難點與解題模型14四邊形中模型、角度與面積（6大熱考題型）

題型一：中點四邊形模型

題型二：十字架模型

題型三：對角互補模型

題型四：半角模型

題型五：四邊形中特殊角度問題

題型六：四邊形中的面積問題

題型突.精淮提分

題型一：中點四邊形模型

「藉T百T至「承....................I

ii

['中點四邊形"，也叫瓦里尼翁平行四邊形，是順次連接四邊形各邊中點而組成的四邊形，是四邊形

的內接四邊形的一種特殊情況，一般有以下三種形態:

（原四邊形ABCD依次是：凸四邊形，凹四邊形，折四邊形）

（-）中點四邊形一定是平行四邊形

i

1.當原四邊形對角線相等時，其中點四邊形為菱形

四邊形EFGH為平行四邊形四邊形EFGH為菱形

2.當原四邊形對角線垂直時，其中點四邊形為矩形

四邊形EFGH為平行四邊形

3.當原四邊形對角線垂直且相等時，其中點四邊形為正方形

四邊形EFGH為平行四邊形四邊形EFGH為正方形

（二）中點四邊形的周長等于原四邊形對角線之和

（三）中點四邊形的面積等于原四邊形面積的二分之一

【中考母題學方法】

【典例1-1](2024?青海?中考真題)綜合與實踐

順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點四邊形.數學

興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對角線的數量關系和位置關系兩個方面展開探究.

證明：SE、F、G、H分別是4B、BC、CD、D4的中點,

國防、GH分別是VA3C和AACD的中位線，

EIEF=-AC,GH=-AC(①)

22----------------

?EF=GH.

同理可得：EH=FG.

團中點四邊形EFGH是平行四邊形.

結論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形.

（1）請你補全上述過程中的證明依據①

（2）下面我們結合圖2來證明猜想回，請你在探究一證明結論的基礎上，寫出后綾的證明過程.

（4）下面我們結合圖3來證明猜想回，請你在探究一證明結論的基礎上，寫出后綾的證明過程.

【歸納總結】

（5）請你根據上述探究過程，補全下面的結論，并在圖4中畫出對應的圖形.

中點四邊形形狀

原四邊形對角線關系

③________④________

結論：原四邊形對角線③時，中點四邊形是④

【典例1-2】（2023?山西?中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應

任務.

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形ABCD中，點分別是邊加的中點，順次連接E,￡G,",

得到的四邊形EFGH是平行四邊形.

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形瓦被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里

圖1

尼翁（而"力尸汕“1654—1722）是法國數學家、力學家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切.

①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正

方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結論可借助圖1證明如下:

證明：如圖2,連接AC,分別交EH,FG于點P,Q,過點。作DM工AC于點M,交房于點N.

團H,G分別為AD,CD的中點，SiHG//AC,HG=^AC.（依據1）

2

RDN=NM,DM.

也DG=GC

2

回四邊形EFG"是瓦里尼翁平行四邊形，QHE〃GF,即族〃GQ.

^HG//AC,即〃尸Q,

回四邊形"是平行四邊形.（依據）

PQG20SDHPQG=HGMN=^HGDM.

=

國/ADC='AC'OM="G,DW,El^nHPQG^AADC■同理，…

任務:

⑴填空：材料中的依據1是指：.

依據2是指：.

(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形MCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFG”,使得四邊形EFG”

為矩形；(要求同時畫出四邊形ABCD的對角線)

(3)在圖1中，分別連接AC,2D得到圖3,請猜想瓦里尼翁平行四邊形ER汨的周長與對角線AC,助長度

的關系，并證明你的結論.

圖3

【典例1-3】(2024?江蘇泰州?三模)如圖，點E、F、G、”分別在菱形ABCD的各邊上.

圖1圖2圖3備用圖

【初步認識】

(1)如圖1,若AE=AH=CF=CG,則四邊形EFGH一定是()

A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

【變式探究】

(2)如圖2,若AC、3D交于點。，E、”分別是AB、AD上一點，OE=OH,AE^AH,EO、"O的延

長線分別交在CD、BC于點G、b，求證：四邊形￡FGH是矩形.

【深入思考】

(3)如圖3,若AC、3。交于點。，且49=10,8=5,當滿足什么條件時,可作出兩個不同矩形EPG”,

請直接寫出你的結論.

(4)在(3)的條件下，設AH=x,AE=y,請探索》與x滿足的關系式.

【中考模擬即學即練】

【變式1-1](2024?貴州?模擬預測)如圖1,已知四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H、依

次連接跖、FG、GH、HE、得到四邊形EFG”.

C

圖1圖2

⑴求證:四邊形EFG”為平行四邊形；

(2)連接AC與3。，當AC與滿足什么條件時，四邊形瓦是矩形？

(3)如圖2,若四邊形ABCD是菱形，則四邊形ERGH是什么圖形，請說明理由.

【變式1-2】(2024?陜西寶雞?模擬預測)如圖，在四邊形ABCD中，己知對角線AC=3D,點E,F,G,H

分別為AB,BC,CD,1M邊上的中點，連接跖，FG,GH,HE.求證：四邊形EFG”為菱形.

【變式1-3］（2023?陜西寶雞?一模）問題提出

如圖1,在VABC中，AB^12,AC^9,DE//BC.若AD=4,則AE的值為.

問題探究

如圖2,在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點。，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、4D的中

點，連接環、FG、GH、HE.若4?=14,3￡>=16,4103=60。，求四邊形EFG”的面積.

問題解決

如圖3,某市有一塊五邊形空地ABCDE,其中/朋￡=445。=乙88=90。,48=60。米，80=800米，

AE=650米，￡>C=400米，現計劃在五邊形空地內部修建一個四邊形花園MNG”,使點M、N、G、H

3

分別在邊AB、BC、CD、AE上，要求AH=CN,AM=CG,tan/BNM=:,請問，是否存在符合設計要求的

面積最大的四邊形花園MNG”?若存在，求四邊形MNG”面積的最大值；若不存在，請說明理由.

【變式1-4］（2024?寧夏銀川?一模）如圖1.在VA8C中，D、E分別為AB、AC的中點，連接DE：

A

一7

操作1.將VADE繞點E按順時針方向旋轉180。到△CEE的位置.

操作2.延長DE到點E使EF=DE,連接CF.

試探究DE與BC有怎樣的位置關系和數量關系？B4--------------

圖1

（1）請結合操作1或操作2的方法所得出的結論，我們可以得到三角形中位線定理,

【結論應用】

（2）如圖2,四邊形中，對角線AC、5D相交于點O,四條邊上的中點分別為E、F、G、H、依次

連接EF、FG、GH、HE,得到四邊形EFGH.

圖2

①求證：四邊形EFG”為平行四邊形；

②當AC與8。滿足一時，四邊形EFGH是矩形，當AC與8。滿足一時，四邊形EFGH是菱形.

③若AC=16,次）=20,ZA（9fi=60°,求四邊形EFGH的面積.

【問題解決】

（3）如圖3所示，在一個四邊形ABCD的草坪上修一條小路，其中點尸和點。分別為邊48和邊。的中

點，且NA+NABC=90。，BC=6,AD=8,求小路P。的長度.

圖3

【變式1-5](2023?黑龍江齊齊哈爾?三模)折紙是一項有趣的活動，有的同學玩過折紙，可能折過小動物、

飛機、小船等.在折紙過程中，不僅可以得到一些美麗的圖形，而且其中還蘊含著豐富的數學知識.

如圖①，菱形紙片ABCD中,AB=4,ZA=60°.

B

圖①圖②圖③圖④

(1)活動一:

如圖②，折疊菱形紙片ABCD,使點A落在點B處，則折痕的長為,；菱形紙片的面積是

(2)活動二：

如圖③，瓦EG,”分別是菱形紙片ABCD各邊的中點，分別沿著所，/G,GH,HE折疊并展開.猜想四邊

形E打汨是什么特殊四邊形，并證明你的猜想；

⑶活動三：如圖④，先將菱形紙片沿AC折疊再展開，點及EG,”分別在邊AB,8C,CD,D4上且

EF〃AC,再分別沿著石尸,尸&68,上石折疊再展開，若四邊形￡7七”是正方形，則AE=；

⑷活動四：如圖⑤，折疊菱形紙片ABCD,使點A落在BC邊的中點F處，則折痕MN的長為.

題型二：十字架模型

「藉i逗T系

i在正方形或矩形中存在兩條線段相交且垂直，因其形似“十字架"，所以我們稱其為“十字架”模型.

i

類型正方形過頂點型矩形過頂點型

圖示AFDAFn

FC""7---1

IL--------------------------J

BCBC

條件在正方形ABCD中，點E,F分別在邊在矩形ABCD中,點在邊AD上,CE

CD,AD上,AE_LBF±BD

解題思路利用正方形的各邊相等且四個角利用矩形的四個角均為直角及

均為直角，及AEXBF將同角的余CEXBD將同角的余角進行轉化.

角進行轉化，證明4ABF和4DAE證明ABCD和ZXCDE相似,進而得

全等進行求解到對應邊成比例進行求解

結論△ABF^ADAE.BF=AEASCD~ACDE,—=—

CECD

【中考母題學方法】

【典例2-1】（2021?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，正方形A8CQ的邊長為3,E為BC邊上一點,BE=1.

將正方形沿GP折疊，使點A恰好與點E重合，連接AF,EF,GE,則四邊形AGEF的面積為（）

C.6D.5

【典例2-2】（2024?重慶?模擬預測）學習了正方形后，小飛同學對正方形中兩條互相垂直線段，且兩條線段

的端點分別在正方形兩組對邊上的數量關系進行探究.請根據他的思路完成以下作圖與填空：

如圖，正方形ABC。中，點尸、E、G分別在AB、BC、CD上，且AELFG.

⑴尺規作圖：過點G作垂線交A3于點〃.（只保留作圖痕跡）

⑵證明AE=FG,將下面的過程補充完整.

證明：???四邊形A5C。是正方形，

,-.ZB=ZC=90°,BC=AB,

QHGLAB,

:.ZGHF=90°,

??.々=①一

vFGlAE,

..ZAFG-^-ZBAE=90°f

?.?NB4￡+NAEB=90。，

@_=ZAFG

ZB=ZC=/GHB=90°,

二?四邊形BCG”為矩形，

:.BC=GH,

:.@_=GH.

.(④)

.\AE=FG.

【典例2-3】（2024?河南?一模）綜合與實踐

數學課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1,在正方形MCD中，已知所，求證:AE=BF.

甲小組同學的證明思路如下:

由同角的余角相等可得/AB尸=NZME.再由=ZBAF=ZD=90°,證得△ABJ&AZME(依據：

),從而得AE=3尸.

乙小組的同學猜想，其他條件不變，若已知/場=所，同樣可證得尸，證明思路如下：

由AB=ZM,=可證得Rt"lBF絲RtADAE(HL),可得zABb=NZME,再根據角的等量代換即可證

得AELJBF.

完成任務：

(1)填空：上述材料中的依據是(填"SAS"或"AAS"或"ASA"或"HL")

【發現問題】

同學們通過交流后發現，己知尸可證得隹二所，已知/a=3/同樣可證得AE_LJB尸，為了驗證這

個結論是否具有一般性，又進行了如下探究.

【遷移探究】

(2)在正方形A3CD中，點E在C。上，點M,N分別在AT>,BC上，連接力瓦腑交于點P.甲小組同學根

據MNJ_AE畫出圖形如圖2所示，乙小組同學根據MN=AE畫出圖形如圖3所示.甲小組同學發現已知

上亞，隹仍能證明皿=4￡,乙小組同學發現已知MN=AE無法證明MNLAE一定成立.

圖3

①在圖2中，己知MN_LAE,求證：MN=AE；

②在圖3中，若=則4PM的度數為多少?

【拓展應用】

(3)如圖4,在正方形ABCD中，相=3,點￡在邊A3上，點M在邊AD上，且AE=AM=1,點尸，N

分別在直線CD,BC上，若EF=MN,當直線EF與直線"N所夾較小角的度數為30。時，請直接寫出CP的

長.

【典例2-4】（2024?河南商丘?三模）（1）【操作判斷】

如圖1,在正方形中，點、E,F,G,"分別在邊AB,CD,AD,BC±,且EFLGH,則跖與G”的

數量關系為二

（2）【遷移探究】

如圖2,在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,點E,F,G,"分別在邊AB,CD,AD,BC±,且

EFLGH,￡F與G”交于點。，試說明（1）中的結論是否發生變化，如果結論不變，請說明理由；如果變

化，請寫出新結論并給出證明；

（3）【拓展應用】

如圖3,在mAABC中，ABAC=90°,AB=AC,當點。為AC的三等分點，且AEL8D時，直接寫出AE與

3。的數量關系.

【中考模擬即學即練】

【變式2-1］（2024?江蘇徐州,模擬預測）某興趣小組在數學活動中，對四邊形內兩條互相垂直的線段進行了

如下探究：

【初探猜想】如圖1,在正方形ABCD中，點、E,P分別是A3、A￡＞上的兩點，連接DE,CF,若DELCF,

試判斷線段OE與CF的大小關系，并說明理由；

【類比探究】如圖2,在矩形ABCD中，AD=6,CD=3,點、E、/分別是邊AD、BC上一點，點G、H

EF

分別是邊AB、CO上一點，連接跖，GH,若跖，GH,則=7=；

【知識遷移】如圖3,,在四邊形ABCD中，NZMB=90。，點石、廠分別在線段AB、AD上，且CELBZ"

連接AC,若VABC為等邊三角形，求片CE的值；

BF

【拓展應用】如圖4,在正方形45CD中，E是的中點，F、G分別是邊AB、CD上的動點，且尸GLAE

交A石于"，連接斯和AG,當相=2時，則石F+AG的最小值為______.

AFDD

BCBEC

圖1圖4

【變式2-2］（2024?湖北恩施?三模）綜合與探究

問題背景：如圖3,四邊形A3。是矩形，AB=mBC,點G、H、E分別是線段AD、BC、AB上的動點,

連接G/I,過點E作GH的垂線交線段C。于點尸（只考慮尸在C。上的情況）

ATJ

⑴①如圖1,當點G運動到A點，點E運動到2點時，若AB=6,BH=2,…則正的值為

（直接寫答案）

②如圖2,當點G不與A點重合，點E運動到2點時，若加=2,試求器的值.

問題探究:

⑵如圖3,當G不與A重合,“不與2重合時,用含根的式子表示箸的值?

問題拓展:

9

（3）如圖4,將背景問題中的矩形改成己知”在四邊形G8C尸中，ZC=90°,BG=?BC,sinZGBC=—,

G"，則等的值為.

.（直接寫答案）

【變式2-3](2023?廣東深圳?模擬預測)【探究證明】

(1)如圖1,矩形A8CD中，EF^\GH,EF分別交A8、CD于點E、F,GH分別交4。、8C于點G、H,求

丁EFAD

正:-G-H-=-A--B;

【模型應用】

(2)如圖3,四邊形ABC。中，0ABe=90。，AB=AD=W,BC=CD=5,AM3￡W,點M、N分別在邊8C、AB

上,求質的直

【變式拓展】

(3)如圖3,平行四邊形ABC。，AB=2,AlD=6,ZBAD=60°,直線/與平行四邊形相交，將平行四邊形

沿直線/折疊，當其中有一組對角頂點重合時,請直接寫出折痕的長度.

D

:D日FC；艱Z，V

AE”4NB6_-------、c心--------、c

圖1圖2圖3備用圖

題型三：對角互補模型

i指?點?迷?津

模型1:全等形一-90。對角互補模型

模型2:全等形-120°對角互補模型

模型3:全等形一一任意角對角互補模型

模型4:相似形一-90。對角互補模型

【中考母題學方法】

【典例3-1】（2023?四川成都?統考中考真題）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以

下探究.

Ar\1

在中，ZC=90°,AC=BC。是A3邊上一點，且一=-（"為正整數），E是AC邊上的動點,

fBDn

過點D作DE的垂線交直線2c于點F.

【初步感知】⑴如圖1,當“=1時，興趣小組探究得出結論：4￡+2尸=立48,請寫出證明過程.

2

【深入探究】（2）①如圖2,當〃=2,且點/在線段2C上時，試探究線段AE,BF,AB之間的數量關系，

請寫出結論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE,BF,之間數量關系的一般結論（直

接寫出結論，不必證明）

【拓展運用】（3）如圖3,連接所，設班的中點為若AB=2g,求點E從點A運動到點C的過程中，

點M運動的路徑長（用含”的代數式表示）.

【典例3-2】（2024?四川成都?二模）如圖，在矩形ABCD中，AD=nAB（"為正整數），點E是BC邊上一

動點，P為中點，連接PE,將射線PE繞點P按逆時針方向旋轉90。，與矩形的邊交于點H

【嘗試初探】（1）在點E的運動過程中，當點F在CD邊上時，試探究線段PE,抄之間的數量關系，請

寫出結論并證明;

【深入探究】（2）若〃=2,在點E的運動過程中，當點尸在BC邊上時，求蕓的最小值;

BC

【拓展運用】（3）若4?=2,設的中點為M,求點E從點2運動到點C的過程中，點M運動的路程（用

含”的代數式表示）.

【典例3-3】(2024?河南?一模)已知NAC?=90。，點C是/493的角平分線O尸上的任意一點，現有一個

直角NA/CN繞點C旋轉，兩直角邊CM,CN分別與直線Q4,08相交于點。，點E.

(1)如圖1,若CDLQ4,猜想線段。D,OE,OC之間的數量關系，并說明理由.

(2)如圖2,若點。在射線Q4上，且CD與Q4不垂直，則(1)中的數量關系是否仍成立？如成立，請說

明理由；如不成立，請寫出線段O。，OE,OC之間的數量關系，并加以證明.

(3)如圖3,若點O在射線Q4的反向延長線上，且OD=2,OE=8,請直接寫出線段CE的長度.

【典例3-4】(2024廣東中考一模)如圖，已知NAO3=60。，在—493的角平分線上有一點C,將一

個120。角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與射線。A相交于點。及

(1)如圖1,當NOCE繞點C旋轉到CD與Q4垂直時，請猜想OQ+OE與OC的數量關系，并說明理由；

(2)當，OCE繞點C旋轉到CD與。1不垂直時，到達圖2的位置，(1)中的結論是否成立？并說明理由；

(3)如圖3,當/OCE繞點C旋轉到點。位于的反向延長線上時，求線段OE與OC之間又有怎樣

的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明.

【典例3-5】（2024?江蘇淮安?一模）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，我們做以下探究.

An1

在Rt^ABC中，NC=90。，AC=BC,。是A3邊上一點，且一=—（〃為正整數），E、尸分別是邊AC和

BDn

邊BC上的點，連接DE、DF,且2￡。尸=90。.

【初步感知】（1）如圖1,當"=1時，興趣小組探究得出結論：AE+BF=—AB,請寫出證明過程.

2

【深入探究】（2）①如圖2,當"=2,試探究線段AE,BF,A3之間的數量關系，請寫出結論并證明;

②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE,BF,A3之間數量關系的一般結論（直接寫出結論，不必

證明）.

【拓展運用】（3）如圖3,點。為靠近B的四等分點，連接跖，設跖的中點為若AB=4攻，求點E

從點A運動到點C的過程中，請直接寫出點“運動的路徑長.

【中考模擬即學即練】

【變式3-1］（2024?江蘇?校考一模）如圖，已知四邊形ABCD的對角互補，且NB4C=/ZMC,AB=15,

AD=12.過頂點。作于E,則——的值為（）

A.773B.9C.6D.7.2

【變式3-2](2024?安徽六安?三模)在數學探究活動中，某同學進行了如下操作：如圖，在直角三角形紙片

ABC(ZC=90°)內剪取一個直角△。砂(/現/=90。)，點￡),E,F分別在AB,AC,BC邊上.請

完成如下探究：(1)當。為AB的中點時，若NA=60。，ADEF=

(2)當AC=3,3c=4、DE=2。尸時，AD的長為

【變式3-3](2024?陜西?一模)問題提出(1)如圖1,將直角三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的對角線

AC上，一條直角邊經過點B,另一條直角邊交邊DC于點E,線段PB和線段PE相等嗎？請證明；

問題探究(2)如圖2,移動三角板，使三角板的直角頂點P在對角線AC上，一條直角邊經過點B,另一條直

角邊交DC的延長線于點E,(1)中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

問題解決(3)繼續移動三角板，使三角板的直角頂點P在對角線AC上，一條直角邊經過點B,另一條直角

邊交DC的延長線于點E,(1)中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

他11圖2

【變式3-4］（2024?吉林長春?一模）【教材呈現】下圖是華師版八年級上冊數學教材第96頁的部分內容.

我們已經知道角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是角的對稱軸.如圖所示，OC是/AO3的平分線，P

是OC上任一點，作尸PEYOB,垂足分別為點。和點E.將，498沿OC對折，我們發現PZ）與

PE完全重合.由此即有：角平分線的性質定理角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

已知：如圖所示，OC是NAO3的平分線，點P是。C上的任意一點，PD±OA,PELOB,垂足分別為

點。和點E.

求證：PD=PE.

OEB

圖②

分析：圖中有兩個直角三角形尸。。和PEO,只要證明這兩個三角形全等，便可證得尸￡>=PE.

（1）請根據教材中的分析，結合圖①，寫出“角平分線的性質定理”完整的證明過程.

【定理應用】（2）如圖②，已知OC是—AO3的平分線，點P是OC上的任意一點，點D、E分別在邊。4、OB

上，連結PZXPE,ZAOB+ZDPE=180°.若NAC?=60。，OD+OE=5y/3,則OP的長為.

（3）如圖③，在平行四邊形ABCD中，ZABC=60°,8E平分/ABC交AD于點E,連結CE,將CE繞點

E旋轉，當點C的對應點f落在邊A3上時，若BF+BC=126,則四邊形3CE5的面積為.

【變式3-5］（2024?北京?一模）在AABC中，AB=AC,/A=60。，點。是8c邊的中點，作射線。E,與邊

交于點E,射線DE繞點。順時針旋轉120。，與直線AC交于點N（1）依題意將圖1補全；（2）小華通過

觀察、實驗提出猜想：在點E運動的過程中，始終有。￡=。江小華把這個猜想與同學們進行交流，通過討

論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：由點。是邊的中點，通過構造一邊的平行線，利用全等三角形，可證/；

想法2：利用等邊三角形的對稱性，作點E關于線段的對稱點P,由NB4C與NEDP互補，可得/AED

與NA尸。互補，由等角對等邊，可證。尸；

想法3：由等腰三角形三線合一，可得是NBAC的角平分線，由角平分線定理，構造點D到AB,AC的

高，利用全等三角形，可證。....

請你參考上面的想法，幫助小華證明。尸（選一種方法即可）；

（3）在點E運動的過程中，直接寫出BE,CF,之間的數量關系.

AA

D

圖1

題型四：半角模型

:指I點I迷I津

，“半角”模型是從正方形的一個頂點出發，引出兩條形成45。角的射線，這兩條射線與正方形的兩邊相交，從

而形成一個特殊的幾何圖形，如圖①,四邊形ABCD為正方形，點EF分別在邊BC、CD上,NEAF=45。解決此類

問題的方法是通過旋轉構造全等三角形，具體操作如下：

圖①圖②

:第一步:如圖②，將4ADF繞點A順時針旋轉90°,使AD與AB重合，點F落在點G處；

;第二步:由旋轉可知/ABG=/D=90°,/BAG=/DAF,AG=AF,可得到G、B、E三點共線NGAE=/EAF=45°；

I

j第三步:得到結論:①/GAF=90°;②AAGEgAAFE;③EF=BE+DF.

i

【中考母題學方法】

【典例4-1］（2024?四川樂山?中考真題）在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：

【問題情境】

如圖1,在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點。、￡在邊上，且NZME=45。，BD=3,CE=4,

求DE的長.

解：如圖2,將繞點A逆時針旋轉90。得到△ACD,連接即，

圖1

由旋轉的特征得=ZB=ZACD',AD=AD',BD=CD'.

EINK4c=90°,ZDAE=45°,

BlZBAD+ZEAC=45°.

SZBAD=ZCAD',

SZCAD'+ZEAC=45°,BPZE4D,=45°.

BZDAE=ZDfAE.

在miE和"4E中，

AD=AD'ZDAE=ZD'AE,AE=AE,

回①.

^DE=D'E■

又ElNECD=ZECA+ZACD'^ZECA+ZB=90°,

El在RtZXECD中，②.

^CDr=BD=3,CE=4,

圖2

0DE=DE=⑶.

【問題解決】

上述問題情境中，"①"處應填：；"②"處應填：；"③"處應填：.

劉老師進一步談到：圖形的變化強調從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以

不變應萬變.

【知識遷移】

如圖3,在正方形ABC。中，點E、尸分別在邊BC、CD上，滿足△CEF的周長等于正方形A3。的周長的

一半，連結AE、AF,分別與對角線3。交于M、N兩點.探究曲公MN、DN的數量關系并證明.

圖3

【拓展應用】

如圖4,在矩形ABC。中，點、E、尸分別在邊BC、CD上，S.ZEAF=ZCEF=45°.探究BE、EF、。尸的數

量關系：（直接寫出結論，不必證明）.

圖4

【問題再探】

如圖5,在VABC中，ZABC=9Q°,AB=4,BC=3,點、D、E在邊AC上，且ND3E=45。設AD=x,

CE=y,求y與尤的函數關系式.

圖5

【典例4-2］（2022?湖北十堰?中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,

點E,尸分別在BC,CD上，若NBAD=2/EAF,則=尸.

圖①

【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABC。.已知CD=CB=100m,

ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,道路A￡),A3上分別有景點M,N,且￡)M=100m,

2N=50（&-l）m,若在M,N之間修一條直路，則路線A/fN的長比路線〃fAfN的長少m

圖②

【典例4-3】(2022?貴州黔西?中考真題)如圖1,在正方形ABC。中，E,F分別是BC,C。邊上的點(點E

不與點B,C重合)，且ZE4F=45。.

(1)當=「時，求證：AE=AF-,

(2)猜想BE,EF,。尸三條線段之間存在的數量關系，并證明你的結論；

⑶如圖2,連接AC,G是延長線上一點，GH1AE,垂足為K,交AC于點X且GH=AE.若DF=a,

CH=b,請用含a,6的代數式表示EE的長.

【典例4-4】（2022?貴州貴陽?中考真題）小紅根據學習軸對稱的經驗，對線段之間、角之間的關系進行了拓

展探究.

An

如圖，在口ABCD中,AN為比邊上的高’寸，點M在仞邊上’且明=弧點E是線段加上

任意一點，連接8E,將沿BE翻折得

⑴問題解決:

使點F與點加重合，則黑=

如圖①，當440=60。，將AABE沿BE翻折后,

⑵問題探究:

如圖②，當/54。=45。，將AABE沿班翻折后,使EF〃BM,求—ABE的度數，并求出此時掰的最小

值；

⑶拓展延伸：

當/區4。=30。，將AME沿BE翻折后，若EF_LAD,S.AE=MD,根據題意在備用圖中畫出圖形，并求

出加的值.

【典例4-5】(2022?遼寧朝陽?中考真題)【思維探究】如圖1,在四邊形ABCD中，0BAD=6O°,0fiCZ)=120°,

AB=AD,連接AC.求證：BC+CD=AC.

BC

「二

：DL-------------------aA

E-'

圖1圖2

⑴小明的思路是：延長CD到點E,使DE=BC,連接AE.根據MAO+勖0=180。，推得回8+0AOC=18O。，

從而得到團2=加1。￡,然后證明AA￡)￡0A42C,從而可證BC+C￡)=AC,請你幫助小明寫出完整的證明過程.

⑵【思維延伸】如圖2,四邊形A8C。中，0BAD=0BCD=9O°,AB=AD,連接AC,猜想8C,CD,AC之

間的數量關系，并說明理由.

⑶【思維拓展】在四邊形A3C。中，0BAD=0BCD=9O°,AB=AD=R,AC與8。相交于點。.若四邊形

ABCD中有一個內角是75。，請直接寫出線段。。的長.

【中考模擬即學即練】

【變式4-1］（2024?江蘇蘇州?模擬預測）問題情境：如圖1,在四邊形ABCD中=/54￡>=120。，

ZB=ZADC=90°,E、尸分別是BC,CD上的點，且ZE4F=60。，探究圖中線段BE,EF,FD之間的數量

關系.小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G,使DG=BE,連接AG,先證明AABE空AADG,

再證明AAEF/AAGb,可得出BE,EF,FD之間的數量關系.

實際應用：如圖2,在新修的小區中，有塊四邊形綠化ABCD,四周修有步行小徑，且=

ZB+ZD=180°,在小徑8C,CD上各修一涼亭E,F,在涼亭E與尸之間有一池塘，不能直接到達，經測

量得ZEAF=；NBAZ>,跳=10米，。尸=15米，試在小王同學研究的基礎上，求兩涼亭之間的距離跖=

【變式4-2］（2023?吉林長春?二模）【問題呈現】如圖①，點￡、尸分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,

ZE4F=45°,試判斷BE、EF、ED之間的數量關系.小聰同學延長CD至點G,使￡）G=3E,連接AG,

可證4ABE必ADG,進而得到^AEF^^AGF,從而得出防、EF、FD之間的數量關系為.（不需

要證明）.

【類比引申】如圖②，四邊形ABCD中，ZBAD^90°,AB=AD,/B+ND=180。，點E、尸分別在邊BC、

CD±,請回答當44F與154D滿足什么關系時，仍有【問題呈現】中BE、EF、ED之間的數量關系,

并給出證明.

【探究應用】如圖③，在四邊形ABCD中，AB=A￡>=60,-3=60。，ZADC=120°,NR4D=150。，點E、

廠分別在線段2C、CD上，且AE_LAD,OF=3073-30,直接寫出線段跖的長.

【變式4-3］（2024?廣東深圳?一模）綜合與探究

【問題背景】北師大版數學八年級下冊尸89第12題（以下圖片框內）.

如圖，AABC,均是頂角為42。的等腰三角形，BC,OE分別

是底邊，圖中的哪兩個三角形可以通過怎樣的旋轉而互相得到？

【初步探究】

(1)我們需利用圖形的旋轉與圖形全等的聯系，并把特殊角度一般化.如圖1,在VABC與VADE中，

AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE.求證：BD=CE.

【類比探究】

(2)如圖2,在邊長為3的正方形ABCD中，點、E,尸分別是CD,8C上的點，S.DE=1.連接AE,AF,

EF,若ZEAF=45。，請直接寫出班'的長.

【深入探究】

(3)如圖3,D,P是等邊VABC外兩點，連接3。并取8。的中點且NAP￡>=120。，NMPC=60。.試

猜想出與尸D的數量關系，并證明你的結論.

【拓展應用】

(4)如圖4,在四邊形ABCD中，ZABC=60°,ZADC=90°,AD=CD,AB=2^3,BD二庖,請直接

寫出3C的長.

圖1圖2圖3圖4

【變式4-4］(2024?四川達州?模擬預測)［初步探究］

(1)如圖1,在VABC與VADE中，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE,易得BD=CE.請你寫出證

明過程.

［解題反思］

以上我們可以把圖形的旋轉與圖形全等聯系起來，并可以把特殊角度一般化.

［類比探究］

(2)如圖2,在邊長為3的正方形ABCD中，E,尸分別是CO,3C上的點，且￡>￡=1.連接AE,AF,EF,

若N￡4F=45。，請直接寫出郎的長.

［深入探究］

(3)如圖3,D,尸是等邊VABC外兩點，連接8。并取80的中點且NAPD=120。，/MPC=60。.試

猜想a與PO的數量關系，并證明你的結論.

［拓展應用］

(4)如圖4,在四邊形ABCD中，ZABC=60°,ZADC=90°,AD=CD,AB=2也,BD=庖,請直接

寫出8C的長.

【變式4-5］(