專題10搪物線

匾恒恒晅

》思維導圖

我（口把平面內“和一條定直

線、”）睡離臺的點蹦

迪1U的峨線.

注意事項：

?拋物線的定義（1）定點環在定直線上，否則動點，的

軌跡不是拋物線，而是過點蓬直于直線1

的一條直線.

（2）拋物線的定義中指明了拋物線上的點

到焦點的距離與到準線的距離的等價性，

故二者可相互轉化，這也是利用拋物線定

義解題的實質.

g拋物線的標準方程

2

標準方程v=2/xx(p>0)v"--2px(p>ayr=2/zi-(p>o)?=-2ftr(p>0)

死討yM

oV工T二-,r

仁y/rX

陽=PM|PF|=|PAi陽平Mm=i產“I

康京

F(y.0)F(-<0)F(0.與)F(0.

…R>=-f)?=￡

2z_

拋物線的幾何性質魂v>0,yeRv<0,yeRx€R.y>0ve/?,y<0

頂總底京口0）

'軸|-*?

通過拋物維］焦點且垂直例稱軸的直線被拋物線所截得的維叫做旭物

線的通徑.

;'刻畫了拋物斷口的大小，P磁大，開加寬；；'值越小，開口越窄.

設尸do為拋物線上一點

儼F|=f苦"卜月得

設過焦點F的直線與拋夠交于"Gr8G""J兩點

網=x：-4+p網=Y'+a-p網“二心+p

e=le=l€二1e=l

?方法技巧

?二皴結論

?核心考點聚焦

考點一.拋物線的定義

考點二.拋物線的標準方程

考點三.拋物線的幾何性質

方法四.方法技巧

考點五.二級結論

考點一.拋物線的定義

1、定義：我們把平面內與一個定點口和一條定直線/(/不經過點歹)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.

2、焦點：定點F叫做拋物線的焦點.

3、準線：直線1叫做拋物線的準線.

4、集合表示：尸={"||兇^=%4為點加到準線/的距離}.

5、注意事項：

(1)定點F不在定直線1上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直線1的一條直線.

(2)拋物線的定義中指明了拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離的等價性，故二者可相互轉化，這

也是利用拋物線定義解題的實質.

考點二.拋物線的標準方程

1、推導過程

如圖，以過尸且垂直于/的直線為無軸，垂足為K.以RK的中點。為坐標原點建立直角坐標系

xOy.

設|"|=0(p>0),那么焦點廠的坐標為g,0),準線/的方程為》=-勺

設點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到/的距離為d.由拋物線的定義，拋物線就是集合

P=[M\\MF\=d]

歸

+y2>d=x+-|

.?小一g+y-

將上式兩邊平方并化簡，得;/=2px(p>0).①

方程①叫拋物線的標準方程，它表示的拋物線的焦點在X軸的正半軸上,坐標是g,0)它的準線方程

是.-2

2

2、拋物線標準方程的四種形式：

根據拋物線焦點所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式

標準方程圖形焦點坐標準線方程

1P

y=2px(p>0)LXx=—

\F（例2

y2=-2px(p>0)X--P

2

x2=2py(p>0)1

卜H)2

2P

x=-2py(p>0)y二-

產卜)2

知識點詮釋：

①只有當拋物線的頂點是原點，對稱軸是坐標軸時，才能得到拋物線的標準方程；

②拋物線的焦點在標準方程中一次項對應的坐標軸上，且開口方向與一次項的系數的正負一致，比如

拋物線犬=-20〉的一次項為-20y,故其焦點在y軸上，且開口向負方向（向下）

③拋物線標準方程中一次項的系數是焦點的對應坐標的4倍，比如拋物線d=-20y的一次項-20y的

系數為-20,故其焦點坐標是（0,-5）.

④從方程形式看，求拋物線的標準方程僅需確定一次項系數.用待定系數法求拋物線的標準方程時，

首先根據已知條件確定拋物線的標準方程的類型（一般需結合圖形依據焦點的位置或開口方向定

型），然后求一次項的系數，否則，應展開相應的討論.

⑤在求拋物線方程時，由于標準方程有四種形式，易混淆，可先根據題目的條件作出草圖，確定方程

的形式，再求參數p，若不能確定是哪一種形式的標準方程，應寫出四種形式的標準方程來，不要

遺漏某一種情況.

考點三.拋物線的幾何性質

標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

*M

J?二

M

圖象\D

匚/

1M

\PF\=\PM\\PF\=\PM\PF=PM\PF\=\PM\

焦點

“，。）F(—g0)尸（。，9b(0,一g

準線方程p

TTy=-

22

范圍x>0,yeRx<0,yeRxeR,y>0x^R,<0

頂點原點(0,0)

對稱軸x軸y軸

通徑2P通過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑.

p刻畫了拋物線開口的大小，p值越大，開口越寬；p值越小，開口越窄.

設為）為拋物線上一點

焦半徑

PF]=xo+yPFX尸耳=-兄+光

1||=-0

設過焦點F的直線與拋物線交于A（西，M）,3（X2,為）兩點

焦點弦

\AB\=xx+x2+p\AB\=一(%1+%2)+P網二弘+%+p網=一（弘+上）+2

離心率e=le=le=le=l

考點四.方法技巧

由拋物線方程求焦點與準線方程的基本方法

1、已知拋物線方程求焦點坐標與準線方程時，一般先將所給方程式化為標準形式，由焦點方程準確得到參

數p,從而得焦點坐標與準線方程，要注意p>0；

2、焦點所在坐標軸由標準方程的一次項確定，系數為正，焦點在正半軸；系數為負，焦點在負半軸。

直線與拋物線的位置關系

1、直線與拋物線的位置關系有三種情況：

相交(有兩個公共點或一個公共點)；相切(有一個公共點)；相離(沒有公共點).

2、以拋物線V=2px(p>0)與直線的位置關系為例：

(1)直線的斜率左不存在，設直線方程為x=a,

若a>0,直線與拋物線有兩個交點；

若a=0,直線與拋物線有一個交點，且交點既是原點又是切點；

若直線與拋物線沒有交點.

(2)直線的斜率上存在.

設直線/:>=區+6,拋物線丁=2px(p>0),

直線與拋物線的交點的個數等于方程組0,的解的個數，

LX=2px

即二次方程左2尤2+2(g-pU+Zx2=0C^k2y2-2py+2bp=0)解的個數.

①若k^O,

則當A>0時，直線與拋物線相交，有兩個公共點；

當△=()時，直線與拋物線相切，有個公共點；

當A<0時，直線與拋物線相離，無公共點.

②若左=0,則直線y=6與拋物線丁=2pxO>0)相交，有一個公共點.

考點五.二級結論

1、點P(Xo，%)與拋物線y2=2px(p>0)的關系

(1)P在拋物線內(含焦點)oy：<2px0.

(2)P在拋物線上oy；=2px0.

(3)P在拋物線外oy；>2px0.

p為焦點尸到準線/的距離，即焦準距，p越大，拋物線開口越大.

3、焦點弦

若為拋物線/=2p無5>0)的焦點弦，A?,%),B(x2,y2),則有

以下結論：

(1)x1x2=.(2)%%=一。2.

(3)焦點弦長公式1：\AB\=xx+x2+p,+x2>2y[x^=p,當玉=%時，焦點弦取最小值2夕，即所

有焦點弦中通徑最短，其長度為2/7.

焦點弦長公式2：\AB\=^-(a為直線AB與對稱軸的夾角).

sina

(4)AAO3的面積公式：SMOB=-^—(a為直線AB與對稱軸的夾角).

2sina

(5)ZMFN=90°；

(6)以弦AB為直徑的圓與準線相切，以AF或者3尸為直徑的圓與y軸相切；

(7)過焦點弦端點的兩條切線互相垂直且交點在準線上；

(8)A,O,N三點共線，B,O,M三點共線.

4、拋物線中的點差法

已知直線了=區+相與=2px(p>0)交于4(再，%),B(x2,%)兩點，中點加(玉)，y0)

y：=2p玉①

將A,B兩點代入拋物線方程，o：,

，2=2Pxi②

①—②n—1=二^,即心JL.

占-%2%+為y0

結論①：在拋物線中，弦中點〃(而，y0)與斜率左的關系式為：k=J

%

結論②：拋物線上一點8見,為)處的切線方程為：yoy=p(x+xo),斜率(存在時)心切=工；

>0

結論③：過拋物線外一點P(Xo,y0)引拋物線的兩條切線，切點弦的方程為：yoy=p(x+xo).

2

結論④弦長公式：[AB]=+k|xj—x2|=+y21(kAB=A;0)

結論⑤直線AB的方程為y-%='(x-％)

為

結論⑥線段AB的垂直平分線方程為y-%=-比。-%。)

P

0???

一.拋物線的定義(共2小題)

1.(2023春?上海市復旦附中高二第二學期期中)已知直線4:x—2y—16=0和直線/2：x+l=0,則拋物

線丁=4x上的動點p到直線/1和12的距離之和的最小值為.

【答案】375

【分析】利用拋物線的定義將距離和最小值轉化為點到直線的距離求解即可.

【詳解】直線4：x+l=0為拋物線V=4x的準線，尸（1,0）為拋物線的焦點,

過點P作PH工"于H,作于過/作FN_U］于N,

由拋物線的定義可得|「尸|=|加|,

\PH\+\PM\=\PF\+\PM\>|7W|,當工P',N三點共線時等號成立，

X|F^|=t^=375,

11V1+4

即動點P到直線4和k的距離之和的最小值為375.故答案為：3A/5.

2.（2023.4上海市虹口區二模）拋物線=4x上的點P（/,4）到其焦點的距離為.

【答案】5

【分析】確定拋物線的準線為1=—1,尸（4,4）,再計算距離即可.

【詳解】拋物線V=4x的準線為x=—1,則42=4%,故/=4,

P（4,4）到焦點的距離等于到準線的距離，為4+1=5.故答案為：5

二.拋物線的標準方程（共1小題）

1.（2023春?上海市奉賢中學高二第二學期期中）設拋物線丁=8%的準線方程為.

【答案】x=-2

【分析】由題意結合拋物線的標準方程確定其準線方程即可.

【詳解】由拋物線方程：/=8x可得2夕=8,則^1=2,故準線方程為1=—2.故答案為％=—2.

三.拋物線幾何性質的簡單應用（共2小題）

1.（2023.4上海市黃埔區二模）以拋物線/=4x的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程為

【答案】（x-1）?+/=4

【分析】求出拋物線焦點坐標和準線方程，確定圓心和半徑，從而求出圓的標準方程.

【詳解】拋物線V=4x的焦點（1,0）,準線方程為：%=-1,

團以拋物線V=4%的焦點為圓心，并且與此拋物線的準線相切的圓的半徑是2,

團圓方程為；（x—1）2+丁=4,故答案為：（x—1）2+丁=4.

2.（2023.4上海市閔行區二模）已知拋物線G：/=8%,圓G：（%—2）2+/=1,點知的坐標為（4,0）,

p、O分別為G、G上的動點，且滿足|PM|=|PQ|,則點P的橫坐標的取值范圍是.

【分析】求出圓。2的圓心、半徑，設出點P的坐標，利用圓的性質得出|PC21Tqp。因PC2I+I,結合

已知建立不等式，求解作答.

【詳解】圓。2：（尤―2）2+/=1的圓心。2（2,0）,半徑廠=1,設點尸?,s）,有$2=8，

依題意，|PC21Tqp0兇0021+1，當且僅當尸,QC三點共線時取等號，1^\PM\=\PQ\,

即有|PC2ITP”兇PC21+1,于是?—2)2+5_1<?-4)2+$2<?—2)2+$2+1,

即—2)2+81—1WJ(，—4)2+&W—2)2+&+1，整理得1+1WJ〉+i6wf+3,解得

715

62

所以點P橫坐標的取值范圍是.故答案為:［二號

6262

四.直線與拋物線（共2小題）

1.（2023春?上海市復旦附中高二第二學期期中）占,馬是關于X的二次方程的2—2%+8—3m=0的兩個

不同實數根，則經過兩點A（%，k）,君）的直線與拋物線V=8x公共點的個數是（）

A.2B.1C.OD.不確定

【答案】A

【分析】先利用二次方程根與系數的關系求出的+%,占々，，然后代入經過兩點A（X，x；），8（九2,君）的直

線方程，整理后可得直線恒過定點，根據定點和拋物線的關系可得直線與拋物線的公共點個數.

【詳解】「Xi，%是關于尤的二次方程"a2—2x+8—3m=0的兩個不同實數根，

.2

再+%=--

.m

.8—3m8：

再12-------二----3

、mm

又△=4-4m（8-3m）>0,得m<=或“z〉,,且

經過兩點人（國,4），可馬，々?）的直線為丁一片=無~—（X-X；）,整理得y=（石+%2）%-%送2

該直線恒過點4（4,3）,且斜率不為零，

根據圖像可得直線與拋物線V=8x公共點的個數是2,故選：A.

2.（2022秋?寶山區期末）已知。為坐標原點，點A（l,1）在拋物線C：7=2py（p>0）上，過點2（0,

-1）的直線交拋物線C于尸、。兩點：①拋物線C的準線為y=-1；②直線AB與拋物線C相切；③

\OP\'\OQ\>\OA^-,?\BP\'\BQ\^\BA^,以上結論中正確的是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】B

【分析】由拋物線的性質，結合直線與拋物線的位置關系逐一判斷即可得解.

【詳解】解：已知。為坐標原點，點A（1,1）在拋物線C：f=2py（p>0）上,

則2P=1,即即拋物線C的方程為7

對于①，由拋物線方程可得拋物線C的準線為y='，即①錯誤；

y4

'v=2x-1

對于②，由A(l,1),B(0,-1),則直線A3的方程為y=2x-1,聯立(\'貝!J/-2x+l=0,

x也y

則A=0,即直線A3與拋物線C相切，即②正確；

對于③，由題意可得直線尸。的斜率存在，設直線產。的方程為y=fct-1,聯立消>得f-

x"=y

2

依+1=0,貝U△=F-4>0,即斤>4,設p(X],x1),Q(x2>x22),則犬1+m=左，xix2=l,則|。*。。|

=2+xJ24=IXIx211/1+(X2+X22)+(XX2)2=yj(x+x)2=Ik|>2'又

^X2+X2I11t2

|OA|2=12+12=2,即|。尸|?|。。|>|。4|2,即③正確；

2X2=22

對于④，|BP||BQ|=V1+kIX[-0|V1+k|x2-0|(1+k)|xtx2I=l+k>5>又下『=

(1-0)2+(1+1)2=5,即|BP|?|3Q>|A4|2,即④錯誤，故選：B.

五.拋物線有關的最值，定值問題及綜合應用（共2小題）

1.（2023春?上海交大附中高二第二學期期中）已知拋物線圓。2：（%—2）?+y2=l,若點P、

。2上運動，且設點M（4,0）,則愕J的最小值為（）.

。分別在C1、

1

3431

A.-B.-C.-D.-

5542

【答案】B

IPMIIPMI

【分析】要使旨/最小，貝HPQI需最大，根據拋物線的定義可得IPQLx=IP/l+「x+3,

6+16,然后整理換元轉化為二次函數求最值.

x+3

【詳解】如圖，設圓心為尸，則尸為拋物線＞2=8x的焦點,

該拋物線的準線方程為x=-2,設尸(x,y),由拋物線的定義得IP戶I=X+2,要使在云最小，則IPQI需

最大，

如圖，IPQI最大時，經過圓心尸，且圓尸的半徑為1,

IPQImax=1PFI+1=尤+3,且1PMi=7(x-4)2+y2=7(X-4)2+8X=&+16，

所以㈣￡[=Jf+16,令X+3=/Q?3),則》=/一3,

\PQ\x+3

所以坨=近三用H,由o,j,

\PQ\t\t2tt3

K,,、256,pl3、,16,日131曰?,.16\PM\4

而/?)==----+1=25(---)+—,得一=不〈二，/⑺取得取小值本，n則7二八；的取小值為二.

rtr2525t25325\PQ\5

故選：B.

2.(2023春?上海交大附中高二第二學期期中)已知尸是拋物線/=4%的焦點，A,B是該拋物線上的動點.

(1)尸(4,1)是一個定點,求|AP|+|AF|的最小值：

(2)若焦點廠是AAQB的垂心，求點A、B的坐標

【答案】(1)5(2)A(5,2A/5),B(5,-2A/5)A(5,-2A/5),B(5,2A/5)

【分析】⑴由拋物線的定義，得|陰+|4尸|=|4尸|+|4引，結合圖形得最小值；

(2\/2、

⑵垂心為三條高線的交點，由對稱性知A,3關于x軸對稱，設點A％,B牛,-％,再利用垂直

I4JI4J

關系建立方程求解坐標.

【詳解(1)1由拋物線產=4x知焦點尸(1,0),準線/:x=-1,

過A作AH，/,垂足為“，過點P作垂足為〃'，P(4,l),

由拋物線的定義，|AP|+|A耳=|加+|4時習W'|=4+1=5,

(1)

當且僅當AP,“三點共線時取等號，此時A-,1,

U)

所以|AP|+|AF|的最小值為5.

［詳解（2）】由焦點尸是AABC垂心，則

即A,3關于x軸對稱，且A06,

設A,，必，3號必,由頻F%OB=T,

I4J\4y

MZ2L=_i

得才］才，化簡得犬-4=16,解得％=±2A/5，

------1----

44

所以點A,3的坐標為A（5,26）,3（5,-2遙）或A（5,—2逐）,3（5,20）.

一、單選題

1.拋物線y=4尤②的焦點到準線的距離是（）.

A.—B.—C.2D.4

168

【答案】B

【分析】根據拋物線定義求解

【詳解】由拋物線方程知：^=2py=\y,即p=：,根據拋物線定義知:焦點到準線的距離是p=;

48O

2.拋物線y=4尤2上的一點加到焦點的距離為1,則點M的縱坐標是（）

【答案】B

【分析】化為標準式，根據拋物線定義求解

【詳解】設M(x。,%),由拋物線方程y=4f化為得焦點尸(0,[),準線丫=一上，

41616

由拋物線定義可得|MF|=%+J=1,解得%=§.

1616

3.動點川(x,y)滿足方程5,(無一丁+(y-2)=|3x+4y+12],則點〃的軌跡是()

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【答案】D

【分析】對方程進行變形，然后根據幾何意義求解

【詳解】由5"。-1)2+(y—2)2=|3x+4y+12|得J(x—l)2+(y_2)2=)x+?+12],

等式左邊表示點(x,y)和點(L2)的距離，等式的右邊表示點(x,y)到直線3x+4y+12=0的距離,

整個等式表示的意義是點(羽田到點(L2)的距離和到直線3x+4y+12=0的距離相等，

且點(1,2)不在直線3x+4y+12=0上，所以其軌跡為拋物線.

二、填空題

1.(2023春?上海市復旦附中高二第二學期期中)拋物線V=-24x的準線方程是.

【答案】x=6

【分析】根據拋物的標準方程，直接求出結果.

【詳解】因為拋物線方程為V=—24x,所以準線方程為尤=6,故答案：x=6.

2.(2022秋?嘉定區期末)已知拋物線7=3y,動點A自原點出發，沿著y軸正方向向上勻速運動，速度大

小為v.過A作y軸的垂線交拋物線于8點，再過8作無軸的垂線交x軸于C點.當A運動至(0,100)

時，點C的瞬時速度的大小為.

【答案】近V

20

【分析】根據題意對函數丫二4%2求導數，求出拋物線在該點處沿y軸正方向向和沿x軸正方向的瞬時速

度比值，再根據v求出點C的瞬時速度大小.

【詳解】因為拋物線/=3y,所以y=JLf,所以＜=2X；

33

當y=100時，x=10j§,所以y'=2義10?=空巨；

33

又因為拋物線在該點處沿y軸正方向向和沿x軸正方向的瞬時速度比值為二工=*=變巨，

vxvx3

所以以=3==亞1，，即點C的瞬時速度大小為近V.故答案為：亞v.

20/3202020

三、解答題

1.(2023春?上海市復旦附中高二第二學期期中)已知拋物線。的方程為V=4x.

(1)求過點Q2)且與拋物線。只有一個公共點的直線的方程；

(2)已知直線/過焦點，且與拋物線交于A,8兩點，點M為該拋物線準線上一點，求證：MA-MB>0

【答案】(1)y=-x+2,尤=0和y=2；(2)證明見解析.

-2

【分析】(1)考慮直線斜率不存在和與拋物線對稱軸平行的直線，再在斜率存在時，設方程V=丘+2,由

它與拋物線相切得結論.

(2)直線/方程為％=%+1,設A。,%)]小,%)，設直線方程代入拋物線方程應用韋達

定理，代入雙？.該計算可得.

【小問1詳解】

顯然直線x=Q和直線y=2都是與拋物線只有一個公共點，

再設直線方程為y=kx+2,代入拋物線方程得廿￡+4(4-l)x+4=0,

由A=16(k—I-—16左2=0得A=；,直線方程為y=gx+2,它與拋物線相切.只有一個公共點.

所以所求直線方程為y=gx+2,%=0和y=2；

【小問2詳解】

由已知拋物線焦點為尸(1,0),設直線/方程為％=陽+1,設4(七,%),8(々,為)，

[x=my+l

由《7”得：/一4根y—4=0,%+%=4根，

y=4x,一」

準線方程是1=—1,設

所以MA-MB=(X1+1,—t)?(x,+1,%—t)=(X]+l)(x,+1)+(y—/')(y,—t)

=(根乂+2)(m%+2)一(%一)(%T)=(m2+1)%為+(2加一。(%+%)+4+/

—t2+4mt+4m2-(t+2m)2>0.

2.(2023春?上海市楊浦高中高二第二學期期中)已知以尸(1,0)為焦點的拋物線G的頂點為原點，點尸是

拋物線Ci的準線上任意一點，過點P作拋物線C1的兩條切線以、PB,其中A、B為切點,設直線24、

尸3的斜率分別為％、k2.

(1)求拋物線G的標準方程；

(2)若點P的縱坐標為1,計算匕?七的值；

(3)求證：直線AB過定點，并求出這個定點的坐標.

【答案】(1)y2=4x(2)匕？&-1(3)證明見解析，(1,0)

【分析】(1)根據拋物線焦點坐標即可求出拋物線G的標準方程；

(2)設出切線方程，與拋物線聯立，得到關于斜率々的方程，求解匕?乂即可?

(3)求出A3所滿足的方程即可得到直線方程，再求出其恒過的頂點坐標.

【詳解(1)1因為拋物線C1的頂點為原點，焦點在x軸上，

所以設拋物線方程為丁=2px,(p>0),

因為b(1,0)為焦點，所以］=lnp=2,

所以拋物線方程為/=4x.

【詳解(2)】拋物線方程為：/=4x,所以其準線方程為x=—1,

點P是拋物線G的準線上點，且縱坐標為1，所以P(-M)

過尸作拋物線切線，由題知斜率存在且不為0,設其斜率為上

則切線方程為丁=左5+1)+1=工=二—1,

k

y2=4x44

聯立<y-l=>y----+—+4=0,

x=^--lkk

、k

—

A=fj—4(g+4]=0=>/+左一1=0,其兩根kx,k2,

所以K?左2-1.

【詳解(3)］設點A(x，x)、3(無2,%)，

下面證明拋物線。2在其上一點A處的切線方程為=2x+2x1；

y2

聯立廠=4Cxc可得/9_2%尸