第二十七章相似27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性質

新課講解

知識點1相似三角形對應線段的比合作探究

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對應高、對應中線、對應角平分線的比各是多少？ABCA'B'C'新課講解練一練1.如果兩個相似三角形的對應高的比為2:3，那么對應角平分線的比是

，對應邊上的中線的比是______.2.

已知△ABC∽△A'B'C'，相似比為3:4，若BC邊上的高AD＝12cm，則B'C'邊上的高A'D'＝______.2:32:316cm新課講解如果△ABC∽△A'B'C'，相似比為k，那么因此AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，從而結論相似三角形周長的比等于相似比.新課講解

知識點2相似三角形面積的比合作探究

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們的面積比是多少？ABCA'B'C'新課講解由前面的結論，我們有ABCA'B'C'D'D新課講解結論相似三角形面積的比等于相似比的平方．課堂小結相似三角形性質的運用相似三角形面積的比等于相似比的平方相似三角形的性質相似三角形對應線段的比等于相似比當堂小練1.判斷：(1)一個三角形的各邊長擴大為原來的5倍，這個三角形的周長也擴大為原來的5倍

()(2)一個四邊形的各邊長擴大為原來的9倍，這個四邊形的面積也擴大為原來的9倍

()√×當堂小練3.

連接三角形兩邊中點的線段把三角形截成的一個小三角形與原三角形的周長比等于______，面積比等于_____.1:21:42.

在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中線，若AP＝2，則DQ的值為()A．2B．4C．1D.C如圖，兩個三角形相似，則：相似比k＝對應邊的比＝

的比＝

的比＝

的比．

對應角平分線對應中線相似三角形對應線段的性質對應高小結：一般地，相似三角形對應線段的比等于相似比.(1)對應角平分線的比等于

；

(2)對應邊上的高的比等于

；

(3)對應邊上的中線的比等于

．

2∶3

2∶3

1．(人教9下P37、北師9上P106)如圖，若△ABC∽△DEF，相似比為2∶3，則：

2∶3

相似三角形周長的比＝

．

相似三角形周長的性質相似比2．若△ABC∽△DEF，周長比為2∶1，則下列說法錯誤的是(

)A．相似比為2∶1 B．對應中線的比為2∶1C．對應角的比為2∶1 D．對應高的比為2∶1C相似三角形面積的比＝

．

相似三角形面積的性質相似比的平方

C小結：相似三角形對應線段、周長和面積的性質的簡單綜合，注意其中只有面積比不同.4．【例1】若△ABC∽△DEF，面積比為9∶1，則下列說法正確的是(

)A．相似比為9∶1 B．對應中線的比為9∶1C．周長比為9∶1 D．對應角的比為1∶1D小結：應用相似三角形的性質求三角形的面積比.

B6．【例3】如圖，在?ABCD中，E是CD的延長線上一點，BE與AD交于點F，且AF＝2FD．(1)求證：△ABF∽△CEB；(2)若△CEB的面積為9，求?ABCD的面積．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，在△ABF和△CEB中，∠A＝∠C，∠ABF＝∠E，∴△ABF∽△CEB．(2)解：∵AF＝2FD，∴AD＝3FD，∴DF∶BC＝1∶3，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∴△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，∴S△ABF∶S△DEF＝AF2∶FD2，S△BCE∶S△FDE＝BC2∶FD2，∵△CEB的面積為9，∴△FDE的面積為1，∴△ABF的面積為4，∴?ABCD的面積＝9－1＋4＝12．(2)若△CEB的面積為9，求?ABCD的面積．小結：求面積的一種新方法——應用相似三角形面積的性質.

D

C

(2)若S△ADE＝S四邊形DBCE，則AD∶DB等于多少？

據傳說，古希臘數學家、天文學家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度.知識點1利用相似三角形測量高度知識探究素養考點1利用相似三角形測量高度知識探究解：太陽光是平行的光線,因此∠BAO=∠EDF.因此金字塔的高為134m.又∠AOB=∠DFE=90°，例1、如圖，木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO.∴△ABO∽△DEF.AFEBO┐┐還可以有其他測量方法嗎？△ABO∽△AEF平面鏡【想一想】知識探究知識探究測高方法二：可以用“利用鏡子的反射測量高度”的原理解決.【歸納總結】測量不能到達頂部的物體的高度2.如圖是小明設計用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點P

處放一水平的平面鏡，光線從點A出發經平面鏡反射后，剛好射到古城墻的頂端C

處，已知AB=2米，且測得

BP=3米，DP=12米，那么該古城墻的高度是（）A.6米B.8米C.18米D.24米B知識探究素養考點2利用相似三角形測量寬度知識探究

如圖，為了估算河的寬度,我們可以在河對岸選定一個目標點P，在近岸取點Q和S，使點P，Q,S共線且直線PS與河垂直,接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當的點T,RT確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R.已測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請根據這些數據,計算河寬PQ.知識探究分析：設河寬PQ長xm,由于此種測量方法構造了三角形中的平行截線，故可得到_______∽_______，△PST△PQR再解x的方程可求出河寬．因此有即已測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請根據這些數據,計算河寬PQ.知識探究解：

設河寬PQ長Xm，依題意得：a//b∴△PST∽△PQR∴∴解得X=90

因此河寬為90m。經檢驗：X=90是原分式方程的解。已測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請根據這些數據,計算河寬PQ.【討論】測量前面例題中的河寬，你還有哪些方法？【方法總結】利用相似測量不能直接到達的兩點間的距離，關鍵是構造相似三角形，構造的相似三角形可以為“A”字型，也可以為“X”字型，并測量出必要的數據，然后根據相似三角形的性質求出所要求的兩點間的距離．知識探究鞏固練習3.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選點B和C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D．

此時如果測得BD＝80m，DC＝30m，EC＝24m，求兩岸間的大致距離AB．EADCB30m24m80m鞏固練習解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD.

解得AB=64.因此，兩岸間的大致距離為64m.EADCB30m24m80m鞏固練習測量如河寬等不易直接測量的物體的寬度，常構造相似三角形求解.【歸納總結】例3

已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB＝8m和CD＝12m，兩樹底部的距離BD＝5m．一個人估計自己眼睛距地面1.6m.她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進，當她與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看到右邊較高的樹的頂端點C了？分析：如圖（1），設觀察者眼睛的位置為點F，畫出觀察者的水平視線FG，分別交AB、CD于點H、K．視線FA、FG的夾角∠AFH是觀察點A時的仰角.類似地，∠CFK是觀察點C時的仰角．由于樹的遮擋，區域Ⅰ和Ⅱ都在觀察者看不到的區域（盲區）之內．素養考點3利用相似三角形測量有遮擋的物體圖（1）仰角水平線視線知識探究解：如圖（2），假設觀察者從左向右走到點E時，她的眼睛的位置點E與兩棵樹頂端點A、C恰在一條直線上．由題意可知，AB⊥l，CD⊥l∴AB∥CD，△AEH∽△CEK即解得EH＝8（m）由此可知，如果觀察者繼續前進，即她與左邊樹的距離小于8m時，由于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點C在觀察者的盲區之內，觀察者看不到它．圖（2）∴知識探究【討論】利用相似來解決測量物體高度的問題的一般思路是怎樣的?【方法總結】一般情況下，可以從人眼所在的部位向物體作垂線，根據人、物體都與地面垂直構造相似三角形數學模型，利用相似三角形對應邊的比相等解決問題．知識探究4.

如圖，AD⊥AB，EF⊥AB，BC⊥AB，DH⊥BC，DH交EF于G點，則AD＝_____＝_____，圖中的相似三角形是______∽______．EGBH△DGF△DHC鞏固練習1.

如圖，要測量旗桿AB

的高度，可在地面上豎一根竹竿DE，測量出DE

的長以及DE

和AB

在同一時刻下地面上的影長即可，則下面能用來求AB長的等式是（）

A．B．

C．D．C課堂檢測2.

如圖，九年級某班數學興趣小組的同學想利用所學數學知識測量學校旗桿的高度，當身高1.6米的楚陽同學站在C

處時，他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合，同一時刻，其他成員測得AC=2米，AB=10米，則旗桿的高度是____米．

8課堂檢測3.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選點B和C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D．

此時如果測得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求兩岸間的大致距離AB．EADCB60m50m120m課堂檢測解：∵∠ADB＝∠EDC，

∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD.

∴

，即，解得AB=100(m).因此，兩岸間的大致距離為100m.EADCB60m50m120m課堂檢測

4.如圖，某校數學興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度，他們通過調整測量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測點D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度.ABCDGEF課堂檢測ABCDGEF解：由題意可得：△DEF∽△DCA，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，則

解得：AC=10，AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m）.答：旗桿的高度為11.5m.∴

課堂檢測

5.如圖，某一時刻，旗桿AB的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墻面上．小明測得旗桿AB在地面上的影長BC為9.6m，在墻面上的影長CD為2m．同一時刻，小明又測得豎立于地面長1m的標桿的影長為1.2m．請幫助小明求出旗桿的高度．ABCD課堂檢測解：如圖：過點D作DE∥BC，交AB于點E，∴DE=CB=9.6m，BE=CD=2m，∵在同一時刻