遼寧省丹東四校協作體2025屆寧夏銀川一中高三年級第六次月考數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設數列是等差數列，，.則這個數列的前7項和等于（）A．12 B．21 C．24 D．362．已知拋物線經過點，焦點為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．3．已知雙曲線，過原點作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P，Q兩點，以線段PQ為直徑的圓過右焦點F，則雙曲線離心率為A． B． C．2 D．4．關于函數在區間的單調性，下列敘述正確的是（）A．單調遞增 B．單調遞減 C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減5．已知雙曲線的右焦點為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．木匠師傅對一個圓錐形木件進行加工后得到一個三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積（）A． B． C． D．7．若復數z滿足,則復數z在復平面內對應的點在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．歐拉公式為,(虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉發現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里非常重要，被譽為“數學中的天橋”．根據歐拉公式可知，表示的復數位于復平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．若復數滿足，復數的共軛復數是，則（）A．1 B．0 C． D．10．已知函數的圖像上有且僅有四個不同的點關于直線的對稱點在的圖像上，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．11．設點是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，若，則（）A． B． C． D．12．天干地支，簡稱為干支，源自中國遠古時代對天象的觀測.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成，以此往復，60年為一個輪回.現從農歷2000年至2019年共20個年份中任取2個年份，則這2個年份的天干或地支相同的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在三棱錐中，，，兩兩垂直且，點為的外接球上任意一點，則的最大值為______.14．已知是拋物線的焦點，過作直線與相交于兩點，且在第一象限，若，則直線的斜率是_________．15．一次考試后，某班全班50個人數學成績的平均分為正數，若把當成一個同學的分數，與原來的50個分數一起，算出這51個分數的平均值為，則_________．16．已知一組數據1.6，1.8，2，2.2，2.4，則該組數據的方差是_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛生防疫工作的相關要求，決定在全公司范圍內舉行一次普查，為此需要抽驗1000人的血樣進行化驗，由于人數較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗1000次.方案②：按個人一組進行隨機分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結果呈陰性，這個人的血只需檢驗一次（這時認為每個人的血化驗次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗，這樣，該組個人的血總共需要化驗次.假設此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應相互獨立.（1）設方案②中，某組個人的每個人的血化驗次數為，求的分布列；（2）設，試比較方案②中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗次數最多可以平均減少多少次？（最后結果四舍五入保留整數）18．（12分）如圖在直角中，為直角，，，分別為，的中點，將沿折起，使點到達點的位置，連接，，為的中點．（Ⅰ）證明：面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．19．（12分）已知，，分別為內角，，的對邊，且.（1）證明：；（2）若的面積，，求角.20．（12分）已知數列中，（實數為常數），是其前項和，且數列是等比數列，恰為與的等比中項．（1）證明：數列是等差數列；（2）求數列的通項公式；（3）若，當時，的前項和為，求證：對任意，都有．21．（12分）已知滿足，且，求的值及的面積.（從①，②，③這三個條件中選一個，補充到上面問題中，并完成解答.）22．（10分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為(為參數)．在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓的方程為.(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程；(2)若點坐標為，圓與直線交于兩點，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據等差數列的性質可得，由等差數列求和公式可得結果.【詳解】因為數列是等差數列，，所以，即，又，所以，，故故選：B【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式，性質，等差數列的和，屬于中檔題.2、A【解析】

先求出，再求焦點坐標，最后求的斜率【詳解】解：拋物線經過點，，，，故選：A【點睛】考查拋物線的基礎知識及斜率的運算公式，基礎題.3、B【解析】

求得直線的方程，聯立直線的方程和雙曲線的方程，求得兩點坐標的關系，根據列方程，化簡后求得離心率.【詳解】設，依題意直線的方程為，代入雙曲線方程并化簡得，故，設焦點坐標為，由于以為直徑的圓經過點，故，即，即，即，兩邊除以得，解得.故，故選B.【點睛】本小題主要考查直線和雙曲線的交點，考查圓的直徑有關的幾何性質，考查運算求解能力，屬于中檔題.4、C【解析】

先用誘導公式得,再根據函數圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數的圖象可由向左平移個單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選：C【點睛】本題考查三角函數的平移與單調性的求解.屬于基礎題.5、B【解析】

先求出直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯立，可得A，B的縱坐標，利用，求出a，b的關系，即可求出該雙曲線的離心率．【詳解】雙曲線1（a＞b＞0）的漸近線方程為y＝±x，∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，∴kl，∴直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯立，可得y或y，∵，∴2?，∴ab，∴c＝2b，∴e．故選B．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質，考查向量知識，考查學生的計算能力，屬于中檔題．6、C【解析】

由三視圖知幾何體是一個從圓錐中截出來的錐體,圓錐底面半徑為,圓錐的高,截去的底面劣弧的圓心角為，底面剩余部分的面積為,利用錐體的體積公式即可求得.【詳解】由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為，圓錐的高，圓錐母線，截去的底面弧的圓心角為120°，底面剩余部分的面積為，故幾何體的體積為：.故選C.【點睛】本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題,考查了學生空間想象,數學運算能力,難度一般.7、A【解析】

化簡復數，求得，得到復數在復平面對應點的坐標，即可求解.【詳解】由題意，復數z滿足，可得，所以復數在復平面內對應點的坐標為位于第一象限故選：A.【點睛】本題主要考查了復數的運算，以及復數的幾何表示方法，其中解答中熟記復數的運算法則，結合復數的表示方法求解是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.8、A【解析】

計算，得到答案.【詳解】根據題意，故，表示的復數在第一象限.故選：.【點睛】本題考查了復數的計算，意在考查學生的計算能力和理解能力.9、C【解析】

根據復數代數形式的運算法則求出，再根據共軛復數的概念求解即可．【詳解】解：∵，∴，則，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查復數代數形式的運算法則，考查共軛復數的概念，屬于基礎題．10、A【解析】

可將問題轉化，求直線關于直線的對稱直線，再分別討論兩函數的增減性，結合函數圖像，分析臨界點，進一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關于直線的對稱直線為，當時，，，當時，，則當時，，單減，當時，，單增；當時，，，當，,當時，單減，當時，單增；根據題意畫出函數大致圖像，如圖：當與（）相切時，得，解得；當與（）相切時，滿足，解得，結合圖像可知，即，故選：A【點睛】本題考查數形結合思想求解函數交點問題，導數研究函數增減性，找準臨界是解題的關鍵，屬于中檔題11、B【解析】∵∵∴∵，∴∴故選B點睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質及橢圓的定義.求解與橢圓性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯想到圖形，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯系.12、B【解析】

利用古典概型概率計算方法分析出符合題意的基本事件個數,結合組合數的計算即可出求得概率.【詳解】20個年份中天干相同的有10組（每組2個），地支相同的年份有8組（每組2個），從這20個年份中任取2個年份，則這2個年份的天干或地支相同的概率.故選:B.【點睛】本小題主要考查古典概型的計算,考查組合數的計算,考查學生分析問題的能力,難度較易.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先根據三棱錐的幾何性質，求出外接球的半徑，結合向量的運算，將問題轉化為求球體表面一點到外心距離最大的問題，即可求得結果.【詳解】因為兩兩垂直且，故三棱錐的外接球就是對應棱長為2的正方體的外接球.且外接球的球心為正方體的體對角線的中點，如下圖所示：容易知外接球半徑為.設線段的中點為，故可得，故當取得最大值時，取得最大值.而當在同一個大圓上，且，點與線段在球心的異側時，取得最大值，如圖所示：此時，故答案為：.【點睛】本題考查球體的幾何性質，幾何體的外接球問題，涉及向量的線性運算以及數量積運算，屬綜合性困難題.14、【解析】

作出準線，過作準線的垂線，利用拋物線的定義把拋物線點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，利用平面幾何知識計算出直線的斜率．【詳解】設是準線，過作于，過作于，過作于，如圖，則，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴直線斜率為．故答案為：．【點睛】本題考查拋物線的焦點弦問題，解題關鍵是利用拋物線的定義，把拋物線上點到焦點距離轉化為該點到準線的距離，用平面幾何方法求解．15、1【解析】

根據均值的定義計算．【詳解】由題意，∴．故答案為：1．【點睛】本題考查均值的概念，屬于基礎題．16、0.08【解析】

先求解這組數據的平均數，然后利用方差的公式可得結果.【詳解】首先求得，．故答案為：0.08.【點睛】本題主要考查數據的方差，明確方差的計算公式是求解的關鍵，側重考查數據分析的核心素養.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布列見解析；（2）406.【解析】

（1）計算個人的血混合后呈陰性反應的概率為，呈陽性反應的概率為，得到分布列.（2）計算，代入數據計算比較大小得到答案.【詳解】（1）設每個人的血呈陰性反應的概率為，則.所以個人的血混合后呈陰性反應的概率為，呈陽性反應的概率為.依題意可知，，所以的分布列為：（2）方案②中.結合（1）知每個人的平均化驗次數為：時，，此時1000人需要化驗的總次數為690次，時，，此時1000人需要化驗的總次數為604次，時，，此時1000人需要化驗的次數總為594次，即時化驗次數最多，時次數居中，時化驗次數最少，而采用方案①則需化驗1000次，故在這三種分組情況下，相比方案①，當時化驗次數最多可以平均減少次.【點睛】本題考查了分布列，數學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.18、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）取中點，連結、，四邊形是平行四邊形，由，，得，從而，，求出，由此能證明．（Ⅱ）以為原點，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】證明：（Ⅰ）取中點，連結、，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，，，∴，∴，∴，在中，，又∵為的中點，∴，又∵，∴．解：（Ⅱ）∵，，，∴，以為原點，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，，∴，，，設面的法向量，則，取，得，同理，得平面的法向量，設二面角的平面角為，則，∴二面角的余弦值為．【點睛】本題考查面面垂直及線面垂直性質定理、線面垂直判定與性質定理以及利用空間向量求線面角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題．19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）利用余弦定理化簡已知條件，由此證得（2）利用正弦定理化簡（1）的結論，得到，利用三角形的面積公式列方程，由此求得，進而求得的值，從而求得角.【詳解】（1）由已知得，由余弦定理得，∴.（2）由（1）及正弦定理得，即，∴，∴，∴.，∴，，.【點睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.20、（1）見解析（2）（3）見解析【解析】

（1）令可得，即．得到，再利用通項公式和前n項和的關系求解，（2）由（1）知，．設等比數列的公比為，所以，再根據恰為與的等比中項求解，（3）由（2）得到時，，，求得，再代入證明。【詳解】（1）解：令可得，即．所以．時，可得，當時，所以．顯然當時，滿足上式．所以．，所以數列是等差數列，（2）由（1）知，．設等比數列的公比為，所以，恰為與的等比中項