專題一幾何證明之圓中的切線證明問題

1、如圖，△ABC為。。的內接三角形，為。。的直徑，將△ABC沿直線A3折疊得到AAB。，交。。于點。.連

接交A2于點E,延長3。和CA相交于點P,過點A作AG〃口)交2P于點G.

(1)求證：直線GA是。。的切線；

(2)求證：AC=GD?BD；

(3)若tan/AGB=&,PG=6,求cos/P的值.

(1)證明：???將AABC沿直線AB折疊得到△480,

:.BC=BD.

...點2在CD的垂直平分線上.

同理得：點4在C。的垂直平分線上.

：.AB±CD即OA_LCD,

,JAG//CD.

：.OA±GA.

:。4是。。的半徑，

直線GA是。。的切線；

(2)證明：為。。的直徑,

???ZACB=ZADB=90°.

：.ZABD+ZBAD=90°.

VZGAB=90°,

???NG4O+NRW=90。.

ZABD=ZGAD.

???ZADB=ZADG=90°,

：.ABAD^AAGD.

.AD_BD

*'GD"AD'

：.AD2=GD^BD.

*：AC=AD,

：.AC2=GD^BD；

(3)解：VtanZAGB=V2?ZAZ)G=90°,

,AD廠

-GD^-

AD=V2GD.

\'AD2=GD-BD,

：.BD=2GD.

..^-

?AD—AD，

???ZGAD=ZGBA=/PCD.

■:AG//CD,

：.ZPAG=ZPCD.

：.ZPAG=ZPBA.

VZP=ZP,

:.叢PAGsAPBA.

.\PA2=PG?PB

;尸G=6,BD=2GD,

.,.PA2=6(6+3GO).

??ZADP=90°,

：.PA2=AD^+PD2.

：.6(6+3G￡?=(&GD)2+(6+GD)2.

解得：GD=2或G￡>=0(舍去).

：.PD=8,AP=6近,

2、如圖，在。。中，AB為。。的直徑，C為。。上一點，尸是前的中點，過點P作AC的垂線，交AC的延長線于

點、D.

(1)求證：0P是。。的切線；

(2)若AC=5,sinNA尸C=三，求AP的長.

J.O

D

c

(1)證明：丁尸是萩的中點，

??PC=PB，

:.ZPAD=ZPAB9

u

：OA=OPf

：.ZAPO=ZPAO,

：.ZDAP=ZAPO,

：.AD//OP,

VPDXAD,

：.PDLOP,

???。尸是。。的切線；

(2)解：連接交0尸于E,

TAB為。。的直徑，

???NACB=90。,

TP是黃的中點，

AOPLBC,CE=BE,

???四邊形尸石是矩形，

:,CD=PE,PD=CE,

,/ZAPC=ZB,

:.sinZ.APC—sinZAPC=--=---，

AB13

'：AC=5,

：.AB=13,

：.BC=12,

：?PD=CE=BE=6,

1513

VOE=—AC=—,0P=—,

222

135

：.CD=PE=--—=4,

22

：.AD=9f

AAP=VAD2+PD2=V92+62=3V13-

D

不

3、如圖，A3為圓。的直徑，C為圓。上一點，。為BC延長線一點,且BC=C￡),CE_LA。于點E.

(1)求證：直線EC為圓。的切線；

(2)設8E與圓。交于點FAP的延長線與CE交于點P,

①求證：PO=PF?PA

②若尸C=5,PF=4,求sin/PEF的值.

證明：（1）于點E,

???NDEC=90。,

■:BC=CD,

???C是瓦)的中點，

又???。是AB的中點，

???。。是的中位線,

???OC//AD,

：.ZOCE=ZCED=90°,

：.OCLCE,

又??,點。在圓上，

???CE是圓。的切線；

(2)①連接AC,

VOC±CE,

：.ZECO=90°,

9：AB是直徑，

???ZACB=90°=ZECO,

：.ZECA=ZOCB,

?：OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC=NACE,

?.*ZABF=ZACFf

ZOBC-ZABF=ZACE-Z.ACF,

：.ZEBC=ZECF,且NE8C=/C4P,

ZECF=ZCAP,且NCPF=NCPA,

：./\PCF^/\PAC,

.PCPF

■'PA'PC

：.PC2=PF-PA

②是直徑，點廠在圓上，

ZAFB=ZPFE=900=ZCEA,

■:/EPF=NEPA,

：./\PEF^/\PAE,

.PEPF

"PA'PE

:.PE2=PF,PA

：.PE=PC

在直角APEF中，sinZPEF=PE5.

4、如圖，AB為。。的直徑，CDLAB于點E,尸是CD上一點，且BF=DF,延長FB至點P,連接CP,使PC=

PF,延長與。。交于點G,連結瓦)，GD.

(1)連結BC,求證：CD=GB；

(2)求證：PC是。。的切線；

(3)若tanG=工，且AE-8E=^巨，求FD的值.

33

c

9

解：(1)\BF=DFf

：.ZBDF=ZDBF,

在^BCD與ADGB中,

'/BCD=NG

/DBF=NBDF，

BD=DB

???△BCD"dDGB(AAS),

：.CD=GB；

(2)如圖1,連接OC,

圖1

'：ZCOB=2ZCDB,ZCFB=ZCDB+ZDBF=2ZCDB,

：.ZCOB=ZCFB,

'：PC=PF,

：.ZCOB=/CFB=ZPCF,

9

：ABLCDf

???NCO8+NOCE=90。，

???ZPCF+ZOCE=ZPCO=90°,

???OCLCP,

???。。是半徑，

???尸。是。。的切線；

(3)如圖2,連接A。,

〈AB是。。的直徑，

???ZADB=90°9

9：ABLCD,

?——

??BD=B。

：?/BDE=NA=NG,

,:tanG=—,

3

nFi

/.tanA=—=^-,即AE=3DE,

AE3

同理可得：DE=3BE,

：.AE-BE=3DE-工

33

解得：DE=0

:.CD=2DE=2R

???8E=￡DE=卓，

So

-,-BD=VDE2+BE2=,

?；/BCD=/FDB,ZBDC=ZFBDf

:.△BCDs^FDB,

.CDBC

,而詞

,:BC=BD,

，吁㈣=(等)2=第.

CD2V39

5、如圖，已知AB是。。的弦，點C是弧AB的中點，。是弦48上一動點,且不與A、8重合，C。的延長線交于

。。點E,連接AE、BE,過點A作AFLBC,垂足為RZABC=30°.

(1)求證：AF是。。的切線；

(2)若BC=6,CD=3,則-E的長為9；

(3)當點。在弦A2上運動時，的值是否發生變化？如果變化，請寫出其變化范圍；如果不變，請求出

AE+BE

其值.

(1)證明：如圖1中，連接AC,OC,OA.

圖1

VZAOC=2ZABC=60°fOA=OC,

???△AOC是等邊三角形，

???NCAO=60。，

?BC=AC，

：.ABLOC,

：.ZOAD=—ZOAC=30°,

2

???ZABC=30°,

JZABC=ZOADf

：.OA//BF,

*：AFLBF,

：.OA.LAF,

???A尸是。。的切線.

（2）解：,?喉=正

：?/CBD=/BEC,

?：/BCD=/BCE,

???△BCDSAECB,

,BCCD

，，EC-CB，

._6_=3_

??瓦—1，

:.Ec=n,

：.DE=EC-CD=n-3=9.

故答案為9.

CE_V3CE

（3）解:結論:的值不變.

AE+BE-a"AE+BE

理由：如圖2中，連接AC,OC,0c交AB于H,作EC交BE的延長線于N.

圖2

7BC=AC，

C.OCLAB,CB=CA,

：.BH=AH=—AB,

2

:ZABC=30°,

：.BH

:.AC=?AB,

3

VCE//AN,

NN=NCEB=30°,/EAN=NAEC=ZABC^30°,

：.ZCEA=ZABC=30°,ZEAN=ZN,

：.ZN=ZAEC,AE=EN,

:ZACE=/ABN,

：.△ACEs—BN,

.CEACV3

BNAB3

CE_V3

AE+BE__3"

CE

的值不變.

AE+BE

6、如圖，在RtAABC中，NC=90。，4。平分4BAC交BC于點。，。為AB上一點，經過點A,。的。。分別交

AB,AC于點E,F,連接。尸交于點G.

(1)求證：8C是。。的切線；

(2)求證：AD2=AB9AF；

(3)若BE=8,sinB=-^-,求的長,

J.O

解：(1)如圖1,連接0D,則OA=O。,

：.ZODA=ZOAD,

是/BAC的平分線,

：.ZOAD=ZCAD,

：.ZODA=ZCAD,

J.OD//AC,

：.ZODB=ZC=90°,

:點。在。。上，

...8C是。。的切線；

(2)如圖2,

連接。。，DF,EF,

是OO的直徑,

ZAFE=90°=ZC,

C.EF//BC,

:./B=/AEF,

:ZAEF=ZADF,

：./B=ZADF,

由（1）知，ZBAD=ZDAF,

AABD^AADF,

.AB_AD

,,AD"AF'

：.AD2=AB-AF；

（3）如圖3,

連接。￡）,由（1）知，ODLBC,

AZBDO=90°,

設。。的半徑為R,則OA=OD=OE=R,

VB￡=8,

：.0B=BE+0E=8+R,

5

在RtABDO中,sinB

13,

R二5

.\sinB=—

OB8^R"13

：.R=5,

：.AE=2OE=IQ,AB=BE+2OE=18,

連接ER由（2）知，ZAEF=ZB,ZAFE=ZC=90°,

5

I.sinZAEF=sinB=—

13

在RSAFE中，sinZAEF=

AE1013

：.AF=—

13

5。QOfi

由（2）知，AD2=18x22.=222

1313

圖2

圖1

7、如圖，A3為。。的直徑，CCAB于點G,E是C。上一點，且BE=DE,延長防至點P,連接CP,使PC=

PE,延長BE與。。交于點R連結8。，FD.

(1)連結8C,求證：△BCD咨△DFB；

(2)求證：PC是。。的切線；

(3)若tanF="|,AG-BG=/M，求即的值?

c

解：(1)證明：因為

所以

在△BCD和△。尸8中：

NBCD=/DFB

ZCDB=ZFBD

BD=DB

所以△BCD<4DFB(AAS).

(2)證明：連接OC.

因為NPEC=ZEDB+ZEBD=2ZEDB,

NCOB=2/EDB,

所以/COB=/PEC,

因為PE=PC,

所以/PEC=NPCE,

所以NPCE=NCOB,

因為4B_LC。于G,

所以NCO8+NOCG=90。,

所以NOCG+NPEC=90。,

即NOCP=90°,

所以ocuc,

所以PC是圓。的切線.

(3)因為直徑A3,弦CD于G,

所以2C=B￡),CG=DG,

所以NBCD=NBDC,

9

因為tan—多

O

所以/tan/BCD=^=庠

設BG=2x,則CG=3x.

連接AC,貝iJ/ACB=90。,

由射影定理可知：CG2=AG?BG,

所以46=巡=二_="

BG2x2

因為46-86=殳巨

3

所以需-2x=畢，

解得x=2§

所以BG=2尤CG=3x=2?,

3

所以BC=VCG2+BG2=~^

O

所以2￡>=2。=空亙，

3

因為NEBD=/EDB=/BCD,

所以△DEB~2DBC,

所以器關，

DCDB

因為CD=2CG=4g,

所以。E=@_=生應.

CD9

8、已知在平面直角坐標系中，點A(3,0),2(-3,0),C(-3,8),以線段2C為直徑作圓，圓心為E,直

線AC交。E于點。，連接OD

(1)求證：直線。。是OE的切線;

(2)點/為x軸上任意一動點，連接CP交。E于點G,連接BG；

①當tanNAC尸=4時，求所有尸點的坐標(直接寫出)；

②求黑的最大值.

Cr

圖2

解：(1)證明:如圖1,連接DE,；2c為圓的直徑,

：.ZBDC=90°,

：.ZBDA=90°

U：OA=OB

：.OD=OB=OA

：.ZOBD=ZODB

?：EB=ED

：.ZEBD=ZEDB

：.EBD+ZOBD=/EDB+/ODB

即：ZEBO=ZEDO

???。3」_冗軸

：.ZEBO=90°

：.ZEDO=90°

??,點。在。E上

???直線0。為。E的切線.

(2)①如圖2,當尸位于上時，過尸作FiNLAC于N,

VF17VXAC

???ZANFi=ZABC=90°

：.XANFsXABC

?ANJFI二AF1

**AB=^"■"AC"

VAB=6,BC=8,

：：：：：：

AAC=^AB2+BC2=^62+82=IO,gpABBCAC=6810=345

?,?設AN=3Z,貝ijNB=4左，AFi=5k

：.CN=CA-AN=10-3k

?/“尸F1N4k1^z,10

..tanZACF=——=———=—,解得s：k=—

CN10-3k731

AF]=5k="|^

o1

°F13嗡嗤

BPFi(等，0)

oX

如圖3,當尸位于BA的延長線上時，過6作/WLC4于

??AAMF2^AABC

.?.設AM=3Z,則MB=4A,AF2=5k

：.CM=CA+AM=10+34

AtanZACF==_一一=1

CM10+3k7

解得：

5

?\AF2=5k=2

O&=3+2=5

即Fi(5,0)

4.Q

故答案為：Fi(黃，0),F2(5,0).

ox

②方法1：如圖4,過G作GHLBC于”,

：CB為直徑

：.ZCGB=ZCBF=90°

:.△CBGs^CFB

.BG二BC二CG

,,BF'CF'BC

：.BC2=CG-CF

.BG_BG>CGGH^￡GH<1

'*CF-CF-CG-BC2~BC~2

.?.當H為BC中點，即時，黑的最大值=[.

2Cr2

方法2：設N3CG=a,貝!Jsina=2^,cosa=-^-,

BCCr

..BG

..sinacosa=----

CF

*.*(sina-cosa)2>0,BP：sin2a+cos2a>2sinacosa

Vsin2a+cos2a=L

日

?,?,smacosa<w—1，艮rJiBG<—1

2CF2

?'■的最大值=《■?

Cr2

9、如圖，AB是。。的直徑，弦COLAB于點X,連接AC,過弧8D上一點E作EG〃AC交C￡＞的延長線于點G,

連接AE交CD于點尸，且EG=FG,連接CE.

(1)求證：AECFsAGCE；

(2)求證：EG是。。的切線；

(3)延長交GE的延長線于點M,若tanG="|，AH=3加，求EM的值.

(1)證明：如圖1中,

M

圖1

'：AC//EGf

：.ZG=ZACGf

9：ABLCD,

???AD=AC，

AZCEF=ZACDf

:?/G=/CEF,

?；/ECF=/ECG,

:?△ECFsdGCE；

(2)證明：如圖2中，連接OE,

?:GF=GE,

：.ZGFE=ZGEF=NAFH,

u

：OA=OEf

：.ZOAE=ZOEA,

,/NAH/+NE4”=90。，

：.ZGEF+ZAEO=90Q,

???NGEO=90。，

：.GELOE,

；.EG是。。的切線.

(3)解：如圖3中，連接0C設。。的半徑為r.

A

圖3

在RtAAHC中，tanAACH=tanZG=—,

4

：AH=3近，

.*.HC=4?,

在RtAHOC中，VOC=r,OH=r-3?,肌=4M,

；?(「3T)2+(4?)』八,

?r_25V3

6

9：GM//AC,

：.ZCAH=ZMf

ZOEM=NAHC,

：.AAHC^/\MEO,

,AH=HC

"EMOE'

.3V3=M

'EM

10、如圖，0。是△ABC的外接圓，為。。的直徑，過點A作平分/BAC交。。于點。，過點。作BC的平

行線分別交AC、A8的延長線于點E、F,OGLAB于點G,連接

（1）求證：AAEDsADGB；

（2）求證：￡尸是。。的切線；

（3）若黑（，0A=4,求劣弧面的長度（結果保留兀）?

(1)證明：為。。的直徑,

???ZACB=ZADB=90°,

■:BC〃EF,

：.ZAED=ZACB=90°,

,「AO平分N84C,

/./EAD=NDAB,

：.ZADE=NABD,

9

：DG±ABf

：.ZBGD=ZAED=90°,

：.AAEDs^DGB；

(2)證明：連接00,

,

：OA=OD1

：.ZOAD=ZADOf

：.ZD0F=Z0AD+ZADO=2ZDAF,

'：ZEAF=2ZDAF,

：.ZEAF=/DOF,

：.AE//OD,

'：AE±EF,

：.OD.LEF,

是。。的切線；

(3)解：VZEAD+ZADE=9Q°,

：.ZDAF+ZADE^90°,

'：ZBDF+ZADE^90°,

：.ZDAF=ZBDF,

：.△ADFs/\DBF,

.AD_AF_DF_r-

,?應一而一而—vs，

\'AD2+BD2=AB2=64,

：.AD2+(返AD)』64,

3

**?

：.BD=4,

tanNDAB==A/Q,

ADV0

???ZDAB=30°f

：.ZDOB=60°,

.人60?兀X44兀

??=一

BD=------1-8-0------3

11、如圖，已知A8為。。的直徑，AC為。。的切線，連結C。，過8作8O〃OC交。O于。，連結交OC于G,

延長AB、CD交于點、E.

(1)求證：C。是。。的切線；

(2)若BE=2,DE=4,求CD的長；

(3)在(2)的條件下，連結BC交AO于R求器的值.

1)如圖，連接。。

：AC為。。的切線，A8為。。的直徑,

：.ZCAB=90°=ZADB,

'：OD=OB,

：.ZDBO^ZBDO,

VCO//BD,

ZAOC=ZOBD,ZCOD=ZODB,

：.ZAOC=ZCOD,S.AO=OD,CO=CO,

.?.△AOC法△DOC(SAS)

：.ZCAO=ZCDO=9Q°,

：.OD±CD,且OO是半徑，

；.CO是。。的切線；

(2)設。。半徑為r,則。￡)=02=r,

在RtAODE中，,/OD^DE2=OE1,

/.^+42=0+2)2,解得r=3,

08=3,

'：DB//OC,

.DE_BE

"CD'OB

即至上

CD3

:.CD=6；

(3)由