人教版八下期末真題必刷04（壓軸選填60題12個考點專練）

動點問題的函數圖象（共4小題）

1.（2023春?海安市期末）如圖1,口/2C。中，Zr>=150°,兩動點N同時從點/出發，點M在邊48

上以2c加/s的速度勻速運動，到達點3時停止運動，點N沿/-D-C-8的路徑勻速運動，到達點3時停

止運動.AAW的面積S（an［）與點N的運動時間f（s）的關系圖象如圖2所示，已知48=4cw,則下列說法

正確的是（）

①N點的運動速度是kro/s；

②AD的長度為3cm；

③。的值為7；

④當S=1c/時，/的值為五或9.

【分析】由點”的速度和路程可知，/=2時，點”和點8重合，過點N作NEL4B于點E,求出NE的

長，進而求出NN的長，得出N點的速度；由圖2可得當仁3時，點N和點。重合，進而可求出的長;

根據路程除以速度可得出時間，進而可得出a的值；由圖2可知，當S=lc加2時，有兩種情況，根據圖象分

別求解即可得出結論.

【解答】解：：48=4加，點”的速度為2cm/s,

當點M從點/到點B,用時7=4+2=2（s）,

當，=2時，過點N作NELN8于點E,

在口N3CD中，ND=150°,

Z.A=30°,AB=CD=4cm，

AN-2NE=2cm,

，N點的運動速度是1c加/s；故①正確；

.?.點N從。到C,用時"4s,

由圖2可知，點N從4到。用時3s,

/.AD=3cm,故②正確；

q=3+4=7（s）,故③正確；

當點〃未到點5時，過點N作于點

:.S=-AM-NE=--2i--t=l,

222

解得％=行，負值舍去；

當點N在5c上時，過點N作48交延長線于點尸，

-,NF=-BN=5--t，

22

S=-AB-NF=^x4x(5-1r)=1,

解得，=9，

.?.當S=lc??時，f的值為正或9.故④正確；

故選：D.

【點評】本題主要考查函數圖象問題，涉及平行四邊形的性質，含30。直角三角形的性質，熟練掌握各圖形

的性質，分別列出關于/的方程是解題的關鍵.

2.（2023春?望奎縣期末）如圖，邊長為2的等邊AABC和邊長為1的等邊它們的邊8C,B'C

位于同一條直線/上，開始時，點C'與點8重合，A48c固定不動，然后把△HB'C'自左向右沿直線/平移,

移出A48C外（點9與點C重合）停止，設平移的距離為x,兩個三角形重合部分的面積為y,

則y關于x的函數圖象是（）

AfAf

A/公

B'B(C')B'CC'1

A.。[123B.O\TT

h41

C.。「12>，xD.0[^

【分析】分為0<%，1、1<%，2、2<%,3三種情況畫出圖形，依據等邊三角形的性質和三角形的面積公式,

求得〉與X的函數關系式，進而求解.

【解答】解：如圖1所示：當0<x,1時，過點。作。

B'BECC

副

???NABC和△4夕。均為等邊三角形，

.?.AT>8。為等邊三角形.

??,DE=RBC=%.

]h

:.y=-BCDE=—x2.

24

/?

當x=l時，y=^,且拋物線的開口向上.

4

如圖2所示：1<匕2時，過點H作夕。，垂足為E.

/4\

BB,ECC

圖2

.?.函數圖象是一條平行于X軸的線段.

如圖3所示：2<X,3時，過點。作DE_LQC,垂足為E.

y=-B'CDE=^（x-3）2,函數圖象為拋物線的一部分，且拋物線開口向上.

-24

故選：C.

【點評】本題主要考查的是動點問題的函數圖象，求得函數的解析式是解題的關鍵.

3.（2023春?豐臺區校級期末）如圖，扇形的半徑。4=6,圓心角//O2=90。，C是就上不同于4、

2

B的動點，過點C作CD，。/于點。，作CELO3于點E,連接。￡,點〃在線段上，且E8=—.設

3

EC的長為x,ACE”的面積為y,選項中表示y與x的函數關系式的圖象可能是（）

【分析】根據已知得出四邊形ODCE是矩形，再根據矩形的性質得出。E=OC=6,進而得出9=4,

HD=2,從而得出C￡=x,EF=-x,表示出尸77的長，進而得出ACE”的面積，根據圖象得出符合要求

3

的圖象.

【解答】解：連接。C,作HFLEC于一點廠，

?.,扇形O4S的半徑。4=6,圓心角乙4。8=90。，。。，。么于點。，

CELOB于點、E,

二.四邊形ODCE是矩形,

DE=OC=6,

'：EH=-DE,

3

;.EH=4,HD=2,

_12,36--

??^&CEH=5*-X,

x^36-x1

3

A.結合解析式得出只有4圖象符合要求;

■：B.圖象是一次函數與二次函數一部分，

二.不符合上面解析式，故此選項錯誤；

vC.是反比例函數圖象，

二.不符合上面解析式，故此選項錯誤；

■：D.圖象是兩部分一次函數，

二.不符合上面解析式，故此選項錯誤.

故選：A.

【點評】此題主要考查了動點問題的函數圖象，得出函數解析式進而得出符合要求的圖象是解決問題的關

鍵.

4.（2023春?岳陽縣期末）如圖①，在矩形MNP0中，動點R從點N出發，沿NrPfQrM

方向運動至點M處停止，設點R運動的路程為x,AMM?的面積為y,如果y關于x的函數

圖象如圖②所示，則矩形尸0的面積是，

o

【分析】根據圖象橫坐標的變化，問題可解.

【解答】解：由圖象可知，x=4時，點R至u達尸，x=9時，點R至U。點，則PN=4,QP=5

：.矩形MN尸0的面積是20.

【點評】本題為動點問題的函數圖象探究題，考查了動點到達臨界點前后圖象趨勢的趨勢變

化.解答時，要注意數形結合.

二.一次函數圖象上點的坐標特征(共8小題)

5.(2023春?嵐山區期末)如圖放置的△O48,與4,△4與4，…，紇4+1，都是以4，4,

4，…，4為直角頂點的三角形，點4，4，4，…，4都在直線>=區上，

=44=44=…=44+1，點8在y軸上，02=2,,則點與必的坐

OB=A1B1=A2B2=...=AnBn

A.(1012,1012>/3)B.(2024,202473)C.(202473,4048)D.(101273,3038)

【分析】由應定理可證明各直角三角形全等，進而證明O8//4⑸//4生//…//44.由三角函數求出

4的橫坐標，由了=&求出其縱坐標，進而求出用的坐標.同理，可求出生、鼻的坐標，由規律寫出

8”的坐標，是關于〃的代數式，從而求出當"=2024時3,的坐標.

【解答】解：

OAt=AXA2==...=AnAn+l,OB=AtBt=A2B2=...=AnBn,

Rt△OAXB=Rt/\ARA=五，△A2B2A3=...=?△AnBnAn+l.

】=

/BOA=/BZAA=…=Z.BnAnAn+x.

/.OB11AXBX/IA2B2I/.../IAnBn.

???里（90。-ZBOAJ=上=也，

x

90°-ABOAX=60°,

/BOA】=30。.

/.OA,=O5cos30°=2x——=唐,

12

.?.點4的橫坐標為O4-sin3（r=Gx；=等，縱坐標為百x*=|,即4（，，|）.

.?.點4的橫坐標為縱坐標為g+2=（,即耳（與，1）.

同理，4（百，3）,與（6，5）；&（竽，|）,四（孚，^）；???

，用（'，（），,5）,%…B”（與"，2+|-?）?

.?.當“=2024時，—X2024=1012V3,2+-x2024=3038,

22

.?..（10126,3038）.

故選：D.

【點評】本題考查一點的坐標及一次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵通過點司、鳥、員的坐

標找到規律，將以坐標表示為"的代數式.

6.（2023春?青山區期末）如圖，已知點P（6,2）,點M,N分別是直線4:y=x和直線4"=gx上的動點，

連接PM,MN.貝!1PM+MV的最小值為（）

A.2B.275C.V6D.273

【分析】在坐標系中構造邊長為6的正方形O48C,得點尸關于4:y=x的對稱點P（2,6）,連接PM,P'N,

颯PM+MN=P'M+MN..PN,當且僅當P,M,N三點共線時，PM+MN=P'N,即尸M+MV的最

小值為PN的長，根據點到直線，垂線段最短，過點P（2,6）作PN垂直直線/2：y=gx于點N,即PNLOH

于點N,交直線4：y=x于點“，此時PN最小，利用等積法求出PN的長即可.

【解答】解：如圖，在正方形O48C中，0C=CB=BA=AO=6,

?.?直線4:y=x經過點。(0,0),2(6,6),

直線ll-.y=x是正方形OABC的對稱軸，

?.?點尸(6,2)在上，

可得點P關于4:y=x的對稱點P(2,6),

當x=6時，y=—x=3,

?2

即直線:y=gx經過點8(6,3),

過點P(2,6)作PN垂直直線：y=；x于點N,即PNLOH于點N,交直線(：、

x于點M，

V尸(6,2)和P'(2,6)關于關于《：y=x對稱,

PM=P'M,

PM+MN=P'M+MN=P'N,IPPM+MN的最小值為PN的長，

OH=A/62+32=3A/5，

=-OHP'N=^-P'N

.Q&POH22

S"OH=S正方形0Z8C_S"OA~S"BH_SbcOH=6x6-—x2x6-—x4x3-—x6x3=15,

222

...孚…,

解得P'N=2A/5，

PM+MN的最小值為26，

故選：B.

【點評】此題考查了正方形的性質、勾股定理、軸對稱的性質、一次函數的圖象和性質等知識，熟練掌握相

關性質和數形結合是解題的關鍵.

7.(2023春?南部縣校級期末)如圖，已知直線=乎x+卮分別交x軸、》軸于點5、Z兩點，C(3,0),

D、E分別為線段/。和線段4C上一動點，交》軸于點H,且=當5Q+8E的值最小時，則

A.(0,等)B.(0,5)C.(0,4)D.(0,755)

【分析】首先證明4B=4C=8,取點/(3,8),連接CP,EF,BF.由A￡C產三S45(S4S),推出M,

推出5。+8￡=8￡+斯，因為BE+EF..BF,推出BQ+BE的最小值為線段8月的長，推出當B,E,F

共線時，5O+8E的值最小，求出直線5廠的解析式即可解決問題.

【解答】解：由題意4(0,后)，5(-3,0),C(3,0),

AB=AC=8,

取點尸(3,8),連接W,EF,BF.

vC(3,0),

:.CF//OA,

NECF=ZCAO,

AB=AC,AOLBC,

ZCAO=ABAD,

/.ABAD=NECF,

在￡CF和AD/5中，

CF=AB=S

</BAD=ZECF,

AD=EC

\ECF=\DAB(SAS),

:.BD=EF,

BD+BE=BE+EF,

■：BE+EF...BF,

:.BD+BE的最小值為線段BF的長，

.?.當8,E,尸共線時，3D+3E的值最小，

4

?.?直線AF的解析式為：y=-x+4,

3

當BD+BE的值最小時，則H點的坐標為(0,4),

故選：C.

【點評】本題考查一次函數圖象上的點的特征、最短問題等知識，解題的關鍵是學會構造全等三角形解決

問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

8.(2023春?潮南區期末)如圖，一次函數y=x+4的圖象分別與x軸、y軸交于/,B兩點,過原點。作

垂直于直線48交48于點4，過點4作4瓦垂直于x軸交x軸于點及，過點用作44垂直于直線48

交48于點4，過點4作垂直于x軸交x軸于點鳥…，依此規律作下去，則點4的坐標是()

【分析】根據一次函數y=x+4的圖象分別與X軸、y軸交于4-4,0),3(0,4),可得A4O8是等腰直角三

角形，進而得出四邊形48QC是正方形，可求出點4的坐標，進而可以得出四邊形4與與。，四邊形

4耳與石也是正方形，求出點4的坐標，點4的坐標，根據點4，點4，點4的坐標呈現的規律，可以得

出點4的坐標.

【解答】解：過4、4、4、…分別作4c，BO，A,D±4A'A3E1AiBi-…垂足分別為c、D、E、

???一次函數y=x+4的圖象分別與X軸、y軸交于/（-4,0）,3（0,4）,

OA=OB=4,

OAX_LAB,

NAQB=NOBA=NOAB=45°,

;.OC=A.C=BC=-OB=2,

12

可得四邊形4耳。c是正方形，

同理可得四邊形4生與。，四邊形4質與石也是正方形，

.?.點4（-2,2）,即，4（-2\,2）,

可求4。=AB2==1，

.?.點4（一2—1,1）,即，4（-2'-2°，2°）,

同理4（-2-1一3，；）,即，4（-21-2°-2-，2-），

23

4（-2-1-1-^-1,；）,即，A5（-2'-2°-2-1-2--2-,2方，也就是（一2，

故選：D.

【點評】考查一次函數圖象上點的坐標的特征，等腰直角三角形、正方形的性質，點的坐標與線段長度之

間的互相轉化是解決問題的關鍵.

9.（2023春?德城區校級期末）如圖，平面直角坐標系中，直線/:了=-百尤+2G分別交x軸、y軸于點B、

A,以N8為一邊向右作等邊A48C,以N。為一邊向左作等邊A4。。，連接。C交直線/于點E.則點E的

坐標為（）

【分析】求出點C、點D的坐標，得到。的表達式，將CD的表達式與直線/的表達式聯立，即可求解.

【解答】解：y=_拒x+2班①,

令x=0,貝!Jy=2G，令y=0,貝！］x=2,

故點4、8的坐標分別為：（0,25（2,0）,

即OS=2,AO=26=OD,貝(1/3=4=3。，

AC)7-

tan/LABO=——=J3,故ZABO=60°,

BO

而AABC為等邊三角形，則3C與x軸的夾角為180。-乙傷。-乙42。=180。-60。-60。=60。，

則=SCsin60°=4x—=2A/3,

c2

xc=xB+BCcos60°=2+4x；=4,

故點C(4,2V3),

同理可得點。的坐標為：（-3,百），

,百

k=——

設直線的表達式為則一弘+'

COy=fcv+6,，解得:7

[245=4k+b,106

7

故直線C。的表達式為：y=@x+竺也②,

77

聯立①②并解得：x=i,丫=巫

22

故點E的坐標為：（；，孚）,

故選：A.

【點評】本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特征，本題的關鍵是求出點。、。的坐標，進而求解.

10.（2023春?永定區期末）如圖，過點4（1,0）作X軸垂線交直線y=x于點/以4耳的長為邊在月內右側

作正方形4耳。14；延長4G交直線y=x于點層，以A2B2的長為邊在4與右側作正方形A2B2C2A3；延長

4c2交直線y=x于點名，以44的長為邊在4名右側作正方形483c34……則c?。?。的坐標為（）

A.(22020,22019)B.(22020,22020)

C.(22019,2刈，D.(2刈32刈3

【分析】由點4（1,0）作x軸垂線交直線y=x于點與，求出片（1,1）,再以耳⑸的長為邊在4片右側作正方形

44G4，求出G（2,l）,同理求出。2（4,2）,C3（8,4）,即可得出規律求出C2020的坐標.

【解答】解：■.?過點4（1,0）作x軸垂線交直線y=x于點與，

，四（1,1），

???以AXBX的長為邊在4片右側作正方形481G4，

，G(2,1),

同理，可得。2（4,2）,。3（8,4），

，。②儂的坐標為⑵儂，22019）,

故選：A.

【點評】本題考查了一次函數，通過求出前三個點C的坐標找出規律是解決本題的關鍵.

11.（2023春?寶清縣校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，函數＞=2彳和》=-》的圖象分別為直線12,

過點0,0）作X軸的垂線交乙于點4,過點4作7軸的垂線交于點4，過點4作X軸的垂線交/1于點4，

過點4作》軸的垂線交4于點4，…依次進行下去，則點4g的坐標為_（-2誣_2研）_.

【分析】根據題意，先求得前至少8個點的坐標，然后找到規律即可.

【解答】解：當x=l時，y=2,

.?.點4的坐標為（L2）；

當y=-x=2時，x=-2,

.?.點4的坐標為（-2,2）；

同理可得4(一2,-4),4(4,一4),4(48)，4(-8,8),4(-8,-16),^8(16,-16)

...4+C),

2+,2+,

A4n+2(-2",2"),

2+12+2

4?+3(-2",-2"),

4“+4(22"+2,-222)(〃為自然數),

2022=505x4+2,

505x2+1

:.點4O22的坐標為(-2.2505*2),

即點小嫡的坐標為（一*匕21011）.

故答案為：（-2皿,21011）.

【點評】本題考查的是坐標系中點的規律，解題的關鍵是對前幾個點作出分析，找到規律.

4

12.（2023春?清河區校級期末）如圖，正方形O/BC的對角線03在直線y=上，點/在第一象限.若

正方形O/8C的面積是50,則點A的坐標為_(1,7)

【分析】如圖作。9_LO3,交A4的延長線于尸，作的W_Lx軸于M,FV_Lx軸于N.首先證明ASOF是

等腰直角三角形，可得/8=//，求出3、歹的坐標即可解決問題；

【解答】解：如圖作。尸_L03,交加的延長線于尸，作8M_Lx軸于引V_Lx軸于N.

?.?四邊形48CD是正方形,

ZOBA=45°,

ZBOF=90°,

是等腰直角三角形，

OB=OF,

由A5(W=ACW,可得BM=ON,OM=FN,

正方形OABC的面積是50,

.-.05=10,

,4

二，點B在直線y=_］上，

.?.8(—6,8),F(8,6),

...BA=AF,

4(1,7),

故答案為(1,7)

【點評】主要考查了一次函數的應用、正方形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學

會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

三.待定系數法求一次函數解析式（共3小題）

7

13.（2023春?定州市期末）如圖所示，直線y=]X+2分別與x軸、y軸交于點/、B,以線段為邊,

在第二象限內作等腰直角A45C,NA4c=90。，則過8、C兩點直線的解析式為（)

A.y——x+2B.y——x+2C.y——x+2D.y=-2x+2

【分析】過。作CM垂直于X軸，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，以及4c=4B,

利用//S得到三角形/CN與三角形加。全等，由全等三角形對應邊相等得到CA/=CM,AM=OB,由

4W+O/求出。”的長，即可確定出C坐標，然后根據待定系數法即可求得過8、。兩點的直線對應的函

數表達式.

【解答】解：對于直線丁=§、+2,令x=0,得到＞=2,即5（0,2）,OB=2,

令＞=0,得至l」x=—3,即4（—3,0）,OA=3,

過C作CM_Lx軸，=ZBOA=90°,

:.ZACM+ZCAM=90°,

?.?AA8C為等腰直角三角形，即NA4C=90。，AC=BA,

ZCAM+ZBAO=90°,

ZACM=ZBAO,

在AG4M和NABO中,

ZAMC=NBOA=90°

<ZACM=NBAO

AC=BA

:.\CAM=\ABO{AAS),

AM=OB=2,CM=OA=3,即OM=OA+AM=3+2=5,

/.C(-5,3),

設直線5C的解析式為y=Ax+6，

???5(0,2),

b=2

-5k+b=3

解得

.?.過3、C兩點的直線對應的函數表達式是y=-《x+2.

故選：B.

【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求一次函數的解析式，全等三角形的判定

與性質，熟練掌握一次函數的性質是解本題的關鍵.

14.（2023春?黃石期末）如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，8為x軸上一點，菱形/O5C的邊

長為2,乙4OB=60。，點D是OB邊上一動點（不與點。，8重合），點E在8c邊上，且下列

結論：

①AAOD三AABE；②NADE的大小隨點。的運動而變化；

③直線8C的解析式為>=岳-26；④。E的最小值為6.

其中正確的有①③⑷.（填寫序號）

【分析】根據菱形NO5C的邊長為2,ZAOB=60°,可得A4O3為等邊三角形，又OD=BE,可證

\AOD=NABE；由A4OD=AA8E,可以證出A4DE為等邊三角形，所以N/DE大小不變；求出B,C的

坐標可以求出直線8C的解析式為了=屈-26；根據垂線段最短，當時有最小值百.

【解答】解：?.?菱形NO3C的邊長為2,ZAOB=60°,

AAOB,A42c為等邊三角形，2（1,6），

OD=BE,ZAOD=NABE=60°,

\AOD=\ABE,(故①正確)，

ZOAD=NBAE,AD=AE,

NOAB=ZDAE=60°,

A4OE為等邊三角形，

NADE=60°,

ZADE的大小隨點D的運動是不變化的，(故②不正確)，

設直線BC的解析式為y=kx+b,

???115(2,0),C(3,同

y=V3x-2A/3(故③正確)，

根據垂線段最短，

當4D工OB時AD有最小值V3,

的最小值為6，(故④正確).

故答案為：①③④.

【點評】本題考查了菱形的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質，解題的關鍵是明

確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答.

15.(2023春?德州期末)如圖，四邊形/BCD的頂點坐標分別為4-4,0),5(-2,-1),C(3,0),D(0,3),

當過點8的直線/將四邊形/BCD分成面積相等的兩部分時，則直線/的函數表達式為=+

"42

【分析】根據題意畫出直線3",再設解析式，代入點坐標，分別求出。C和得解析式，根據鉛垂高x水

平寬+2等于ASMC的面積，即可求出加的值，再代入2、”點坐標即可求出解析式.

【解答】解：如圖所示，作直線8M交CD于點過點"作軸，交BC于點、N.

y

設直線BM將四邊形ABCD的面積分成面積相等的兩部分，

設直線DC的解析式為y+4,代入點。(0,3),C(3,0),

得y=-x+3,

設直線8c的解析式為>=左/+4，代入點8(-2,-1),C(3,0),

得了=4一3,

55

、13

設M(冽，一冽+3),則N(加加一?，

(4+3)x3(4+3)X1

?.?四邊形ABCD的面積為S=SMDC+SMBC=+=14,

/\riiDL22

13

S耶MC=(—m+3——+-)x5+2=7,

,2

解得m=—,

3

Af點坐標為(g,：),

27

設3M的解析式為y=fcr+6，代入B(-2,-l)和

解得4,

b=>

[2

53

BM的解析式為7=-x+-.

【點評】本題考查了一次函數和三角形面積，正確求出一次函數解析式并表示出A5MC的面積是解決本題

的關鍵.

四.一次函數的應用（共4小題）

16.（2023春?辛集市期末）容積為1500升的蓄水池裝有一個進水管和一個出水管，單位時間內進、出水量

都一定，單開進水管30分鐘可把空池注滿，單開出水管20分鐘可把滿池的水放盡.現水池內有水250升,

先打開進水管10分鐘后，再兩管同時開放，直至把池中的水放完.這一過程中蓄水池中的蓄水量y（升）隨

時間x（分）變化的圖象是（）

【分析】根據實際意義進行圖象的判斷，注意特殊點的尋找.

【解答】解：因為進水速度是1500+30=50升/分，單開出水管20分鐘可把滿池的水放盡，則出水速度是

1500+20=75升/分，

所以先打開進水管10分鐘，水池中有250+50x10=750升的水，兩管同時開放，直至把水池中的水放完共

用了750+（75-50）=30分鐘，

故10+30=40（分鐘）

故選：A.

【點評】本題主要考查了根據實際意義讀圖的能力.要能根據函數圖象的性質和圖象上的數據分析得出函

數的類型和所需要的條件，結合實際意義得到正確的結論.

17.（2023春?撫順縣期末）甲、乙兩位同學周末相約騎自行車去游玩，沿同一路線從/地出發前往8地，

甲、乙分別以不同的速度勻速騎行，甲比乙早出發5分鐘.甲騎行20分鐘后，乙以原速的1.5倍繼續騎行,

經過一段時間，乙先到達B地，甲一直保持原速前往2地.在此過程中，甲、乙兩人相距的路程?（單位:

M與甲騎行的時間x（單位：加"）之間的關系如圖所示，則下列說法中錯誤的是（）

A.甲的騎行速度是250〃?/B.A,8兩地的總路程為22.5左〃?

C.乙出發60加"后追上甲D.甲比乙晚5加"到達8地

【分析】根據函數與圖象的關系以此計算即可判斷.

【解答】解：甲5加"騎行1250機，故速度為1250+5=250加，

故/正確；

設乙的速度為xmlmin，則有20x250-15x=2000，

解得：x=200,

乙的速度為200機/min,

甲騎行20分鐘后，乙以原速的1.5倍，即1.5x200=300機繼續騎行，

乙先到達3地，

由題意可得48兩地的總路程為15x200+（85-20）x300=22500w=22.5km,

故B正確；

乙出發切”〃后追上甲，

貝1|（1+5）x250=15x200+（-15）x300,

解得/=55,即乙出發55加"后追上甲，

故。錯誤.

85min甲的路程為85x250=21250。〃），

甲比乙晚------------=5min到達B地，

250

故。正確.

故選：C.

【點評】本題考查一次函數的應用，解題的關鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題.

18.（2023春?新市區期末）甲、乙兩人在同一直線道路上同起點、同方向、同時出發，分別以不同的速度

勻速跑步1000米，甲超出乙150米時，甲停下來等候乙，甲、乙會合后，兩人分別以原來的速度繼續跑向

終點，先到終點的人在終點休息，在跑步的整個過程中，甲、乙兩人的距離y（米）與乙出發的時間x（秒

）之間的關系如圖所示，則甲到終點時，乙距離終點還有50米.

【分析】乙從開始一直到終點，行1000米用時200秒，因此乙的速度為1000+200=5米/秒，甲停下來，

乙又走150+5=30秒才與甲第一次會和，第一次會和前甲、乙共同行使150-30=120秒，從起點到第一次

會和點的距離為5x150=750米，因此甲的速度為750+120=6.25米/秒，甲行完全程的時間為

1000+6.25=160秒，甲到終點時乙行駛時間為160+30=190秒，因此乙距終點還剩200-190=10秒的路程，

即10x5=50米.

【解答】解：乙的速度為：1000+200=5米/秒，從起點到第一次會和點距離為5x150=750米，

甲停下來到乙到會和點時間150+5=30秒，之前行駛時間150-30=120秒，

甲的速度為750+120=6.25米/秒,

甲到終點時乙行駛時間1000+6.25+30=190秒，

還剩10秒路程,即10x5=50米，

故答案為50米.

【點評】考查函數圖象的意義，將行程類實際問題和圖象聯系起來，理清速度、時間、路程之間的關系是

解決問題關鍵.

19.（2023春?禹城市期末）甲、乙兩人沿同一條直路走步，如果兩人分別從這條直路上的/,8兩處同時

出發，都以不變的速度相向而行，圖1是甲離開4處后行走的路程y（單位：加）與行走時間x（單位：min）

的函數圖象，圖2是甲、乙兩人之間的距離y（單位：小）與甲行走時間x（單位：加"）的函數圖象，則-6=

￡

2~'

圖2

【分析】從圖1，可見甲的速度為與=60,從圖2可以看出，當x=g時，二人相遇，即：（60+吃）xg=120,

解得：乙的速度七=80,乙的速度快，從圖2看出乙用了6分鐘走完全程，甲用了。分鐘走完全程，即可

求解.

【解答】解：從圖1，可見甲的速度為17什0=60,

2

從圖2可以看出，當》=^時，二人相遇，即：（60+^）x|=120,解得：乙的速度％=80,

?.?乙的速度快，從圖2看出乙用了6分鐘走完全程，甲用了。分鐘走完全程,

,1201201

a-b=--------

60802

故答案為;.

【點評】本題考查了一次函數的應用，把一次函數和行程問題結合在一起，關鍵是能正確利用待定系數法

求一次函數的解析式，明確三個量的關系：路程=時間X速度.

五.一次函數綜合題（共2小題）

20.（2023春?和平區校級期末）如圖，直線尸-7+6分別與x、y軸交于點/、8,點C在線段CM上,

線段03沿8C翻折，點。落在N8邊上的點。處.以下結論：

①/8=10；

②直線BC的解析式為y=-2x+6；

③點D嚀，y）；

④若線段BC上存在一點尸，使得以點P、O、C、。為頂點的四邊形為菱形，則點尸的坐標是（?，（）.

正確的結論是（）

C.①③④D.①②③④

【分析】先求出點4,點B坐標，由勾股定理可求的長，可判斷①；由折疊的性質可得。2=2。=6,

OC=CD,ZBOC=ZBDC=90°,由勾股定理可求OC的長，可得點C坐標，利用待定系數法可求3C解

析式，可判斷②；由面積公式可求。X的長，代入解析式可求點。坐標，可判斷③；由菱形的性質可得

PDHOC,可得點尸縱坐標為上，可判斷④，即可求解.

5

【解答】解：?.?直線＞=-；x+6分別與工、歹軸交于點/、B,

.?.點4（8,0）,點5（0,6）,

OA-8,OB=6,

AB=yiOB-+OA2=V64+36=10,故①正確；

?.,線段08沿3C翻折，點。落在N8邊上的點。處,

OB=BD=6,OC=CD,ZBOC=ZBDC=90°,

AD=AB-BD=4,

AC2=AD2+CD2,

(8-OC)2=16+OC2,

OC=3,

.?.點C(3,0),

設直線5C解析式為：y=kx+6,

0=3左+6,

/.k——2,

二.直線5c解析式為：y=-2x+6,故②正確;

如圖，過點。作。H_L4C于〃，

:.CA=5,

■：S.,cn=-ACxDH=-CDXAD,

端CD22

55

當12葉123A

554

24

.0.x=—,

5

點。(g,y),故③正確；

?.?線段3C上存在一點P,使得以點P、。、C、。為頂點的四邊形為菱形，且。C=CD,

PDHOC,

19

.?.點P縱坐標為上，故④錯誤，

5

故選：B.

【點評】本題是一次函數綜合題，考查了利用待定系數法求解析式，折疊的性質，全等三角形的判定和性

質，面積法，菱形的性質，勾股定理等知識，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵.

21.(2023春?禹城市期末)如圖，已知點/是第一象限內橫坐標為2省的一個定點，軸于點”，

交直線y=-x于點N.若點P是線段ON上的一個動點，ZAPB=30°,BA±PA,則點P在線段ON上運

動時，/點不變，3點隨之運動.求當點P從點。運動到點N時，點3運動的路徑長是—272

c

【分析】（1）首先，需要證明線段練片就是點3運動的路徑（或軌跡），如答圖②所示.利用相似三角形可

以證明；

（2）其次，如答圖①所示，利用相似三角形△/紜紇S&4ON,求出線段紜紇的長度，即點8運動的路徑

長.

【解答】解：由題意可知，。河=26，點N在直線y=r上，NCLx軸于點則AOMN為等腰直角

三角形，ON=41OM=V2x273=276.

如答圖①所示，設動點P在。點（起點）時，點8的位置為線，動點P在N點（終點）時，點B的位置為

B"，連接B°B,

-：AO±AB0,AN±ABn,ZOAC=NB°AB”,

又：48。=/CMan30°,48“=NN?tan30°,AB0:AO=ABn:AN=tan300（此處也可用30°角的及△三邊

長的關系來求得），

△AB0Bn^\AON,且相似比為tan30。,

-0N加30。=2痣x事=2班.

現在來證明線段紜紇就是點8運動的路徑（或軌跡）.

如答圖②所示，當點尸運動至ON上的任一點時，設其對應的點3為瓦，連接4P,ABt,B°B，

■：AO_LAB0,AP1ABi,NOAP=AB0ABi,

又???AB0=AO-tan30°,ABt=/尸?tan30°,AB0:AO=ABi:AP,

：.△AB0B^\AOP,AAB0Bi=NAOP.

又-,■△ABaBn^\AON,NAB°B"=NAOP,

ZAB0Bi=ZAB0Bn,

.?.點4在線段線紇上，即線段紇片就是點5運動的路徑（或軌跡）.

綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段緯紇，其長度為2亞.

故答案為：2亞.

【點評】本題考查坐標平面內由相似關系確定的點的運動軌跡，難度很大.本題的要點有兩個：首先，確

定點2的運動路徑是本題的核心，這要求考生有很好的空間想象能力和分析問題的能力；其次，由相似關

系求出點2運動路徑的長度，可以大幅簡化計算，避免陷入坐標關系的復雜運算之中.

六.勾股定理的證明（共2小題）

22.（2023春?東西湖區期末）如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形N8CD與正方形

EFGH.連結EG,2。相交于點。、2。與相交于點尸.若GO=GP,則黑也的值是（）

A.1+B.2+A/2-C.5—V2D.—

【分析】先證明A5PG三ABCG(/￡4),得出尸G=CG.^lOG=PG=CG=x,則￡G=2x,FG=瓜,再

由勾股定理得出3。2=（4+2/即可得出答案.

【解答】解：?.?四邊形斯G8為正方形,

/.ZEGH=45°,/FGH=90°,

OG=GP,

ZGOP=ZOPG=67.5°,

/./PBG=22.5°,

???NDBC=45°,

:.ZGBC=22.5°,

ZPBG=AGBC,

???ZBGP=ZBGC=90°,

在MPG和ABCG中，

/PBG=ZCBG

<BG=BG,

/BGP=/BGC=90。

\BPG=\BCG{ASA),

/.PG=CG.

設OG=PG=CG=x,

?；O為EG,的交點，

；.EG=2x,FG=42X,

???四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，

.e.BF=CG=x,

/.BG=x+V2x,

BC2=BG2+CG2=f(/+1)2+f=(4+2回f,

黑*士S(4+y)x、2+殍

S^EFG1PQ2(J2x)~

2

故選：B.

【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形的性質等知識，熟

練掌握正方形的性質和全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

23.(2023春?豐臺區期末)勾股定理又稱畢達哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人類早期發現并證明

的重要數學定理之一.如圖，在RtAABC中，ABAC=90°,以RtAABC各邊為邊向外作正方形48PG、正

方形ACHI、正方形BCDE.連接G/、EF、DH,若EF=5,DH=4,則這個六邊形灰）印G廠的面

積為（）

C.32D.30

【分析】根據￡尸=后，DH=4,想法把a,b,c求出來，想到作輔助線，構造直角三角形.

【解答】解：設=AB=b,BC=c,過E作作用的垂線，垂足為過。作的垂線，垂足為

N,

???ZEBM+ZCBM=90°,/ABC+ZCBM=90°,

/./EBM=ZABC,

在ABME與ABAC中，

/EBM=NABC

<ABAC=BME,

BE=BC

ABEMtABCA(AAS),

BM=AB=b,EM=AC=a,

同理可證ACA?=AC/B,

/.CM