熱點05三角形

明考情-知方向

安徽中考數(shù)學中三角形部分主要7大考向：

考向1：線段、角、相交線與平行線（10年6考，4~5分）

考向2：三角形與全等三角形（10年10考，4~14分）

考向3：等腰三角形（10年9考，4~9分）

考向4：直角三角形（10年10考，4~9分）

考向5：尺規(guī)作圖（2018年20題，10分）

考向6：相似三角形及其應用（10年10考，9~19分）

考向7：解直角三角形的實際應用（10年10考，5~10分）

熱點題型解讀

考向一：線段、角、相交線與平行線

1.兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離.

2.線段的性質(zhì)：兩點的所有連線中，線段最短.簡稱：兩點之間，線段最短.

3.線段的長度比較方法：1）度量法:分別用刻度尺測量線段AB、線段CD的長度，再進行比較

2）疊加法:讓線段某一段端點重合，比較另一邊兩端點的位置.

4.線段中點的概念：把一條線段分成兩條相等的線段的點叫線段中點.

5?角的大小的比較：1）疊合法：使兩個角的頂點及一邊重合，比較另一邊的位置；

2）度量法：分別用量角器測量兩個角的大小，再進行比較.

6.角的平分線的概念：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.

【性質(zhì)】①若0C是NA0B的平分線，則/A0C=NB0C=|/A0B,ZA0B=2ZA0C=2ZB0C.

②角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

7.余角和補角

（1）余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角.即其中一個角是另一個角的余

角.

（2）補角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角.即其中一個角是另一個角的補

角.

（3）性質(zhì)：等角的補角相等.等角的余角相等.

（4）余角和補角計算的應用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關聯(lián).

注意：余角（補角）與這兩個角的位置沒有關系.不論這兩個角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則

它們就具備相應的關系.

8、相交線

直線的位置關系：在同一平面內(nèi)不重合的兩條直線之間的位置關系只有兩種：相交或平行.

垂線的概念：當兩條相交直線所成的四個角中，有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條

直線叫做另一條直線的垂線，交點叫做垂足.

垂線的性質(zhì)：1）在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

2）兩條直線互相垂直，則它們之間所形成的四個角為直角.

3）在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么這條直線垂直于另一條.

垂線段最短定理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.

點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

9、相交線中的角

第一種對頂角與鄰補角

種類圖形頂點邊的關系大小關系

對頂角有公共頂點Z1的兩邊與N2的兩邊互Z1=Z2

（Z1與N2）為反向延長線

鄰補角有公共頂點/3與/4有一條公共邊，另Z3+Z4=180°

（/3與/4）X一邊互為反向延長線.

第二種同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角

同位角：兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，在被截兩條直線同側，具有這樣位置關系的一對

角叫做內(nèi)錯角.（同旁同側）如：N1和N5.

內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角分別在截線的兩側，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣

位置關系的一對角叫做內(nèi)錯角.（內(nèi)部異側）如：N3和N5.

同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，在被截兩條直線內(nèi)部，具有這樣位置關系的一

對叫同旁內(nèi)角.（同旁內(nèi)側）如：/3和N6.

【速記同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角】

三線八角的概念：指的是兩條直線被第三條直線所截而形成的八個角，其中同位角4對，內(nèi)錯角有2對,

同旁內(nèi)角有2對.正確認識這八個角要抓?。和唤俏恢孟嗤础巴院屯瑐取保粌?nèi)錯角要抓住“內(nèi)部和

異側”；同旁內(nèi)角要抓住“同旁和內(nèi)部”.

10、平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號“〃”表示.

H、平行公理（唯一性）：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

12、平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

13、平行線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補..

14、平行線的判定

判定方法1:兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.

簡稱：同位角相等，兩直線平行.

判定方法2:兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.

簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.

簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

判定方法4：垂直于同一直線的兩直線互相平行.

判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定：

①有且只有一個公共點，兩直線相交；

②無公共點，則兩直線平行；

③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合.

15、平行線之間的距離概念：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做這兩條平行

線之間的距離.

性質(zhì)：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；

2）平行線間的距離處處相等.

1.（2024?安徽六安?模擬預測）如圖，一副三角尺按如圖方式擺放.若直線Qb,Zl=50°,則N2的度數(shù)

2.（2024?安徽合肥?模擬預測）如圖，VABC中，ZACB=90°,NA=60。，頂點C,8分別在直線/1，/2±,

若4〃4，4=128。，則N2的度數(shù)為（）

A.108°B.112°C.116°D.118°

3.（2024?安徽合肥三模）如圖，直線Qb9直角三角形的30。角的頂點在直線匕上，已知4=45。，則N2

A.75°B.105°C.110°D.120°

4.（2024?安徽?模擬預測）將一個直角三角板和一把直尺如圖放置，如果/4=46。，則4的度數(shù)是（）

A.54°B.46°C.34°D.44°

5.（2024?安徽?模擬預測）如圖，已知直線AB〃CD,ZA=2ZB.若Nl=110。，則N2的度數(shù)為（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

如圖，N1=N2=45°,N3=2N4,則N4的度數(shù)為（

45°C.55°D.67.5°

7.（2024?安徽滁州?一模）已知〃心將一塊等腰直角三角形的三角板按如圖所示的方式擺放，若N2=30。,

C.155°D.165°

8.（2025?安徽馬鞍山?一模）如圖，直線4〃％分別與直線/交于點A,B,把一塊含30。角的三角尺按如

圖所示的位置擺放，若/1=40。，則N2的度數(shù)是（）

A.100°B.110°C.115°D.120°

9.（2024?安徽六安?模擬預測）把一副三角板按如圖所示的方式擺放，使得OELBC,則AC與■的夾角

的度數(shù)為（）

A.10°B.12°C.15°D.18°

10.（2024?安徽六安?模擬預測）將一副三角板ADE和ABC（其中/C=30。）按如圖所示的方式擺放,

直角頂點。落在上.若AB〃3C,則154D的度數(shù)是（）

11.（2024?安徽?二模）將一副三角板（厚度不計）如圖擺放，使含45。角的三角板的一條直角邊與含30。角

的三角板的斜邊垂直，則。的度數(shù)為（）

12.（2024?安徽蚌埠?模擬預測）如圖，ABC的面積為10,點。，E,F分別在邊AB,BC,C4上，AD=2,

DB=3,ABE的面積與四邊形￡）3￡下的面積相等，則ABE的面積為（）

A.4B.5C.6D.7

13.（2024?安徽阜陽?二模）將等腰直角三角板按如圖所示的方式擺放，若?！?4=15。，則/2=（）

A.105°B.120°C.150°D.135°

14.（2025?安徽馬鞍山?一模）如圖，VABC中，AB=8,AC=6,/ABC和/ACB的平分線交于點P,過

點尸作OE〃臺C分別交AB,AC于點。，E,則VADE的周長為（）

15.（2024?安徽合肥?一模）若點尸在線段A3的延長線上，AP=8,BP=3,則AB的長為.

16.（2024?安徽宿州?一模）古代數(shù)學家曾經(jīng)探究出這樣一個結論：如圖，在VABC中，AB=AC,點。在BC

Ao2_Ar\2

這上，則——=——，當AB=7,AD=6,BD=2時，CD=

BC-BD

17.（2025?安徽?模擬預測）已知Rt/VICB9Rt/XOFE,且NC=90。，AB=10,BC=8,點。、廠分另I」在BC、

AC上滑動.

（1）AC=；

（2）點M是A3的中點，點N是。尸的中點，則的最小值是.

18.（2024?安徽?模擬預測）如圖，已知/1=65。，/A+/D=180。.求/C的度數(shù).

_____//_____

.-.Zl=.

4=65。（已知），

.?.4=65°.

考向二：三角形與全等三角形

O0

1、三角形的重要線段

重要線段概念圖形性質(zhì)

三角形的從三角形一個頂點向它的對AVAD是AABC中BC邊的高

高邊做垂線，頂點和垂足之間的

???ZADB=ZADC=90°

線段叫做三角形的高線（簡稱

B0C

三角形的高）.

三角形的在三角形中，連接一個頂點和A：AD是AABC中BC邊的中線

z

中線它對邊的中點的線段叫做三

角形的中線.?.BD=CDSAABD=SAADC

BDC

CAACD-CAABD=AC-AB

三角形的三角形的一個角的平分線與4c：AD是AABC中/BAC的角

角平分線這個角的對邊相交，這個角的

平分線

頂點和交點間的線段叫做三

/.ZBAD=ZDAC=-ZBAC

角形的角平分線.2

三角形的連接三角形兩邊中點的線段VDE是AABC的中位線

中位線叫做三角形的中位線

—AAD=DBAE=EC

1

DE=-BCDE〃BC

2

概念圖形性質(zhì)

1）重心到頂點的距離與

重心到對邊中點的距離

之比為2：E

2）重心和三角形3個頂

重心三角形三條中線交點點組成的3個三角形面積

相等。

3）重心到三角形3個頂

點距離的平方和最小。

1）銳角三角形的垂心在

三角形內(nèi)；直角三角形的

垂心在直角頂點上；鈍角

三角形的垂心在三角形

外；

2）銳角三角形的垂心到

三頂點的距離之和等于

其內(nèi)切圓與外接圓半徑

之和的2倍。

垂心三角形三條高交點

3）三角形三個頂點，三

個垂足，垂心這7個點可

以得到6組四點共圓.

4）銳角三角形的垂心是

垂足三角形的內(nèi)心；銳角

三角形的內(nèi)接三角形（頂

點在原三角形的邊上）

中，以垂足三角形的周長

最短.

2、三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊.

推論：三角形的兩邊之差小于第三邊.

3、三角形三邊關系定理及推論的應用：

1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形.

2）已知三角形兩邊的長度分別為a,b,求第三邊長度的范圍：|a-b|<c<a+b

3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形.

4、三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180。.

推論：直角三角形的兩個銳角互余.

5、三角形的內(nèi)角和定理的應用：

1）在三角形中，已知兩個內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個內(nèi)角的度數(shù)；

2）在三角形中，已知三個內(nèi)角的比例關系,可以求出三個內(nèi)角的度數(shù)；

3）在直角三角形中，已知一個銳角的度數(shù)，可以求出另一個銳角的度數(shù).

6、三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360。.

7、三角形的外角和的性質(zhì)：1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；

2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

8、全等三角形的性質(zhì)：1）對應邊相等，對應角相等.

2）全等三角形的對應角平分線、對應中線、對應高相等.

3）全等三角形的周長相等、面積相等.

9、全等三角形的判定

邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；

邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；

角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；

角角邊定理：有兩角和它們所對的任意一邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）；

對于特殊的直角三角形：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角

邊”或“HL”）.

10、角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

11、角平分線的判定定理：角的內(nèi)部，與角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上.

1.（2024?安徽安慶?一模）如圖，現(xiàn)有兩把一樣的直尺，將一把直尺的邊與射線Q4重合，另一把直尺的邊

與射線重合，兩把直尺的另一邊在-403的內(nèi)部交于點P,作射線OP,若NAOB=50。，則NAOP的

度數(shù)為（）

A.50°B.40°C.30°D.25°

2.（2024?安徽蚌埠?二模）清初安徽數(shù)學家梅文鼎創(chuàng)造性的設計直角三角形，證明了：是銳角VABC的

高，貝！l3￡>2-cr）2=A32-AC2.如圖，已知VABC中，AB=1,BC=6,AC=5,點。在邊3c上，以AD

為折痕將AC折疊，使得點C落在上的點E,則（）

3.（2024?安徽?模擬預測）如圖，將VABC繞點C順時針旋轉90。得到△￡￡心，且點A,D,E在同一條直

線上，ZACB=a,則一ADC的度數(shù)是（）

E

D

B

A.90°-aB.450+aC.1800—2。D.300+2?

4.（2024?安徽蚌埠?三模）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=5,BC=3.。是A3的中點，E為射

線C4上一動點，過點C作CPL3E于點P,交于點F,則OP長度的最小值是（）

A.V5B.1C.73D.y/5-2

5.（2024?安徽阜陽?三模）如圖，在△OA3中，Q4=3,05=4,AB=5,/Q鉆的平分線AC交02于點

C,點尸，。分別為線段AC,邊上的動點.

（1）OC的長為

（2）OP+PQ的最小值為.

6.（2024?安徽合肥?二模）如圖，在由邊長為1個單位長度的正方形網(wǎng)格中，給出了以格點（網(wǎng)格線的交點）

為頂點的VABC.

（1）將VABC向右平移2個單位，再向下平移3個單位得到。即（其中A與。，B與E,C與尸是對應點）,

在網(wǎng)格中畫出:DEF；

（2）用無刻度直尺在網(wǎng)格中畫出AC邊上的高BH.

7.(2024?安徽?模擬預測)如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的8x8網(wǎng)格中，VABC的頂點均

為格點(網(wǎng)格線的交點).

(1)將VABC向右平移1個格，再向下平移3格，畫出對應的△ABC1;

⑵僅用無刻度直尺作出4G的高A7.

8.(2024?安徽合肥三模)如圖，VABC是邊長為3的等邊三角形，。是8C的中點，E,尸分別在3C,AB

上，連接AE,CF,兩線交于點G,連接BG,DG,ZFGB=ZCGD,CE=1.

(1)求AE的長；

(2)求證：BG=2GD-

⑶求AG的長.

9.（2024?安徽亳州?三模）如圖1,在VA3C中，AB=AC,/4=90。，點E是邊3c的中點，點/在邊AC

上，連接FE并延長到點G,使EG=EF.

圖1圖2

（1）求證：BG1AB；

（2）如圖2,點”是邊48的中點，連接EM,FM,EN平分ZMEC交FM于點、N,若BE=BM+BG,求

證：MN=FN.

考向三：等腰三角形

1.等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【簡稱：三線合一】

2.等腰三角形的判定

判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.【簡稱：等角對等邊】

3.等邊三角形的性質(zhì)：1）等邊三角形的三條邊相等.

2）三個內(nèi)角都相等，并且每個內(nèi)角都是60°.

4.等邊三角形的判定：1）三邊相等或三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形.

2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

1.（2024?安徽宿州?模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZC=45°,以AB為直角邊作等腰直角

AABE,ZBAE=90°,點E正好落在邊C￡＞上，則下列結論錯誤的是（）

A.ZBEC+ZASC=180°B.ZAED=ZEBC

C.EC=y/3ADD.BC=6CD

2.（2024?安徽合肥?模擬預測）如圖,AD,BE,CF分別是VABC的中線、高和角平分線，NABC=90。,

CT交4）于點G,交BE于點H,則下列結論一定正確的是（）

A.ZABE=NFCBB.?GAC?GCA

C.FG=GCD.BF=BH

3.（2024?安徽池州?一模）如圖，在等邊三角形ABC中，CD為邊上的高，M是直線上的一個動點,

連接MB,將線段繞點3逆時針旋轉60。得到線段3N,連接￡W.若AB=5,則在點M的運動過程中,

線段DN的長的最小值是（）

.X..

555G

A.2B.-C.-D.—

422

4.（2024?安徽池州?模擬預測）如圖，在平行四邊形ABC。中，AD=BD=5,AB=6fDE_LAB,垂足為

點、E,F為CD上一點,連接斯交5。于點G,若則E尸的長是.

5.（2020?安徽?三模）若等腰三角形的兩邊長分別是2cm和6cm,則這個三角形的周長是cm.

6.（2024?安徽淮北?三模）如圖，在VABC中，AB=AC=5,BC=6,點。為VA3C外一點，DC1BC.連

接A￡）,BD,交AC于點E,且ZADB=2/CBD,則AD的長為.

7.（2024?安徽,模擬預測）如圖1,E,尸分別是等邊VA3C邊上兩點，且43跖的面積和四邊形ACE/的

面積相等，將ABEF沿EF折疊得到B'EF.

（1）若瓦〃AC,FG=3,則GH=______________；

（2）如圖2,若FG=3,EH=4,貝！|G〃=______________.

圖1圖2

8.（2024?安徽合肥?三模）如圖，VABC是邊長為3的等邊三角形，。是BC的中點，E,歹分別在BC,AB

上，連接AE,CF,兩線交于點G,連接BG,DG,ZFGB=ZCGD,CE=1.

（1）求AE的長；

⑵求證：BG=2GD；

⑶求AG的長.

9.（2024?安徽六安?模擬預測）己知:ABC是等邊三角形，點。是ABC的內(nèi)心，E,P分別是48和AC邊

上的點，且/EOF=120。，連接。4,OC.

⑴如圖1,求證：AAOE^ACOF；

⑵如圖2,OD平分NEO產(chǎn)交AC于點D,連接DE,求證：CD^DE+AE；

（3）如圖3,在（2）的條件下，當點、E,尸分別位于班和AC的延長線上時，請?zhí)骄烤€段AE,DE和CO之

間的數(shù)量關系，并說明理由.

10.（2022?安徽馬鞍山?一模）如圖1,VA2C和CDE都是等邊三角形，且A,C,E在同一條直線上，分

別連接AD,BE.

（1）求證：AD=BE；

⑵如圖2,連接若M,N,Q分別為AB,DE,3D的中點，過N作與的延長線交于

P,求證：MP=AD；

⑶如圖3,設AD與3E交于尸點，點M在A8上，MG〃AD,交3E于H,交CP的延長線于G,試判斷FGH

的形狀.

考向四：直角三角形

1.直角三角形的性質(zhì)：1）直角三角形兩個銳角互余.

2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

3）在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.

2.直角三角形的判定：1）兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

3）有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.

4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有關系a2+b2=c2,那么這個三

角形是直角三角形。

3.直角三角形面積公式：S=ia&=icm（其中：c為斜邊上的高，m為斜邊長）

4.勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么a2+62=c2.

222222222222

變式：a=c—bfb=c—a,c=Va+b,a=Vc—b,b=Vc—b.

5.勾股定理的證明方法：

方法一（圖一）：4SA+S正方形EFGH=S正方形ABCD，4X之2+（6-a）2=C?,化簡可證.

方法二（圖二）：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.

四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4x|a/?+c2=2ab+c2

大正方形面積為S=（a+bp-a2+2ab+b2,所以a2+b2-c2

22

方法三（圖三）：S梯形=+b）?（a+b）,S梯形=2SAADE+SAABE=2-|ab+|c,化簡得證a?+b-

圖一圖二圖三

勾股數(shù)概念：能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2+塊=02中，a,b,c為正

整數(shù)時，稱a,b,c為一組勾股數(shù).

常見的勾股數(shù):如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等.

判斷勾股數(shù)的方法：1）確定是三個正整數(shù)a,b,c；

2）確定最大的數(shù)c；

3）計算較小的兩個數(shù)的平方。2+62是否等于c2.

L（2023?安徽滁州?一模）如圖，數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為-1,以1為邊長的正方形的一個頂點在點A處,

以點A為圓心，正方形對角線相長為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點P,則點尸表示的數(shù)是（）

-2-10尸1

A.&B.72+1C.V2-1D.2-72

2.（2024?安徽亳州?模擬預測）在VA2C中，ZBAC=120°,AC=6,A5=4,則3C的長是（）

A.6夜B.2MC.2V13D.9

3.（2024?安徽安慶?二模）如圖，在長方形ABCL（中，OC=6,在DC上存在一點E,沿直線4E把VADE折

疊，使點。恰好落在BC邊上，設此點為凡若3尸的面積為24,則CE的長度為（）

8

A.3.5B.-C.2D.3

3

4.（2022?安徽合肥?三模）已知直角三角形ABC的一條直角邊AB=12cm、斜邊AC=13cm,則以A8為軸

旋轉一周，所得到的圓錐的底面積是（）

A.90ncm2B.209ncm2C.155ncm2D.2571cm?

5.（2024?安徽安慶?二模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，VABC的位置如圖，其中點A、B、C分別在格點上，則

tanA的值是（）

6.（2024?安徽宿州?模擬預測）如圖，實線部分是一個正方體展開圖，點A,B,C,D,E均在△〃琥的邊

上，貝!JcosN=（）

D.2

2

7.（2024?安徽合肥?一模）中國古代數(shù)學家趙爽設計的"弦圖”蘊含了豐富的數(shù)學知識.如圖，在由四個全等

的直角三角形（//ME,AABF,BCG,歸）和中間一個小正方形拼成的大正方形ABCD中,

設NBAF=?,若2cos（z=3sin（z,則正方形A5c。與正方形EFG”的面積的比值為（）

8.（2024?安徽合肥?模擬預測）如圖，四邊形AB。的兩條對角線AC8。相交于點O,ZBAD=ZBCD=90°,

AB=AD,則下列結論錯誤的是（）

A.AC平分/BCDB.BC+CD=42AC

C.OA2+OC2=OB2+OD2D.AC2-AB2=BC-CD

9.（2024?安徽六安?三模）如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,NABC=30。，AC=6,延長C4到點G,使

AG=^AC,過點G作GH〃AB,交CB的延長線于點H,點。是G/f上一點，過點。作DE〃CG,交A3

2

于點E,連接C。，點尸在CD上，CF=；CD,連接跖，則斯的最小值為（）

A.工B.73C.2A/3D.2

2

10.（2023?安徽滁州?二模）在等腰RtZ^ABC中，NBAC=90。，點P在43上，點。在8C的延長線上，連

接尸。交AC于點。，作PEJ_BC于點￡,若AP=PE,6P=CQ,則下列結論一定正確的是（）

A.AP=BPB.AD=DCC.AD=DQD.PD=DQ

11.（2024?安徽合肥?三模）如圖，A3是。的直徑，CD是。的弦，連接AC、AD,若NACD=65。，則

/BAD的度數(shù)為.

12.（2024?安徽合肥三模）如圖，在中，ZA=45°,E是AD上一動點，連接BE,將一ABE沿BE

折疊，使點A正好落在EC上.

(1)若NECB=30。，貝|/EBC=；

(2)若AB=40,BC=8,則DE=.

13.(2024?安徽合肥?三模)如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=30,AC=2,點。是3C的中點，點

E是邊上一動點，沿OE所在直線把BDE翻折到的位置，交于點歹，連接A?.

Cl）A9的最小值是；

（2）若A*尸為直角三角形，則BE的長為.

An1

14.（2024?安徽合肥?三模）如圖，在VABC中，尸為邊AC上一個動點，點D在邊AD上，已知==?,

BD5

ZC=90°,ZA=30°.

D'B

PA

(1)當B4=A￡>時，7K的值為.

AC

（2）連接尸8,若AB=12,則班）周長的最小值為

考向五：尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖的定義：在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖稱為尺規(guī)作圖.

五種基本作圖：

類型圖示作圖依據(jù)

作一條線段等IaI

圓上的點到圓心的距離等于半徑.

于已知線段

-P

作一個角等于

1）三邊分別相等的兩個三角形全等；

己知角

2）全等三角形的對應角相等；

3）兩點確定一條直線.

B

作一個角的平

分線「

作一條線段的

1）到線段兩個端點距離相等的點在這務

垂直平分線

線段的垂直平分線上；

2）兩點確定一條直線.

過一點作已知

1）等腰三角形“三線合一”；

直線的垂線”」

A——2）兩點確定一條直線.

N>

根據(jù)基本作圖作三角形

類型圖示

已知三角形的三邊，求作三角形a

b

c上.

a

已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形

2b_____

4

￡

已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形ALxA

m/%

3mC

已知直角三角形一直角邊和斜邊,求作直角

三角形AD

根據(jù)基本作圖作圓

類型圖示

過不在同一直線上的三點作圓

（即三角形的外接圓）

A

作三角形的內(nèi)切圓

段

?1p1c

尺規(guī)作圖的關鍵：

1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；

2）讀懂題意后，再運用幾種基本作圖方法解決問題；

3）切記作圖中一定要保留作圖痕跡.

1.（2023,安徽?模擬預測）如圖，在VA3C中，AB=BC,ZABC=56°,依據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡，則/OCE

的度數(shù)是（）

工

A.56°B.57°C.58°D.59°

2.（2020?安徽?三模）如圖，用圓規(guī)在NMON的兩邊上分別截取Q4、OB,使。4=03,再分別以點A、B

為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點C,連接AB、BC、CA,若鉆=2,OC=4,則sinNAOB的值

為.

（1）在網(wǎng)格中以A為位似中心，畫出VABC的位似圖形VAZ）E,且與VABC的相似比為21M.

（2）利用無刻度直尺和圓規(guī)，作出VABC的外接圓（保留作圖痕跡）.

4.（2024?安徽?模擬預測）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，VABC的頂點均為格

點（網(wǎng)格線的交點）.

（1）請畫出將VABC繞點。順時針旋轉180。得到的A'B'C；

⑵請用無刻度的直尺作出的角平分線C'P（保留作圖痕跡，不寫作法）

5.（2024?安徽池州?模擬預測）在如圖所示的正方形網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長都是1,每個小格的頂

點叫做格點.解決下列問題：

⑴已知VABC的三個頂點都在格點上，將VABC向右平移2個單位，得到△月耳G，請在網(wǎng)格圖中畫出

△4瓦G.若4片與AC相交于點P,貝|AP:PC=_；

（2）用無刻度的直尺畫圖：在AG上求作點"，使4M:MG=3:4.（保留作圖痕跡）

6.（2024?安徽合肥?三模）如圖，△OAB在平面直角坐標系中，網(wǎng)格是由邊長為1個單位長度的小正方形組

成，點0,A,B均為格點（網(wǎng)格線的交點）.

（1）畫出△OAB關于y軸對稱的.。4月；

⑵畫出△043繞原點0順時針旋轉90。后的△O&B?；

⑶僅用無刻度直尺畫出線段48中點C（保留作圖痕跡）.

7.(2024?安徽蚌埠?二模)如圖是由小正方形組成的10x10網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫格點，點0,A,

B,C為格點.

(1)以點。為對稱中心，作VABC關于點。的對稱圖形AB'C,作出AB'C；

(2)用無刻度的直尺作OH_LAB,其中H在線段AB上.

8.(2024?安徽合肥?一模)如圖，在平面直角坐標系中，單位長度為1,VABC的頂點均在正方形網(wǎng)格的格

(1)畫出VABC繞點。逆時針旋轉90。的圖形△ABiG;

⑵在龍軸上畫出一個格點，使/3DC=90。；

⑶在線段BC上畫出點E,使DE的長度最短.

(要求：借助網(wǎng)格，只用無刻度的直尺，不要求寫出畫法，保留作圖痕跡)

9.（2024?安徽蚌埠?三模）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了以格點（網(wǎng)格

線交點）為頂點的VABC.

⑴將VABC向上平移6個單位，再向右平移4個單位得到與a,請在網(wǎng)格中畫出△AB|G；

⑵將VA3C繞點A順時針旋轉90。得到AB2c2請在網(wǎng)格中畫出AB2C2；

⑶利用網(wǎng)格畫出VABC中AC邊的中線50.

10.（2024?安徽合肥?二模）如圖，在平面直角坐標系中，VABC的頂點3（2,4）,C（3,3）.

2C

1

456

⑴將VA3C向右平移兩個單位，再向下平移一個單位，得到△A4G，畫出平移后的△AB|G；

⑵將VABC以點4為旋轉中心旋轉180。，畫出旋轉后對應的△&與6；

⑶在第三象限內(nèi)找格點P