯誤;

a,+b,,=3"T,an+l=2an+bn,bn+1=2bn+an,且有q=1,b}=0,

。用+々用=3(%+。),

故有

an+A-bn+l=an-bn,

所以+2｝是以％+偽=1為首項，3為公比的等比數列,

｛%-2｝為常數列，且4-4=1，

所以｛4-2｝是以％-4=1為首項，1為公比的等比數列，故c正確；

3"一+1

十「故an=，

由上可得

[4,一切=1，3〃T—1

bn--一，

o2022_i

所以“23=；故D正確?

11.AD

對于A,當q=；時，/=：，令=%T，貝尼+i=2；,么=；，故0<凡,即l<a“<1(n>2),

A正確；

對于B,若數列｛an｝為常數列，令％=t,貝1=?一2/+2,解得，=1或，=2,二%=1或4=2,B不正

確；

對于C,令b“=an-l,則%,

若數列｛&J為遞增數列，則數列｛,｝為遞增數列，則\b“=b：-b.>0,解得么<0或￡>1.

當偽<一1時，b2=bf>l,且以|=不，

???1<4<…<6“<?,?，/<勿，此時數列｛既｝為遞增數列，即數列｛an｝為遞增數列;

當-1W仿<。時，0<仇41,且%=%

,此時數列｛.｝不為遞增數列，即數列｛即｝不為遞增數列；

當々>1時，bn+l=b；,

:.b\<b2Vb3此時數列｛5｝為遞增數列，即數列｛an｝為遞增數列.

綜上，當仇<-1或乙>1,即/<0或%>2時，數列｛即｝為遞增數列，C不正確；

對于D,令"=%T,則bn+1=f,4=2,兩邊同時取以2為底的對數,得log2%=210g22,log,^=1,

數列｛logA｝是首項為1，公比為2的等比數列，

.'.logA=2?-',即2=2*,an=2*+1,D正確.

12.BC

對A,因為｛力｝滿足￡=4=l,f+2=f+1+f,

所以與=fa，4=4+1=3,《=4+與=5,=W+W=8,

6=W+W=13,%=《+4=21,4=4+石=34,

所以端=212=441,44+1=13x34+1=443,

所以*h4《+1,所以A選項錯誤；

對B,若｛糯-"｝為等比數列,則可設篇T篇=以篇-電）（#0）,

將九2=力+i+力代入可得，源=4（源-電），

'」+君1-V5

/\「1一丸=9'2

即1—44+】+力=琥用一^兒力，則有1:二臣或<2

H2=1°i-V51+75

I2

所以存在實數2,使得數歹U｛力+1-2力｝為等比數列，故B選項正確；

對C,根據數列｛的J的遞推公式可計算出如下結果，

11112.13.151

芻=1=彳，4=1+一％=1+—=寸％=1+—=-,???,^=1+-

1q1a2乙q3

顯然%的分子為1,2,3,5,8,13,21,34,55,…滿足斐波那契數列，可以表示為加?,

同理，%的分母為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…滿足斐波那契數列，

可以表示為工，所以?！?孕，故C選項正確；

Jn

對D,根據斐波那契數列公式可得，fw=6765,

又因為%=3003,C\+C:=4823=>C^+C^+C?4=7826>6765,

所以C；。+C；9+C；8+C：7+C：6+C：5+C：4+C：3+C：2+圖+C；；w%,故D選項錯誤.

13.5

解：由滿足就一焉4即詠高，

當〃“時，圜（嬴，

又〃為偶數時，（〉。，孔為奇數時，（<0,所以要滿足，￡卜焉,0

所以上的最小值為5,

故答案為：5.

14.0

因為q,=n3-n=/z(/z-l)(/z+l),所以當力的個位數字為1,4,5,6,9,0時，

%的個位數為0,則在數列｛4｝中，每連續10項中就有6項的個位數字為0,

而2017=336x6+1,由此推斷數歹^也｝中的第2017項相當于數列｛%｝中的第3361項，

即仇oi7=/36i=336/-3361,而3361=480x7+1,所以3361除以7余數為1,

而(7/+1)3=(7左丫+3(7乃2+3(74)+1,左eN*,所以336F除以7余數也為1,

而它們的差336F-3361一定能被7整除，所以%)仃被7除所得余數為0.

故答案為：0.

15.-15

由邑=-7,可得7%=-7,解得知=-1,

又。4+4=-3,得2%=-3,解得。5=-耳，

所以數列｛見｝的公差為1=-；，.?.。”=1一小，

又〃=

4=［；］=1,同理4=a=0,b^=b5=-l,b6=b-,=-2,bs=b9=-3,bl0=-4,

所以數列出｝的前10項的和為1+0+0+(-1)+(—1)+(-2)+(-2)+(-3)+(-3)+(-4)=-15.

故答案為：T5.

16.1785

｛irrr

cos^^是以4為周期的周期數列，

a2

易知a4k+4k+i=左2,a4k+l+a4k+2=0,a4k+2+a4k+3=-^+^+-^,a4k+3+aAM=0,

則為左+4-〃4左=%+7，且。3=+。4=0,可得。4=7；

由累加法可得％40=(%40-%36)+(%36—。232)-----(。8-。4)+。4=59+—+58+—H-----bl+—+—

159(59+1)

=59+58+…+1+—x60=—------^+15=1785；

42

故答案為：1785

17.(K

⑵分布列見解析，

⑶（心2）

（1）記事件A="電子蛾蛾爬行的第i米終點為A"，B,="電子蝴曲爬行的第i米終點為8”,

G="電子岫蛾爬行的第i米終點為c"，D,="電子蝴蛾爬行的第i米終點為

S,="電子蛾蝸爬行的第i米終點為S"，耳="電子蝴蛾爬行i米后恰好停止爬行”,

則尸出）=尸（4星）+尸（4$2）+尸（GSJ+尸㈤邑）=；。4=；

（2）記事件〃="電子蛾蝴停止爬行時，爬行長度不超過4米”

*名）=尸（AB2s3）+尸（4。偲）+尸（4453）+*4。2鳥）+尸（G2S3）+尸（￡與風）

2

+p（r>1453）+p（r>1c2s3）=-

尸出）=尸（AB2AsJ+尸（A5c3sj+尸（A2As4）+網44。3邑）+

尸(44B5s4)+P(B[AzD3s4)+尸(4GBA)+P(5IC2D354)+

尸(GB2c3s4)+尸(GB2As4)+尸(C&C3s4)+P(C,D2V4)+

4

(243cAs4

尸鼻邑)+)+尸)+P(D1C2B3S4)=—

.-.P(M)=P(E2)+P(E3)+P(E4)=|+|+A=||

J的可能取值為2,3,4,根據條件概率的知識，可得J的分布列為

1

*=2）=尸但根）=瑞=倉9

19

27

2

Pq=3)=P(圖明=篇

j_=A

19-19

4

19

用表格表示J的分布列為:

/.E(^)=2x—+3x—+4x-=—.

v719191919

(3)5=g(l—6—￡——/tj(6=0,n>2)@

2；(1—6—￡一一只)②

2

②一①得：p?+l=-p?

???卜,「￡=gl「g

18.(1)%=2幾

(2)證明見解析

(1)因為等差數列｛%｝中，見=q+(〃—l)d,又〃2〃+I=2凡+2,

所以6+2nd=2［。1+(〃-l)d］+2,即％+2=2d①，

因為［斗］為等差數列，所以冬-斗=上卷-工，

〔"+lJn+2n+1〃+3n+2

令”=1時，邑一色=2_邑，即2%+”一幺=3囚+3"一20+”,則％/②,

32433243

結合①②，解出d=2,4=2,則4=2+(n-l)x2=2幾，

所以｛〃“｝的通項公式為%=2九.

a

41+1n1