專題19等腰三角形與直角三角形（28題）

一、單選題

1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在ABC中，A90，ABAC6，D為邊BC的中點，點E，F

分別在邊AB，AC上，AECF，則四邊形AEDF的面積為（）

A．18B．92C．9D．62

2．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在Rt△ABC中，D是AC的中點，BDC60，AC6，則BC的長是

（）

A．3B．6C．3D．33

3．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，將ABC繞點A順時針旋轉90得到VADE，點B，C的對應點分別

為點D，E，連接CE，點D恰好落在線段CE上，若CD3，BC1，則AD的長為（）

A．5B．10C．2D．22

4．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在扇形AOB中，AOB80，半徑OA3，C是AB上一點，連

接OC，D是OC上一點，且ODDC，連接BD．若BDOC，則AC的長為（）

πππ

A．B．C．D．π

632

5．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）小明同學手中有一張矩形紙片ABCD，AD12cm，CD10cm，他

進行了如下操作：

第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平．

第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△ADN沿AN折疊得到△ADN，AD交折痕MN于點E，則線段EN

的長為（）

16916755

A．8cmB．cmC．cmD．cm

24248

6．（2024·福建·中考真題）小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中OAB

與ODC都是等腰三角形，且它們關于直線l對稱，點E，F分別是底邊AB，CD的中點，OEOF．下

列推斷錯誤的是（）

A．OBODB．BOCAOB

C．OEOFD．BOCAOD180

7．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程x210x210的兩個根，則這個三角形

的周長為（）

A．17或13B．13或21C．17D．13

8．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在ABC中，C90,B30，以點A為圓心，適當長為

1

半徑畫弧分別交AB,AC于點M和點N，再分別以點M,N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于

2

點P，連接AP并延長交BC于點D．若ACD的面積為8，則△ABD的面積是（）

A．8B．16C．12D．24

9．（2024·安徽·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，ACBC2，點D在AB的延長線上，且CDAB，則

BD的長是（）

A．102B．62C．222D．226

10．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，等邊ABC鋼架的立柱CDAB于點D，AB長12m．現將鋼架立

柱縮短成DE，BED60．則新鋼架減少用鋼（）

A．24123mB．2483mC．2463mD．2443m

11．（2024·天津·中考真題）如圖，ABC中，B30，將ABC繞點C順時針旋轉60得到DEC，點A,B

的對應點分別為D,E，延長BA交DE于點F，下列結論一定正確的是（）

A．ACBACDB．AC∥DE

C．ABEFD．BFCE

二、填空題

12．（2024·浙江·中考真題）如圖，D，E分別是ABC邊AB，AC的中點，連接BE，DE．若

AEDBEC,DE2，則BE的長為

13．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A3,0，B0,2，過點B作y軸

的垂線l，P為直線l上一動點，連接PO，PA，則POPA的最小值為．

14．（2024·天津·中考真題）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A，F，G均在格點上．

（1）線段AG的長為；

（2）點E在水平網格線上，過點A，E，F作圓，經過圓與水平網格線的交點作切線，分別與AE，AF的

延長線相交于點B，C，ABC中，點M在邊BC上，點N在邊AB上，點P在邊AC上．請用無．刻．度．的直

尺，在如圖所示的網格中，畫出點M，N，P，使△MNP的周長最短，并簡要說明點M，N，P的位置

是如何找到的（不要求證明）．

15．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，等腰ABC中，ABAC2，BAC120，將ABC沿其底邊中

1

線AD向下平移，使A的對應點A滿足AAAD，則平移前后兩三角形重疊部分的面積是．

3

16．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）矩形ABCD的面積是90，對角線AC，BD交于點O，點E是BC邊的

三等分點，連接DE，點P是DE的中點，OP3，連接CP，則PCPE的值為．

17．（2024·山東·中考真題）如圖，已知MAN，以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別與AM、AN

1

相交于點B，C；分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧在MAN內部相交于點P，

2

1

作射線AP．分別以A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點D，E，作直線DE分別

2

與AB，AP相交于點F，Q．若AB4，PQE67.5，則F到AN的距離為．

18．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）已知矩形紙片ABCD，AB5，BC4，點P在邊BC上，連接AP，

將ABP沿AP所在的直線折疊，點B的對應點為B，把紙片展平，連接BB，CB，當VBCB為直角三角

形時，線段CP的長為．

19．（2024·四川內江·中考真題）如圖，在ABC中，ABC60，BC8，E是BC邊上一點，且BE2，

點I是ABC的內心，BI的延長線交AC于點D，P是BD上一動點，連接PE、PC，則PEPC的最小

值為．

5

20．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，在ABC中，AB5，tanC2，則ACBC的最大值為．

5

三、解答題

21．（2024·陜西·中考真題）如圖，已知直線l和l外一點A，請用尺規作圖法，求作一個等腰直角ABC，

使得頂點B和頂點C都在直線l上．（作出符合題意的一個等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不寫作

法）

22．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）數學老師在課堂上給出了一個問題，讓同學們探究．在Rt△ABC中，

ACB90,BAC30，點D在直線BC上，將線段AD繞點A順時針旋轉60得到線段AE，過點E作

EF∥BC，交直線AB于點F．

（1）當點D在線段BC上時，如圖①，求證：BDEFAB；

分析問題：某同學在思考這道題時，想利用ADAE構造全等三角形，便嘗試著在AB上截取AMEF，

連接DM，通過證明兩個三角形全等，最終證出結論：

推理證明：寫出圖①的證明過程：

探究問題：

（2）當點D在線段BC的延長線上時，如圖②：當點D在線段CB的延長線上時，如圖③，請判斷并直接

寫出線段BD，EF，AB之間的數量關系；

拓展思考：

（3）在（1）（2）的條件下，若AC63，CD2BD，則EF______．

23．（2024·江西·中考真題）追本溯源：

題（1）來自于課本中的習題，請你完成解答，提煉方法并完成題（2）．

（1）如圖1，在ABC中，BD平分ABC，交AC于點D，過點D作BC的平行線，交AB于點E，請判

斷BDE的形狀，并說明理由．

方法應用：

（2）如圖2，在YABCD中，BE平分ABC，交邊AD于點E，過點A作AF⊥BE交DC的延長線于點F，

交BC于點G．

①圖中一定是等腰三角形的有（）

A．3個B．4個C．5個D．6個

②已知AB3，BC5，求CF的長．

24．（2024·山東威海·中考真題）感悟

如圖1，在ABE中，點C，D在邊BE上，ABAE，BCDE．求證：BACEAD．

應用

（1）如圖2，用直尺和圓規在直線BC上取點D，點E（點D在點E的左側），使得EADBAC，且

DEBC（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）如圖3，用直尺和圓規在直線AC上取一點D，在直線BC上取一點E，使得CDEBAC，且

DEAB（不寫作法，保留作圖痕跡）．

1

25．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知ABC是等腰三角形，ABAC，MANBAC，MAN

2

在BAC的內部，點M、N在BC上，點M在點N的左側，探究線段BM、NC、MN之間的數量關系．

（1）如圖①，當BAC90時，探究如下：

由BAC90，ABAC可知，將△ACN繞點A順時針旋轉90，得到ABP，則CNBP且PBM90，

連接PM，易證△AMP≌△AMN，可得MPMN，在Rt△PBM中，BM2BP2MP2，則有

BM2NC2MN2．

（2）當BAC60時，如圖②：當BAC120時，如圖③，分別寫出線段BM、NC、MN之間的數量關

系，并選擇圖②或圖③進行證明．

26．（2024·北京·中考真題）已知MAN045，點B，C分別在射線AN，AM上，將線段BC

繞點B順時針旋轉1802得到線段BD，過點D作AN的垂線交射線AM于點E.

(1)如圖1，當點D在射線AN上時，求證：C是AE的中點；

(2)如圖2，當點D在MAN內部時，作DF∥AN，交射線AM于點F，用等式表示線段EF與AC的數

量關系，并證明。

27．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖是由小正方形