重難點(diǎn)專題15空間中的五種距離問題

【題型歸納目錄】

題型一：點(diǎn)線距

題型二：異面直線的距離

題型三：點(diǎn)面距

題型四：線面距

題型五：面面距

【方法技巧與總結(jié)】

空間中的距離

求點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐等體積法求解.

【典型例題】

題型一：點(diǎn)線距

【典例1-1】已知正方體gGR的棱長為1,則點(diǎn)2到直線AG的距離為

【答案】逅

3

【解析】如圖，連接A。，過8作出/LAG，則即為點(diǎn)8到直線A。的距離，

在正方體ABCD-A4GR中，AB2平面BG，.?.ABLBG，在直角—ABQ中，ABxBQ=AQxBH,且

AB=lg=近,AG=/,所以半，點(diǎn)8到直線AC1的距離為9.

故答案為：巫.

3

【典例1-2】（2024?高二?山東濟(jì)南?期末）如圖所示為正八面體的展開圖，該幾何體的8個(gè)表面都是邊長為

1的等邊三角形，在該幾何體中，P為直線。E上的動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最小值為（）

A

B,

C

P\~7E~Y

D

A&RA/6「5/7nA/10

2345

【答案】B

【解析】把平面展開圖還原為空間八面體，如圖所示：

由題意，尸到直線A2距離的最小值即直線到直線AB的距離，

又DFUAC,ACu平面ABC,。尸u平面ABC,故OF//平面ABC.

又BC=BD=EC=ED=1,故四邊形8CED為菱形，貝

3Cu平面ABC,DE<z平面ABC,故DE〃平面ABC.

又DRDE=D,￡>F,￡>Eu平面DE尸，故平面DE尸〃平面ABC.

故直線DF到直線AB的距離為平面DEF到平面ABC的距離.

則D到平面ABC的距離即為P到直線AB距離的最小值.

設(shè)■與CO交于0,則易得。為正四棱錐3-皿P中心.

2222

則班=8。=3￡>=&。=池=1,CD=VAC+AD=A/2=7fiC+BD,故△BCD為直角三角形，故

0B=—.

2

設(shè)。到平面ABC的距離為人,則由/_A8=%TBC，故gsACDIO=；SABC-/7，

故1x1x1xh,解得h=-

2243

故選：B

【變式1-1］（2024.高二.重慶?期中）如圖在棱長為2的正方體4BCD-4耳GQ,中E為8C的中點(diǎn)，點(diǎn)尸

在線段2E上，點(diǎn)尸到直線CG的距離的最小值為（）

C-fD-f

FD{,

?；EF//CC,,CC}1底面ABCD,

四邊形EFGC是矩形,

CCJ/EF,

又EFu平面〃現(xiàn)"。60平面29"

cq〃平面RE廠,

直線GC上任一點(diǎn)到平面D、EF的距離是兩條異面直線DtE與CG的距離,

過點(diǎn)G作Ci"，。!尸，

平面DtEF±平面A]3]CQ,平面D,EF，平面A用CQ=口尸,

GMu平面A]31G2,

GM,平面REF,

過點(diǎn)M作MPHEF交.RE于點(diǎn)P,則MP//QC,

取GN=MP,連接PN,則四邊形MPNG是矩形.

可得NP_L平面REP,

在RtD?F中，C1MDF=D￡GF,

,日「“2x1275

得C.M=,=二一

5

...點(diǎn)P到直線CC,的距離的最小值為半.

故選：B.

題型二：異面直線的距離

【典例2-1】（2024.高二.上海楊浦?期中）如圖，已知四棱錐尸-ABCD中，ABCD為矩形，平面

ABCD,BC=3,PC=5,PA=4拒,異面直線3c與尸。之間的距離為.

【答案】20

【解析】因?yàn)槠矫鍭BCD,所以PB,3cpe=5,BC=3,

所以PB=4,PA=4a,所以AB=4,

因?yàn)镻B_LBA,P8J_BC,AB_L3C,P8=AB=4,BC=3

因此我們將四棱錐P-ABCD構(gòu)建成長方體EPGH-ABCD.

接下來我們尋找異面直線尸28C的公垂線

PD在平面GCC燈上的投影為GD,CH1GD,

易證CH_L平面PGD,故得CH1BC,

連接3”,3〃與尸。相交于0,則。為的中點(diǎn)，

作BC的中點(diǎn)尸，連接OF,則。尸〃HC,:.OF±BC,OF±PD,

所以O(shè)尸是的公垂線段，即OF的長度就是異面直線BC與尸。之間的距離.

S.OF=-HC=2y/2,

2

故答案為：2夜.

【典例2-2】（2024.高二.上海浦東新?期末）在棱長為1的正方體ABCD-44GA中，直線AC與直線3Q

的距離是.

【答案】1

【解析】如圖，取AC與42的中點(diǎn)M,N,

因?yàn)镹4=NC,M為AC的中點(diǎn)，則MN_LAC,同理

所以直線AC與直線瓦2的距離為線段MN長，

又“V=M=1,所以直線AC與直線片口的距離為1.

【變式2-1](2024.高三.全國?專題練習(xí))如圖，已知48。-48。12是底面邊長為1的正四棱柱，高

(1)求異面直線BD與ABX所成角的余弦值；

(2)求異面直線CD,與4G的距離.

【解析】(1)連接AB]，BR,AD),如圖所示:

在正四棱柱ABCD-^QD,中，因BBJICCJIDD、，且BB,=CQ=DD,,

則四邊形瓦沙。是平行四邊形，故得3D〃片2,

則異面直線RD與A與所成角為44片2或其補(bǔ)角，設(shè)NABR=e,

AB；+BQ；-AD；

因破=AD]=EBR=0,貝I」cos6=

2A4xBQ1lo-

異面直線BD與A與所成角的余弦值為叵.

10

(2)連接C2,過C1作垂足為E,如圖所示:

在正四棱柱ABC。-4耳GR中，片G，平面CQRG，GEu平面CO0G，

則，GE,故GE是異面直線CD,與瓦。的公垂線，

在RtCG2中，由gcC「G2=gcRGE，

印9尊產(chǎn)=篇=當(dāng)，

CD1＜55

故異面直線CDX與4G的距離為半.

題型三：點(diǎn)面距

【典例3-1】(2024?高一?全國?專題練習(xí))如圖1,在邊長為4的菱形ABC。中，NZMB=60,點(diǎn)M,N分別

是邊8C,C￡＞的中點(diǎn)，ACr^BD=Ol,ACcMN=G.沿MN將CMN翻折到PMN的位置，連接

PA,PB,PD,得到如圖2所示的五棱錐尸-A5MVD.

P9

DN

AB

圖1

(1)在翻折過程中是否總有平面平面PAG?證明你的結(jié)論；

(2)在翻折過程中當(dāng)四棱錐P-MNDB的體積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)A到平面PDB的距離；

【解析】(1)證明：在翻折過程中總有平面尸3。，平面PAG；

證明如下：點(diǎn)M,N分別是邊BC,C￡＞的中點(diǎn)，.-m/MN,

菱形ABCD中，NDAB=60，:ZMN是等邊三角形，

G是跖V的中點(diǎn)，PM=PN,:.MN1PG；

?.?菱形ABC。的對(duì)角線互相垂直，AC,MNLAC；

ACcPG=G,AC,PGu平面PAG,r.MV_L平面PAG,

;.BD_L平面PAG,

QBDu平面PB￡),

???平面PBD_L平面PAG.

(2)要使得四棱錐P-體積最大，只要點(diǎn)尸到平面肱VDB的距離最大即可，

當(dāng)PGL平面汨時(shí)，點(diǎn)P到平面肱VDB的距離最大為百，

又S=-Ar>.ABsin-=-x4x4x^=4V3,

ADB2322

-'-^P-ADB=2^A￡>BX^/3=JX4A/3XA/3=4;

POl=QPGUGO；=46,

:.S=246,

PDB=^PO}DB

設(shè)點(diǎn)A到平面PDB的距離為d,

V??=—S-d=-解得：d=，

r-/\ALJDt53rPUDDB3-1=4,A、/6

即點(diǎn)A到平面PDB的距離為瓜.

【典例3-2】(2024?四川?一模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，ADUBC,AD±PD,平面F4T>_L平面

PCD.

(1)證明：3C1平面PC。；

(2)已知AOuPDMDCngBCuZ,且/DPC=30。，求點(diǎn)。到平面的距離.

【解析】(1)因?yàn)槠矫嫔?。_L平面PCD,平面R4￡)c平面PCD=PD,

且/W_LPD,">u平面PAD,所以A￡)_L平面尸CO,

又因?yàn)锳D//BC,所以平面PCO.

(2)由(1)可知，")"L平面PCD,且ADu平面ABCD,所以平面ABCD1平面PCD,

過P作直線8的垂線，垂足為則P"_L平面ABCD,

由NC尸。=NDCP=30°,PD=2,

可得N尸DC=120°,PH=PDsin(l80°-120°)=,PA=2枝,AB=2及,

因?yàn)?C1平面PCD,PCu平面PCD,所以PCL5C,

貝！IPB?=BC2+PC2,可得PB=2J7,

在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳O=DC=」2C=2,可得/ZMB=135。，

2

所以=gx2x20xsinl35°=2,在等腰加B中,PA=AB=2①,PB=2不，

IPR

取PB的中點(diǎn)M,連接AM,可得AVf_LM,AAM=JPA2-(—)2=1,

所以5"8=:尸2-3=近，

設(shè)點(diǎn)D到平面PAB的距離為h,

由%/可得:。9/二:4匈.尸“，解得/7=返，

337

所以點(diǎn)。到平面PAB的距離為2叵.

7

P

【變式3-1](2024.高三.河南?期末)在平面四邊形ABCD中，BC//AD,3CLCD,點(diǎn)石為AD的靠近A的

三等分點(diǎn)，AB=BC=DE=2,將一ABE1沿BE折起，使得平面ABE1平面2CDE,已知點(diǎn)N在線段8上，

且滿足DN=2NC,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn).

(1)證明：平面AEN；

(2)若尸為A3的中點(diǎn)，求點(diǎn)N到平面HWE)的距離.

【解析】(1)

證明：因?yàn)?C〃AD,BC=DE,所以四邊形BCDE為平行四邊形,

因?yàn)?C_LCD,所以四邊形為矩形，得

在折起后，BE±AE,BEJ.DE,

因?yàn)槠矫鍭BE1平面BCDE,平面ABEc平面3cDE=3E,AEu平面ABE,

所以AE_L平面BCOE,

因?yàn)閆Wu平面BCDE,所以AE_LDM,

因?yàn)锳B=3C=￡>E=2,所以AE=1,BE=^[3,

因?yàn)辄c(diǎn)N在線段CD上，且滿足DN=2NC,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，

所以￡W=&5,CM=1,

3

DM=DC+CM=DC+：DE,EN=ED+DN=^DC-DE,

因?yàn)镈ATEN=(DC+gDC-DEJ=gOC。一DC.OE+；DC.DE-J謂=0,

所以￡)“八EN>即DM_L￡7V.

因?yàn)锳Eu平面AEN,ENu平面AEN,AEcEN=E,

所以DAll平面AEN.

(2)取EB的中點(diǎn)G,連接尸G,GMGD,MN,FN,

則FG〃/IE,所以FG,平面BCDE,FG為三棱錐尸-DMN的高,

5/19

所以專義島0><粵=孚

設(shè)點(diǎn)N到平面FMD的距離為,

由VN—DFM=VE—DMN得LXx/i=-xx—,解得h=,

3433293

即點(diǎn)N到平面FMD的距離為2座.

93

題型四：線面距

【典例4-1](2024.高二.上海楊浦?期中)如圖,P為菱形ABCD外一點(diǎn),平面ABCD,N54T>=60,￡為

⑴求證:￡D_L平面尸AD;

⑵若PD=AD=2,^BC到平面PAD的距離.

【解析】(1)連接3￡),如圖：

因?yàn)閆BAD=60，四邊形ABCD為菱形，

所以BD=CD,

又E為棱BC的中點(diǎn)，

所以BCLDE,

因?yàn)?D〃5C,

所以&￡>_!_￡)￡；,

因?yàn)镴_平面ABCD,DEu平面ABCD,

所以PDJ_DE,

又「。cAD=。尸Du平面pa。,ADu平面PAD,

所以ED_L平面PAD.

(2)因?yàn)?。//"?,4。匚平面尸14￡),3。0平面尸/4￡),

所以3C〃平面PAD,

則BC到平面PAD的距離即為點(diǎn)B到平面PAD的距離,

設(shè)點(diǎn)B到平面PAD的距離為d,

因?yàn)閂B-PAD=VP-ABD,PD=AD=2,PD_L平面ABCD,ABAD=60，四邊形ABC。為菱形，

所以，X-!-X2X2d=-x—x2x2xx2,

32322

解得d=6,

即BC到平面PAD的距離為&.

【典例4-2】（2024.高一.全國?課后作業(yè)）設(shè)正方體ABCD-A4GA的棱長是2,求棱和平面的

【解析】連接8。、AC,

四邊形ABCO為正方形，

:.AC±BD,

AC_LBB{,BDc=B,

r.A到平面BBRD的距離為:x2夜=應(yīng)，

--M平面班RO,

??.M到平面的距離即A到平面的距離，

???棱M和平面BBRD的距離為72.

【變式4-1］（2024?高二?重慶巫山?期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ZABC=60,

平面B4D_L平面ABC。，PA±AD,PA=AB^2,尸。的中點(diǎn)為E

p

⑴求證：尸8〃平面ACF；

(2)求直線PB到面ACF的距離.

【解析】(1)

連接交AC于0,連接R?,

?.?/為AD的中點(diǎn)，。為2。的中點(diǎn)，則OF//P3,

PBN平面ACF,Ou平面ACF,：.尸3//平面ACF.

(2)因?yàn)槠矫鍱4D_L平面ABC。，平面上4Dc平面ABCD=AD,PA±AD,B4u平面PAD,所以

PA_L平面ABCD

由于P3〃平面ACT,則尸8到平面ACF的距離，即尸到平面ACF的距離.

又因?yàn)槭瑸槭５闹悬c(diǎn)，點(diǎn)尸到平面ACF的距離與點(diǎn)D到平面ACF的距離相等.

則麻//B4,因?yàn)镻AL平面ABC，所以EF2平面ABC￡),

因?yàn)镃Eu平面ABCD,所以EF_LCE,

因?yàn)榱庑蜛BC。且/ABC=60,PA=AD=2,

所以CE=g,EF=l,

則CF=JE產(chǎn)+廢2=加用=2,AC=2,AF=gjD=；j4+4=血,q

°AACF

設(shè)點(diǎn)D到平面ACF的距離為hD,由VD_ACF=VF_ACD得

1v,_lv_SAACD*EF_&\_2屈

AACFX%=AACDXEF=如=-------=-7^~=~~

JJ%ACF71/

即直線PB到平面ACF的距離為豆11.

7

題型五：面面距

【典例5-1】(2024?河南二模)如圖所示，正六棱柱"COE尸-型汩2與耳的底面邊長為1,高為技

(1)證明：平面A。片〃平面ABC；

(2)求平面ADF,與平面ABC間的距離.

【解析】(1)在正六棱柱ABC。跖-AAGAEE中,

因?yàn)榈酌鏋檎呅危訟D//8C,

因?yàn)?50平面ABC,3Cu平面ABC,所以AD//平面ABC.

因?yàn)閏o〃AM，co=AG，所以四邊形cr>GA為平行四邊形，所以。片〃AC,

因?yàn)槠矫鍭BC,ACu平面ABC,所以￡>￡〃平面ABC,

又A。=D,所以平面A￡>6〃平面ABC.

(2)平面相>片與平面ABC間的距離等價(jià)于點(diǎn)A到平面ABC的距離，設(shè)為小

連接AC,則四面體AABC的體積V=|SAABC.M=1S“d.

因?yàn)閂ugsAMbM=|xlxlxlxsinyxV3=1,

”=JAB'+M=2,AC=13+曲=底，

所以cos/ABCJ'”一（痛）=」,從而sin/A8C=半，

"2x1x244

所以S^ABC=-xlx2x^—=—^―,

所以［=蕓二=半，即平面A。片與平面ABC間的距離為姮.

【典例5-2］（2024?高一.廣東揭陽.期末）如圖在直三棱柱ABC-A4G中，ZABC=90°,BC=2,

cq=4,E是B片上的一點(diǎn)，且班1=1,。、F、G分別是CG、BC、AG的中點(diǎn)，E尸與耳。相交于

(2)求平面EGF與平面ABD的距離.

【解析】(1)證明：由直三棱柱的性質(zhì)得平面ABC人平面84GC,

又ABLBC,平面ABCc平面加5|GC=8C,ABu平面ABC,

.:筋/平面28。0,

又用Ou平面

AB±BQ,

BC=CD=DC\=BG=2,

：.在RtAZJCB和RtDC]Bi中，NBDC=ZBtDCt=45°,

NBDB]=90°,即耳。_LB￡),

又ABBD=B,平面.

2]■￡>_!_平面yW￡).

(2)由題意知E4=4尸=1,

在RtEB]F中,NFEB1=45°,

又NDBBy45°,EF//BD,

QBDu平面ABD,EFU平面MD,

EF〃平面

G、p分別為AG、4G的中點(diǎn)，

.-.GF//4B,,又44//AB,

GF//AB,

ABu平面ABD,GFcz平面ABD,

GF//平面ABD,

EFu平面瓦'G,G尸u平面￡FG,EFrGF=F,

平面EFG〃平面ABD.

BQ_L平面ABD,平面EGE7平面

，B]O_L平面EG尸，

HD為平行平面EFG與ABD之間的距離，

...HD=4r>-耳H=2及-5=苧,

即平面EFG與ABD之間的距離為逆.

2

【變式5-1](2024?高一?福建廈門.期末)如圖，棱長為2的正方體ABCDTUB/GQ中，E,F分別是棱

AAi,CG的中點(diǎn)，過E作平面a，使得?//平面BDF.

(1)作出a截正方體ABCD-AiBiCiDi所得的截面，寫出作圖過程并說明理由；

(2)求平面a與平面BDF的距離.

【解析】(1)連接由正方體性質(zhì)可得2D〃片2，BF//EDt.

又BFcBD=B,所以平面E3Q//平面BDF；

因?yàn)閍〃平面3DF,且Eea,所以平面E片A與平面a重合，即平面E瓦2就是a截正方體A8CO-

所得的截面.

(2)由(1)可知平面a與平面5"的距離等于點(diǎn)B]到平面5DF的距離；

設(shè)點(diǎn)耳到平面困中的距離為d,由題意可得8。=2魚,8尸=￡>尸=君，所以V3Z*的面積為?;BB/

的面積為2；

由VB「BDF=^D-BBtF可得lS^BDF,"=］黑即/義2,解得d=~~~'

所以平面a與平面BDF的距離為友.

3

【過關(guān)測(cè)試】

1.（2024?高三?全國?專題練習(xí)）如圖，在三棱錐尸-ABC中，PA^WABC,PA=BC=2,AB=PC

=V5.求點(diǎn)B到平面PAC的距離；

【解析】由總，平面ABC,AB,BCu平面ABC,得

而PA=2,AB=VL則P8=朽+（右了=3,又PC=?BC=2,則有BC?十小？二尸產(chǎn)，

于是3C_LPC,而PC尸4=尸,「。,上4<=平面P。4,因此3C，平面PC4,

則BC為點(diǎn)B到平面PAC的距離，所以點(diǎn)B到平面PAC的距離為2.

2.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD,平面ABCD,點(diǎn)

（2）在線段上是否存在點(diǎn)使得點(diǎn)C到平面的距離為3?若存在，請(qǐng)求出A"的長；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

【解析】（1）連接03，由題意得AB=4,OC=3,

p

貝UOB=^OC2+BC2=13。+(2國=后，AC=\lAB2+BC2=卜+(2國=2幣,

…zEOECOC_3

記08AC=E,易知EOCEBA,得H一=—

EBEA

故小而浮EC=?AC①

77

:.OE2+EC2=OC2,AACrOB,

又0D=l,OP=3,PD=y/10,可得O產(chǎn)+0￡)2=尸￡)2,：.POLCD,

又平面尸CD_L平面ABCD,且平面PCDI平面ABCD=CD,POu平面尸CD,

.?.尸。_1平面48。￡),

又ACu平面A3CO,:.PO±AC,

又PCTOB=O,且尸O,03u平面POB,.:AC上平面POB,

又BBu平面尸03,..PB±AC.

(2)假設(shè)在線段AB上存在點(diǎn)/滿足條件，連接MC,0M,

則三棱錐P-MCD的體積％Mc°=；SMCDxOP=gxgx4x26x3=4g,

設(shè)AM-x(0<x<4),

在△尸。M中，PD=M,DM^^AD1+AM2=A/X2+12

PM=^/PO2+OM2=J(x-l『+i2+9=J尤2-2x+22，

PD2+DM2-PM2x

則cos/PDM=

2PDDMA/10-A/X2+12

xYJ9Y+120

sinNPDM=y]l-cos2ZPDM=

、質(zhì).&+i2J回小2+12

故△〃以/■的面積S所.=-PDxDMxsinZPDM=^9x+12°,

PDM22

U1,r1J9X。+120r~

人」Vp_MCD=VC-PDM=§*x3=4^3>

得x=2\/2，

所以線段A3上存在點(diǎn)使得點(diǎn)C到平面PMD的距離為3,且A"=20.

jr

3.(2024?高二.云南曲靖.開學(xué)考試)如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,ZABC=-,

2

AB=BC=^AD=a,PA_L平面ABC。，且2=a,點(diǎn)下在A。上，且CF'LPC.

(1)求點(diǎn)A到平面PCF的距離；

⑵求AD到平面PBC的距離.

【解析】(1)連接AC,因?yàn)樯?,平面ABC。，又CVu平面ABC。,

：.PA±CF,又CFLPC,PAPC=P,

二CF_L平面以C,又CPu平面尸尸C,

平面PFCJ_平面PAC,平面PFCf]1?平面PAC=PC,

過點(diǎn)A作AHLPC于H,則AHI.平面PFC,

故A”即為所求，

JT1

二?在梯形ABC。中，AD//BC,ZABC=—,AB=BC——AD=a,PA=a,

23

AC=yf2,a,PC=y/3ci,

???在RtZkPAC中,—xy[2axa=—xs/3axAH,

22

:.AH=凡,即點(diǎn)4到平面PC尸的距離為"4；

33

(2)AD//BC,BCu平面P8C,平面PBC,

二AD〃平面P8C,

過點(diǎn)A作AELPB于E,又因?yàn)?4,平面4BCD則PAL8C,

又AB_LBC,PAAB=A,

.?.8C_L平面尸BA,貝I|BC_LAE,又PBcCB=B

AE_L平面PBC,即AE的長為AD到平面PBC的距離，

在等腰直角三角形B43中，PA=PB=a,

?4"一忘

??A.E-----a,

2

故AD到平面PBC的距離為正..

2

4.(2024?高一?湖南?課后作業(yè))如圖，在幾何體A-3CDE中，DC,平面ABC,EB_L平面ABC,

ABC=90,AB=2,AC=5.

(1)求證：DC〃平面ABE；

(2)求直線DC與平面ABE的距離.

【解析】(1)由DC，平面ABC,平面ABC,

可得OC_L3C,EBLBC,則在面BCDE■中，DCUBE

又DC<Z平面ABE,BEu平面ABE,則OC〃平面ABE

(2)由0c〃平面ABE,

可知直線0c與平面ABE的距離等于點(diǎn)C到平面ABE的距離

△ABC中，ABC=90，AB=2,AC=5,則BC