三角函數與解三角形（選填題11種考點分類）

加飄導囹

三角函數定義與同角三角函數

任意角、弧度制與三角函數定義

設巴X,M是角四邊上異于頂點的任一點，其到原點。的距離為r

一定義一yxy

則sina--,cosa=—,tana二一（"0）?

rrx

回=々瓠長用/表示）

角a的孤度數公式

T

@1°=—rad；②1rad=(^r)°

角度與瓠度的換算

J弧度制一180

弧長公式瓠長l=\a\r

$=*=扣片

扇形面積公式

同角三角函數

.,,…sina.兀..

公式—sina+cosa=l,tana=-------(a—+kn,keL)

cosa2

題型二弦的齊次特征一分式或等式，弦的次數相同

題型

題型三弦加減乘問題

(1)sina±cosa—^―>1±2sinacosa=1±sin2a

sina+cosa=聯立方程,sina=

(2)=>tana

sina-cosa=cosa=

(3)Asina±Bcosa=k―河早時等---->tana

、'u:除l=sin-(x+€os?a

W：分子分母同除cos?a

注意：(sina±cosa)2=sin2a+cos2a±2sinacosa

=l±2sinacosa

1

恒等變化與正余弦定理

一誘導公式恒等變化

誘導公式一口訣一奇變偶不變，符號看象限

t角的拼湊

加仔誘導公式

(1)找特殊角：目倍角關系La同倍角二二＞特殊角，

非如n兩角和差

L2

(2)角的關系：題目求的角=特殊角與條件的角相加減

(3)給三角名：題目求什么給什么

(4)公式化筒：利用恒等變化化簡

—正余弦定理

-正弦定理

一公式—一^二二七二?!^為AABC的外接國的半徑)

sinAsinBsinC

匚使用范圍一(1)已知兩角和一邊(2)已知兩邊一對應角

-余弦定理

b2+c2-a2

a2=b2+c2—2bc?cosA2bc

?a2+c2-b2

J公式b2=a2+c:-2ac?cosB，兩邊一角求邊—cosB=-----------三邊求角

2ac

c2=a2+b2_2ab?cosC

-a2+b2-c2

cosC=------------

2ab

L使用范圍一已知三角求邊一已知兩邊一角求邊

I三角形面積

①§4.皿=；a11,(111為@邊上的高)

'一@SA.absinC=ibcsinA=iacsinB

AABC222

③SAABC=；r(a+b+cXr為三角形內切圓的半徑)

2

解三角形

邊角互換思路

正弦定理邊角互換

r三邊的平方

余弦定理邊角互換-—三個角正弦值的平方

角的余弦值

角化邊

-三個角的正余弦值

處理掉一個角，利用三角形的內角和及兩角和差

①sinC=sin(.44-^)=sinAcosB+cosAsinB

(2)cosC=-cos(.4-|-B)=-(cosAcosB-sinAsinB)

③而也=cosC

J22

?co$dF=sini

一輔助角——兩名一角一次方（簡稱211）

-降暴公式或平方關系或一元二次一正弦值或余弦值的平方

一正余弦值三項相乘一提公因式

數字換邊一邊化角非齊次時，條件數字換邊

最值

「面積或邊長乘積一余弦定理+基本不等式

-基本不等式一一周長或邊長之和一余弦定理+基本不等式+三角形的三邊關系

I基本不等式的配湊型一或對勾函數求最值

「邊化角轉化成三角函數的性質求最值

J邊化角一一轉化成角三角函數值的一元二次函數

I利用導數求單調性

3

解三角形

爪型三角形

——X—,11—―"

AD=---AC+-^—AB

九+u九+□

左右同時平方數量積

-中線（等分點）

I互補的兩個角余弦值之和為0—

cosADC+cosADB=0

分別在/\^（：和4皿€'采用余弦定理列式

S.ABC=aBC|IAD|=；besinA

即S4底.高g兩邊之積陜角正弦值

4

三角函數性質

—周期

定義法—寅*+2)=￡(*),周期為1

函數y=Asin(cax+(p)(y=4cos@x+p))的最小正周期T=—

l?l

一公式法一

函數y=4tan(ox+9)的最小正周期7=—；

1?1

求含有絕對值符號的三角函數的周期時可畫出函數的圖象，通過觀

察圖象得出周期.

J圖像法

⑴函數y=0sin(sx+9)|,y=3cos(?ax+p)|,y=Ntan(<?x+p)|的周期均為7=衛

畫

⑵函數y=0sin(sx+9)+砥%0),juWcosQix+G+b(屏0)的周期均為T=—

對稱性

①函數y=Asin(cox+<p)+B或y=Acos(sx+<p)+B或y=Atan(cox+cp)+B

,②把Ox+<p看成整體，然后整體代入相應公式

對稱軸：CDX+(p=對稱軸公式求X；

對稱中心：0?+中=對稱中心橫坐標公式求X,對稱中心則為(x,B)

單調性

(1)輔助角化成y=Asin(cox+(p)+B^.y=Acos(cox+(p)+B^,y=Atan(cox+(p)+B

一(2)復合函數的同增異減：若co負變正，cox+(p整體代入；

A、co同號，求增代增求減代減;A、co異號，求增代減求減代增

(1)子集法：求出原函數的相應單調區間，由已知區間是所求某區間

的子集，列不等式(組)求解.

j(2)反子集法：由已知區間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正

余弦函數的某個單調區間的子集，列不等式(組)求解.

(3)周期法：由所給區間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過

周期列不等式(組)求解.

定義域

①根據函數定義域求解法則列出不等式或不等式組

L②解有關三角不等式時，單個函數可采用函數圖像或三角函數線

解含有多個三角函數時多數采用三角函數線

5

三角函數性質

值域

求三角函數的值域(最值)的三種類型及解法怎路

①助南型

彩如y=asinx+b8sx+c的三角函數化為yNAsin(wK+?p)+k的彩式，再求值域1(最值)：

②二次函數型

形如y=asin：x+bsinx+c的三角函數，可先設sinx=t,化為關于t的二次函數求值城最值)

一③換元型

彩如y=asinxcosx+b(sinx士cosx)+c的三角函數，可先設t=sinx±8sx,

化為關于t的二次函數求值域(最值).

④反比例型

再行二asinx+p,采用分離常數法，再用換元法變成反比例型函數

.csLaicnxV+d

奇偶性

(1)定義域是否關于原點對稱(左右端點同時(不)取到且成相反數)

定義法-I■否：非奇非偶函數

<

是:f(-x)=-f(x)奇函數；f(-x)=f(x)偶函數f(-x)豐f(x)H-f(x)非奇非偶

J公式法

形如y=Asin((OK土(p)+B或y=ACOS(COK±(p)+B或y=Atan(CK±<p)+B

影響奇偶性的因素為(p和B(前提定義域關于原點對稱)

(1)BHO,原為奇函數的變成非奇非偶函數，B對原來為偶函數沒有影響

cp=f+k7t(為B的奇數倍)=變性：奇變偶，偶變奇

(2)<p<p=kn(為g的偶數倍)=>不變性：奇是奇,偶是偶

中工與■(不等于三的整數倍)n非奇非偶函數

注意：(1)(2)必須同時滿足

伸縮平移

y=Asin(cox+(p)+B或y=Acos(cox+(p)+B或y=Atan(cax+(p)+B

(A>1=>伸長

A(乘除)=>伸縮.

0<A<1=>縮短

縱坐標.

B>0=>向上平移

B(加減)=>上下平移《

B<0=>向下平移

3(乘除)=>伸縮今變化倍數成倒數關系

橫坐標,

<p(加減)=>左右平移=>平移時X的系數化成1

坨，考點突破

考向一扇形的弧長與面積

【例1-1］（24-25高三上?湖南長沙?期末）扇子發源于我國，我國的扇文化有著深厚的文化底蘊，是民族文化的

一個組成部分，歷來我國有"制扇王國”之稱.現有某工藝廠生產的一款優美的扇環形扇子，如圖所示，其扇環面

是由畫有精美圖案的油布構成，扇子對應的扇環外環的弧長為48cm,內環的弧長為16cm,油布徑長（外環半徑

與內環半徑之差）為24cm,則該扇子的油布面積大約為（油布與扇子骨架皺折部分忽略不計）

B.768cm2

C.640cm2D.512cm2

【例1-2］（2024?陜西漢中）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發明與古人端午節的習俗有關.如圖為某校數學

社團用數學軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段作一個等邊三角形N3C,然后以

點2為圓心，N2為半徑逆時針畫圓弧交線段C2的延長線于點。（第一段圓弧），再以點C為圓心，CD為半徑

逆時針畫圓弧交線段NC的延長線于點￡,再以點/為圓心，/￡為半徑逆時針畫圓弧…….以此類推，當得到的“蚊

香"恰好有11段圓弧時，"蚊香"的長度為（）

蚊香

7

A.14兀B.18KC.24兀D.44兀

JT

【例1-3］（2025高三?全國?專題練習）某地進行老舊小區改造，有半徑為60m、圓心角為§的一塊扇形空置地,

如圖，現欲從中規劃出一塊三角形綠地尸。尺，其中點尸在病上，PQ±AB,垂足為。，尸RL/C,垂足為R,

當點尸在加上運動時，這塊三角形綠地的最大面積是____m2.

【例1-4】（2024?全國?模擬預測）（多選）如圖，設單位圓與x軸的正半軸相交丁點以x軸的非負半軸為

始邊作銳角a,B，CC-13,它們的終邊分別與單位圓相交于點《，4，P.若a=g，則下列說法正確的是

A.當：7時，r尸的面l積為:B.當夕7T時，扇形。4耳的面積為工IT

4466

C.當夕=：時，四邊形。4尸4的面積為2+M近D.四邊形044々面積的最大值為1

48

考向二三角函數的定義與同角三角函數

【例2-1】.（24-25高三下?廣西?開學考試）已知過原點的直線/的傾斜角為a,若點P（l,2）在直線/上，則

cos2tz-2sin2?=()

111111

A.—B.—C.一一D.-----

5555

【例2-2］（2025?廣東肇慶?二模）已知a是銳角，6sina+2挺cosa=,則sini=(

V77V33

AR「庫NVH

11111111

【例2-3］（2025?安徽?模擬預測）若tana=2,則「國：”的值為（）

cos-2sina

8

33

A.1B.一C.D.-1

77

貝l]tan[&+：)=(

【例2-4](2024?全國甲卷?高考真題)已知—一a=C,)

coscif-sincr

A.273+1B.C.也

2A/3-1D.1-V3

a

【例2-5】（2025?遼寧沈陽?一模）已知銳角。滿足3sina+4cosa=4,貝Utan,：（）

43125

A.-B.-C.—D.—

34512

【例2-6］（24-25高三上?山東德州?期末）（多選）已知乃，sin^+cos^=1,則下列結論正確的是（）

A.0e\—,Tt\B.cos^=--C.tan^=--D.sin^-cos^=—

12）545

考向三誘導公式與恒等變化

【例3-1］（2025?山東日照?一模）己知a是第一象限角，且sina+cosa=3cosatana,則$說，+3的值為（）

AV5R2^/5「行n275

5555

【例3-2】（2024?廣東江蘇?高考真題）已知cos（a+￡）=私tanatan7=2,貝！Jcos（a-月）=（）

m

A.—3mTD.3m

【例3-3］（2023?全國?高考真題）已知sin（a—/?）=：,cosasiii/7=，，則cos（2a+2月）=（）.

36

“、2sin(7i+a)cos(7i-a)-cos(7i+a)八八.八、

f(a)=---------------------g----一-(1+2smaw0)

【例3-4](2025高三?全國?專題練習)設」.2,口兀,).J)則

1+sma+cos—+a-sin—+a

U)U)

【例3-5］（2024?新課標II卷?高考真題）已知。為第一象限角，/?為第三象限角，tana+tan/7=4,

tanatan/3=V2+1,則sin(i+fJ)=.

【例3-6］（24-25高三下?重慶沙坪壩?開學考試）tan7（T+2cos26」=_.（請用最簡數值作答）

sinl60°

考向四角的拼湊

【例4-1］（24-25高三上?湖北?期中）已知cos［-三）=-g，則sin］^+”的值為（）

AJ.?_1r2V2n2y/2

A?D.L-.-----U.土----

3333

【例4?2】（2024?吉林長春?模擬預測）若cos,-；卜;，則sin2a=（）

9

557

A.——B.一C.——D

888-?

45兀

【例4-3]（24-25高三上糊北?階段練習）若sin三+a=十則cos2"*()

56

12712

A.B.cD.——

2525-125

【例4-4]（24-25高三上?江蘇常州?期中）已知。,力￡(。,兀)，_&coscr=-^-,sin(6if+/?)=^^,貝cos4二()

51710

回9V10

RD.----rD.用

1050

考向五三角函數的性質

【例5-1]（24-25高三下.湖北?開學考試）（多選）己知函數〃x）=sin2x,若將小）的圖象向右平移展個單位

后，再把所得曲線上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數g（x）的圖象，則下列說法正確

的是（)

71

A.g(x)=sinX-------

12

（）的圖象關于點（對稱

B.gx"J

C.g（x）的圖象關于直線X對稱

D.g（%）的圖象與的圖象在曲2兀]內有4個交點

【例5-2]（2025?甘肅白銀?模擬預測）（多選）已知函數/⑴=然皿3+夕）（0。〈兀,勾0㈤0）的圖象如圖所示,

是直線了=-1與曲線j=的兩個交點，且1MM==,將函數/（x）的圖象向左平移，個單位長度得到

99

7171

C.g(x)在上單調遞增

959

7TTjr

D.若關于X的方程g（x）-一=0在xe一27有兩個不同的根，則實數比的取值范圍為0，2]

mOO

10

【例5-3］（2025?安徽?模擬預測）（多選）已知函數/（x）=cos22x+gsin4x-g,則下列說法正確的是（）

A.函數的最小正周期為］

函數“X）在區間（-急［上單調遞增

B.

I16打

C.函數/（X）的圖象的一條對稱軸方程為x=g

O

D.函數的圖象可由＞=2^sin4x的圖象向左平移己個單位長度得到

考向六w的求法

【例6-1】（2025?江西九江?一模）將函數/（x）=sin10x+gj的圖象向左平移e個單位長度后得到的圖象關于了

軸對稱，則G的值可能是（）

A.5B.8C.11D.13

【例6-2］（24-25江蘇省）已知函數若在區間（0㈤上單調遞增，則。的取值

范圍為（）

A.陷B,層］C.（0,：）D,叫

【例6-3］（24-2海南）已知函數/（x）=sinGM電＞0）與g（x）=sin02x（°2〉0）的部分圖象如圖所示，則詈=

11

A.—B.—?C.6D.3

63

【例6-4］（24-25福建）已知函數/（x）=sin"f（o＞0）在區間（0,勸上有最大值，沒有最小值，則。的范圍

是()

A，(［］5不111］B.(［5不1力1)U(75、D.(7二5'

【例6-5］(24-25湖南常德)已知函數/'(x)=-sin9,g(x)=4sin|+|(。>0),若>=〃x)與〉=g(x)

在區間［0,2可上有且僅有3個交點，則。的最小值是（）

472317

A.一B.一C.—D.

331212

【例6-6］（24-25高三下?河北?開學考試）已知函數/（x）=5畝［3+T（0＞0）的最小正周期T滿足］＜7＜兀,

且該函數的圖象關于點中心對稱，則。的值為（）

11

【例6-7】（2025?山東青島?一模）已知函數/（x）=sin（0x+°）（（y>O,|9區3，x=-（為〃x）的零點，x=:為

P=/（x）圖象的對稱軸，且“X）在仁，道單調，則。的最大值為（）

\loJO）

A.13B.11C.9D.7

考點七三角函數的零點

【例7-1】（2025?廣東佛山?一模）函數/（x）=sinx+sin2x在區間（0,3兀）上的零點個數為

【例7-2】（2023?新課標I卷?高考真題）已知函數〃x）=coss-1（。>0）在區間［0,2可有且僅有3個零點，則。

的取值范圍是.

【例7-3］（2025?湖南邵陽?一模）已知函數/（x）=2cos20x+2sin0xcos@x（0>O）在區間［0,2萬］上有且僅有4個

零點，則。的取值范圍是

【例7-4］（2014?河北唐山）函數/（x）=2sin7tx-，3x-x，所有零點的和等于

【例7-5］（24-25高三下?山東德州?開學考試）函數〃司=a11（2的-3（。>0）在（0高上單調遞增，且在［0,兀］

上恰有三個零點，則。的取值范圍為

【例7-6］（24-25天津河西）設函數/（x）=sinox?>0）,若函數g（x）=〃x）-l在［0,可上恰有3個零點,則實

數。的取值范圍是

考向八正余弦定理

【例8-1】（2024?陜西商洛?一模）（多選）設的內角4民。的對邊分別是a*,c,若a=6,且

（26-c）cos/=acosC,則下列結論正確的是（）

JT

A.4=7B.的外接圓的面積是兀

6

c.△ABC的面積的最大值是mD.5—C的取值范圍是（-人,2百）

4

【例8-2］（24-25高三上?江蘇蘇州?期中）（多選）已知△/5C的內角A,B,。所對的邊分別為。，b,。，下

列四個命題中正確的是（）

A.若△Z5C為銳角三角形，貝！Jsin8〉cos/

B.若5=60。，b2=ac,則△45。是直角三角形

C.^bcosC+ccosB=b,則△/夕。是等腰三角形

D.若△4BC為鈍角三角形，且/3=3,AC=5,cosC=^f,則△4BC的面積為電1

144

12

【例8-3］（2024?廣東?模擬預測）（多選）已知△48C中,角48,C所對的邊分別為的面積記為S,

若a=4,/=60°，貝！|（）

A.2S=^/3AB-AC

B.ZUBC的外接圓周長為"業兀

3

C.S的最大值為46

D.若M為線段的中點，且0河=述，則S=4，J

3

【例8-4］（2024?遼寧沈陽）（多選）在△42C中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且已知。=2,貝!!

（）

A.若/=45。，且△4BC有兩解，則6的取值范圍是（2,2應）

B.若4=45°,且6=4,則△/2C恰有一解.

C.若c=3,且△ABC為鈍角三角形，則6的取值范圍是（屈,5）

D.若c=3,且△4BC為銳角三角形，則b的取值范圍是（行,JW）

TT

【例8-5］（2024?云南曲靖?模擬預測）（多選）在△NBC中，AB=4,AC=6,A=~,。為邊2c上一動點，

貝IJ（）

A.BC=25

B.當/。為角A的角平分線時，40=吆叵

5

C.當。為邊中點時，AD=3y［2

D.若點產為△/3C內任一點，莎?（而+定）的最小值為

【例8-6】（2024?重慶?模擬預測）（多選）在銳角△4BC中，內角4B,C的對邊分別為a,b,c,若

6sin^=（〃+c）siiL4,則下列說法正確的是（）

A.B=2A

B.3的取值范圍為

C.----------+2sin5的最小值為2后

tanAtann

D.冒的取值范圍是

考向九實際應用

【例9-1】（2024?四川）一艘海輪從A處出發，以每小時40海里的速度沿東偏南50。方向直線航行，30分鐘

13

后到達2處.在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南20。，在B處觀察燈塔，

其方向是北偏東65。，那么8、C兩點間的距離是（）

A.10及海里B.10力海里C.200海里D.20G海里

【例9-2]（2024?河南）"不以規矩，不能成方圓”出自《孟子?離婁章句上》."規"指圓規，"矩"指由相互垂直的

長短兩條直尺構成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具.敦煌壁畫就有伏羲女蝸手執規矩的記載（如

圖（1））.今有一塊圓形木板，以"矩"量之，如圖（2）.若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四

3

邊形木板的一個內角a滿足cosa=M，則這塊四邊形木板周長的最大值為（）

圖(1)圖(2)

A.20cmB.20V2cmC.20j§cmD.30cm

考向十與其他知識的綜合運用

【例10-1】（2025?云南?模擬預測）已知函數/（x）=sin0x+sin,x+]^（0eN）在xe[0,可上有且僅有一個極大

值點，則/（x）在下列區間中單調遞增的是（）

A，（兀5兀、B，（57171C（5TI5兀、}D*（[1712，"56兀"、J

【例10-2]（2025?陜西渭南?一模）已知〃x）=/13cosx+sinx,則曲線y=/（x）在x=0處的切線與坐標軸圍成

的三角形的面積為（）

A.3B.3C.D.2

222

【例10-3】（2025?新疆?模擬預測）（多選）已知函數〃x）=siiu+gsin2無，則下列結論正確的是（）

A.“X）的最小正周期為27r

B./（x）在區間上為增函數

14

C.f（x）的對稱中心為（版,0）（左eZ）

D./（無）的最小值為一亞

【例10-4]（2024?安徽?三模）（多選）己知ZUBC中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,其中6=4,

m=\-,tanfi,n=\tanA,-,m-n=——,則()

<c)3cos/

B.ZUBC的外接圓面積為16兀

C.^AM=-AC,ABAC=Z.ABM,貝l]BC=迎至

413

____3__.iio

D.^AM=-AC,ZBAC=ZABM,貝！JsinNB/C="

413

【例10-5】（2025?云南昆明?一模）（多選）已知函數〃x）=cos（sinx）-sin（cosx）,則（）

A./Xx）圖象關于歹軸對稱B.2兀是了=/（x）的一個周期

C./（x）在（0㈤單調遞減D.〃x）圖象恒在x軸的上方

考向十一新定義

【例U-1]（24-25福建莆田）若一系列函數的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數為"同族函

數"，例如函數J=x2,xe[l,2]與函數j=x?,xe[-2,-l]為"同族函數下面函數表達式中，可以用來構造“同

族函數”的是（）

3

A.y=TB.y=log2xC.y=xD.y=tanx

[a,a>b

【例11-21（2025山東）設a,beR,定義運算b=<,則函數[0）=smx九cosx的最小值為（）

[b,a<b

J21

A.-1B.--C.——D.0

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