2025年九年級數(shù)學(xué)中考三輪沖刺練習(xí)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)

一、選擇題

1.已知二次函數(shù)y=fc?-2x-1的圖象與x軸有交點，則人的取值范圍是（）

A.k>-1B.々>-1且發(fā)力0C.%<1且ZWOD.左2-1且左W0

2.二次函數(shù)y=ax1+bx+c（a,b,c為常數(shù)，且a/0）的部分圖象如圖所示，斗

圖象過點（-1,0）,對稱軸為直線x=2.下列結(jié)論：①a歷>0；②9a+c/[

>36；③4a+b=0；④圖象過點（5,0）.其中正確的結(jié)論有（）~\/02

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且aWO）的對稱軸為

直線x=-1,且該拋物線與x軸交于點A（1,0）,與y軸的交點8在（0,

-2）,（0,-3）之間（不含端點），則下列結(jié)論正確的有多少個（）

①abc>0；②9a-3b+cN0；③§Va<l；

④若方程兩根為“z,n則

D.4

①abc>0；②關(guān)于尤的一元二次方程ax1+bx+c=9有兩個相等的實數(shù)根;

③當-4<x<l時，y的取值范圍為0<y<5；

④若點（m,ji）,（-m-2,>2）均在二次函數(shù)圖象上，則yi=y2；

⑤滿足/+（6+1）x+c<2的x的取值范圍是-2或無>3.

其中正確結(jié)論的有（）個.

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.如圖，拋物線y=a?+6x+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）與x軸交于A、8兩點,

頂點P（m,n）.給出下列結(jié)論，正確的有（）

11C

①〃A>0；②+cV0；③若點（一分yi），（芬、2），丫3）在拋物線上，

則y2<yi<y3；④關(guān)于x的方程ax1+bx-^k=O有實數(shù)解，則左2c-n.

A.4個B.3個C.2個D.1個

二填空題

6.拋物線y=cir2+bx+c對稱軸為直線x=L且經(jīng)過尸（3,yi）、Q（0,,2）,且yi>y2,則

a_______0.（填“〉”或“<”）yK,

7.二次函數(shù)y^a^+bx+c的圖象如圖所示,對稱軸是直線尤=1.有下列結(jié)論：\

①a6c<0；（2）3a+c>0；③戶>4改；④a+bWm（am+b）Gn為實數(shù)）；⑤（4+c）L~------

2-b2<0；其中正確結(jié)論的序號為.\：/

8.拋物線y=ax，6x+c（a,b,c為常數(shù)，aWO）經(jīng)過A（2,0）,B（-1,九）

兩點，其中w<0.下列四個結(jié)論：

①若a>Q,則c<0；

②2a+c<0；

③若ac>0,則拋物線與x軸兩個交點之間的距離小于2；

④若a=-l,c>0,則關(guān)于x的一元二次方程0?+法+C=1有兩個不相等的實數(shù)根.

其中正確的結(jié)論是（填寫序號）.

9.如圖，已知拋物線y=o?+bx+c的對稱軸是直線》=1,且拋物線與x軸的一個交點坐標

是（4,0）.下列結(jié)論：yi

@a-b+c>0；

②該拋物線與x軸的另一個交點坐標是（-3,0）；；\

③若點（-1,J1）和（2,"）在該拋物線上，則yi<*；-才T------余濡

④對任意實數(shù)n,不等式。層+加Wa+b總成立.

其中正確的有.

10.如圖，已知頂點為（-3,-6）的拋物線y=o?+6x+c過點（-1,-4）,則下列結(jié)論：

5o

①對于任意的％=根，均有an^+bm+c^-6；②〃c>0；③若點（3,yj,（-］，”）在

拋物線上，則yi>”；④關(guān)于x的一元二次方程蘇+加出尸-4的兩根為-5和-1；⑤Z?

-6。=0；其中正確的有（填序號）.、葭=3］從

-4

-6

三、解答題

11.在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)-2如+扇-4.

(1)當機=1時，求拋物線與％軸的交點坐標；

(2)將拋物線在x軸上方的部分沿x軸翻折，其余部分保持不變，得到的新函數(shù)記為G,

若點A(xi,yi),B(12,>2)是函數(shù)G圖象上的兩點，若對于任意的-2VxiV-1,X2

=-1，都有yi〈y2,求小的取值范圍.

y八

4-

3-

2-

1-

IIIII_____________IIIII.

-5-4-3-2-1012345力

-1-

一2-

一3-

-4-

12.已知二次函數(shù)y=/-(2機-I)x+加2-加(機是常數(shù)).

(1)若二次函數(shù)圖象經(jīng)過(0,0),求二次函數(shù)的解析式；

(2)若A(〃-3,層+2),B(-?+1,后+2)是該二次函數(shù)圖象上的兩個不同點，求二

次函數(shù)表達式和n的值；

(3)若點C(2,yi),點。Cm,”)也均在此函數(shù)圖象上，且滿足yi<y2,求機的取

值范圍.

13.已知二次函數(shù)y=/-2mx+2（相為常數(shù)）.

（1）若函數(shù)圖象經(jīng)過點（2,4）,求二次函數(shù)的表達式；

（2）當時，y有最大值為-5,求機的值；

（3）若點A（m-3,p）,B（-2m,q）都在該函數(shù)的圖象上，當p>q時，求機的取值

范圍.

14.在二次函數(shù)y=:-4tv+5G>0）中.

（1）若函數(shù)圖象的頂點在無軸上，求r的值；

（2）若點（3s）在拋物線上，令q=/+s,求證：q<~

（3）如果AGn-2,a）,B（4,b）,C（m,a）都在這個二次函數(shù)圖象上，且a<b<5,

求m的取值范圍.

15.已知二次函數(shù)>=如？+”尤-2根km,”為常數(shù)，相=0）,

（1）若函數(shù)圖象與無軸的一個交點坐標為（2,0）,求另一個交點坐標；

（2）若函數(shù)圖象經(jīng)過（1,力、（3,力、（a,s）、（b,s'）,其中a<b,若s=3/〃，求a的

值；

（3）若函數(shù)圖象經(jīng)過（-1,-2）,（3,力，且頂點在第三象限，求f的取值范圍.

參考答案

一、選擇題

題號12345

答案DBBCC

二、填空題

6.拋物線y=a?+bx+c對稱軸為直線尤=1,且經(jīng)過尸(3,yi)、Q(0,”)，且yi>”,則

a>0.(填“>”或“<”)

【解答】解：：拋物線廠辦對稱軸為直線x=l,且經(jīng)過P(3,yi)、Q(0,”)，

：.P(3,ji)在對稱軸的右側(cè)，Q(0,>2)在對稱軸的左側(cè)，

???到對稱軸的距離較大的點的函數(shù)值較大，

???拋物線開口向上，

.'.6Z>0.

故答案為：>.

7.二次函數(shù)析+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=l.有下列結(jié)論：①次?cV0；

②3〃+c>0；③廿>4〃c；@a+b^m(am+b)(m為實數(shù))；⑤(〃+c)2-Z?2<0；其中正確

結(jié)論的序號為②③④⑤.

【解答】解：???二次函數(shù)公+。的圖象開口向上,

???二次函數(shù)ynaf+fex+c的對稱軸為1=1,

??b—~~2a,

：.b<0,

,二次函數(shù)丁=。/+》%+。的圖象與y軸的負半軸相交，

Ac<0,

abc>3

故結(jié)論①不正確，不符合題意；

,二次函數(shù)丁=。/+區(qū)+。，當x=-l時，y>0,

?\a-Z?+c>0,

■:b=-2〃，

〃+2〃+c>0,

???3〃+c>0,

故結(jié)論②正確，符合題意；

，?,二次函數(shù)>=〃%2+加計。的圖象與％軸有兩個不同的交點，

有兩個不相等的實數(shù)根，

:?序-4〃c>0,

2

b>4acf

故結(jié)論③正確，符合題意；

二次函數(shù)y=o?+"+c的對稱軸為％=1,圖象開口向上,

???當冗=1時，y有最小值，即〃+Z?+c,

???當兀=加時，an?+bm+ca+b+c,

即arrr+bm^a+b,

a+b^m(am+b),

故結(jié)論④正確，符合題意；

*/當x=l時，y<0,

a+b+cVO,

*.*當x=-1時，y>0,

?'?a-Z?+c>0,

(〃+c)2-b2=(〃+c+b)(〃+c-b)<0,

故結(jié)論⑤正確，符合題意，

綜上所述正確的有：②③④⑤.

故答案為：②③④⑤.

8.拋物線y=〃/+fci+c(a,b,c為常數(shù)，0)經(jīng)過A(2,0),B(-1,n)兩點，其中

n<0.下列四個結(jié)論：

①若a>0,貝!Jc<0；

②2a+c<0；

③若ac>0,則拋物線與無軸兩個交點之間的距離小于2；

④若。=-1,c>0,則關(guān)于x的一元二次方程以2+M+C=1有兩個不相等的實數(shù)根.

其中正確的結(jié)論是①②③④(填寫序號).

【解答】解：拋物線y=o?+6x+c,經(jīng)過A(2,0),B(-1,n)兩點，其中“<0,

若。>0,則拋物線開口向上，經(jīng)過第一、二、三、四象限，

c<0,①正確；

:拋物線>=以2+云+。J,b,c為常數(shù)，aWO)經(jīng)過A(2,0),B(-1,n)兩點，其

中n<0,

(4a+2b+c=0①

[a-b+c<T0(2)

①+②X2得6a+3c<0,

2a+c<0,②正確；

由題意可知，若ac>0,則拋物線開口向下，與y軸的負半軸相交，

...拋物線與x軸的另一個交點在x軸的正半軸，

...拋物線與x軸兩個交點之間的距離小于2,③正確；

若a=-l,c>0,則y=-j+Zw+c,

22

...拋物線開口向下，有最大值=c+",

???拋物線經(jīng)過A(2,0),

:.-4+2Z?+c=0,

?74-c

,氏丁，

工最大值尸金(c+4)2,

Vc>0,

1、

：—(c+4)2>1,

16

???拋物線y=a?+云+c與直線>=1有兩個交點，

???關(guān)于x的一元二次方程以2+析+C=1有兩個不相等的實數(shù)根，故④正確.

故答案為：①②③④.

9.如圖，已知拋物線ynA+fcc+c的對稱軸是直線x=l,且拋物線與x軸的一個交點坐標

是（4,0）.下列結(jié)論：

①a-b+c>0；

②該拋物線與x軸的另一個交點坐標是（-3,0）；

③若點（-1,yi）和（2,J2）在該拋物線上，則yi<*；

④對任意實數(shù)n,不等式air+bn^a+b總成立.

其中正確的有①③④.

【解答】解：：拋物線y^ar+bx+c的對稱軸是直線x=l,且拋物線與x軸的一個交點

坐標是（4,0）,

???拋物線與x軸的另一個交點坐標是（-2,0）,故選項②錯誤；

.,.x=-1時，y=a-Z?+c>0,故選項①正確；

;點（-1,尹）到對稱軸的距離大于（2,券）到對稱軸距離，

.,.yi<y2,故選項③正確；

,；x=l時，函數(shù)有最大值，故a/+加+c（a+6+c,即不等式a/+加Wa+6總成立，故選

項④正確；

故答案為：①③④.

10.如圖，已知頂點為（-3,-6）的拋物線y=a?+6x+c過點（-1,-4）,則下列結(jié)論：

5o

①對于任意的x=m，土勻有37?+加計。2-6;②〃C>0;③若點（-/兀），（―T>2）在

拋物線上，則yi>y2；④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的兩根為-5和-1；⑤Z?

-6a=0；其中正確的有①③④⑤（填序號）.

【解答】解：???拋物線產(chǎn)o?+汝+C的頂點為（-3,-6）,

?'?當尤=-3時，y最小值=-6,

，對于任意的x=m,其函數(shù)值>=<777/+勿7?+c2-6,

因此①正確；

?.?開口向上，

??,拋物線與y軸交于負半軸，

Ac<0,

ac<0,

因此②不正確；

:點（5,為），y2）在對稱軸右側(cè)的拋物線上，根據(jù)在對稱軸右側(cè)，y隨X的增大

而增大，

因此③正確；

???拋物線》=狽2+法+。過點（-1,-4）,由對稱軸為％=-3,根據(jù)對稱性可知，拋物線

y=/+/?%+。還過點（-5,-4）,

，關(guān)于x的一元二次方程aj?+bx+c=-4的兩根為-5和-1；

因此④正確；

:對稱軸為直線x=-/=-3,

??b-6〃=0,

因此⑤正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有①③④⑤，

故答案為：①③④⑤.

三、解答題

11.在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù))=/-2必+以2-4.

(1)當m=1時，求拋物線與％軸的交點坐標；

(2)將拋物線在x軸上方的部分沿x軸翻折，其余部分保持不變，得到的新函數(shù)記為G,

若點A(xi,yi),B(X2,丁2)是函數(shù)G圖象上的兩點，若對于任意的-2VxiV-1,X2

=-1,都有yi〈y2,求小的取值范圍.

y八

4-

3-

2-

1-

IIIII_____________IIIII.

-5-4-3-2-1012345力

-1-

一2-

一3-

-4-

【解答】解：(1)當m=1時，y=x1-2x-3,

令y=0,得/-2%-3=0,

解得xi=3,x2=-L

???拋物線與x軸的兩個交點(3,0)和(-1,0)；

(2)-2mx+rr^-4=(x-m)2-4,

???拋物線的對稱軸為直線工=機，頂點為(加，-4),

令y=0,貝!J%2-2mx+n?-4=0,

解得x=m+2或x—m-2,

???拋物線與x軸的交點為(m+2,0),(m-2,0),

由題意，圖象G如圖所示，分以下兩種情況：

此時，有^m1:.

解得—3<m<-2；

：.m的取值范圍是機21或一3<m<

12.已知二次函數(shù)y=/-（2切-1）X+”/-m（〃?是常數(shù)）.

（1）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過（0,0）,求二次函數(shù)的解析式；

（2）若A（〃-3,層+2）,B（-n+1,H2+2）是該二次函數(shù)圖象上的兩個不同點，求二

次函數(shù)表達式和〃的值；

(3)若點C(2,yi),點。(m,”)也均在此函數(shù)圖象上，且滿足yi<*,求機的取

值范圍.

【解答】解：(1)?..二次函數(shù)圖象經(jīng)過(0,0),

.*.m-m=0,

解得m=0或1,

工二次函數(shù)的解析式為y=W+x或y=%2-x；

(2)由點A、B的坐標得，拋物線的對稱軸為直線x="―3]"+1=筆二,

解得：m——

則拋物線的表達式為y=/+2x+',

將點A的坐標代入上式得：九2+2=(H-3)2+2(n-3)+擠，

7

解得：n=訖；

(3).??二次函數(shù)y=7-(2m-1)x+川-機(機是常數(shù)，且加?0).

???拋物線開口向上，對稱軸為直線工=等匚，

..?點。(2,yi),點。(m,>2)在此函數(shù)圖象上，且滿足yi〈y2,

???點C到對稱軸的距離小于點D到對稱軸的距離，

2m-l2m-l2m-5i

.'.I——-2|<|——-m|,BPI——I<4，

解得0<〃z<3.

13.已知二次函數(shù)y=/-2mx+2(根為常數(shù)).

(1)若函數(shù)圖象經(jīng)過點(2,4),求二次函數(shù)的表達式；

(2)當1W尤W3時，y有最大值為-5,求根的值；

(3)若點A(相-3,p),BC-2m,q)都在該函數(shù)的圖象上，當p>q時，求相的取值

范圍.

【解答】解：(1)把(2,4)點代入y=/-2g+2中，

.".4-4m+2=4,

/.m=方，

???二次函數(shù)的表達式為：>=/-％+2；

(2)二次函數(shù)y=%2-2妹+2的對稱軸是直線x=m,

當加23時，1W%W3時，y隨尤的增大而減小,

：.x=l時y取最大值，解得加=4,

當mWl時，l〈xW3時，y隨尤的增大而增大，

...當x=3時y取最大值，解得機=*

.?.當機W1時，機值不存在，

當時，x=l時y取最大值，解得m=4,

...當時，加值不存在，

8

-

當時，當％=3時y取最大值，解得機=3

當lWmW2時，m值不存在，

綜上所述：m=4：

(3)把點A(m-3,p),B(-2m,q)代入y—x-2mx+2中,

(m-3)2-2mX(m-3)+2=〃,(-2m)2-2mX(-2m)+2=q,

?：p>q，

-m2+11>4m2+4m+2,

卷<m<1.

14.在二次函數(shù)y=W-4比+5(r>0)中.

(1)若函數(shù)圖象的頂點在x軸上，求才的值;

(2)若點(/,s)在拋物線上，令q=t+s,求證：q<-

(3)如果A(機-2,a),B(4,b),C(m,〃)都在這個二次函數(shù)圖象上，且〃Vb<5,

求m的取值范圍.

【解答】(1)解：由題意，:二次函數(shù)為y=/-4比+5=(%-2/)2-4?+5,且頂點在x

軸上,

-4金+5=0.

,V5

??/=土—.

2

又>0,

t=T-

(2)證明：、?點(/,s)在拋物線y=f-4比+500)上,

-4?+5=-3?+5,

.*.q=t+s=-3於+/+5,

??q—~3金+什5=-3（￡—J）^4-

??,-3<0,

有最大值為

??g通.

（3）解：TA（m-2,a）,C（m,〃）都在這個二次函數(shù)的圖象上，

7n

二次函數(shù)y=x2-4a+5的對稱軸直線x=2t=彳+二=m_?

??2/=ITI~\