重難點2-2抽象函數的綜合性質應用

明考情-知方向

三年考情分析2025年考向預測

近三年高考中抽象函數的性質考查主要集中在選擇預計2025年高考中，抽象函數的性質仍將以選擇

題和填空題中，偶爾也會在解答題中出現.題目難題和填空題的形式出現，且可能作為壓軸小題。題

度從基礎到較難不等，涉及多種函數性質的綜合應目將繼續考查學生的綜合推理能力.可能出現創新

用，且難度逐年上升，題目更加注重綜合推理能力，題型，如結合實際問題或新定義的函數性質進行考

常結合導數、不等式等知識點進行考查.查.

重難點題型解讀

題型1抽象函數的定義域求解題型6抽象函數的奇偶性問題

題型2抽象函數的值域求解題型7抽象函數的周期性問題

題型3抽象函數的函數值求解o—抽象函數的綜合性質應用-o題型8抽象函數的對稱性問題

題型9抽象函數解不等式問題

題型10抽象函數比較大小問題

題型1抽象函數的定義域求解

1、已知/'(X)的定義域，求/'(。(久))的定義域：若/'(x)的定義域為［a,切，貝!中aWg(x)<6,解得x

的取值范圍即為/(gCO)的定義域.

i

2、已知f(g(x))的定義域，求f(久)的定義域：若f(g(x))的定義域為［a,b］,則由aW%Wb確定g(x)的范圍，：

即為/(x)的定義域.

3、已知/(。(久))的定義域，求/'(h(x))的定義域：可先由/'(g(x))定義域求得/'(X)的定義域，再由/'(X)的定；

義域求得/(h(x))的定義域.

4、運算型的抽象函數：求由有限個抽象函數經四則運算得到的函數的定義域，其解法是：先求出各個函

數的定義域，再求交集.

注意：求抽象函數的定義域，要明確定義域指的是X的取值范圍，同一個f下括號內的范圍是一樣的.

1.（24-25高三上?福建三明?月考）已知函數y=/（x-1）的定義域是[-1,2],則y=/（l-3x）的定義域為（）

A.——,0B.——,3C.[0,1]D.——,1

【答案】C

【解析】因為函數y=1）的定義域是[-1,2],即xe[-l,2],則x—le[-2』；

對于函數y=/（l-3x）,可知1-3xe[-2』,解得xe[0,l],

所以函數y=/（l-3力的定義域為[0,1].故選：C.

2.（24-25高三上?內蒙古呼和浩特?月考）已知函數y=F（2x-l）的定義域是[T3],貝物=￡1的定義域

A/X+2

是（）

A.（-2,5]B.（-2,3]C.[-1,3]D.[0,2]

【答案】A

【解析】因為函數y=/（2x-l）的定義域是[T3],所以xe[-l,3],2x-1且-3,5],

所以y=/（久）的定義域為[-3,5],又因為x+2>0,即x>-2,所以-2<xV5,

所以函數y的定義域為（-2,5].故選：A.

"I)

3.（24-25高三上?安徽亳州?月考）函數〃x+1）的定義域為[-2,2],函數g（x）=貝Ug(x)的

J2尤一1一(x-2)

定義域為（）

A.[0,2)U(2,4]B.[-1,2)U(2,3]

C[1，2卜(2,4]D.[，2.2,引

【答案】C

【解析】由于〃x+l）的定義域為『2,2],故龍目-2,2],.“+1目—1,3],

〃尤T-l<x-l<3

解得;<兀且

因止匕g（x）=的定義域滿足2x-l>044]w2,

J2x-1,(x-2)

x—2w0

故定義域為g，2]u（2,4],故選：C

4.（24-25高三上?湖南邵陽?月考）已知函數丫=/&苫+1]的定義域是[2,4],則函數8（同=就治的定義

域為.

【答案】（2,3）.

【解析】因為函數y=/，耳+1）的定義域是[2,4],

所以2WxW4,^2<-x+l<3,

2

2<x<3

￡/（x）有意義，

因為g(%)=所以<冗一2>。,所以2vxv3,

ln(x-2)w0

所以函數g（尤）=最七的定義域為（2,3）.

題型2抽象函數的值域求解

!■記]

1

抽象函數的值域求解通常需要靈活運用多種方法.可以利用函數的單調性、奇偶性、周期性等性質來;

:;推斷值域；通過賦值法代入特殊值或參數簡化問題；借助數形結合法直觀觀察函數圖像的特征；或者

j利用不等式、導數等工具研究函數的極值和最值.此外，還可以通過構造具體函數模型、分離常數、

;整體代換等技巧來求解值域.\

1.（23-24高三上?上海?月考）已知函數y=的值域為[-2,2],則函數y=/（2x+l）的值域為.

【答案】[-2,2]

【解析】函數y=/（2x+i）的圖象是通過一下操作得到的：

首先將函數y=/⑺上所有點的橫坐標縮小到原來的!得到y=〃2x）,

然后將函數y=〃2x）的圖象向左平移g個單位得到函數y=/（2x+l）的圖象，

以上操作過程中不改變函數圖象的“高度”，

也就是說函數y=〃2x+l）的值域和函數y=/（x）的值域一樣，都是[-2,2].

故答案為：

2.(24-25高三上?河南?期中)已知函數/(無)是定義在[-。,。]上的圖象連續不間斷的奇函數，且

{y|y=/(-?)，e[0,?]}=[m,M],若M2-m,則/(x)的值域是()

A.[m,M]B,C.D.

【答案】B【解析】因為{y|y=/(x),xe[0,a]}=D",M],可知〃?<M,

又因為/(x)為奇函數，且連續不斷，貝|〃0)=0,則0叩〃.閡，

且AlN—m,可知m<0vM,

由奇函數對稱性可知：時，~M<f(x)<-m,

S.-M<0<-m<M,—M<m,

所以/(%)在定義域[-a,a]的值域為M]=.故選：B.

3.(24-25高三上?山西晉中?月考)已知函數Ax)的定義域為(0,+s),若對于任意的x,ye(0,+8),都有

/?+/(>)=f(xy)+2,當x>l時,都有/(x)>2,且/⑶=3,則函數f(x)在區間口27]上的最大值為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】令元=y=l,則/⑴=2,令x=y=3有/?(3)+f(3)=f(9)+2,

又/'⑶=3,所以"9)=4,

令x=3,y=9,所以〃3)+/(9)=/(27)+2,所以"27)=5,

設9>%>0,則三>1,所以/士|>2,

所以〃xjT(z)=〃6+=2-/^<0,

貝廳(不)</伍)，故在(。，包)上單調遞增，

所以函數Ax)在區間[1,27]上的最大值為/(27)=5.故選：D.

4.(24-25高一上.河北邯鄲?期中)4知函數F(x)的定義域為R,M/(x)+#(l-x)+l=0,則函數/(無)的最

大值為()

A.-B.-C.—D.一

2345

【答案】B

【解析】因為/(幻+9(1_幻+1=0(1),將1—x置換x解得：/(l-x)+(l-x)/[l-(l-x)]+l=0(2),

(1)_彳(2):[(無)=1

X-X+1

設％—1=￡,當[=0時，f(x)=0;

當，時，"招二八有二丁；，

t

又因為f+；e(—co,—2][2,+oo),

當，=1時，取得最大值，/?=|,即函數最大值為g,故選：B.

題型3抽象函數的函數值求解

00@0

以抽象函數為載體的求值問題的常見形式，是給出函數滿足的特殊條件，指定求出某處的函數值或某抽象

代數式的值，常用賦值法來解決.

常見的賦值情況：(1)第一層次賦值：常常令字母取-2,-1,0,1,2等；(2)第二層次賦值：若題中有條件

/(%)=/，則再令字母取為；第三層次賦值：拆分賦值，根據抽象式子運算，把賦值數拆成某兩個值對

應的和或積(較多)或者差或商(較少).

1.(24-25高三上?江西?月考)已知函數的定義域為R,且/(x+y)—〃x-y)=2〃y),則〃0)=()

A.0B.1C.2D.-1

【答案】A

【解析】令尸0,貝!]〃尤+0)-/(x—O)=2/(O)nf(O)=。.故選：A

2.(24-25高三上?山東濰坊?期中)已知定義在R上的函數滿足y+1)-〃x+y+l)=〃x)〃y),

且/⑴=2,則〃2)+〃3)+〃4)=()

A.2B.0C.-2D.-4

【答案】C

【解析】令x=y=l可得〃1)一〃3)=〃1)"⑴，即2-〃3)=22,解得〃3)=-2,

令無=1,y=0可得〃1)〃0)=〃2)-〃2)=0,貝廳(0)=0,

令元=0,y=l可得/⑼―〃2)=〃0)〃1)=0,則f(2)=f(0)=0,

令x=2,"1可得/⑵-〃4)=f(2)f(l)=0,可得"4)="2)=0,

因此，〃2)+〃3)+〃4)=-2.故選：C.

3.(24-25高三上?廣西?月考)已知函數的定義域為R,f網=-2+6,且

〃孫)=〃x)〃y)+2x+2y—6,則〃-2)=()

A.-2B.-4C.20-2D.-272+2

【答案】B

【解析】因為〃孫)=〃x)〃y)+2x+2y-6,

令x=6,y=\,則/(0xl)=/(及)〃1)+20+2_6,

即=/(碼〃1)+2垃一4,

因為/(應)=一2+虛，所以〃1)=—1,

令x=-0,y=l,則/(卜后卜1)=八-0"⑴-2五+2-6,

BP/(-72)=-/(-V2)-2V2-4^</(-V2)=-2-V2,

令尤=-0?=血,則/《-正卜0)=八-四)/(0)-2a+20-6

即〃-2)=/卜碼/(0)-6=卜2-礎-2+應卜6=-4故選：B.

4.(24-25高三上?河南?期中)已知函數〃無)的定義域為R,且〃尤+y)+〃Ay)=2/(尤)+2〃y),/(1)=1,

201

設q=/(祖〃eN*),則Z----7=()

k=2ak~V

10c19「589c531

A.—B.—C.------D?-----

2140840760

【答案】c

【解析】由〃x+y)+〃x_y)=2/(x)+2/3，/(1)=1,

令x=y=0,得〃0)+〃0)=2/(0)+2/(0),即40)=0,

令尤=y=l,得〃2)+〃0)=2/(1)+2〃1),即〃2)=4=22,

令x=2,y=l,得*3)+/⑴=242)+2/(1),即〃3)=9=3?,

令x=3,y=l,得八4)+〃2)=2/(3)+2〃1),即“4)=16=42,

同理可得/(5)=52,.6)=62,L,420)=202,

201J11Jill1

〃2_1a3~l〃4一1。20一122-132-142-1202-1

111+^^=斗11111

=-----+-------+------+—I——I—-+

1x32x43x519x212132435

故選：C.

題型4抽象函數的解析式求解

|00目式

[①換元法：用中間變量表示原自變量X的代數式，從而求出犬無).

j②湊合法：在已知/(g(x))=h(x)的條件下，把％(%)并湊成以g(x)表示的代數式，再利用代換即可求/(%)；

:③待定系數法：已知函數類型，設定函數關系式，再由已知條件，求出出關系式中的未知系數.

；④利用函數性質法：主要利用函數的奇偶性，求分段函數的解析式.

i⑤賦值法：給自變量取特殊值，從而發現規律，求出的表達式.

;⑥方程組法：一般等號左邊有兩個抽象函數(如/(久)/(-久))，將左邊的兩個抽象函數看成兩個變量，變換

變量構造一個方程，與原方程組成一個方程組，利用消元法求的解析式.

1.(24-25高三上?全國?專題練習)設/(X)是定義在R上的函數，且滿足對任意x,y,等式

〃2yT)=-2〃x)+3y(4x-y+3)恒成立，則的解析式為.

【答案】/(x)=3x(x+l)

【解析】“X)是定義在R上的函數，且對任意x,y,〃2y-x)=-2"x)+3y(4x-y+3)恒成立，

.,.令y=x,/(2x-x)=-2/(x)+3%(4x-x+3),

即/(x)=-2/(尤)+3無(3x+3),3/(%)=3x(3尤+3),.,./(x)=3x(x+l).

故答案為：〃x)=3x(x+l)

2.(24-25高三上?福建泉州?模擬預測)已知函數〃尤)滿足〃x+y)=〃x)+〃y)+2u，若〃1)=1,則

/(25)=()

A.25B.125C.625D.15625

【答案】C

【解析】解法一：由題意取x=〃(〃eN),y=l,可得

F(〃+l)=/(n)+/(l)+2n=/(/7-l)+2/(l)+2(n-l)+2?

=〃“-2)+3/1(1)+2(〃-2)+2(〃-1)+2〃=(n+l)/(l)+2(l+2++ri)=(n+l)/(l)+n(7i+l)

即知/(?)=nf(l)+n(n-l)=n+n(?-l)=n2,則/(25)=625.

解法二：令g(x)=〃x)-無二

則g(x+y)=/(x+y)_(尤+y)2=/(x)+/(y)+2孫一(x+yp=/(x)+/(y)-尤2_y2=g(x)+g(y),

所以g(〃)=g("T)+g⑴=-="g⑴=M"1)-F)=O,

即g(")=〃")一"2=0,所以"〃)=/,則"25)=625.

解法三：由〃%+曰=〃力+〃封+2口可構造滿足條件的函數〃0=/,

可以快速得到“25)=625.故選：C.

3.(23-24高三下?四川德陽?模擬預測)已知函數/(X)的定義域為R,且

/(x+y)-2/(x-y)+/(x)-2/(y)=^-2,貝葉(2024)=()

A.0B.1C.2024D.2025

【答案】D

【解析】令x=y=0可得—2/(0)=-2,所以"0)=1,

再令％=0可得〃y)—2〃—y)+〃0)—2〃y)=y—2,

即-2/㈠)=y-3①，

將上式中的>全部換成T可得-/(-封-2〃y)=-y-3②，

聯立①②可得〃y)=y+l,

所以〃2024)=2024+1=2025,故選：D

4.(24-25高三上?全國?專題練習)0)己知定義在R上的函數〃x)滿足〃r)+2〃x)=x+l,求〃尤)的

解析式.

(2)若/(x)滿足關系式/(x)+2U=3無，求的解析式.

(3)己知定義在R上的奇函數/(x)與偶函數g(x)滿足關系式/(尤)+g(x)=/+x+a,求/(x)與g(x)的解

析式.

【答案】(1)〃x)=x+g;(2)/(x)=|-x(^0)；(3)屐

【解析】(1)用T代替已知條件中的尤，得〃x)+2〃r)=r+l.

聯立方程組|門f(-)xL\+2(f\(xL\=+x+i\，消去“/一、江得小，)、1

(2)用工代替已知條件中的x,得/仕］+2/(尤)=3.

/(x)+2/[l]=3x

CW2

聯立方程組＜,消去得/(%)=(一%(%￡。).

(3)用一不代替已知條件中的工,得/(—%)+g(—x)=%2一X+Q.

由了(%)是奇函數，g(x)是偶函數，得一/(x)+g(x)=f—x+a.

f(%)+g(x)=x2+x+a/(x)=x

聯立方程組＜，解得

-f(x)+g(x)=x2-x+ag(x)=尤2+ci

題型5抽象函數的單調性問題

判斷抽象函數單調性的方法：

(1)湊：湊定義或湊已知，利用定義或已知條件得出結論.

(2)賦值：給變量賦值要根據條件與結論的關系.有時可能要進行多次嘗試.

①若給出的是“和型”抽象函數/"(X+y)=…，判斷符號時要變形為：

fM-/(%1)=/((%2-%1)+%1)-/(%1)或/(%)一/(匹)=/(尤2)—/((七一%)+%)；

②若給出的是“積型”抽象函數〃孫)=…，判斷符號時要變形為：

/U2)-/(^l)=/-^1―/(6)或/(尤2)—/(%)=?/"(』)—/^2—?

【x"IX1J

1.(23-24高三下?湖南常德?三模)已知奇函數y=/(x)是定義域為R的連續函數，且在區間(0,m)上單調

遞增，則下列說法正確的是()

A.函數y=/(x)+尤2在R上單調遞增

B.函數y=/(x)-x2在(0,+s)上單調遞增

C.函數y=Y/(x)在R上單調遞增

D.函數y=/里在(0,+8)上單調遞增

X

【答案】C

【解析】因為y=/(x)是奇函數，且在區間(0,+8)上單調遞增，

所以y=/(x)在(-8,0)上也為單調遞增函數，

對于A：不妨令/(%)=%,y=/(x)+%2=%+尤2,

所以y=/(x)+Y在(一雙一g］單調遞減，在1；,+，!單調遞增，故A錯誤；

對于B：不妨令y(x)=x,y=f(x)-x2=x-x2+：，

所以y=/(x)-V在［-雙；)單調遞增，在單調遞減，故B錯誤；

對于C：y=x2f(x),其定義域為R,

又(-x)2/(-x)=f2/(x)，所以y=爐/(工)是奇函數，

取0<再<3，則0<x；<x；,0</(x1)</(x2),故其/&)<￥/(9)

所以%=其/(可)-考〃%)<。，則函數y=x"(x)在(0,+8)為遞增函數；

所以函數y=爐/0)在(Y?,0)也為遞增函數，且當x=0時，y=x2f(x)=0,

所以y=//(x)在R上單調遞增，故C正確；

對于D：不妨令/(%)=無，>=粵===工/戶0,

XXX

由反比例函數的單調性可知y=駕在(9,0)和(。,+e)上單調遞減，故D錯誤；故選：C.

2.(24-25高三上?全國?專題練習)定義在R上的函數/(X)滿足對任意實數X，y都有/(x+y)=/(x)+〃y)-1,

若尤>。時，/(^)>1,則〃x)()

A.先單調通減后單調遞增B.在R上單調遞增

C.在R上單調通減D.單調性不確定

【答案】B

【解析】任取玉<々，令x=%-占,y=X］,

則//)-/(%)=/(々一%+五)一/(%)=/(9-%)+/(占)一1一/(不)=/(尤2—占)一1，

因為龍2-尤1>。，所以-不)>1,所以/(馬)一/(可)>0,

所以〃尤)在R上單調遞增.故選：B.

3.(24-25高三上?全國?專題練習)函數的定義域為(0,+e),且對一切x>0,y>0者B有=/⑺-〃>),

當彳>1時，有〃x)>0.

⑴求〃1)的值；

(2)判斷〃尤)的單調性并證明；

【答案】⑴0;⑵〃力在(0,+力)上是增函數,證明見解析

【解析】(1)/(i)=/Q^|=/(i)-/(i)=o.

(2)在(0,+e)上是增函數.

證明：設0<%氣，貝岫d=/(x)-/(y),得=/

因為點>i,所以

所以/伍)一/&)>0,即—)>〃％),

即〃尤)在(0,+句上是增函數.

4.(24-25高一上?甘肅蘭州?月考)/(X)是定義在R上的函數,對x”R都有〃尤+y)=/(x)+f(y),且當

尤>0時，”尤)<0,且，(一l)=L

⑴求/(0)］(-2)的值；

⑵求/(x)在［-2,4］上的最值.

【答案】⑴〃0)=0,〃-2)=2；⑵“"2=2,“4小-4.

【解析】⑴令x=y=0,則/(0)=/(0)+/(0),"(0)=0,

V/(-l)=l,.?./(-2)=/(-1)+/(-1)=2,

(2)令丫=一了，則〃x—x)=/(x)+/(—x),/(-x)+/(x)=/(O)=O,

???〃r)=—〃x)，尤)是奇函數，

.?./(2)=-/(-2)=-2,/./(4)=/(2)+/(2)=-4,

任取々>王，/仇)一〃耳)="々)+/(-%)=/(尤2-%),

,,?%2-^>0,/./(x2-^)<0,A/(x2)-/(.iq)<0,即/伍)<〃占)，

/(x)在R上為減函數，

??"(尤)在［―2,4］上為減函數，”(無□=/(一2)=2,/(^?=/(4)=^1.

題型6抽象函數的奇偶性問題

，判斷抽象函數奇偶性的關鍵是得到/(x)和/(-x)的關系，解題時要對有關變量進行賦值，使其最后只保

留“X)和/(f)的關系.

【注意】證明抽象函數奇偶性的實質是賦值，分析出賦值的規律.

(1)可賦值，得到一些特殊點的函數值，如/XO),/⑴等；

(2)嘗試適當的換元字母，構造出x和-X,如/'(x+y)可令y=—X,/(孫)可令y=-1等；

(3)通過各類抽象函數的式子來積累一定的賦值技巧.

1.(24-25高三上?重慶?月考)己知函數“X)的定義域為R,則“j=f(x)為奇函數”是“y=|〃》)|為

偶函數''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】依題意，函數的定義域為R,

若“y=/(%)為奇函數”，則對于y=|/(元)1，

有V(-到=卜〃尤=尤,即"y=|/(x)|為偶函數”.

若“y=|/W|為偶函數"，如y=|尤3則y=V為偶函數，

不能得到“y=/(x)為奇函數”,

所以“y=/(x)為奇函數”是“y=|/(尤)|為偶函數”的充分不必要條件.故選：A

2.(24-25高三上?山東濟寧?期中)已知函數的定義域為R,滿足〃x+y)—"(x)+〃y)]=2024,則

下列說法正確的是()

A.“X)是偶函數B.“X)是奇函數

C./(力+2024是奇函數D.f(x)+2024是偶函數

【答案】C

【解析】因為/(x+y)-[/(x)+〃y)]=2024,

所以令尤=>=0,可得/(0)=_2024,

令丫=一無，貝4(0)—)=2024,

所以?=-/(%)-4048,

則〃尤)既不是奇函數又不是偶函數，

且〃-力+2024=-[/(%)+2024],

所以/(x)+2024是奇函數.故選：C

3.(24-25高三上?甘肅白銀?月考)(多選)已知函數””的定義域為R1(x+y)T(x)-〃y)=-2Ay,〃l)=3,

則()

A.f(O)=0B./(-2)=-12

C.y=/(x)+無2是偶函數D.y=/(x)+V是奇函數

【答案】ABD

【解析】令x=y=o,可得"0)=0,故A項正確；

令無=y=l,可得/⑵=4,令x=-2,y=2,

可得〃0)-”2)-〃-2)=8,則〃-2)=-12,故B項正確；

由〃x+y)+2孫=〃x)+/(y),

可得/(x+y)+(x+y)2=/(力+/+/(7)+寸,

令8⑺=/⑺+f，貝ijg(x+_y)=g(x)+g(y),

令x=y=o,可得g(o)=o,

令丫=一龍，貝I]g(o)=g(x)+g(—x)=0,

所以g(x)是奇函數，即y=/(x)+x2是奇函數，故C項錯誤，D項正確.故選：ABD

4.(24-25高三上?全國?專題練習)(1)已知函數〃x),久6R,若Va,b&R,都有/(a+b)=/(a)+/(b),

求證：為奇函數；

(2)已知函數"X),xER,若％,々eR，都有/(菁+9)+/(玉—々)=2/(可>/(%2)，求證：“X)為

偶函數；

(3)設函數〃尤)的定義域為(一口)，證明：〃x)+/(r)是偶函數，/⑺-/(f)是奇函數.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析

【解析】(1)令4=0,則/。)=〃0)+/修)，.,"(。)=0.

令。=-工，b=x,則/(。)=/(一%)+/(無)，：.f(-x)=-f(x).

又〃尤)的定義域為R,.?./(>)是奇函數.

(2)令玉=0,%=x,得〃x)+〃-x)=2〃0)/(x)①，

令尤2=。，xx=x,得/(x)+/(x)=2/(O)./(x)②,

由①②得/(X)+/(T)=/(X)+/(X),BP/(-%)=/(x),

又〃尤)的定義域為R,.?./(%)是偶函數.

(3)xe(-Z,/),A-%￡(-/,/),則〃-x)的定義域也是(-/,/).

設歹(x)=/(x)+/(-x),G(x)=/(x)-/(-x),

則F(x)與G(x)的定義域都是(-/,/),關于原點對稱，

尸㈠)=/(f)+/(_(T))=/(f)+/⑺=e⑺，

G(-x)=)-/(-(-X))=/(-尤)-/(X)=-[/(x)-"-X)]=-G(x),

???尸(”為偶函數，G(x)為奇函數，

即〃力+/(—x)是偶函數，/(X)-4—x)是奇函數.

題型7抽象函數的周期性問題

00?圖

函數周期性的常用結論（。是不為0的常數）

(1)若/(X+Q)=/(X),則T=a；(2)若/(x+a)=/(x—a),則T=2a；

(4)若/(x+a)=y^y,貝UT=2a；

(3)若/(x+a)=—/(x),貝！J7=2a；

(5)若/(%+〃)=―j,則T=2a；(6)若/(x+a)=/(x+b),則7=,一可(a手b).

1.(24-25高三上?廣東廣州?月考)已知函數/(無)的定義域為R,且/(x+y)+/(x-y)=^/(x)/(y),/(D=-2,

2024

則>>6)=()

k=l

A.-4B.4C.0D.-2

【答案】A

【解析】函數/(x)的定義域為R,Mf(x+y)+f(X-y)=if(x)f(y),f(l)=-2,

貝IJVxwR,y=1,貝U/(尤+1)+/(x—1)=g/(尤)/(1)=-/(x)

于是/(x+2)+/(x)=_/(x+l),因此/(x+2)-1),BPf(x+3)=-f(x),

則f(x+6)=-/(x+3)=f(x),函數/(x)是周期為6的周期函數，

取x=l,y=O,#/(1)+/(1)=1/(1)/(0),gp-/(0)=-4,解得"0)=4,

取x=l,y=l,得〃2)+/(0)=：〃1)八1),即/(2)+4=2,解得/(2)=-2,

6

而/(4)=-/(1),/(5)=-f(2),f(6)=一/⑶，因此￡f(k)=0,

k=\

20246

所以￡了伏)=3372/(幻+/(1)+/(2)=-2+(-2)=一4.故選：A

k=\k=l

2.(24-25高三上?福建福州?月考)已知函數f(x)滿足〃1)>。，/(2)=1,

/(x)/(y)=/(x+y)+/(x-y),(x,yeR),則/(50)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】由題，〃x)〃y)=〃x+y)+/'(x—y),“2)=1，

令y=2,可得〃x)=/a+2)+〃x—2),

貝i]〃x+2)=/(x+4)+/(x)=〃x+4)+〃x+2)+/(x-2),

即4)=-"x—2),即“x+6)=,

所以〃x+12)=〃x),函數是周期為12的周期函數，

則〃5。)=〃2)=1.故選：C.

3.(24-25高三上?河北承德?期中)設/(X)為定義在整數集上的函數，/(1)=1,/(2)=0,/(-1)<0,對任

2024

意的整數X,y均有〃尤+y)=/(x)F”y)+/(iF)f(y),則?(產)=()

Z=1

A.0B.1012C.2024D.4048

【答案】B

【解析】令x=y=l,則解析=2〃1)40)=2f(O)=0,.?./(())=0.

令—1,則/⑴=[/(2)J+[/(-1)]2=[/(-I)]2=1,

又/'(-1)<0,.?"(-!)=-1.

令y=i,貝廳(x+i)=/(r+i),

...函數/(X)的圖象關于直線X=1對稱.

令y=T,/(X-1)=f(x)f(2)+/(I-x)/(-l)=-/(I-x),

...f(X)=-f(.-x)

???”尤)的圖象關于點(。,0)對稱.

f(x+2)=/(-x)=-/(%)=f(x-2),

.??/(x)是周期T=4的函數.

又，(0)=0,/(1)=1,/(2)=0,/(-1)=-1,

...當x為偶數時，/?=0,

當〃為偶數時，"2也為偶數，此時

當〃為奇數時，令”=2左+1,獲Z,則/?("2)=/(4/+4%+1)=/⑴=1.

.?./(12)+/(22)++/(20242)=1012.故選：B.

4.(23-24高三上.江蘇淮安?月考)函數/(尤)的定義域為R,對任意x,yeR,恒有

/(x)+/(〉)=2/(亨)寧)若/⑴=：,.

【答案】0

■ell.、門x+yx-yr,口.

［解析］設相=~~,n=―乙，可得無=/+?、=根—幾，

22

因為/(X)+/。)=2/［亨］/］寧)，即f(m+?)+/(m-?)=2/(m)./(/i),

若/⑴=g，令加=1,九=0,則/■(1)+〃1)=2〃1)"(0),所以"0)=1；

令切=1，"=1，則/(2)+/(0)=2r⑴，即"2)+1=g所以“2)=-；；

即〃所以〃)

令根=2,〃=1,貝lJ/(3)+f(D=2f(2)/(l),3)+g=_g3=-1

即：所以八)

令機=3,〃=1,則/(4)+〃2)=2八3)"1),/(4)_=-14=_3

即〃：所以)；；

令根=4,〃=1,則/(5)+/(3)=2/(4)/(1),5)-1=-"5=

即；；所以；

令機=5,〃=1,貝U/(6)+/(4)=2f(5)/(1),/(6)-="6)=1

即：所以)；；

令根=6,幾=1,則/(7)+/(5)=2/(6)/(1),7(7)+=147=

即所以

令m=7,n=',則〃8)+/(6)=2/(7)/(1),"8)+1=:"8)=4,

由此可得/(i),ieN*的值有周期性，最小正周期為6,

且7?。)+〃2)+/(3)+〃4)+〃5)+〃6)=0,

2022

所以￡/(〃)=337[〃1)+〃2)+/(3)+〃4)+〃5)+〃6)]=O.

n=\

題型8抽象函數的對稱性問題

i返

I10000

1、軸對稱：

i

(1)函數y=/(x)關于直線X-a對稱=/(x+4)=f(a-x)=/(x)=f(2a-x)o/(-x)=f(2a+x)

i

(2)函數y=/(%)關于直線%=巴匚對稱o/(x+〃)=/(0—x)=/(%+b).

2

2、中心對稱：

(1)函數y=/(x)關于點(。,0)對稱==一于Qa一九)=f(x+d)=一于(a-x)；

i

(2)函數y=/(x)關于點(o/)對稱=/(%+〃)=/(〃一尤)=/(—%)+/(為+x)=2Z?.

i

；3、函數的奇偶性和對稱性的關系：

(1)若〃x+a)為奇函數，則〃尤)關于(a,0)對稱；

(2)若〃x+a)為偶函數，則〃尤)關于x=a對稱；

i

(3)若/(。沈+e)為奇函數，則了(%)關于(％0)對稱；

i

i

(4)若/(g+0)為偶函數，則〃尤)關于l=0對稱.

1.(24-25高三上?全國?專題練習)已知連續函數〃x)的定義域為R,若〃x+y)=〃x)+〃y)+2A；y-2,

且/(1)=4,則函數y=/(x)+x的圖象的對稱軸為直線()

A.x=-B.x=--C.x=lD.x=—1

22

【答案】D

【解析】由題設〃x+y)+(x+y)=〃x)+x+〃y)+y+2沖-2,

令g(x)=〃x)+x,則g(x+y)=g(x)+g(y)+2“-2,且g⑴=5,

若x=y=0,貝lJg(0)=2g(0)-2ng(0)=2,顯然g(0)Wg⑴，A排除；

若x—則g(o)=g(D+g(_i)一4ng(-1)=1,顯然g(0)wg(—1),B排除；

若x=y=l,則g(2)=2g(l)=10,顯然g(0Wg(2),C排除;故選：D

2.(24-25高三上?山西太原?期中)(多選)已知定義域為Z的函數/(