微專題18等腰三角形與直角三角形

考點精講

構建知識體系

邊

角彩體

周長

對怵性

面也

考點梳理

1.等腰三角形與直角三角形的性質（6年7考）

等腰直角

圖形名稱等腰三角形等邊三角形直角三角形

三角形

N

圖形/\11.

L__h__\a

aa

勾股定理：若直角三

角形的兩直角邊分

邊兩腰①_____三邊相等兩直角邊相等

別為a,b,斜邊為c,

貝IJ有?—

三角相等，且

兩銳角相等且

性角兩底角②—每一個角都等兩銳角之和等于?

都等于45°

質于⑧—

等腰三角形頂

⑴斜邊上的中線等1.滿足“三線

角的③____、

特殊滿足“三線合于?_____合—A

@______、1

性質（2）30°角所對的直2.斜邊上的中

相互重合（簡記

角邊等于?_____線等于?_____

為“三線合

第1頁共12頁

一”)

等腰三角形是等邊三角形是

等腰直角三角

軸對稱圖形，有軸對稱圖形，

形是軸對稱圖

對稱⑥____條對稱有⑨____條對

——形，有?_____

性軸，對稱軸是—稱軸，對稱軸

條對稱軸，對稱

0____是⑩

軸是?_____

面積計s=@

S="S=|c/z=?___S=|c/z=@___

算公式

2.等腰三角形與直角三角形的判定(6年6考)

一邊相等。叭??加是s

聲京幗等:麻V~

t?角，足史

邊相等

角相等

-一個個為WT

兩條較小邊民的平方和點/嚴優用邊經

等十J1大邊長的平方舊

兩個角注余

練考點

1.在△A3。中，AB^AC.

(1)若△ABC的周長為12,一邊長為5,則5。=；

(2)若△ABC的一個內角為80°,則N5=°；

(3)如圖，延長5。至點。，使得。Z)=AC,CE平分NACO交A。于點E,若A5

=5,AD=8,則CE=.

.4

Ax￡

/\

/\/\

Rcn

第1題圖

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2.如圖，在R3A5C中，ZBAC=90°，AZ)是邊上的中線.

Hh

第2題圖

(1)若N5=2NC,則NB=；

(2)在(1)的條件下，若A5=4,則AL>=,ZADB=0；

(3)若△ABC中兩邊長分別為3,4,則△人與。的周長為.

3.如果△A5C的三邊長a,8,c滿足a：b：c=l：1：VL那么△45。是()

A.等邊三角形

B.鈍角三角形

C.銳角三角形

D.等腰直角三角形

高頻考點

考點1等腰三角形的相關證明及計算(2020.20)

例1如圖，已知在△ABC中，AB=AC,A。為5。邊上的中線，尸為CA的延

長線上一點，過點尸作尸G,5。于點G,交A3于點E.

(1)求證：AD//FG-,

(2)試判斷尸的形狀，并說明理由；

(3)如圖②，連接CE,CELAB,AB=13,BC=1Q,求CE的長；

(4)若NB=60°,BC=S,E為A5的中點，求5G的長.

HGI)(：

圖①

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Rcnc

圖②

例1題圖

考點2直角三角形的相關證明及計算(6年3考)

例2如圖①，已知在AABC中，CD是邊A5上的高，ZA=ZBCD.

(1)試判斷△A5C的形狀，并說明理由；

(2)若N4=30°,BD=W,求4。的長；

(3)若AC=遮，BD=4,求AO的長；

(4)如圖②，4E平分NCA5交于點尸，交CB于點E,求證：CE=CF.

圖②

例2題圖

真題及變式

命題點1特殊三角形的判定(6年7考，常在計算題中涉及考查)

1.(2020廣東20題6分?人教七上習題改編)如圖，在△斗臺。中，點。，E分別是

AB,AC邊上的點，BD=CE,ZABE=ZACD,BE與CD相交于點F.求證：△ABC

是等腰三角形.

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第1題圖

2.(2020廣東21(2)題5分)若a=—4舊,b=12,一個三角形的一條邊的長為2連,

另外兩條邊的長是關于x的方程x^+ax+b^的解.試判斷該三角形的形狀，并

說明理由.

變式

2.1變條件——將已知條件變為與非負性結合

已知△ABC的三邊長a,Z?,c滿足(a—Z?)2+12a—b—3+Ic—3V2I=0,則△ABC

是()

A.等邊三角形B.鈍角三角形

C.銳角三角形D.等腰直角三角形

命題點2與特殊三角形有關的計算(6年7考，常在幾何題中涉及考查)—

3.(2021廣東20題6分?北師八下習題改編)如圖，在R3A5C中，ZA=90°.

作的垂直平分線交4。于點。，延長AC至點E,使CE=AB.

(1)若AE=1,求的周長；

(2)若AD=^BD,求tanZABC的值.

新考法

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4.［綜合與實踐］

數學活動課上，同學們以“黃金三角形”為主題展開探究活動.

【查閱資料】在等腰三角形中，若底與腰的比是個，則這個三角形是黃金三角

形.

【動手操作】如圖①是老師展示的一張郵票，同學們發現郵票中五角星的五個角

都是36°,并制作了相同五角星如圖②所示，NA的度數為36°,且AZ)=A5

=1,于是猜測是黃金三角形.

【解決問題】

(1)/CBD=°；

(2)求證：△A3。是黃金三角形；

(3)如圖③，在R3A5C中，ZACB=90°，ZBAC=18°，BC=1,求AB的長.

圖①圖②圖③

第4題圖

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考點精講

①相等②相等③平分線④底邊上的高⑤底邊上的中線⑥1⑦底邊上

的高(或底邊上的中線或頂角的平分線)所在的直線⑧60°(9)3⑩每條邊上

的高(或中線或內角平分線)所在的直線@L2+b2=c2

@0°倒邊的一半倒邊的一半?斜邊的一半復圓邊上的高(或中

線或頂角的平分線)所在的直線?碗睡屋遢仍?之次?90°(直角)

?60。?相等

練考點

1.(1)2或5；(2)50或80；(3)3

2.(1)60°；(2)4,60；(3)12或7+夕

3.D

高頻考點

例1(1)證明：?.?A5=AC,為邊上的中線，

：.AD±BC,

\'FG±BC,

.'.AD//FG-,

(2)解：zkAE尸等腰三角形，理由如下：

,JAB^AC,為邊上的中線，

ZBAD=ZCAD,

由(1)知AD//FG,

：.ZF=ZCAD,ZAEF=ZBAD,

：.ZF=ZAEF,

：.AF^AE,

即尸是等腰三角形；

(3)解：,：AB=AC,40為邊上的中線，

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：.BD=CD=5,AD±BC,

.?.在RSA3。中，根據勾股定理，得AZ)=^AB2~BD2=J132-52=12,

,?CELAB,

11

SAABC=^BCAD=^ABCE,

即三X10X12=^X13XCE,解得CE=四；

2213

(4)解：VZB=60°,AB=AC,

A5C是等邊三角形，

：.AB=BC=S,

\'FG±BC,

：.ZBEG=90°-ZJB=30°,

?「E是AB的中點，

1

：.BE=-AB=4,

2

?.?在RSBEG中，NBEG=3U°,

1

：.BG=-BE=2.

2

例2⑴解：△45。是直角三角形，理由如下：

「CD是邊A5上的高，

ZADC=90°,即NA+N4CD=90°.

,?ZA=ZBCD,

：.ZACD+ZBCD=90°=ZACB,

...△A5C是直角三角形；

(2)解：VZACB=90°,ZA=30°,

：.AB=2BC,N5=60°,

〈CD是斜邊A5上的高，

ZBDC=90°,

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ZDCB=90°~ZB=30°,

：.BC=2BD,

BC=2相,

...在R3A5C中，由勾股定理，得AC=JAB2~BC2=6；

(3)解：\'CD±AB,

ZADC=ZACB=90°,且N04。=NBA。，

：.AACD^AABC,

?AC_AD

?A?BAC,

9：AB=BD+AD,

?AC_AD

-9BD+ADAC"

VAC=V5,BD=4,

.V5_AD

4+AD后

解得AD=-5(舍去)或AD=1,

：.AD=1；

(4)證明：在R3AEC中，ZCEA=9Q°—Nl,

在R3AED中，ZAFD=90°—N2,

?「AE平分NC45,

.*.Z1=Z2,

ZAFD=ZCEF,

又?：/CFE=/AFD,

：.ZCEF=ZCFE,

：.CE=CF.

真題及變式

第9頁共12頁

1.證明：在^BDF和^CEF中,

團BFD

即BFFECF,

(BD=CE

△BDF^ACEF(AAS),

：.BF=CF,

：.ZFBC=ZFCB,

：.ZDBF+ZFBC=ZECF+ZFCB,

即ZABC=ZACB,

：.AB^AC,

A5C是等腰三角形.

2.解：該三角形是等腰直角三角形，理由如下：

?：a=-4A/3,8=12,J關于％的方程%2+依+。=0即為％2—4\/"X+12=0,

解得XI=X2=2V3,

???該三角形是等腰三角形，

,/(2V3)2+(2V3)2=(2V6)2,

???該三角形是等腰直角三角形.

(a-b=0ra=3

變式2.1D【解析】由題意得，2a—b—3=0,解得b=3,'：a2+b2=c2,

(c-3V2=0(C=3或

且a=b,...△A5C是等腰直角三角形.

3.解：(1)如解圖，設。尸交5。于點尸，由題意得A5=CE,。/垂直平分5C,

連接5。，

：.BD=DC,

：.△ABD的周長=人5+4。+5。=。石+人。=4石=1；

(2)設AD=x,由AZ)=1B。，得50=3%,在R3A5Z)中，ZA=90°,

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：.AB=BD2~AD2=2V2x,

由(1)得CD=BD=3x,

：.AC=AD+CD=4x,

.,.tanZABC=—=^-=V2.

AB2V2x

8Z/

---

第3題解圖

4.⑴解：36；

【解法提示】?24=36°,AB=AD,：.ZAZ)B=|(180°—NA)=72。，又

,?ZADB=ZC+ZCBD,ZC=36°,ZCBD=ZADB-ZC=36°.

⑵證明：VZA=ZC=ZC