專題14三角形

考情聚焦

課標要求考點考向

考向一三角形的分類

考向二三角形三邊關系

1.理解三角形及其內角、外角、中線、高線、角平分線等

與三角

概念，了解三角形的穩定性。考向三三角形的高

形有關

2.探索并證明三角形的內角和定理。掌握它的推論:三角

考向四三角形的中線

的線段

形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。

考向五線段的垂直平分線

3.理解全等三角形的概念，掌握三角形全等的證明方法。

4.理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分考向六角平分線的性質和判定

線的性質定理。

與三角考向一三角形的內角和定理

5.理解角平分線的概念，探索并證明角平分線的性質定

形有關考向二三角形的外角的定義及性

理。

的角質

6.理解等腰三角形的概念，探索并證明等腰（等邊）三角

全等三考向一全等三角形的概念及性質

形的性質定理，探索并掌握等腰（等邊）三角形的判定

角形考向二全等三角形的判定

定理。

考向一等腰三角形的定義及性質

7.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質

考向二等腰三角形是判定

定理。等腰三

角形考向三等腰三角形的性質及判定

8.探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單

的實際問題。考向四等邊三角形

直角三考向一直角三角形

角形考向二勾股定理及逆定理

,真題透視/

考點一與三角形有關的線段

A考向一三角形的分類

1.（2024,陜西?中考真題）如圖，在VABC中，ABAC=90°,AD是邊上的高，E是DC的中點，連接

AE,則圖中的直角三角形有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】本題主要考查直角三角形的概念.根據直角三角形的概念可以直接判斷.

【詳解】解：由圖得NABC,AADC,VADE為直角三角形，

共有4個直角三角形.

故選：C.

A考向二三角形三邊關系

2.（2024?內蒙古赤峰?中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程x=10x+21=0的兩個根，則這個三角形

的周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關系及周長，由方程可得玉=3,

%=7,根據三角形的三邊關系可得等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,進而即可求出三角形的周長，掌

握等腰三角形的定義及三角形的三邊關系是解題的關鍵.

【詳解】解：由方程尤?一io_v+21=O得，%=3,x2=7,

03+3<7,

回等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,

團這個三角形的周長為3+7+7=17,

故選：C.

3.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在VABC中，AB=3應,AC=2,以為邊作RtZXBCD,BC=BD,

點。與點A在的兩側，貝I3。的最大值為（）

A.2+3&B-6+2近C.5D.8

【答案】D

【分析】如圖，把VA3C繞2順時針旋轉90。得到△HBD,AH=AB2+BH2=6,結合ADWOH+41,

（A,H,D三點共線時取等號），從而可得答案.

【詳解】解：如圖，把VABC繞B順時針旋轉90。得到△HB。，

0AB=BH=3近,AC=DH=2.ZABH=90°,

^AH=^AB-+BH2=6.

^AD<DH+AH,（A",￡>三點共線時取等號），

I3AD的最大值為6+2=8,

故選D

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，旋轉的性質，三角形的三邊關系，二次根式的乘法運算，做出合

適的輔助線是解本題的關鍵.

4.（2024?江蘇鎮江?中考真題）等腰三角形的兩邊長分別為6和2,則第三邊長為.

【答案】6

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形三邊關系，熟練掌握分類討論思想是解題的關鍵.分兩種

情況討論：當6為一腰長時；當2為一腰長時；分別求出第三條邊長，并根據三角形三邊關系判斷是否能

構成三角形，即可得出答案.

【詳解】解：當6為一腰長時，則另一腰長為6,底邊長為2.

,.-6+6>2,

.??能構成三角形，

第三邊長為6；

當2為一腰長時，則另一腰長為2,底邊長為6,

?.-2+2<6,

不能構成三角形，舍去；

綜上，第三邊長為6,

故答案為：6.

A考向三三角形的高

5.（2024?河北?中考真題）觀察圖中尺規作圖的痕跡，可得線段3D一定是VABC的（）

c.中位線D.中線

【答案】B

【分析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據作圖痕跡可得8。_LAC,從而可得答案.

【詳解】解：由作圖可得：

回線段8D一定是VABC的高線；

故選B

6.（2024?山東德州?中考真題）如圖，在VABC中，AD是高，AE是中線，AD=4,S^ABC=12,則BE的

長為（）

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的高線和中線的意義，根據ZABC=12和A￡>=4求出3c=6,根據AE是中線即

可求解.

【詳解】解：回SMC=；XBCXAD=12,AD=4,

SBC=6

回AE是中線，

0BE=-BC=3

2

故選：B

A考向四三角形的中線

7.（2024?河北?中考真題）如圖，VA3C的面積為2,A￡>為BC邊上的中線，點A,G,C2,Q是線段CC”

的五等分點，點A,A,D2是線段DD3的四等分點，點A是線段8月的中點.

C,

B

D2

D3

c%

(I)△AG2的面積為

(2)△與GA的面積為.

【答案】17

【分析】⑴根據三角形中線的性質得顯海==1，證明AACagAAaXSAS),根據全

等三角形的性質可得結論；

(2)證明△破A%W(SAS),得人的p=S“B?=l,推出C1、2、耳三點共線，得

S"4G=S△做A+S”G0]=2，繼而得出^AAB1C4=4s△MG=8,=3S^ABQ=3,證明△GADsS/XCA。,

4

得S*=9%CAD=9,推出kAC4A=-SAGAR=12,最后代入SAB&D3=^AAC4D3+S4AB]￡>3-^△AB1C4即可.

【詳解】解：(1)連接BQ、BA、4G、BQC3D3,

EIVABC的面積為2,AD為BC邊上的中線，

回SAABD=S&ACD=/^AABC=/?21,

回點A,G,Q,C3是線段CC4的五等分點，

0AC=AC,=C,C2=C2c3=C3C4=1CC4,

回點A,Dti3是線段。2的四等分點,

0AD=AR=DiD2=DQ3=：DD3,

回點A是線段BBX的中點，

SAB=ABl=^BBl,

在△AC]。和AACD中，

Aq=AC

<NC]AD]=ZCAD,

ADX=AD

EIAACQ絲AACD(SAS),

回=SAACD=1,ZCJDJA=Z.CDA,

國△AG2的面積為1,

故答案為：1;

(2)在和△AB。中,

ABX=AB

<ZB,AD.=/BAD,

AD.=AD

團AABR四△ABQ(SAS),

團=SAABD=1./BRA=ZBDA,

回N3ZM+NCQ4=180。，

a/BQ[A+/C]D]A=180。,

回G、4、耳三點共線，

回S△陰G=S△陰A+SAACiDi=1+1=2.

團4￡=。?=。2。3=。3。4，

團%51c4=4s△AB1G=4?28,

團AR=D\D?=D2D3,SAABD=1,

團S4AB&3~3s△ABQ[=3x1=3,

在△AC3O3和“18中，

ACAn

回色匕=3=嗎，ZC.AD.=ZCADf

ACAD

B/\C3AD3^/\CAD,

回"強=32=9,

S.ceUCJ

=

回^AC3AD39s△.￡>=9x1=9,

fflAC1=C,C2=C2C3=C3C4,

44

回S^AGD,=1S為必=-x9=12,

=

0S△恥口S&AC必+SAABJA—S△的c4=12+3—8=7

回△4C4D3的面積為7,

故答案為：7.

C4

CBl

【點睛】本題考查三角形中線的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等分點的意

義，三角形的面積.掌握三角形中線的性質是解題的關鍵.

8.（2024?浙江?中考真題）在7x4的方格紙中，VA3C的三個頂點都在格點上，請僅用無刻度的直尺，分

別按下列要求畫圖.

（1）在圖1中的線段上找一點。，連接AD,使AO平分VABC的面積.

⑵在圖2中的線段上找一點E,連接AE,使AE平分VABC的周長.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】本題考查了三角形的中線及三角形的周長及比例線段問題，熟練掌握三角形中線的性質是解題的

關鍵；

（1）因2C從點8到點C水平數方格共7個，故中點在第3單元格和第4單元格個中點，連接第3單元格

和第4單元格的對角線即得到2c的中點￡>,連接AD即為所求；

（2）由圖可知AS臺。=43,從點8到點C水平數方格共7個，連接第2單元格和第4單元的對角線

即得到點￡,連接AE即為所求；

【詳解】（1）如圖所示：中線4。平分VABC的面積.

（2）如圖所示：AE平分VABC的周長.

A

A考向五線段的垂直平分線

9.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，在VA3C中，AB=AC=6,BC=4,分別以點A,點3為圓心，大

于的長為半徑作弧，兩弧交于點E,F,過點E,歹作直線交AC于點￡>,連接BD,則△BCD的周

長為（）

A.7B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】本題考查了尺規作圖一作垂直平分線，根據垂直平分線的性質即可證明=根據△BCD的

周長=8D+CD+8C=A￡>+CD+3C=AC+3C,即可求出答案.

【詳解】解：由作圖知，族垂直平分

AD=BD,

「.△BCD的周長=5D+CD+5C=Ar>+CD+3C=AC+3C,

-,-AB=AC=6,BC=4,

.?△BCD的周長=6+4=10,

故選：C.

10.（2024,四川涼山?中考真題）如圖，在中，^ACB=9ff,。石垂直平分AB交BC于點。，若AACD

的周長為50cm,則AC+3C=（）

A.25cmB.45cmC.50cmD.55cm

【答案】C

【分析】本題考查了線段垂直平分線的的性質，由線段垂直平分線的的性質可得AD=3。，進而可得AACD

的周長=4。+8+4￡>=43+8+班>=4。+3。=5081,即可求解，掌握線段垂直平分線的的性質是解

題的關鍵.

【詳解】解：EIDE垂直平分A3,

SAD=BD,

回AACD的周長=AC+CD+仞=AC+CD+3。=AC+3C=50cm,

故選：C.

11.（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線3。的垂直平分線分別交邊A5、CD于點￡、

F.若AD=8,BE=10,貝han/AB￡）=.

【答案】|

【分析】本題主要考查三角形相似的判定和性質以及勾股定理，熟練掌握三角形的判定和性質是解題的關

鍵.設跖與3D相交于點。，證明△3OESAR4。，根據相似的性質進行計算即可；

【詳解】解：8。的垂直平分線分別交邊AB、CD于點E、F.

:.EF±BD,BO=-BD,

2

.\ZBOE=ZA=90°,

\-ZABD=ZABD,

:.△BOES/\BAD,

BEOE

,?茄一茄’

vAD=8,BE=10,BO=-BD,

2

.10_0E

.\OEBO=40,

\-OE2+OB2=BE2=100,

令OE=x,OB=y,

Jxy=40

2

1%+/=100'

x=2小X=4y/5

解得I——口Vv（舍去）

y=4\/5y=2y/5

…nOE2451

..tan/ABD=----=———

BO4V52

故答案為：I

A考向六角平分線的性質和判定

12.（2024?青海?中考真題）如圖，OC平分NAO8,點尸在OC上，PDYOB,PD=2,則點尸到。4的

距離是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】本題考查了角平分線的性質定理.過點P作PEL于點E,根據角平分線的性質可得PE=PD,

即可求解.

【詳解】解：過點尸作PELOA于點E,

旦PE=PD=2,

故選：C.

13.（2024?云南?中考真題）已知AF是等腰VABC底邊2c上的高，若點/到直線A3的距離為3,則點/到

直線AC的距離為（）

37

A.-B.2C.3D.-

22

【答案】C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線的性質定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

由等腰三角形"三線合一"得到AF平分再角平分線的性質定理即可求解.

【詳解】解：如圖，

0AF是等腰VABC底邊BC上的身，

團"平分

團點尸到直線AB,AC的距離相等，

回點F到直線AB的距離為3,

回點尸到直線AC的距離為3.

故選：C.

14.（2024?湖南?中考真題）如圖，在銳角三角形A3c中，AD是邊2C上的高，在54,3C上分別截取線

段BE,3尸，使5E=5F；分別以點E,尸為圓心，大于［石廠的長為半徑畫弧，在內，兩弧交于點

2

P,作射線交AD于點M過點加作加工至于點N.若MN=2,AD=4MD,則AM=.

【答案】6

【分析】本題考查了尺規作圖，角平分線的性質等知識，根據作圖可知第平分NABC,根據角平分線的性

質可知ZW=ACV=2,結合AD=4MD求出AD,AM.

【詳解】解：作圖可知平分/ABC,

回AD是邊上的高，MN1AB,MN=2,

SMD=MN=2,

SAD^AMD,

0AD=8,

BAM=AD-MD=6,

故答案為：6.

15.（2024?陜西?中考真題）如圖，在NABC中，45=AC,E是邊AB上一點，連接CE,在BC右側作BF//AC,

且防=AE,連接CF.若AC=13,3c=10,則四邊形的面積為.

【答案】60

【分析】本題考查等邊對等角，平行線的性質，角平分線的性質，勾股定理：過點C作CNLAB,CNYBF,

根據等邊對等角結合平行線的性質，推出NABC=NCB產，進而得到CN=CN,得到時=S/CE,進而得

到四邊形EBFC的面積等于S4.，設=勾股定理求出CM的長，再利用面積公式求出VA3C的面積

即可.

【詳解】解：回AB=AC,

^ZABC=ZACB.

^BF//AC,

國NACB=NCBF,

QZABC=ZCBF,

0BCWZABF,

過點C作a/_L恕，CN工BF,

0^ACE=1AE.CM,SiCBF=^BFCN,且加=A￡,

團S^CBF=S?ACE，

回四邊形EBFC的面積=S,.+S△CBE=S&ACE+s△CBE=S?A

回AC=13,

團AB=13,

i&AM=x,貝IJ：BM=13-x,

由勾股定理，%'CM2=AC2-AM2=BC2-BM2,

0132-%2=102-(13-X)2,

SS^CBA=^AB-CM=60,

El四邊形￡BPC的面積為60.

故答案為：60.

考點二與三角形有關的角

A考向一三角形的內角和定理

16.（2024?西藏?中考真題）如圖，已知直線4〃4，于點。4=50。，則/2的度數是（）

A.40°B.45°C.50°D.60°

【答案】A

【分析】本題考查了平行線的性質,三角形內角和定理應用，垂線定義理解.先利用平行線的性質求出,ABC

的度數，然后利用三角形內角和定理進行求解即可.

【詳解】解：叫〃丸4=50。,

0ZABC=Z1=5O°,

SAB1CD,

0^BDC=9O°,

0Z2=180°-90°-50°=40°,故A正確.

故選：A.

17.（2024?天津?中考真題）如圖，Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=40°,以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，

交A3于點E,交AC于點歹；再分別以點E,尸為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧（所在圓的半徑

相等）在/A4c的內部相交于點P；畫射線AP,與BC相交于點￡>,則/ADC的大小為（）

A.60°B.65C.70°D,75°

【答案】B

【分析】本題主要考查基本作圖，直角三角形兩銳角互余以及三角形外角的性質，由直角三角形兩銳角互

余可求出N54C=50。，由作圖得NB4T>=25。，由三角形的外角的性質可得NADC=65。，故可得答案

【詳解】解：回NC=90o,NB=40。，

團N54C=90°—NB=90°—40°=50°,

由作圖知，AP平分/54C,

0ZBA￡）=-ZBAC=-x5O°=25°,

22

又ZADC=ZB+/BAD,

0ZAZ）C=40°+25°=65°,

故選：B

18.（2024?山西?中考真題）如圖1是一個可調節的電腦桌，它的工作原理是利用液體在封閉的管路中傳遞

力和能量.圖2是將其正面抽象成的圖形，其中桌面48與底座CD平行，等長的支架交于它們的中

點、E,液壓桿.若/54E=53。，則/GFD的度數為（）

圖1圖2

A.127°B.106°C.76°D.74°

【答案】D

【分析】題目主要考查等腰三角形的性質及平行線的性質，根據題意得出AE=BE,ZBAE=ZABE=53°,

確定ZAEB=74。,再由對頂角及平行線的性質即可求解

【詳解】解：?.?等長的支架ADIC交于它們的中點E,NBAE=53。,

AE=BE,NBAE=ZABE=53°,

ZAEB=180°-ZABE-ZBAE=74°,

：.ZAEB=ZCED=14°,

?:FG〃BC、

.?./GFD=/CED=74。、

故選：D

19.（2024?四川?中考真題）如圖，在VABC中，AB=AC,ZA=40°,按如下步驟作圖：①以點8為圓

心，適當長為半徑畫弧，分別交54,于點DE；②分別以點DE為圓心，大于;DE長為半徑畫弧，

兩弧在NABC的內部相交于點￡作射線8尸交AC于點G.則ZABG的大小為度.

【答案】35

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線的尺規作法，熟練掌握等腰三角形的性質和角平分線的

尺規作法是解題的關鍵.根據A?=AC,ZA=40°,由等邊對等角，結合三角形內角和定理，可得

ZABC=ZACB=70°,由尺規作圖過程可知BG為NABC的角平分線，由此可得

ZABG=ZGBC=-ZABC=35°.

2

【詳解】解：：AB=AC,ZA=4O°,

ZABC=ZACfi=70°,

根據尺規作圖過程，可知BG為，ABC的角平分線，

ZABG=ZGBC=-ZABC=35°,

2

故ZABG=35。，

故答案為：35°.

A考向二三角形的外角的定義及性質

20.（2024?河北?中考真題）下面是嘉嘉作業本上的一道習題及解答過程：

已知：如圖，VABC中，AB^AC,AE平分VABC的外角NC4N,點M是AC的中點，連接并延長交AE

于點￡）,連接CO.

求證：四邊形是平行四邊形.

證明：0AB=AC,團NABC=N3.

團NC47V=NABC+N3,NC47V=N1+N2,Z1=Z2,

若以上解答過程正確，①，②應分別為（）

A.Zl=Z3,AASB.Zl=Z3,ASA

C.N2=N3,AASD./2=/3,ASA

【答案】D

【分析】本題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質，根據等邊對等角得Z45C=N3,根據三

角形外角的性質及角平分線的定義可得，2=，3,證明△MAD四△MCB,得到=再結合中點的

定義得出航4=MC,即可得證.解題的關鍵是掌握：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

【詳解】證明：0AB=AC,0ZABC=Z3.

0ZGW=ZABC+Z3,ZGW=Z1+Z2,Z1=Z2,

El①/2=N3.

又EIN4=N5,MA^MC,

0AMAD2AMCB(②ASA).

^\MD=MB,El四邊形ABCD是平行四邊形.

故選：D.

21.(2024?甘肅蘭州?中考真題)如圖，在VABC中，AB^AC,ZBAC=130°,DA±AC,則()

A.100°B.115°C.130°D.145°

【答案】B

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形外角的性質.根據等腰三角形的性質，可得

,八180°-ZBAC

ZC=--------二25。，再由三角形外角的性質，即可求解.

2

【詳解】解：回AB=AC,ZBAC=130°,

180。—NR4c

團NC=

2

^\DA±AC,

^ZCAD=90°,

BZADB=ZC-^-ZCAD=115°

故選：B

22.（2024?新疆?中考真題）如圖，在中，NC=90。,NA=30。,=8.若點。在直線A3上（不

與點A,B重合），且N5CD=30。，則AQ的長為.

rb-----------------------

【答案】6或12

【分析】本題考查了含30。的直角三角形的性質，三角形外角的性質，等角對等邊等知識，分①點。在線

段A3時，②點。在線段A3延長線上時，③點。在線段54延長線上時，三種情況討論求解即可.

【詳解】解：回NC=90°,ZA=30°,AB=8,

13/3=60。，BC^-AB=4

2,

①點。在線段AB時，

0^BDC=9O°,

0BD=-BC=2,

2

0AD=AB—BD=6；

②點。在線段A5延長線上時,

團NBCD=30。，ZABC=60°,

團ND=ZABC-ZBCD=30°=/BCD,

^\BC=BD=4,

^AD=AB-^-BD=12；

此時ZBCD>ZACB,即NBCD>90。，故不符合題意，舍去，

綜上，AO的長為6或12.

23.（2024?重慶?中考真題）如圖，在VABC中，AB=AC,ZA=36°,平分，RC交AC于點。.若

BC=2,則AD的長度為.

【答案】2

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質與判定，三角形內角和定理，三角形外角的性質，先根據等邊

對等角和三角形內角和定理求出NC=NABC=72。，再由角平分線的定義得到Z4BD=NCBD=36。，進而

可證明=NBDC=NC,即可推出旬=3C=2.

【詳解】解：團在VABC中，AB=AC,ZA=36°,

180。—ZA

團NC=ZABC==72。，

2

團BD平分/ABC,

國ZABD=NCBD=L/ABC=36。,

2

團NA=NABD,/BDC=ZA+/ABD=M=NC、

團AD=BD,BD=BC,

由AD=BC=2,

故答案為：2.

考點三全等三角形

易錯易混提醒

1.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。

2.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等。

3.三邊分別相等的兩個三角形全等。

4.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等。

A考向一全等三角形的概念及性質

24.（2024?浙江?中考真題）如圖，正方形由四個全等的直角三角形（△ABE,ABCrAa）G,Z\r）A"）和

中間一個小正方形EFGH組成，連接DE.若AE=4,3E=3,則。E=（）

A.5B.2A/6C.V17D.4

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理，正方形的性質，全等三角形的信紙，求得"E的長度，利用勾股定理即可解

答，利用全等三角形的性質得到HE=1是解題的關鍵.

【詳解】解：尸,是四個全等的直角三角形，AE=4,BE=3

:.AH=EB、DH=AE=4,

:.HE=AE-AH=1,

四邊形跳為正方形,

:.NDHE=90°,

DE=^DH2+HE2=標

故選：C.

25.（2024?廣東廣州?中考真題）下列圖案中，點。為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影

部分的兩個三角形關于點。對稱的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了圖形關于某點對稱，掌握中心對稱圖形的性質是解題關鍵.根據對應點連線是否過點0

判斷即可.

【詳解】解：由圖形可知，陰影部分的兩個三角形關于點。對稱的是C,

故選：C.

26.(2024?湖北?中考真勘如圖，點A的坐標是(-4,6),將線段。1繞點。順時針旋轉90。，點A的對應點

的坐標是()

C.(-6,-4)D.(-4,-6)

【答案】B

【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化-旋轉，全等三角形的判定和性質，熟知圖形旋轉的性質是解題的

關鍵.

根據題意畫出旋轉后的圖形，再結合全等三角形的判定與性質即可解決問題.

【詳解】解：如圖所示，

分別過點A和點2作x軸的垂線，垂足分別為M和N,

由旋轉可知，

OA=OB,ZAOB=90°,

ZAOM+ZBON=ZA+ZAOM=90°,

：.ZA=ZBON.

在△AO暇和△QBN中，

ZA=/BON

<ZAMO=NONB,

OA=OB

AAOM^AOBN(AAS),

:.BN=MO,ON=AM.

,??點A的坐標為(—4,6),

:.BN=MO=4,ON=AM=6,

.??點8的坐標為(6,4).

故選：B.

A考向二全等三角形的判定

27.（2024?浙江?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E,H,F,G分別是邊AB,BC,CD,D4上的點，

2

且AB=2,EF=底G,?分別在邊AD,3c上，且G8與E尸交于點O,記NGOR=tz,若tana=§,則

.3^65°2病,3A/65n2765

5577

【答案】D

【分析】如圖，過點2作6尸〃所交DC于點尸，作〃//G交AD于點延長3尸、A。交于點

過點M作MNJ_8P,根據平行線的性質得出NGOP=NMQb=NM3P=a,從而得出tana=M潟N=12,設

MN=2x,BN=3x,則即1=舊無，證明四邊形BEEP是平行四邊形，得出8尸=所=有，在RhBCP中，

根據需=+

勾股定理算出CP=1,得出DP=1,證明AMDP絲&BCP,得出。K=3C=2,AK=4得

MKV5

出MK=20,AM=4-2顯,在Rt^ABM中,列方程求解即可.

【詳解】解：如圖，過點B作3尸〃跖交。C于點P,作創/〃"G交AO于點M,延長BP、AD交于點K,

過點M作MN_L3P,

0ZGOF=NMQF=ZMBP=a,

MN2

團tana=-----=

BN3

設MN=2x,BN=3x,則BM=[MN?+BN?=岳x，

回四邊形ABCD是正方形,

^AB//DC,AD//BC,BC=CD=AD=AB=2,

?BP〃EF,BE〃FP,

國四邊形3EFP是平行四邊形,

BBP=EF=y/5,

CP=yjBP2-BC2=J(⑸-2?=1,

團在RIABCP中,

@DP=DC-CP=1,即。P=CP,

BAK\\BC,

團NK=NPBC,ZKDP=ZC,

B^KDP^^BCP(AAS),

?DK=BC=2,AK=4,

.jMN.i八PC1

團sin/K—......=sinZPBC------=-產

MKBP卮

SMK=2y/5x,AM=4-2y/5x,

團在中，（4一2&『+22=（如彳『,

回解得：.2石或"半’

當x=2喬時，4一2辰<0

7

故選：D.

【點睛】該題主要考查了解直角三角形，勾股定理，二次根式的性質，正方形的性質，平行四邊形的性質

和判定，平行線的性質，全等三角形的性質和判定，解一元二次方程等知識點，解題的關鍵是掌握以上知

識點，正確做出輔助線.

28.（2024?廣西?中考真題）如圖，邊長為5的正方形ABC￡>,E,F,G,H分別為各邊中點，連接AG,BH,

CE,DF,交點分別為M,N,P,Q,那么四邊形MNPQ的面積為（）

C

F

B

B.2C.5D.10

【答案】C

【分析】先證明四邊形MNP。是平行四邊形，利用平行線分線段成比例可得出。。=尸。，AM=QM,證

明AADG絲AB4H（SAS）得出ZD4G=ZABW,則可得出NQM/V=ZAMB=90。，同理NAQD=90。，得出平行四

邊形MNP。是矩形，證明△AZ）QgAB4〃（AAS）,得出=進而得出DQ=AM=尸。=加，得出矩形

MNP。是正方形，在Rt^AOQ中，利用勾股定理求出=5,然后利用正方形的面積公式求解即可.

【詳解】解：回四邊形ABCD是正方形，

SAB=BC=CD=DA,AB//CD,AD//BC,ZDAB=ZABC=ZBCD=ZCDA=90°,

0E,F,G,H分別為各邊中點，

^CG=DG=-CD=AH,AE=-AB,

22

SDG=CG=AE,

回四邊形A￡CG是平行四邊形，

^AG//CE,

同理分||3",

回四邊形MNPQ是平行四邊形，

^AG//CE,

SDQ=PQ,

同理=

SDG^AH,ZADG=ZBAH=90°,AD=BA,

0AAZX?^ABAH（SAS）,

SZDAG=ZABH,

0ZZMG+ZGAB=90°,

^ZABH+ZGAB=90°,

0ZQMN=ZAMB=90°,同理ZAQD=90°,

回平行四邊形MNP。是矩形，

^\ZAQD=ZAMB=90°,ZDAG=ZABH,AD=BA,

0AAZ）e^ABAM（AAS）,

團DQ=AM,

又DQ=PQ,AM=QM,

團DQ=AM=PQ=QM,

國矩形MNP。是正方形，

在RtAADQ中，AD2=DQ2+AQ2,

B52=QM2+（2QM）2,

EIQ”=5,

團正方形MNP。的面積為5,

故選：C.

【點睛】本題考查了正方形的判定與性質，全等三角形判定與性質，平行線分線段成比例，勾股定理等知

識，明確題意，靈活運用相關知識求解是解題的關鍵.

29.（2024?北京?中考真題）下面是“作一個角使其等于/AO3"的尺規作圖方法.

（1）如圖，以點。為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交。4,于點C,D；

（2）作射線。A,以點。為圓心，OC長為半徑畫弧，交O'A于點C'；以點C'為圓心，C￡＞長為半徑畫弧,

兩弧交于點Dft-；

（3）過點力作射線05',則NA'O'3'=NAO3.

'BR

O'C'1A1

上述方法通過判定△CO。'絲△（%）￡＞得到NA'OE=NAO3,其中判定△CO'。'絲/式：。□的依據是（）

A,三邊分別相等的兩個三角形全等

B.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

D.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等

【答案】A

【分析】根據基本作圖中，判定三角形全等的依據是邊邊邊，解答即可.

本題考查了作一個角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據是解題的關鍵.

【詳解】解：根據上述基本作圖，可得OC=O'C'，OD=OD,CD=CD,

故可得判定三角形全等的依據是邊邊邊，

故選A.

30.（2024?湖北?中考真題）平面坐標系xQy中，點A的坐標為（T,6）,將線段04繞點。順時針旋轉90。,

【分析】本題考查坐標系下的旋轉.過點A和點A分別作x軸的垂線，證明AAOS絲z/MqAAS）,得到

AC=OB=4,OC=AB=6,據此求解即可.

【詳解】解：過點A和點A分別作x軸的垂線，垂足分別為AC,

El點A的坐標為（-4,6）,

0（9B=4,AB=6,

團將線段OA繞點0順時針旋轉90°得到OA,

=ZAOAr=90°,

0ZAOB=90°-ZA'OC=ZOA'C,

S^AOB^OArC（AAS）,

SAC=OB=4,OC=AB=6,

回點A的坐標為（6,4）,

故選：B.

31.（2024?安徽?中考真題）在凸五邊形ABCDE中，AB=AE,BC=DE,F是CD的中點.下列條件中，

不能推出AF與CD一定垂直的是（）

A.ZABC=ZAEDB.ZBAF=ZEAF

C.NBCF=NEDFD.ZABD=ZAEC

【答案】D

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形"三線合一"性質的應用，熟練掌握全等三角形的

判定的方法是解題的關鍵.

利用全等三角形的判定及性質對各選項進行判定，結合根據等腰三角形"三線合一”的性質即可證得結論.

【詳解】解：A、連接AC、AD,

SZABC^ZAED,AB=AE,BC=DE,

mAACB^AADE(SAS),

SAC=AD

又0點F為CD的中點

0AFXCD,故不符合題意；

B、連接BEEF,

A

0AB=AE,ZBAF=ZEAF,AF=AF,

0AABF^AA￡'F(SAS),

^BF=EF,ZAFB=ZAFE

又0點F為CD的中點，

RCF=DF,

團BC—DE,

國ACBF義ADEF(SSS),

^\ZCFB=ZDFE,

團ZCFB+ZAFB=ZDFE+ZAFE=90。，

團ACD,故不符合題意；

C、連接/、EF,

A

團點F為CO的中點，

⑦CF=DF,

BZBCF=ZEDF,BC=DE,

^ACBF^ADEF(SAS),

^BF=EF,NCFB=ZDFE,

^\AB=AE,AF=AF,

EIAABF^AAEF(SSS),

SZAFB=ZAFE,

0NCFB+ZAFB=NDFE+ZAFE=90°,

fflAFICD,故不符合題意；

D、ZABD=ZAEC,無法得出題干結論，符合題意；

故選：D.

32.（2024?山東?中考真題）如圖，點E為DABCD的對角線AC上一點，AC=5,C￡=l,連接DE并延長

至點F，使得￡F=DE,連接3尸，則跳■為（）

22

【答案】B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，平行線分線段成比例定理，平行證明相似等知識點，正確作輔助

線是解題關鍵.

CFDFDC

解法一：延長。b和AB,交于G點，先證△DECS^G4M得到當=冬=臉，再證"G方s.GE,得

AEGEAG

到B胃F=F*G=33，即可求得結果；

AEEG4

解法二：作m〃.交AC于點H,證明出△CDE也△加E（AAS）,得到HE=CE=LFH=CD,然后證明

出四邊形是平行四邊形，得到防=AH=AC-C"=3.

【詳解】解：解法一：延長。方和交于G點，

團四邊形ABCD是平行四邊形,

團OC〃AB,DC=AB^DC//AG,

?△DECsQAE

CEDEDC

0一=

AE~GE~~AG

團AC=5,CE=1,

^AE=AC-CE=5-1=4,

CEDEDC1

回■————_

AE~GE~AG~4

DEDE1

又EIEF=DE、--=

GEEF+FG4

EF1

團——=—

FG3，

DCDC1

回——=DC=AB,

AGAB+BG41

DC1

團——=—

BG31

EFDC1

回一=---=一

FGBG31

BGFG3

回一=

AGEG4

^AE//BF,

回ABGFS^AGE,

BFFG3

團---=---

AEEG4

團AE=4,

國BF=3.

解法二：作FH〃至交AC于點”

團NCDE=NHFE,NDCE=/FHE,

又團EF=DE,

SIACDEmAHFE(AAS),

SHE=CE=1,FH=CD,

團四邊形ABCD是平行四邊形，

BCD//AB,CD=AB,

^HF//AB,HF=AB,

13四邊形ABFH是平行四邊形，

^BF=AH=AC-CH=3.

故選：B.

考點四等腰三角形

A考向一等腰三角形的定義及性質

33.（2024?福建?中考真題）小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個"蝴蝶"的平面圖案.如圖，其中

與AODC都是等腰三角形，且它們關于直線/對稱，點E,尸分別是底邊AB,的中點，OELOb.下

列推斷錯誤的是（）

A.OBLODB.NBOC=ZAOB

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

【答案】B

【分析】本題考查了