陜西省榆林市2024-2025學年高二上學期1月期末考試數學試

題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知數列｛4｝的通項公式為對="|,則下列選項中不是｛與｝中項的是（）

471113

A.—B.—C.—D.—

36912

2.據報道，從2024年7月16日起，“高原版”復興號動車組將上線新成昆鐵路和達成鐵路,

“高原版”復興號動車組涂裝用的是高耐性油漆，可適應高海拔低溫環境.“高原版”復興號動

車組列車全長236.7米，由9輛編組構成，設有6個商務座、28個一等座、642個二等座，

最高運行時速達160千米，全列定額載客676人.假設“高原版”復興號動車開出站一段時間

內，速度以1^6）與行駛時間上）的關系為"14+0.3匕/€[0,12],則當f=10s時，“高原版，

復興號動車的加速度為（）

A.4.4m/s2B.7.4m/s2C.17m/s2D.20m/s2

3.已知直線4：〃?x-3y+2=O與直線冽+2）y+2=0平行，則實數加的值為（）

A.-3B.1C.-1D.-3或1

4.已知函數/（力=2/（0）1-/+3彳，貝！|/（0）=（）

A.6B.3C.-3D.-6

5.已知等差數列｛%｝的前〃項和為5,若S4=4,S|2=9,則5=（）

A.20B.16C.7D.2

6.若圓C:x2+（y-2呵=4與雙曲線啖=1（°>0,6>0）的漸近線相切，則E的離

心率為（）

A.y/2B.V3c.2V2D.2V3

7.已知函數及其導函數廣⑺的定義域均為R,若/（2）=-4,且/（無）+/（無）<0,

則不等式（--尤+2）/（--x+2）>-8的解集為（）

A.（0,1）B.（-oo,0）u（l,+<?）C.（-1,2）D.+8）

試卷第1頁，共4頁

8.已知數列｛/｝的首項為1,且a"+「%=2"（〃eN）也=21og2@+l）-l,設數列｛6,｝中不

在數列｛%｝中的項按從小到大的順序排列構成數列｛g｝，則數列｛g｝的前200項和為（）

A.42602B.42609C.42770D.42762

二、多選題

9.下列求導結果正確的是（）

A.（6）=B.（in2）=gC.[j]=（x+；）ep（sin2x）=2cos2x

10.在平面直角坐標系xOy中，已知曲線￡:/+/-2x+ay+1=01eR）,貝I」下列說

法正確的是（）

A.若曲線E表示圓，則實數。的取值范圍是

B.存在實數。，使得點（2,1）在曲線E內

C.若。=1,直線x7-l=0與曲線E相交于42兩點，則線段的長度為逆

2

D.若。=0,則過點（2,3）且與曲線￡相切的直線/的方程為》=2或4關-3戶1=0

11.若過點C可以作拋物線的兩條切線，切點分別是48,則稱V/2C為“阿基米德三角

形”.已知拋物線E:/=8X的焦點為歹，過廠的直線/交E于42兩點，以45為頂點的“阿

基米德三角形”為V/8C,則（）

JT

A.點C的橫坐標為-2B.^ACB=-

2

C.\BC^>\AB\-\BF\D.V48c面積的最小值為16

三、填空題

12.已知等差數列｛氏｝的前〃項和為S"，若幾=38,貝！|%。=.

13.若直線歹=履+3與曲線-3=，9-（y+3『恰有兩個交點,則實數上的取值范圍

是.

14.如圖，在長方體488-44G〃中，AB=AD=2,e=3,點E為線段NC的中點,

試卷第2頁，共4頁

點尸是棱G2上一點，若直線環與平面44c所成角的正弦值為需，則跖=

四、解答題

15.已知函數/(無)=一；/+/+上+4.

(1)求曲線y=/(X)在點(-3,/(-3))處切線的方程；

⑵求函數/(X)的極值.

11Q

16.已知公比為正數的等比數列｛aj的前〃項和為S“，且生=藥,5=藥.

(1)求｛%｝的通項公式；

⑵若b?=logsa,,求數列｛%"｝的前"項和Tn.

17.如圖，在四棱錐中，底面48。是正方形，側面是等邊三角形，且平

面M48J_平面N8CA,48=4,E為匐)的中點.

(1)求點E到平面MAC的距離；

(2)求平面MAC與平面EAC夾角的余弦值.

22

18.已知橢圓C:鼻+%=l(a>b>0)的左、右焦點分別為片，與，點A是C的上頂點，

2兀—

NFM1,△耳4e的面積為百.

(1)求橢圓C的方程；

⑵已知,右,￡|,若直線/:y=*x+機與橢圓C相交于兩點(異于點3),求證：直

試卷第3頁，共4頁

線的斜率之和為0.

19.若對\/網,迎e。且X［ex2,函數/(x),g(x)滿足：

|/(西)一〃工2)|N/|g(xJ-g(X2)|(%>0),則稱函數7'(x)是函數g(x)在區間。上的加級控

制函數.

⑴判斷函數/(x)=2x是否是函數g(x)=V在區間卜1,1］上的1級控制函數，并說明理由；

⑵若函數/(x)=e，是函數g(x)=x在區間［0,3］上的機級控制函數，求實數小的取值范圍；

⑶若函數/卜)是函數g(x)=lnx-x在區間(0,+s)上的加級控制函數，且函數/(X)在區間

(0,+8)上存在兩個零點a,6,求證a+b>2.

試卷第4頁，共4頁

《陜西省，愉林市2024-2025學年高二上學期1月期3R考試數學試題》參考答案

題號12345678910

答案CBADCBADADACD

題號11

答案ABD

1.c

【分析】逐個選項進行驗證即可判斷.

4713

【詳解】〃=2時，〃=5時，,〃=11時，％i=五，故ACD錯誤;

令7=2,解得〃=3.5eZ,故工不是數列中的項.

77+199

故選：C

2.B

【分析】通過求導，利用導數求瞬時變化率求解.

【詳解】因為v=1.4/+0.3//￡[0,12],所以M=06+1.4,

故當，=10時，=6+1.4=7.4,

即％=10s時，“高原版”復興號動車的加速度為7.4m/s2,

故選：B

3.A

【分析】根據給定條件，利用兩條直線平行的充要條件列式計算得解.

【詳尚軍】當加=—2時，/1:2X+3J-2=0,/2：X+2=0,顯然不平行；

所以加w—2,由直線4:加工—3〉+2=0與直線/2:%—（加+2萬+2=0平行,

m-32

——-------w-解得7M=-3,

1-（根+2）2

所以實數“Z的值為-3.

故選：A

4.D

【分析】先求出/'（X）,通過賦值法求得廣（0）,代入/'（x）,即可得/（0）.

【詳解】因為〃x）=2/'（O）e=x2+3x,

所以r（x）=（2（（0）ej-）'+（3尤）'=2（（0）e，-2x+3,

答案第1頁，共14頁

令x=0,得/(0)=2〃0k。+3=200)+3,

/(0)=-3,

所以/(x)=-6e，-x2+3x,故/(0)=-6e°=-6

故選：D.

5.C

【分析】根據邑鳳-其,幾-5成等差數列，得到方程，求出答案.

【詳解】由題意得-邑,％-以成等差數列，

故S4+&—風=2(又一54)，即4+9-工=2區-4),

解得5=7.

故選：C

6.B

【分析】求出漸近線方程，由圓心到漸近線距離等于半徑，得到方程，求出￡=1+4=6.

a\a

22人

【詳解】雙曲線￡：2-白=1(〃>0,6>0)的漸近線方程為了=±5尤，

圓C:/+(y-26)2=4的圓心C(0,2>A),半徑為2,

12間

由對稱性，圓心C(0,26)到漸近線y=±-x的距離d=7二T,

°匕

|2碼_-

由題意得］^=2,故『+<=￥=￡,

所以禺心率￡=jl+I=y/i-

a\a

故選：B

7.A

【分析】先令g(x)=獷(x),根據題中條件，判斷其單調遞減；將所求不等式化為

g(x2-x+2)>g(2),結合單調性，得到/_尤+2<2,求解即可.

答案第2頁，共14頁

【詳解】令g(x)=獷(x),因為/(x)+礦(x)<0,所以g'(x)=/(x)+V'(x)<0,

所以g(x)在R上單調遞減；

又/(2)=-4,所以g⑵=一8,

因此不等式(x~-x+2)/(無~—x+2)>-8可化為g(x?-x+2)>g(2),

所以％2_工+2<2,解得0<x<1,

即不等式(--x+2)/(/-x+2)>-8的解集為(0,1).

故選：A

8.D

【分析】應用累加法得出%=2〃-1,進而得出a二2〃-1，再根據等差及等比數列求和公式計

算即可.

【詳解】因為數列｛%｝的首項為1,且。用-。“=2”,a“-%T=2"\…,電-%=2、

所以a-.=2-1+---+2I=2"-2,即得

”a11-2

所以，=21og2(a?+l)-l=2M-l,

則數列｛cj的前200項和為數列｛勾｝的前208項的和減去數列｛%｝的前8項的和,

2

即數列｛。〃｝的前200項和為208。+2；208-1)+...+2s_8)=208~81=42762.

故選：D.

9.AD

【分析】利用基本初等函數的導數公式、導數的四則運算法則及復合函數的求導原則求解即

可.

(1_i_1

【詳解】對于A,(Vx)z=/=—X'=—六，故A正確；

(J22Vx

對于B,因為M2是常數，所以(ln2)'=0,故B不正確；

對于C,㈢…,故C不正確；

(X1XXX

對于D,(sinlx)'=cos2x?(2x)=2cos2x,故D正確;

答案第3頁，共14頁

故選：AD.

10.ACD

【分析】根據。2+爐一”>0計算。的取值范圍，判斷A；根據點在圓內，列出不等式，計

算判斷B；首先計算圓心到直線的距離，再利用垂徑定理判斷C；根據切線的斜率是否存在,

分別討論判斷D.

【詳解】已知曲線￡+必-2x+ay+/-a=0QeR),

對于A選項，若曲線E表示圓，(-2)2+a2-4(a2-fl)>0,即("2)(34+2)<0,

故所以A正確；對于B選項，要使得點(2,1)在曲線E內，

只需22+12_2.2+°+/-°<0,即/+1<0不成立，故B錯誤；

對于C選項，當“=1時，曲線為圓x2+/-2x+y=0,即卜力+露+；〔：，

設圓心石［1,-2］到直線x-y-l=0的距離為d,則/1+2-1V2,

I2)d=—,——=--

V1+14

又因為半徑廠=弓，故弦長|/同=242一片=孚,故c正確；

對于D選項，當。=0時￡:/+/-2工=0,即￡:(尤-1『+/=1,

圓心(1,0),半徑廠=1,當過點(2,3)的直線斜率不存在時，直線方程為x=2,

此時直線和圓相切；當過點(2,3)的直線斜率存在時，設直線方程為了-3=左@-2),

_\k-2k+3\

即船->-24+3=0,由直線與圓相切可得圓心到直線的距離4J/,1=1,

信+1

4

解得左=三，止匕時切線方程為4x-3y+l=0,故D正確.

故選：ACD.

11.ABD

【分析】設出直線/的方程，代入拋物線，寫出韋達定理，利用導數求得切線，聯立求交點,

可得A的正誤；通過兩直線垂直的斜率性質，可得B、C的正誤，利用圓錐曲線中的弦長公

式以及兩點之間距離公式，結合三角形的面積公式，可得D的正誤.

【詳解】對于A,尸(2,0),設/:x=〃沙+2,代入/=8x,

答案第4頁，共14頁

整理可得必-8叼-16=0,設4（占,%）,8（程力）（不妨設必＞0）,

則%+%=8相,乂％=T6.

由拋物線E：y=8無，整理可得函數＞=±2缶；，貝|］；/=±行；3,

11,1

設過點/的切線斜率為心/，易知再=§爐，則切線方程為〉一弘=心/（》_占），即

＞=巴》+?，同理可得：過點B的切線方程為＞=&x+券，

712%2

4J%1、

y=—X-I-------關=川％=-2

必2

聯立可得,解得；,即故C（-2,4,〃）；

4x+及

y=.二不（乃+二2）=4加

、

y22乙

所以點C的橫坐標為-2,故A正確；

對于B,由A可知：直線NC:y=dx+?,直線8C：y=3'+個，

必2y22

由臼.仝=上_=一1,則/CL3C,即N/C8=巴，故B正確；

“y2y^22

4加一0

對于C,由選項A可知C（-2,4,"）,則直線CF的斜率匕=1^=一切,

—2—2

由-1■為=T,則48_LCV.由選項B可知/C_LBC,

m

\BCBF

所以尸CfBCH,得病=記，即忸C|9=HM-故C錯誤；

對于D,由C可得：^sc=1.|^|-|CF|,

M卻=Jl+療回_刃=Jl+n?,J（必+%）~—4乂%-V1+?i2-A/64W2+64=8（1+m2），

|CF|=^（4/?1-0）2+（-2-2）2=J16療+16，

3

則S,“一=16（1+機2）5，當機=。時，S.扉c取得最小值為16，故D正確；

4ABe\I

故選：ABD.

答案第5頁，共14頁

【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線的位置關系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯

立方程組并消元得到關于X或V的一元二次方程，再把要求解的目標代數式化為關于兩個的

交點橫坐標或縱坐標的關系式，該關系中含有X1%,%+Z或%%，乂+%,最后利用韋達定理

把關系式轉化為若干變量的方程(或函數)，從而可求定點、定值、最值問題.

12.2

【分析】根據等差數列的求和公式，以及等差數列下標之和的性質，可直接求出結果.

【詳解】因為幾須)=1軻0=38,所以％。=2.

故答案為：2.

【分析】直線＞=履+3恒過點尸(0,3),曲線x-3=j9-(y+3)2表示以聞3,-3)為圓心,3

為半徑的右半圓，根據直線與圓的位置關系求解.

【詳解】如圖，直線＞=6+3恒過點尸(0,3),

曲線x-3=j9-(y+3)2表示出以屈(3,-3)為圓心,3為半徑的右半圓，

因為直線。=6+3與曲線.一3=19-5+3)2恰有兩個交點,

一一，，，一3

所以kPA＜k＜kPC,所以-1(左＜-：.

故答案為

14.而

【分析】以A為原點，AB.AD、所在的直線分別為x、Az軸建立空間直角坐標系，求

答案第6頁，共14頁

出平面ABtC的一個法向量，根據直線EF與平面AB.C所成角的向量求法可得答案.

【詳解】以A為原點，AB.AD、所在的直線分別為X、丫、z軸建立空間直角坐標系,

則/（0,0,0）,。（2,2,0）,4（2,0,3）,￡（1,1,0）,設廠（％2,3乂04x42）,

藕=（2,0,3）,西=（0,-2,3）,而=（尤-1,19,

設行=（a,6,c）為平面48。的一個法向量,

[2。+3。=0

即一26+3…，令。=3,則—,

所以元=（3,-3,-2）,

因為直線EF與平面AB.C所成角的正弦值為雙亙,

110

I一?」EFn|3x-3-3-6|9755

所以gs%配產尸1?廣

\EF[\n\j9+9+4xJ(x-1)+1+9110

解得x=l,或x=61>2舍去,

所以尸（1,2,3）,|麗卜&?^=而\

故答案為：Vio.

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是建立適當的空間直角坐標系，利用空間向量求解.

15.（l）12x+y+23=0

7

（2）極小值為極大值為13

【分析】（1）求函數的導數，最后根據切點求切線方程；

（2）利用導數求極值.

【詳解】（1）由/（無）=—+尤2++4,

答案第7頁，共14頁

得〃一3)=「Jx(-3y+(-3)2+3x㈠-4=13,

因為/'(X)=——+2x+3,所以/r(—3)=-(-3)2+2X(—3)+3=-12,

所以曲線尸/⑴在點(-3J(-3))處切線的方程為尸13=-12(x+3),

即12x+y+23=0.

(2)令/'(%)=-12+2x+3=0,得％=-1或%=3,

當％變化時，/'（X）,/（%）的變化情況如下表:

X(-GO,-1)-1(T3)3(3,+co)

/‘（X）-0+0-

極小值

單調遞減單調遞增極大值/（3）單調遞減

/（-I）

77

又〃T）=§,"3）=13,所以函數〃x）的極小值為“極大值為13.

16.⑴%=佶］

【分析】（1）設出公比后代入計算即可得;

（2）借助錯位相減法求和.

【詳解】（1）設等比數列｛4｝的公比為夕,

得3+血+%=||，即11113

由名——,S-------z-H----------1------——

27327qq2727cli27q2727

所以12/-g-1=0,解得4=!或《=-：（舍）.

又。3$，所以%=3=；,%=%"

n

n

(2)由(1)得a=log3%==log35=-n,

答案第8頁，共14頁

所以a,A,

所以北=（一l）x；+（-2）

|2+(-!)><[也《x

兩式相減，得§（=（-l）x+（T）x

i33

]_

1-n+l

33]_11n

=(—l)x—-----——-+n-

3

1--

3

33n

所以小-1+—I—

42

17.

7

【分析】（1）分別取力民。。的中點為O，a，連接MQOQ,建立如圖空間直角坐標系，利

用空間向量法求點到面的距離；

（2）利用空間向量法求兩平面夾角.

【詳解】（1）分別取/瓦CD的中點為。,。廠連接MO,OQ,

因為底面/BCD是正方形，0,01分別為N8,CD的中點，所以OOi〃4D,OOJ4B.

因為側面是等邊三角形，。為48的中點，所以

又平面M48_L平面4&CD,平面M48c平面=,OWu平面M42,

所以OM_L平面/BCD,

又。qu平面/BCD,所以OO[_LOM.

如圖所示，以。為坐標原點，。民。。|,。河所在直線分別為苫軸，y軸，z軸建立空間直角

坐標系，

答案第9頁，共14頁

則，（-2,0,0）,8（2,0,0）,。（2,4,。4-2,4,9，可°，°，叫，《-國、,

所以就=（4,4,0）,商=（2,0,26）,存=1,2,6）,

設平面腿4c的法向量為行=a，%/]）,

m?AC=4叫+4%=0,

則＜令玉二百，則必=-V3,馬二一1,

m?AM=2%]+2@Z[=0

所以平面M4c的一個法向量為成=（百,-6-1卜

國.司2-2G-回272?

設點E到平面腿4c的距離為d,則”=下「=

7

即點E到平面M4c的距離為翌H.

7

（2）由（1）,得平面K4c的一個法向量為成=（若,一班,-1）,而=（4,4,0）衣=g,2,6b

設平面E/C的法向量為力=（%，%/2），

ii-AC=4X+4y2-0,

則2取/=V3，則%=—,Z?=1,

n.AE=x2+2y2+V3z2=0,

所以平面及IC的一個法向量為五=（V3,-A1）,

設平面MAC與平面EAC的夾角為wew]]

即平面M4c與平面E4c夾角的余弦值為

18.⑴1+/=i

（2）證明見解析

答案第10頁，共14頁

【分析】（1）分析焦點三角形，結合焦點三角形的面積，得出瓦C的關系即可求解;

（2）聯立直線和橢圓，設出品■（%%）,N（%2，%）,利用韋達定理，斜率公式表示出原M+向N

然后運算求解.

【詳解】（1）由題意，得耳（-c,0），B（c,0）,/（0,6）,其中一凡

因為/441=可，△月/月的面積為百，

所以一=tan—=y/3,—x2cxb=,解得6=1,c=V^,

632

所以求二萬+/=4,

所以橢圓C的方程為《+V=i.

4

_1

因為N,N兩點異于點B,所以所以魔”一乂一5,1.

BM再一百'""

所以

1百1

—xy+Hi-——X、+tn—

品"+kBN=262+262

答案第11頁，共14頁

+(/?-2)(X]+乙)-^Tim+\p3

玉一

將玉+尤2=-Cm,xrx2=/J?_1代入上式,

6m

得+^BN==0.

所以直線3M,5N的斜率之和為0.

19.(1)是，理由見解析

(2)(0,1］

(3)證明見解析

【分析】(1)利用給定定義判斷并證明即可.

(2)利用給定定義結合導數建立不等式，再用分離參數法求解即可.

(3)利用給定