2023八年級數學下冊第一章三角形的證明4角平分線第1課時角平分線的性質定理及逆定理教學設計（新版）北師大版授課內容授課時數授課班級授課人數授課地點授課時間教材分析嘿，親愛的同學們，今天咱們要一起探索數學的奇妙世界，具體來說是北師大版八年級下冊數學的第一章，三角形的證明第四課時——角平分線的性質定理及逆定理。這個章節可是三角形證明中的精華，我們要用邏輯的利劍，揭開角平分線的神秘面紗。準備好了嗎？讓我們一起走進這個充滿挑戰和樂趣的數學世界吧！??????核心素養目標分析在本節課中，我們旨在培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模和數學運算等核心素養。通過學習角平分線的性質定理及逆定理，學生能夠理解數學概念的本質，提升邏輯思維和推理能力，學會將實際問題轉化為數學模型，并運用數學運算解決實際問題。同時，通過小組合作探究，學生還能培養團隊協作和溝通能力。學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：

同學們在進入本節課之前，已經學習了三角形的基本性質、全等三角形的判定和性質，以及相似三角形的判定和性質。這些知識為本節課的學習奠定了基礎，特別是對于全等三角形的判定方法，如SSS、SAS、ASA、AAS和HL，以及相似三角形的判定方法，如AA和SAS，這些都是在證明角平分線性質時需要用到的。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

我們的學生們對數學有著濃厚的興趣，他們樂于探索數學規律，喜歡通過邏輯推理解決問題。在能力方面，他們已經具備了一定的幾何證明能力，但面對更復雜的證明問題時，可能會感到一些挑戰。學習風格上，有的同學更傾向于獨立思考，有的則更偏好小組合作，因此在教學中，我會嘗試結合這兩種風格，讓每個學生都能找到適合自己的學習路徑。

3.學生可能遇到的困難和挑戰：

在理解角平分線的性質定理及逆定理時，學生可能會遇到以下困難：一是對角平分線概念的理解不夠深入，二是難以將定理應用于具體的證明過程中，三是面對逆定理時，可能不清楚如何構造滿足條件的圖形。為了幫助學生克服這些困難，我將通過實例講解、小組討論和練習題等多種教學方法，逐步引導學生理解和掌握這些定理。教學資源-白板或黑板，用于繪制幾何圖形和證明過程

-直尺、圓規等幾何工具，供學生動手操作

-角平分線性質定理及逆定理的教學課件

-多媒體投影儀，用于展示課件內容

-幾何軟件，如Geogebra，用于動態演示定理

-學生練習冊和參考書，提供課后練習和鞏固

-小組合作學習材料，如分組討論記錄表

-互聯網資源，如數學教育網站，用于拓展學習內容教學流程1.導入新課

-詳細內容：

"同學們，我們之前學習了三角形的一些基本性質，今天我們要探討的是三角形中的另一個重要元素——角平分線。大家還記得角平分線的定義嗎？它是從三角形的一個頂點出發，將這個頂點的角平分成兩個相等角的線段。今天，我們就來一起研究角平分線的性質定理及其逆定理，看看它們是如何幫助我們更好地理解三角形的性質的。"

2.新課講授

-詳細內容：

a."首先，我們來看角平分線的性質定理。我將使用白板，一步步地展示這個定理的證明過程。首先，畫出三角形ABC，然后畫出角BAC的角平分線BD。接下來，我們將證明BD將AC平分。"

b."在講解完性質定理后，我會引導學生思考逆定理。逆定理告訴我們，如果一條線段平分了一個三角形的兩邊，那么它也平分了這兩個邊所對的角。我會通過一個具體的例子來解釋這個逆定理，并強調它與性質定理之間的聯系。"

c."最后，我會簡要介紹這兩個定理在實際問題中的應用，比如在建筑設計、工程測量等領域，角平分線的性質定理和逆定理是如何被應用的。"

3.實踐活動

-詳細內容：

a."現在，請大家拿出自己的幾何工具，嘗試自己證明角平分線的性質定理。在小組內討論，看看你們能否找到不同的證明方法。"

b."接下來，我將提供一個實際問題，要求同學們運用角平分線的性質定理來解決問題。比如，在一個三角形中，已知一條角平分線，要求找出與這條角平分線對應的內角。"

c."最后，我會讓學生們嘗試構造滿足角平分線逆定理的圖形。給出一些特定的三角形，讓學生們找出能夠平分三角形的兩邊且平分對應角的角平分線。"

4.學生小組討論

-寫3方面內容舉例回答：

a."討論如何證明角平分線的性質定理時，學生們可能會提出以下觀點：通過證明兩個三角形全等來證明角平分線將第三邊平分。"

b."在解決實際問題時，學生們可能會討論如何選擇合適的定理來解決問題，例如，如何判斷一個角平分線是否能夠存在。"

c."在構造滿足逆定理的圖形時，學生們可能會討論如何利用對稱性來找到角平分線，以及如何利用尺規作圖的方法來驗證自己的構造。"

5.總結回顧

-內容：

"今天，我們學習了角平分線的性質定理及其逆定理，這兩個定理是三角形證明中的重要工具。通過今天的課程，我希望大家能夠掌握以下幾點：首先，理解角平分線的定義和性質；其次，學會證明角平分線的性質定理和逆定理；最后，能夠將這些定理應用到解決實際問題中。在課后，請大家完成練習冊中的相關題目，鞏固今天所學的內容。"

用時：45分鐘學生學習效果1.**知識掌握與應用**：

-學生們能夠準確地理解和掌握角平分線的性質定理及其逆定理的定義。

-學生們能夠運用這些定理進行幾何證明，解決與角平分線相關的實際問題。

-例如，學生能夠證明在三角形中，角平分線將對邊平分，以及能夠構造滿足逆定理條件的圖形。

2.**邏輯思維能力提升**：

-學生們在證明過程中，鍛煉了邏輯推理和演繹能力。

-通過分析角平分線的性質定理，學生們學會了如何從已知條件出發，逐步推導出結論。

-這種邏輯思維能力對于解決更復雜的幾何問題至關重要。

3.**幾何構造與作圖能力**：

-學生們通過實際操作，提高了使用幾何工具進行作圖的能力。

-在實踐活動環節，學生們學會了如何利用尺規作圖來驗證角平分線的性質。

-這種作圖能力對于理解和應用幾何知識具有實用性。

4.**小組合作與溝通能力**：

-在小組討論環節，學生們學會了如何與他人合作，共同解決問題。

-學生們通過分享和討論，能夠更好地理解彼此的思路，提高了溝通能力。

-這種合作精神對于未來學習和工作都是非常重要的。

5.**問題解決能力的增強**：

-學生們通過解決實際問題，如設計一個具有特定角度的角平分線的圖形，提高了問題解決能力。

-學生們學會了如何將實際問題轉化為數學模型，并運用所學知識進行解決。

-這種能力對于他們在數學和其他學科中的學習都是有益的。

6.**學習興趣與動力**：

-通過本節課的學習，學生們對幾何學產生了更濃厚的興趣。

-學生們認識到幾何學在現實生活中的應用價值，從而增強了學習的動力。

-這種興趣和動力將有助于他們在未來的學習中保持積極的態度。內容邏輯關系①角平分線的定義及其性質：

-定義：從三角形的一個頂點出發，將該頂點的角平分成兩個相等角的線段。

-性質：角平分線將對邊平分。

②角平分線的性質定理：

-定理內容：在三角形中，角平分線將對邊平分。

-關鍵詞：角平分線、三角形、對邊、平分。

-關鍵句：角平分線將對邊平分，即角平分線上的點到三角形的兩個頂點的距離相等。

③角平分線的逆定理：

-定理內容：如果一條線段平分了一個三角形的兩邊，那么它也平分了這兩個邊所對的角。

-關鍵詞：線段、三角形、平分、邊、角。

-關鍵句：平分三角形的兩邊的線段，也平分了這兩邊所對的角。

④角平分線的性質定理的證明：

-證明方法：利用全等三角形的判定方法（如SAS、AAS等）。

-關鍵詞：全等三角形、SAS、AAS、角平分線、三角形。

⑤角平分線的逆定理的證明：

-證明方法：通過構造輔助線，證明三角形全等，進而證明角平分線。

-關鍵詞：輔助線、三角形全等、角平分線。

⑥角平分線的性質定理及其逆定理的應用：

-應用場景：幾何證明、解決實際問題。

-關鍵詞：幾何證明、實際問題、角平分線、三角形。課后作業為了鞏固學生對角平分線性質定理及其逆定理的理解和應用，以下是一些課后作業題目：

1.**證明題**：

-題目：在三角形ABC中，D是角BAC的角平分線與邊BC的交點，證明AD平分BC。

-解答：證明過程如下：

1.連接BD和CD。

2.因為BD是角BAC的角平分線，所以∠ABD=∠CBD。

3.在ΔABD和ΔCDB中，有∠ADB=∠CDB（對頂角相等），AB=CB（題目條件），∠ABD=∠CBD（步驟2）。

4.根據SAS全等條件，ΔABD?ΔCDB。

5.因此，AD=DC（全等三角形的對應邊相等）。

2.**應用題**：

-題目：在ΔABC中，角平分線AD將邊BC平分于點D，若AB=6cm，AC=8cm，求AD的長度。

-解答：由角平分線的性質定理知，AD平分BC，所以BD=DC。

1.設BD=DC=x。

2.則BC=2x。

3.在ΔABD和ΔACD中，由角平分線定理知，∠BAD=∠CAD。

4.由于AB=6cm，AC=8cm，根據角平分線定理，BD/AB=DC/AC。

5.即x/6=x/8。

6.解得x=3cm。

7.因此，AD=BD=3cm。

3.**構造題**：

-題目：在ΔABC中，角平分線AD將邊BC平分于點D，構造一個ΔAED，使得∠AED=∠BAC，且AD=AE。

-解答：構造過程如下：

1.以A為圓心，以AD為半徑畫一個圓。

2.以D為圓心，以AD為半徑畫另一個圓。

3.兩個圓交于點E。

4.連接AE和DE。

5.由于AD=AE（都是圓的半徑），且∠AED=∠BAC（圓周角定理），所以ΔAED滿足題目條件。

4.**綜合題**：

-題目：在ΔABC中，角平分線AD將邊BC平分于點D，若AB=5cm，AC=10cm，證明ΔABD?ΔACD。

-解答：證明過程如下：

1.連接BD和CD。

2.因為BD是角平分線，所以∠ABD=∠CBD。

3.在ΔABD和ΔCDB中，有∠ADB=∠CDB（對頂角相等），AB=CB（題目條件），∠ABD=∠CBD（步驟2）。

4.根據SAS全等條件，ΔABD?ΔCDB。

5.因此，AD=DC（全等三角形的對應邊相等）。

6.由于AD是角平分線，所以ΔABD?ΔACD。

5.**拓展題**：

-題目：在ΔABC中，角平分線AD將邊BC平分于點D，若ΔABC是等腰三角形，證明AD垂直于BC。

-解答：證明過程如下：

1.因為ΔABC是等腰三角形，所以AB=AC。

2.由于AD是角平分線，所以∠BAD=∠CAD。

3.在ΔABD和ΔACD中，有AB=AC（等腰三角形的性質），AD=AD（公共邊），∠BAD=∠CAD（步驟2）。

4.根據SAS全等條件，ΔABD?ΔACD。

5.因此，∠ADB=∠ADC（全等三角形的對應角相等）。

6.由于∠ADB和∠ADC是補角，所以它們互為直角，即AD垂直于BC。課堂小結，當堂檢測課堂小結：

今天我們學習了三角形中一個重要的概念——角平分線，以及它的性質定理和逆定理。以下是本節課的重點內容：

1.**角平分線的定義**：角平分線是從三角形的一個頂點出發，將該頂點的角平分成兩個相等角的線段。

2.**角平分線的性質定理**：在三角形中，角平分線將對邊平分。這意味著角平分線上的點到三角形的兩個頂點的距離相等。

3.**角平分線的逆定理**：如果一條線段平分了一個三角形的兩邊，那么它也平分了這兩個邊所對的角。

4.**證明方法**：我們學習了如何通過全等三角形的判定方法（如SAS、AAS等）來證明角平分線的性質定理。

5.**應用實例**：我們通過實例看到了角平分線性質定理在解決實際問題中的應用，如建筑設計、工程測量等。

當堂檢測：

1.**選擇題**：

-在ΔABC中，D是角BAC的角平分線與邊BC的交點，以下哪個選項是正確的？

A.AD=BC

B.BD=DC

C.AB=AC

D.∠BAD=∠CAD

-答案：B、D

2.**填空題**：

-在ΔABC中，角平分線AD將邊BC平分于點D，若AB=6cm，AC=8cm，則AD的長度為____cm。

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