三角形的證明(壓軸專練)(十大題型)

目錄：

題型1:手拉手模型

題型2：倍長中線、類倍長中線模型

題型3：截長補短模型

題型4：三角形的傳統解答證明題

題型5：旋轉問題

題型6：折疊問題

題型7：動點問題

題型8：最值問題

題型9：數學活動題

題型10：三角形的證明在平面直角坐標系的應用

題型1：手拉手模型

1.(1)問題發現：如圖1,和AOCE均為等邊三角形，當應轉至點A,D,E在同一直線上,

連接易證ABCE當"CD,貝U①/5EC=_；②線段AD,5E之間的數量關系」

(2)拓展研究：如圖2,AZCB和ADCE均為等腰三角形，且//C8=/DCE=90。，點A,D,E在同

一直線上，若/￡=12,DE=7,求4B的長度；

(3)如圖3,P為等邊三角形N3C內一點，且/4PC=150。，ZAPD=^°,AP=4,CP=3,DP=1,

求BD的長.

2.【探究發現】（1）如圖所示，和ACDE均為等邊三角形，ACDE繞點C旋轉,其中，4c交BD于點、

M,AE交CD于點、N,4E交BD于點。，如圖1所示當ACOE旋轉到點2、C、E在同一條直線上時，以下

結論成立的是：

①AE=BD；②2/08=60°；③0C平濟/M0N；④AACNgBCM.

【類比探究】（2）當ACDE旋轉到A/5C外部時，且點3、C、￡不在同一條直線上時，如圖2,（1）中結論

仍然成立的是：_（只填序號）若②正確請進行論證，若不正確，請說明理由；

【類比應用】（3）當ACDE旋轉到與有部分重疊時，如圖3,（1）中結論仍然成立的是：_（只填序

號）若③正確請進行論證若不正確，請說明理由；

A

A

A

圖

3N

題型2：倍長中線、類倍長中線模型

3.(1)如圖1,點O是線段的中點，連接則與CD的數量關系為,位置關系為

(2)①如圖2,在△4BC中，N/CB=90。，點。為△4BC內一點，連接AD,OC,延長DC到點E,使

CE=CD,連接4E,若BDL4E,探究/及臺。,/￡之間的數量關系，并說明理由；

②如圖3,在△4BC中，ZACB=90°,/C=8C,點。為4B中點，點E在線段上(點E不與點B,

點。重合)，連接CE,過點A作/尸，CE,連接￡0,若FD=3,CF=2,請直接寫出4F的長.

圖3

4.已知：等腰R/A/BC和等腰中，AB=AC,AE=AD,ABAC=AEAD=90°.

(1)如圖1,延長DE交2c于點尸，若NBAE=68。,則ND尸C的度數為二

(2)如圖2,連接EC、BD,延長區4交2。丁點若//EC=90。，求證：點〃■為8。中點;

(3)如圖3,連接EC、AD,點G是CE的中點，連接NG,交AD于點H,AG=9,HG=5,直接寫出△NEC

的面積.

題型3：截長補短模型

5.(1)閱讀理解：問題：如圖1,在四邊形4BC。中，對角線8。平分NZ8C,ZA+ZC=180°.求證：

DA=DC.

思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題.

方法1：在3C上截取9=皿，連接。得到全等三角形，進而解決問題；

方法2：延長初到點N,使得BN=8C,連接￡W,得到全等三角形，進而解決問題.

結合圖1,在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明.

(2)問題解決：如圖2,在⑴的條件下，連接NC,當/D4C=60。時，探究線段BC,之間

的數量關系，并說明理由；

(3)問題拓展：如圖3,在四邊形ABC。中，ZA+ZC=180°,DA=DC,過點。作。垂足為點

E,請寫出線段42、CE、8c之間的數量關系.

圖1圖2圖3

6.閱讀與理解：

折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法.例如，在△48C中，AB>AC（如圖），怎樣證明

呢？

分析：把/C沿24的角平分線4。翻折，因為所以，點C落在42上的點。處，即/C=/C,

據以上操作，易證明△NCO0A/CD,所以N/C'O=NC,又因為//C'D>/8,所以NC>ZB.

感悟與應用：

（1）如圖（a）,在△4BC中，44c3=90。，AB=30°,CD平分N4CB,試判斷/C和4D、BC之間的

數量關系，并說明理由；

CBB4

圖(a)圖⑼’

(2)如圖(b),在四邊形4BC。中，4c平分/R4D,AC=16,AD=8,DC=BC=12,

①求證：Z8+ZD=180。；

②求48的長.

題型4：三角形的傳統解答證明題

7.已知：在Rt^4BC中，/48C=90°,點。在邊上，NACD+NBDC=90°,

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：CD平分NACB；

(2)如圖2,點E在43延長線上，且4c=/E,過點E作EFJ.CD于點凡EF交BC于點、H.求證：

DE=CH；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點C作CGL/C交/E延長線于點G,若。為4E中點，NC=4,求8G

的長.

8.如圖1,已知UBC,ZACB=90°,ZABC=45°,分別以、8c為邊向外作△48。與xBCE,5.DA^DB,

EB=EC,NADB=NBEC=90°,連接DE交48于點尸.

圖2

(1)探究：/尸與3尸的數量關系,請寫出你的猜想,

(2)如圖2,若/48C=30。，NADB=NBEC=6Q°,題目中的其他條件不變,(1)中得到的結論是否發生變化?

請寫出你的猜想并加以證明;

(3)如圖3,若NADB=NBEC=mZABC,題目中的其他條件不變，使得(1)中得到的結論仍然成立，請直接

寫出〃7的值.

題型5：旋轉問題

9.如圖1,△48C為等腰直角三角形，ZACB=90°.將邊NC繞點A順時針旋轉夕(0°<a490。)得到/N,

連接CN,將NC繞點N逆時針旋轉90。得到連接NM,BN.

⑴求證：ABCN義AANM；

(2)當8,N,M三點共線時，求黑AN的值;

⑶若△BCW是等腰三角形，請直接寫出a的度數.

10.如圖，在等腰三角形Z3C中，AB=AC=A,M為平面內一點.

(1)當點M在A4的延長線上時，連接MC；

①如圖1,若NR4c=90。,BDLMC交AC于■點、N,AM=3,求CN的長；

②如圖2,若NR4C=60。，將線段MC繞點“逆時針旋轉120。得到線段連接若G為8〃的中點,

連接MG,請猜想線段MG,BC,之間的數量關系，并證明你的猜想；

(2)如圖3,若NA4C=60。，點加?在N4BC的角平分線上運動(不與點8重合)，取8c中點E,將線段9W

繞點E逆時針旋轉60。得到線段“，連接PM,PB,設NBPE=a,請用含戊的式子表示NPMS的度數.

題型6：折疊問題

II.如圖，N40B=a,點”是射線CM上的一個定點，點N是射線05上的一個動點，連接MN,把

沿"N折疊，點。落在，工。2所在平面內的點C處.

(1)如圖1,點C在//O8的內部，若/CA〃=20。，ZCNB=60°,則a=_.

(2)如圖2,若c=45。，ON=VL折疊后點C在直線03上方，CM與OB交于點E,且.MN=ME,求NOMN

的度數及折痕的長.

⑶如圖3,若折疊后，直線MC108,垂足為點E,且。河=5,ME=3,直接寫出此時ON的長.

題型7：動點問題

12.已知正三角形N8C的邊長為4,。為△/8C內部(含邊上)的一點，過點。作交3C于點

E,過點E作斯_L4C于點尸，過點尸作尸G14B于點G.

圖1圖2

(1)如圖1,點。在48邊上；

①當。為4B中點時，判斷點。與點G是否重合，并說明理由；

②當0G=1時，求出班'的長；

(2)如圖2,點。在△4BC內部，且在線段FG上，連接CD,求CD的取值范圍.

題型8：最值問題

13.在等腰aNBC中，AB=AC,48的垂直平分線OE分別交48,NC于。，E兩點.

AAA

圖1圖2圖3

(1)如圖1,連接5E,若40=6,的周長為19,直接寫出的長；

⑵若4尸是△48C的中線.

①如圖2,AF交DE于點0,若NA4c=30。，求證：EC=2OD+OE；

②如圖3,“是4月的中點，N是射線8尸上的動點，連接MN,作等邊△跖VP,連接的，若力尸=11,直

接寫出"的最小值.

14.已知：等邊△/2C中,。為48延長線上一點，連接C。，點￡在8上，連接4E,ZAEC=60°.

C

F'

圖1圖2圖3

(1)如圖1,連接5E,求證：BE平分NAED；

(2)如圖2,點尸為線段NC上一點，連接3尸交4E于點G,若點G為■中點，求證：AF=BD；

(3)如圖3,點尸為線段NC上一動點，作尸關于48的對稱點F,連接AT,CF'.交AD于點、K,點、D在

的延長線上運動，始終滿足月尸=3。，連接尸D,BF交AE于點、G,當尸。取得最大值時，此時

AD=1643,求整個運動過程中G尸的最小值.

題型9：數學活動題

15.在等邊△4SC的兩邊48,NC所在直線上分別有兩點M,N,。為△48C為外一點，且/地W=60。,

NBDC=120°,BD=DC.探究：當跖N分別在直線4B,/C上移動時，BM,NC,之間的數量關

系及A4MN的周長。與等邊AABC的周長￡的關系.

圖1圖2圖3

【操作發現】

(1)如圖1,當點N分別在邊48,AC±,且DM=Z)N時，試猜想8M,NC,MV之間的數量關系,

并求出此時多的值.

小明和小麗經過仔細思考，分別得到如下兩種解題思路：

思路一：如圖1-1,由NAffiW=60。，DM=DN,易證“MW是等邊三角形；由等邊△48C,

NBDC=120°,BD=DC,易證ABZJAf和△CDN均為直角三角形，且Rt&?￡>M0RtZ\C￡W,進而可得

NBDM=30。,從而得出現/,NC,之間的數量關系，并求出2的值；

L

思路二：如圖1-2,延長/。至點使。￡=5m，易證Rt^BDMQRMCDE,從而可證,從

而得出現/,NC,之間的數量關系，并求出號的值；

圖1-1圖1-2

故敏，NC,之間的數量關系是；此時苫=(直接寫出結果);

【類比探究】

(2)如圖2,點N邊分別在48,NC上，且當DMwZJN時,

①猜想NC,之間的數量關系并加以證明；

②此時(直接寫出結果)；

(3)如圖3,當M,N分別在邊48,。的延長線上時，

①猜想物/,NC,之間的數量關系并加以證明；

②若此時/N=x,則。=(用x,L表示,直接寫出結果).

題型10：三角形的證明在平面直角坐標系的應用

16.如圖，在平面直角坐標系中，點火。,0）為x軸負半軸上一點，點5為第三象限內一點，點3的橫坐標

為6,^.\a+6\+b2+6b+9=Q,AB=AO.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,a=；b=,△CM2為三角形.

⑵如圖2,點尸在線段。/上（點尸不與點。、點A重合），點E在線段A4的延長線上，連接8fM，且

BF=EF.求OF與/E的數量關系，并證明.

（3）如圖3,在（2）的條件下，以E尸為邊作等邊△C