專做22槌率髭酎4懿名特征大版嫁卷

十年考情-探規(guī)律

考點十年考情(2015-2024)命題趨勢

考點1獨立性檢驗2024?全國甲卷、2023?全國甲卷、2022.全國新I卷1.熟練掌握獨立性

為載體及其應用2022?全國甲卷、2021?全國甲卷、2020?海南卷、2020?山東卷檢驗和線性回歸直

（10年6考）2020?全國卷、2017?全國卷線方程的求解，該內(nèi)

考點2線性回歸直容會繼續(xù)作為載體

線方程為載體及其應2022?全國乙卷2020.全國卷2018?全國卷2017?全國卷內(nèi)容命題

用2017?全國卷2016?全國卷2015?重慶卷2.熟練掌握二項分

（10年6考）布、超幾何分布及其

2024?全國新II卷、2023?全國新I卷、2022?全國甲卷他類別的分布列與

考點3賽事類（分配

2022?北京卷、2021.全國新I卷、2020?全國卷、2019?天津卷期望方差問題，同樣

類）的分布列及期望

2019?全國卷、2017?山東卷、2016?山東卷、2016?天津卷是高考命題熱點

方差

2015?重慶卷、2015?天津卷、2015?湖南卷、2015?安徽卷3.掌握對立事件、

（10年9考）

2015?福建卷相互獨立事件的概

考點4其他類型的2024?北京卷、2023?全國新I卷、2021.北京卷、2020?江蘇卷率求解，會求古典概

分布列及期望方差2019?北京卷、2018?北京卷、2018?全國卷、2017?全國卷率、條件概率、全概

（10年9考）2017?江蘇卷、2016?全國卷、2015?山東卷率，同樣是高考命題

考點5條件概率、全熱點

概率公式、貝葉斯公4.要會概率統(tǒng)計的

2023?全國新I卷、2022.全國新I卷、2022?全國新II卷

式綜合運算及知識雜

（10年2考）糅問題

考點6求解數(shù)字樣

本特征及應用2023?全國乙卷、2021?全國乙卷、2015?廣東卷

（10年3考）

2024?全國甲卷、2023?全國新H卷、2023?北京卷、2020?北京卷

考點7概率統(tǒng)計的

2020?全國卷、2019?北京卷、2019?全國卷、2018?全國卷

實際應用與決策問題

2017?北京卷、2016?四川卷、2016?北京卷、2016?全國卷

（10年7考）

2016?全國卷、2016?全國卷、2015?陜西卷、2015?全國卷

考點8概率統(tǒng)計與

2023?全國新II卷、2021?全國新II卷

其他知識的雜糅問題

2020?江蘇卷、2019?全國卷

（10年4考）

分考點二精準練金

考點01獨立性檢驗為載體及其應用

1.（2024?全國甲卷?高考真題）某工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間

的產(chǎn)品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下:

優(yōu)級品合格品不合格品總計

甲車間2624050

乙車間70282100

總計96522150

⑴填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級品非優(yōu)級品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有99%的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品

的優(yōu)級品率存在差異？

⑵已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率P=。.5,設(shè)萬為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果

?>p+1.65j必則認為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認為生

產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（麗彩12.247）

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(^K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2.（2023?全國甲卷?高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應.實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中

20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼

養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.

⑴設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

（2）實驗結(jié)果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)相，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于根與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下

列聯(lián)表:

n<m>m

對照組□

實驗組□

（ii）根□據(jù)（i）□中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量

有差異.

n{ad-be)1

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

k。0.1000.0500.010

2

P(K>k0)2.7063.8416.635

3.（2022?全國新I卷?高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習

慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未

患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

⑴能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件"選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好"，2表示事件"選到的人患有該疾

P(B\A)P(B\A)

病".P(1|A)與尸(耳|Z)的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R.

（國）證明：

尸(A|B)P(A|B)

（國）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（A|B）,P（A|耳）的估計值，并利用5）的結(jié)果給出R的估計值.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

4.（2022?全國甲卷?高考真題）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和8兩家公司運營，為了解這兩家公司長

途客車的運行情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：

準點班次數(shù)未準點班次數(shù)

A24020

B21030

⑴根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；

（2）能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關(guān)?

n[ad-be)”

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

5.（2021?全國甲卷?高考真題）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較

兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：

一級品二級品合計

甲機床15050200

乙機床12080200

合計270130400

（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?

（2）能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

n(ad-bc)2

(〃+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

6.（2020?海南?高考真題）為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機

抽查了100天空氣中的PM2.5和SC）2濃度（單位：gg/m3）,得下表:

SO2

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估計事件''該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150〃的概率;

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表:

SO2

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?濃度有關(guān)?

n(ad-bc)2

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

7.（2020?山東?高考真題）為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機

抽查了100天空氣中的PM2.5和SO?濃度（單位：ng/m3）,得下表：

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估計事件"該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150"的概率;

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

[0,150](150,475]

@7習

(75,115]

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?濃度有關(guān)?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

8.（2020?全國?高考真題）某學生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛

煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）:

鍛煉

[0,200](200,400](400,600]

人次空氣質(zhì)量等級

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量:等級為1,2,3,4的概率;

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好"；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4,則稱這天

“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天

中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān)?

人次“00人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

威ad-bcf

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

9.（2017?全國?高考真題）（2017新課標全國II理科）海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)

量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）.其頻率分布直方圖如下:

八頻率“頻率

組距組距

舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

⑴設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件："舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量

不低于50kg”,估計A的概率；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量250kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

⑶根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）.

尸(次2》無)0.0500.0100.001於2_n(ad-bc￥

kr8416.63510.828，(?+b)(c+d)(a+c)(b+d)

考點02線性回歸直線方程為載體及其應用

1.（2022,全國乙卷?高考真題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種

樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位:

n?）,得到如下數(shù)據(jù):

樣本號i12345678910總和

根部橫截面積占0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量為0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計算得=0.0381y；=1.6158,=0.2474.

i=li=li=l

⑴估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

⑶現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已

知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.

-元）（》一①

附：相關(guān)系數(shù)'=IJ"，在頻4.377.

（x,-君方（》-9）2

Vi=li=l

2.（2020?全國?高考真題）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該

地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20

個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)（切，y/）（/=l,2,20）,其中H?和y/?分別表示第，個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單

20202020

22

位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量，并計算得\>,=60,ZM=1200,^（X;-X）=80,￡（x-y）=9000,

1=1z=li=\z=l

20

^（x,.-x）（X.-y）=800.

i=l

（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均

數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本（x/,y/川=1,2,…,20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物

數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

附：相關(guān)系數(shù)「=.2=1-414.

\歸（乙一一￡?，一寸一

V4=11=1

3.（2018?全國?高考真題）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額了（單位：億元）的折線圖.

投資額

1

1

1

A

1

1

1

1

1

1為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施

投資額，建立了y與時間變量r的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量，的值依次

為1,2,…,17）建立模型①：勺=-30.4+13.5/；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量/的值依次為1,2…,7）

建立模型②：299+17勺.

（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預測值；

（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.

4.（2017?全國?高考真題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取

16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的

尺寸服從正態(tài)分布

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在Q-3G“+3b）之外的零件數(shù)，求

尸（X21）及X的數(shù)學期望；

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在3-3b,“+3b）之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)

過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.

（0）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

（0）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

11616

經(jīng)計算得轉(zhuǎn)謠….976五2?0.212,其中篇為抽取的第i個零件

,4=1

的尺寸，，=1,2,…,16.

用樣本平均數(shù)元作為〃的估計值A(chǔ),用樣本標準差s作為。的估計值6,利用估計值判斷是否需對當天的生

產(chǎn)過程進行檢查？剔除3-33,。+36）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計〃和。（精確到0.01）.

附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（〃,b2）,則P（〃-3b<Z<〃+3b）=0.9974,0.997416?0.9592,

V0.008x0.09.

5.（2017?全國?高考真題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨

機抽取一個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸：

抽取次序12345678

零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

抽取次序910111213141516

零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

經(jīng)計算得元=:斗=997,s=-丁y=一驍元x0.212,

p616

￡（Z-8.5）2?18.439,￡（x,.-x）（z-8.5）=-2.78,其中占為抽取的第i個零件的尺寸，i=

V1=11=1

（1）求=…,16）的相關(guān)系數(shù)『，并回答是否可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行

而系統(tǒng)地變大或變小（若，<0.25,則可以認為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小）.

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（元-3s,元+3s）之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)

過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.

（回）從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？

（0）在（1-3s,元+3s）之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值

與標準差.（精確到0.01）附：樣本（4》）?=1,2,...,〃）的相關(guān)系數(shù)

6.（2016?全國?高考真題）下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

*

蒯

盤1.80

池1.60

田1.40

糕1.20

京1.00

更0.80

1234567

卅

<年份代碼，

注：年份代碼1-7分別對應年份2008?2014

（團）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與/的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明;

（團）建立y關(guān)于/的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.

附注：

77

參考數(shù)據(jù)：=9.32,￡4%=40.17,

1=1Z=1

'S（X-y）2=0.55,77=2.646.

i=l

￡儲一亍）（y一9）

參考公式：相關(guān)系數(shù)一=“

、歸（―）文（—2

V/=1/=1

回歸方程＞=°+%中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：務=『----------，a=y-b7.

Z=1

7.（2015?重慶?高考真題）隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長.設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存

款（年底余額）如下表：

年份20102011201220132014

時間代號r12345

儲蓄存款y(千億元)567810

(0)求y關(guān)于t的回歸方程

(0)用所求回歸方程預測該地區(qū)2015年。=6)的人民幣儲蓄存款.

n_n

Z(%-元)(%-,)Z%%-wcy

八b=--------------------=--------------

附：回歸方程、=&+0中｛￡(x,"行-國’

i=li=l

a=y-bx.

考點03賽事類(分配類)的分布列及期望方差

1.(2024?全國新II卷?高考真題)某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如

下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少

投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得

0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為0,

乙每次投中的概率為q,各次投中與否相互獨立.

⑴若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.

(2)假設(shè)o<p<q,

(i)為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？

(ii)為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？

2.(2023?全國新I卷?高考真題)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投

籃，若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中

率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

⑴求第2次投籃的人是乙的概率;

⑵求第i次投籃的人是甲的概率；

⑶已知：若隨機變量X,服從兩點分布，且P（X,=1）=1-尸（X,=0）=q/=l,2,則d之X,]=￡>,?記

前〃次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數(shù)為乙求E"）.

3.（2022?全國甲卷?高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，

負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學校在三個項目中獲勝

的概率分別為0.5,0,4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

⑴求甲學校獲得冠軍的概率；

⑵用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望.

4.（2022?北京?高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到9.50m以

上（含9.50m）的同學將獲得優(yōu)秀獎.為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽

成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙:9,85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.

⑴估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；

（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；

⑶在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）

5.（2021?全國新I卷?高考真題）某學校組織“一帶一路"知識競賽，有A,8兩類問題，每位參加比賽的同

學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束；若回答正確則

從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束4類問題中的每個問題回

答正確得20分，否則得。分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得。分，已知小明能正確回答

A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

6.（2020?全國?高考真題）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比

賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，

直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比

賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為

（1）求甲連勝四場的概率；

（2）求需要進行第五場比賽的概率；

（3）求丙最終獲勝的概率.

7.（2019?天津?高考真題）設(shè)甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為;.假定甲、乙兩位

同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.

（回）用X表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；

（國）設(shè)M為事件"上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)

恰好多2",求事件M發(fā)生的概率.

8.（2019?全國?高考真題）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，

先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,

乙發(fā)球時甲得分的概率為04各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球

該局比賽結(jié)束.

（1）求P（X=2）；

（2）求事件"X=4且甲獲勝”的概率.

9.（2017?山東?高考真題）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方

法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對

比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者4,4,4,A4,

As,4和4名女志愿者&,B2,B3,B"從中隨機抽取5人接受甲種心理暗不，另5人接受乙種心理暗示.

（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A!但不包含用的概率.

（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望EX.

10.（2016?山東?高考真題）甲、乙兩人組成"星隊"參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一

輪活動中，如果兩人都猜對，貝「星隊"得3分；如果只有一個人猜對，則"星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，

貝『‘星隊”得o分.已知甲每輪猜對的概率是3乙每輪猜對的概率是2:；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影

43

響.各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)"星隊"參加兩輪活動，求：

但）“星隊"至少猜對3個成語的概率；

（國）“星隊"兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學期望EX.

11.（2016?天津?高考真題）邢江中學高二年級某班某小組共10人，利用寒假參加義工活動，己知參加義工

活動次數(shù)為1，2,3的人數(shù)分別為2,4,4.現(xiàn)從這10人中選出2人作為該組代表參加座談會.

（1）記"選出2人參加義工活動的次數(shù)之和為4"為事件A,求事件A發(fā)生的概率；

（2）設(shè)X為選出2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

12.（2015?重慶?高考真題）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗，設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，

肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個.

（1）求三種粽子各取到1個的概率.

（2）設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望.

13.（2015?天津?高考真題）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有

來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員

中隨機選擇4人參加比賽.

（1）設(shè)A為事件"選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的

概率；

（2）設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

14.（2015?湖南?高考真題）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從

裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球

中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.

（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；

（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為.Y，求工?的分布列和數(shù)學期望.

15.（2015?安徽?高考真題）已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢

測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束.

（回）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；

（0）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的

檢測費用（單位：元），求X的分布列和數(shù)學期望.

X200300400

P

1

10A

16.（2015?福建?高考真題）某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖

定，小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6

個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直

至該銀行卡被鎖定.

（回）求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；

（0）設(shè)當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

考點04其他類型的分布列及期望方差

L（2024?北京?高考真題）某保險公司為了了解該公司某種保險產(chǎn)品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單

中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

假設(shè)：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司

賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨立.用頻率估計概率.

（1）估計一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；

⑵一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.

(i)記X為一份保單的毛利潤，估計X的數(shù)學期望E(x)；

(回)如果無索賠的保單的保費減少4%,有索賠的保單的保費增加20%,試比較這種情況下一份保單毛利

潤的數(shù)學期望估計值與(i)中E(X)估計值的大小.(結(jié)論不要求證明)

2.(2023?全國新I卷?高考真題)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投

籃，若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中

率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

⑴求第2次投籃的人是乙的概率；

⑵求第i次投籃的人是甲的概率；

⑶已知：若隨機變量X,服從兩點分布，且P(X,=1)=1-P(X,=0)=%i=l,2,則=記

前〃次(即從第1次到第"次投籃)中甲投籃的次數(shù)為y,求E(y).

3.(2021?北京?高考真題)在核酸檢測中合1"混采核酸檢測是指：先將g個人的樣本混合在一起進行1

次檢測，如果這女個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:

如果這上個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測，得到每人的檢測結(jié)

果，檢測結(jié)束.

現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準確.

(I)將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用"10合1"混采核酸檢測.

(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù)；

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為「.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的

分布列與數(shù)學期望E(X).

(II)將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用"5合1"混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總次數(shù)，

試判斷數(shù)學期望E(y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)

4.(2020?江蘇?高考真題)甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋

中各任取一個球交換放入另一口袋，重復。次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為恰有2個黑球的概

率為Pn,恰有1個黑球的概率為qn.

（1）求p】，q［和P2,q2；

（2）求2pn+qn與2pn-l+qn-l的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學期望E（X祖用"表示）.

5.（2019?北京?高考真題）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動支付已成為主要

支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100

人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布

情況如下：

交付金額（元）

(0,1000](1000,2000]大于2000

支付方式

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（國）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率;

（回）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000

元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

但）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)

他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果,能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000

元的人數(shù)有變化？說明理由.

6.（2018?北京?高考真題）電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評率0.40.20.150.250.20.1

好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨立.

（0）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;

（回）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率;

（回）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用"羨=1"表示第人類電影得到人

們喜歡，",=。"表示第左類電影沒有得到人們喜歡“=1，2,3,4,5,6）.寫出方差。芻，。芻，

少短的大小關(guān)系.

7.（2018?全國?高考真題）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品

作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)

果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為P（0<P<D,且各件產(chǎn)品是否為

不合格品相互獨立.

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為了（。）,求八。）的最大值點Po;

（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的P。作為P的值.已知每件產(chǎn)品

的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求EX;

（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？

8.（2017?全國?高考真題）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元,

未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫

（單位:回）有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25）,需求量為300瓶;如果

最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得

下面的頻數(shù)分布表：

最高[10,[15,[20,[25,[30,[35,

氣溫15)20)25)30)35)40)

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

⑴求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位:瓶）的分布列.

⑵設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位:元），當六月份這種酸奶一天的進貨量M單位:瓶）為多少時,丫的

數(shù)學期望達到最大值？

9.（2017?江蘇?高考真題）已知一個口袋有m個白球，n個黑球（m,nwN,n>2），這些球除顏色外全部

相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3,......,m+n的抽屜內(nèi)，其中第k次

取球放入編號為k的抽屜(k=l,2,3,......,m+n).

123m+n(1)試求編號為2的抽屜內(nèi)放

的是黑球的概率P；

(2)隨機變量x表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(x)是x的數(shù)學期望，證明

71

E(X)<-----------------

(m+n)(n-l)

10.(2016?全國?高考真題)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，

在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，

則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三

年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器

三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，〃表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).

(1)求X的分布列；

(2)若要求P(XV〃)N0.5,確定〃的最小值；

(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在〃=19與〃=20之中選其一，應選用哪個？

11.(2015?山東?高考真題)若n是一個三位正整數(shù)，且"的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)

字，則稱n為"三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).

在某次數(shù)學趣味活動中，每位參加者需從所有的"三位遞增數(shù)"中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)

則如下：若抽取的"三位遞增數(shù)"的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被

10整除，得一1分；若能被10整除，得1分.

⑴寫出所有個位數(shù)字是5的"三位遞增數(shù)"；

⑵若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學期望E（X）.

考點05條件概率、全概率公式、貝葉斯公式

1.（2023?全國新I卷?高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投

籃，若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0