2025屆黑龍江省齊齊哈爾市克東縣克東一中、克山一中等五校聯(lián)考高三下期中數(shù)學試題試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．2．年部分省市將實行“”的新高考模式，即語文、數(shù)學、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學、生物、政治、地理四選二，若甲同學選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學同時選擇歷史和化學的概率為A． B．C． D．3．記為等差數(shù)列的前項和.若，，則（）A．5 B．3 C．－12 D．－134．設a，b都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．36．已知不同直線、與不同平面、，且，，則下列說法中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．8．設函數(shù)定義域為全體實數(shù)，令．有以下6個論斷：①是奇函數(shù)時，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對任意的實數(shù)，．那么正確論斷的編號是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤9．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則（）A．4 B．8 C．16 D．210．若直線l不平行于平面α，且l?α，則（）A．α內所有直線與l異面B．α內只存在有限條直線與l共面C．α內存在唯一的直線與l平行D．α內存在無數(shù)條直線與l相交11．向量，，且，則（）A． B． C． D．12．斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點，則的最大值為A．2 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為________．14．甲，乙兩隊參加關于“一帶一路”知識競賽，甲隊有編號為1，2，3的三名運動員，乙隊有編號為1，2，3，4的四名運動員，若兩隊各出一名隊員進行比賽，則出場的兩名運動員編號相同的概率為______.15．若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復數(shù)在復平面內對應點的坐標為_____．16．五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”.中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，如果把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側，可排成______種不同的音序.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某機構組織的家庭教育活動上有一個游戲，每次由一個小孩與其一位家長參與，測試家長對小孩飲食習慣的了解程度．在每一輪游戲中，主持人給出A，B，C，D四種食物，要求小孩根據自己的喜愛程度對其排序，然后由家長猜測小孩的排序結果．設小孩對四種食物排除的序號依次為xAxBxCxD，家長猜測的序號依次為yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四個數(shù)字的一種排列．定義隨機變量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X來衡量家長對小孩飲食習慣的了解程度．（1）若參與游戲的家長對小孩的飲食習慣完全不了解．（ⅰ）求他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（簡要說明方法，不用寫出詳細計算過程）；（2）若有一組小孩和家長進行來三輪游戲，三輪的結果都滿足X＜4，請判斷這位家長對小孩飲食習慣是否了解，說明理由．18．（12分）已知在等比數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列前項的和.19．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）若，對，不等式恒成立，求的取值范圍．20．（12分）如圖，D是在△ABC邊AC上的一點，△BCD面積是△ABD面積的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ．（Ⅰ）若θ=，求的值；（Ⅱ）若BC=4，AB=2，求邊AC的長．21．（12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)的極值；(Ⅱ)若,且,求證：．22．（10分）某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試，從中隨機抽取了20人的分數(shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分數(shù)（以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）：若分數(shù)不低于95分，則稱該員工的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”.（1）從這20人中任取3人，求恰有1人成績“優(yōu)秀”的概率；（2）根據這20人的分數(shù)補全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖，并根據頻率分布直方圖解決下面的問題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計所有員工的平均分數(shù)（同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值作代表）；②若從所有員工中任選3人，記表示抽到的員工成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

求出函數(shù)定義域，在定義域內確定函數(shù)的單調性，利用單調性解不等式．【詳解】由得，在時，是增函數(shù)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，∴是增函數(shù)，∴由得，解得．故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)的單調性，考查解函數(shù)不等式，解題關鍵是確定函數(shù)的單調性，解題時可先確定函數(shù)定義域，在定義域內求解．2、B【解析】

甲同學所有的選擇方案共有種，甲同學同時選擇歷史和化學后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據古典概型的概率計算公式，可得甲同學同時選擇歷史和化學的概率，故選B．3、B【解析】

由題得，，解得，，計算可得.【詳解】，，，，解得，，.故選：B【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，前項和公式，考查了學生運算求解能力.4、C【解析】

根據對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質求解a,b的范圍，再利用充分必要條件的定義判斷即可．【詳解】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分條件，故選C．【點睛】本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法，考查指數(shù)，對數(shù)不等式的解法，是基礎題．5、A【解析】

直接將兩邊同時乘以求出復數(shù)，再求其模即可.【詳解】解：將兩邊同時乘以，得故選：A【點睛】考查復數(shù)的運算及其模的求法，是基礎題.6、C【解析】

根據空間中平行關系、垂直關系的相關判定和性質可依次判斷各個選項得到結果.【詳解】對于，若，則可能為平行或異面直線，錯誤；對于，若，則可能為平行、相交或異面直線，錯誤；對于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正確；對于，若，只有當垂直于的交線時才有，錯誤.故選：.【點睛】本題考查空間中線面關系、面面關系相關命題的辨析，關鍵是熟練掌握空間中的平行關系與垂直關系的相關命題.7、C【解析】

求得雙曲線的漸近線方程，可得圓心到漸近線的距離，由點到直線的距離公式可得的范圍，再由離心率公式計算即可得到所求范圍．【詳解】雙曲線的一條漸近線為，即，由題意知，直線與圓相切或相離，則，解得，因此，雙曲線的離心率.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用圓心到漸近線的距離不小于半徑，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．8、A【解析】

根據函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當是奇函數(shù)時，則，所以，所以是偶函數(shù)；當為非奇非偶函數(shù)時，例如：，則，，此時，故⑥錯誤；故③④正確.故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關鍵，屬于基礎題.9、A【解析】

利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質即可求得.【詳解】.故選:.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質,考查基本量的計算,難度容易.10、D【解析】

通過條件判斷直線l與平面α相交，于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據直線l不平行于平面α，且l?α可知直線l與平面α相交，于是ABC錯誤，故選D.【點睛】本題主要考查直線與平面的位置關系，直線與直線的位置關系，難度不大.11、D【解析】

根據向量平行的坐標運算以及誘導公式，即可得出答案.【詳解】故選：D【點睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導公式的應用，屬于中檔題.12、C【解析】

設出直線的方程，代入橢圓方程中消去y，根據判別式大于0求得t的范圍，進而利用弦長公式求得|AB|的表達式，利用t的范圍求得|AB|的最大值．【詳解】解：設直線l的方程為y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由題意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦長|AB|＝4．故選：C．【點睛】本題主要考查了橢圓的應用，直線與橢圓的關系．常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，判別式找到解決問題的突破口．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設拋物線上任意一點的坐標為，根據拋物線的定義求得，并求出對應的，即可得出結果.【詳解】設拋物線上任意一點的坐標為，拋物線的準線方程為，由拋物線的定義得，解得，此時.因此，拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查利用拋物線的定義求點的坐標，考查計算能力，屬于基礎題.14、【解析】

出場運動員編號相同的事件顯然有3種，計算出總的基本事件數(shù)，由古典概型概率計算公式求得答案.【詳解】甲隊有編號為1，2，3的三名運動員，乙隊有編號為1，2，3，4的四名運動員，出場的兩名運動員編號相同的事件數(shù)為3，出現(xiàn)的基本事件總數(shù)，則出場的兩名運動員編號相同的概率為.故答案為：【點睛】本題考查求古典概率的概率問題，屬于基礎題.15、【解析】

把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出得答案．【詳解】，，則，的共軛復數(shù)在復平面內對應點的坐標為，故答案為【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義準確計算是關鍵，是基礎題．16、1【解析】

按照“角”的位置分類,分“角”在兩端,在中間,以及在第二個或第四個位置上,即可求出.【詳解】①若“角”在兩端,則宮、羽兩音階一定在角音階同側，此時有種；②若“角”在中間,則不可能出現(xiàn)宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側；③若“角”在第二個或第四個位置上,則有種；綜上，共有種.故答案為：1．【點睛】本題主要考查利用排列知識解決實際問題,涉及分步計數(shù)乘法原理和分類計數(shù)加法原理的應用,意在考查學生分類討論思想的應用和綜合運用知識的能力,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（ⅰ）（ⅱ）分布表見解析；（2）理由見解析【解析】

（1）（i）若家長對小孩子的飲食習慣完全不了解，則家長對小孩的排序是隨意猜測的，家長的排序有種等可能結果，利用列舉法求出其中滿足“家長的排序與對應位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，由此能求出他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率．

（ii）根據（i）的分析，同樣只考慮小孩排序為1234的情況，家長的排序一共有24種情況，由此能求出X的分布列．

（2）假設家長對小孩的飲食習慣完全不了解，在一輪游戲中，P（X＜4）=P（X=0）+P（X=2）=，三輪游戲結果都滿足“X＜4”的概率為，這個結果發(fā)生的可能性很小，從而這位家長對小孩飲食習慣比較了解．【詳解】（1）（i）若家長對小孩子的飲食習慣完全不了解，則家長對小孩的排序是隨意猜測的，先考慮小孩的排序為xA，xB，xC，xD為1234的情況，家長的排序有＝24種等可能結果，其中滿足“家長的排序與對應位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，分別為：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，∴家長的排序與對應位置的數(shù)字完全不同的概率P＝．基小孩對四種食物的排序是其他情況，只需將角標A，B，C，D按照小孩的順序調整即可，假設小孩的排序xA，xB，xC，xD為1423的情況，四種食物按1234的排列為ACDB，再研究yAyByCyD的情況即可，其實這樣處理后與第一種情況的計算結果是一致的，∴他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率為．（ii）根據（i）的分析，同樣只考慮小孩排序為1234的情況，家長的排序一共有24種情況，列出所有情況，分別計算每種情況下的x的值，X的分布列如下表：X02468101214161820P（2）這位家長對小孩的飲食習慣比較了解．理由如下：假設家長對小孩的飲食習慣完全不了解，由（1）可知，在一輪游戲中，P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，三輪游戲結果都滿足“X＜4”的概率為（）3＝，這個結果發(fā)生的可能性很小，∴這位家長對小孩飲食習慣比較了解．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．18、（1）（2）【解析】

（1）由基本量法，求出公比后可得通項公式；（2）求出，用裂項相消法求和．【詳解】解：（1）設等比數(shù)列的公比為又因為，所以解得（舍）或所以，即（2）據（1）求解知，，所以所以【點睛】本題考查求等比數(shù)列的通項公式，考查裂項相消法求和．解題方法是基本量法．基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本方法，務必掌握．19、（1）；（2）.【解析】

（1）分類討論，，，即可得出結果；（2）先由題意，將問題轉化為即可，再求出，的最小值，解不等式即可得出結果.【詳解】（1）由得，若，則，顯然不成立；若，則，，即；若，則，即，顯然成立，綜上所述，的取值范圍是．（2）由題意知，要使得不等式恒成立，只需，當時，，所以；因為，所以，解得，結合，所以的取值范圍是．【點睛】本題主要考查含絕對值不等式的解法，以及由不等式恒成立求參數(shù)的問題，熟記分類討論的思想、以及絕對值不等式的性質即可，屬于常考題型.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用三角形面積公式以及并結合正弦定理，可得結果.（Ⅱ）根據，可得，然后使用余弦定理，可得結果.【詳解】（Ⅰ），所以所以；（Ⅱ），所以，所以，，所以，所以邊．【點睛】本題考查三角形面積公式，正弦定理以及余弦定理的應用，關鍵在于識記公式，屬中檔題.21、(Ⅰ)極大值