專題12二次函數(shù)

考情聚焦

課標要求考點考向

1.會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，通過圖象了解二次函考向一二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

數(shù)的性質(zhì)；用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為y考向二二次函數(shù)的圖象與系數(shù)

=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點的關(guān)系

二次函

坐標，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決

數(shù)考向三二次函數(shù)的最值

簡單實際問題；

考向四待定系數(shù)法求二次函數(shù)

2.會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.結(jié)合

的解析式

具體情況體會二次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定二次函

考向五二次函數(shù)圖象的平移

數(shù)的表達式；會利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達式.

3.通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義；會用配考向一二次函數(shù)與一元二次方

方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為y=a(x-h)2+k二次函程

的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點坐標，說出圖象數(shù)的應考向二二次函數(shù)與不等式

的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決實際問題.用

考向三實際問題與二次函數(shù)

4.能運用二次函數(shù)的知識解決綜合型問題.

真題透視/

考點一二次函數(shù)

A考向一二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

廨題技I句易錯易溫一

1.二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：①函數(shù)的關(guān)系式是整式；②自變量的最高次數(shù)是2；③二次項系數(shù)不

等于零.

2.一般式，頂點式，交點式是二次函數(shù)常見的表達式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化.

3.二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與

拋物線的交點叫做拋物線的頂點.

4.二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與

拋物線的交點叫做拋物線的頂點.

1.（2024?廣東?中考真題）若點（0,%）,（1,%）,（2,%）都在二次函數(shù)7=/的圖象上，則（）

必B.V2>M>%c.y1>y3>y2D.%>%>%

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點，根據(jù)二次函數(shù)的解

析式得出函數(shù)圖象的對稱軸是y軸（直線X=0）,圖象的開口向上，在對稱軸的右側(cè)/隨X的增大而增大,

再比較即可.

【詳解】解：二次函數(shù)了=V的對稱軸為y軸，開口向上，

.?.當x>0時，y隨x的增大而增大，

:點（0,%）?，%），（2,瑪）都在二次函數(shù)了=人的圖象上,且0<1<2,

；?

故選：A.

2.（2024?西藏?中考真題）如圖，已知二次函數(shù)了=加+云+4"0）的圖象與》軸相交于點/（-3,0）,5（1,0）,

則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）

①abc<0

②36+2c>0

③對任意實數(shù)m,am2+bm>a-b均成立

④若點（一4,乂），在拋物線上，貝4弘<%

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子的符號，由圖象可得：拋物線

開口向上，對稱軸在>軸左側(cè)，交>軸于負半軸，即可得出。>o,x=-A<o,c<o,從而求出6>o,即

可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)與無軸的交點得出二次函數(shù)的對稱軸為直線工=二萬一=T,a+6+c=0①，

9a~3b+c=0?,計算即可判斷②；根據(jù)當x=-l時，二次函數(shù)有最小值。-6+C,即可判斷③；根據(jù)

卜4-卜1）|>'-曰即可判斷④；熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由圖象可得：拋物線開口向上，對稱軸在>軸左側(cè)，交『軸于負半軸，

:?Q>0,x=-----<0,c<0,

2a

：.b>0,

abc<0,故①正確;

;二次函數(shù)尸"2+6x+4"0）的圖象與x軸相交于點N（-3,0）,5（1,0）,

-3+1

???二次函數(shù)的對稱軸為直線工='=-1,a+b+c=0?,9a-3b+c=0@,

由①+②得：10a-2b+2c=0,

2a

b=2a,

5b-2b+2c=0,即%+2c=0,故②錯誤；

當x=T時，二次函數(shù)有最小值a-6+c,

由圖象可得，對任意實數(shù)加，am2+bm+c>a—b+c,

二對任意實數(shù)a,am1+bm>a-6均成立，故③正確；

???點（-4,必）,在拋物線上，且卜"卜1）|>卜』

必>力，故④錯誤；

綜上所述，正確的有①③，共2個，

故選：B.

3.（2024?四川?中考真題）二次函數(shù)了=研2+服+。（。>0）的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①c<0；

②-2>。；③當T<x<3時，y<0.其中所有正確結(jié)論的序號是（）

4

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.根據(jù)圖象與y軸交點（0?在了軸負半軸，可得c<o,故①正確；根據(jù)圖象可得二次函數(shù)的對稱軸為

尤=T=i，由于對稱軸為無=-上，可得一上，故②正確；當-1<工<3時，二次函數(shù)圖象位于x軸

22a2a

下方，即當-l<x<3,所對應的"0,故③正確.

【詳解】解：①當x=o時，kc,根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)了="2+區(qū)+。（。>0）的圖象與y軸交點（0,c）

在了軸負半軸，即c<0,故①正確，符合題意；

②根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)〉="2+反+跳。>0）的對稱軸是直線x==O=l,即-?=1>0，故②正確，

22a

符合題意；

③根據(jù)圖象可知，當-l<x<3時，圖象位于x軸下方，即當-l<x<3,所對應的"0,故③正確，符合

題意；

綜上所述，①②③結(jié)論正確，符合題意.

故選：D.

4.（2024福建?中考真題）已知二次函數(shù)了=/一2辦+〃（"0）的圖象經(jīng)過彳|,了］,8（3。,％）兩點，則

下列判斷正確的是（）

A.可以找到一個實數(shù)。，使得％>?B.無論實數(shù)“取什么值，都有%>a

C.可以找到一個實數(shù)。，使得<0D.無論實數(shù)。取什么值，都有％<。

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),根據(jù)題意得到二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為尤，頂

點坐標為（〃,“-/）,再分情況討論，當。>0時，當。<0時，M,%的大小情況，即可解題.

【詳解】解：??,二次函數(shù)解析式為>=/-2QX+Q（QW0）,

二二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為x=-^^=a，頂點坐標為（。,。一/）,

22

a22

當X=|■時，yl=^--a+a=a--a,

當a>0時，0<|<a,

2

:.a>yx>a-a,

當"0時，a<^<0,

2

a-a<yx<az

故A、B錯誤，不符合題意；

,當a>0時，0<a<2。<3a,

由二次函數(shù)對稱性可知，%>。>0,

當a<0時，3a<2“<a<0,由二次函數(shù)對稱性可知，%>。，不一定大于0,

故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意；

故選：C.

5.（2024新疆?中考真題）如圖，拋物線>=一射+6與了軸交于點/,與x軸交于點2,線段CD在拋物

線的對稱軸上移動（點C在點。下方），且8=3.當陋+BC的值最小時，點C的坐標為.

【答案】（4」）

【分析】在了軸上取點￡（0,3），證明四邊形/灰刀是平行四邊形，得出4D=CE,利用拋物線的對稱性得

iHBC=CF，貝[]4D+3C=CE+CF±EF，當反C尸三點共線時，ND+8C最小，利用待定系數(shù)法求出直

線所解析式，然后把x=4代入，即可求出C的坐標.

117

【詳解】解：y=-x2-4x+6=-(x-4)-2,

二對稱軸為x=4,

如圖，設(shè)拋物線與x軸另一個交點為F,

當x=0時，y=6,

1,

當>=0時，0=y2_4工+6,

解得玉=2,x2=6,

.?.8（2,0）,尸（6,0）,

在了軸上取點￡（0,3）,連接CE,CF,EF,

:.AE=3=CD,

'：CD//AE,

；?四邊形/EC。是平行四邊形，

:.AD=CE,

??.拋物線對稱軸為x=4,

BC=CF,

：.AD+BC=CE+CF>EF,

當E、C、尸三點共線時，ND+8c最小，

設(shè)直線跖解析式為了=履+。，

6k+b=0

解得

??y——x+3

2

.?.當/O+3C最小時，C的坐標為（4,1）,

故答案為:（4,1）.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩點之

間線段最短等知識，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

6.（2024?上海?中考真題）對于一個二次函數(shù)y=a（x-加）,左（）中存在一點尸廿,），使得

x'-m=y'-k^0,則稱2|?-可為該拋物線的“開口大小"，那么拋物線了=一；/+夫+3“開口大小”

為.

【答案】4

【分析】本題考查新定義運算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡求值等知識，讀懂題意，理

1_1

解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點式得到一5=二1,按照定義求

X—

解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知”左=W-加）2中存在一點P（x'j'），使得

*.*y——xH—x+3

23

.—=一卜2+卜+3中存在_點打刈力，有一廠L，解得x'W=-2，則2,一4=4,

23x--3I3|

?'?拋物線尸-g，+；x+3"開口大小”為4,

故答案為：4.

7.（2024安徽?中考真題）已知拋物線y=-X2+&（b為常數(shù)）的頂點橫坐標比拋物線v=-x2+2x的頂點

橫坐標大1.

⑴求b的值；

⑵點/（%,乂）在拋物線＞=-f+2x上，點3（%+/,%+〃）在拋物線y=-x2+bx.

（i）若h=3t,且%20/＞0，求h的值；

（止）若不="1,求八的最大值.

【答案】（皿=4

⑵（i）3；（ii）?

【分析】題目主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及化為頂點式，解一元二次方程，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意求出J=-%2+2x的頂點為（LI）,確定拋物線y=-x2+bx（b為常數(shù)）的頂點橫坐標為2,

即可求解；

22

（2＞艮據(jù)題意得出必=fj+2x,,yx+h=一（再+0+4（項+0然后整理化簡h=-t-2x/+2占+At;

（i）將〃=%代入求解即可；（ii）將西=/-1代入整理為頂點式，即可得出結(jié)果.

［詳解］（1）解：y=-x2+2x=-（x2-2x+l）+l=-（^-l）2+1,

.?.y=—x2+2x的頂點為（U）,

V拋物線y=f2+云（b為常數(shù)）的頂點橫坐標比拋物線j=-x2+2x的頂點橫坐標大1,

；?拋物線『=*+&（b為常數(shù)）的頂點橫坐標為2,

..........-=2

"2x（-1）-，

/.h=4;

(2)由(1)得,=-x2+bx=-x2+4r

,?,點在拋物線y=—Y+2%上，點3(再+“1+〃)在拋物線y=――十公上.

必=—'J+2芭，必+為=一(玉+/)2+%項+/),

整理彳導：h——/2—2x,+2修+4t

(i)h=3t,

?*?3t——/—2x/+2再+4，,

整理得：%(%+2再)=%+2%，

V^>0，/>o,

t=1,

h=3;

(ii)>各石=，一1代入/z=—/一2x"+2演+4，,

410

整理得h=—3t9+8z—2=—3(/—y)?+—,

-3<0,

.?.當r=1,即為4時，/,取得最大值為1.

A考向二二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系

解題技巧/易錯易混

二次函數(shù)圖象的特征與a,b,c的關(guān)系

字母的符號圖象的特征

a>0開口向上

a

a<0開口向下

b=0對稱軸為y軸

bab>0（a與b同號）對稱軸在y軸左側(cè)

ab<0（a與b異號）對稱軸在y軸右側(cè)

cc=0經(jīng)過原點

1

c>0與y布正辛蓊相交

c<0與y軸負半軸相交

-----------------------------J

8.（2024?湖北?中考真題）拋物線y=62+旅+。的頂點為（-1,-2）,拋物線與〕，軸的交點位于x軸上方.以

下結(jié)論正確的是（）

A.a<0B.c<0C.a-b+c=-2D.b2-4ac=0

【答案】c

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系.根據(jù)二次函數(shù)的解析式結(jié)合二次函

數(shù)的性質(zhì)，畫出草圖，逐一分析即可得出結(jié)論.

【詳解】解：根據(jù)題意畫出函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，如圖所示：

???開口向上，與y軸的交點位于無軸上方，

a>0,c>0,

:拋物線與X軸有兩個交點，

***A=b2-Aac>0,

:拋物線了="2+加+6：的頂點為（一|,一2）,

??a—6+c=—2,

觀察四個選項，選項C符合題意，

故選：C.

9.（2024?陜西中考真題）已知一個二次函數(shù)y=ax1+bx+c的自變量x與函數(shù)），的幾組對應值如下表，

則下列關(guān)于這個二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（

A.圖象的開口向上B.當x>0時，y的值隨x的值增大而增大

C.圖象經(jīng)過第二、三、四象限D(zhuǎn).圖象的對稱軸是直線x=

【答案】D

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì),先利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解

析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.

4。一26+。=-8

【詳解】解：由題意得。=0，解得，

9。+36+c=—3

二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x=-（x-l）2+l,

=-1<0,

圖象的開口向下，故選項A不符合題意；

圖象的對稱軸是直線x=1,故選項D符合題意；

當0<x<1時，.］，的值隨x的值增大而增大，當久>1時，y的值隨x的值增大而減小，故選項B不符合題意；

???頂點坐標為（1』）且經(jīng)過原點，圖象的開口向下，

,圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選項C不符合題意；

故選：D.

10.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，已知拋物線尸a/+6x+c過點C（0,-2）與x軸交點的橫坐標分別為

工1,x?,且-1<占<0,2<x2<3,則下列結(jié)論：

①。-6+c〈0;

2

②方程ax+bx+c+2=0有兩個不相等的實數(shù)根；

③a+6>0;

④；

?b2-4ac>4a2.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】c

【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵；由當尸-1時，

y=a-b+c>0,可判斷①,由函數(shù)的最小值了<-2,可判斷②，由拋物線的對稱軸為直線x=-g,且

2a

，可判斷③，由尤=1時，y=a-b+c>o,當x=3時，y=9a+3b+c>0,可判斷④,由根與

22a2

系數(shù)的關(guān)系可判斷⑤;

【詳解】解：①???拋物線開口向上，一1<再<0,2</<3,

...當尤=-1時，y=a-b+c>0，故①不符合題意；

②；拋物線y=a/+bx+c過點C(0,-2),

二函數(shù)的最小值丁<-2,

ax2+bx+c=-2有兩個不相等的實數(shù)根；

?-?方程。/++c+2=0有兩個不相等的實數(shù)根；故②符合題意；

③?:一1<西<0,2<x2<3,

,拋物線的對稱軸為直線x=,且,

2a22a2

「?1<—<3,而Q〉0.

a

??-3a<b<—ut

二。+6〈0,故③不符合題意；

④：拋物線V=a，+6x+c過點。(0,-2),

c=—2/

時，y=a-b^c>0,

即3〃一3b+3c>0,

當x=3時，y=9q+36+c>0,

「?12。+4c>0,

12a>8,

2

??”>§，故④符合題意；

（5）*.*-1<Xj<0,2<x2<3,

x2-xl>2,

bc

由根與系數(shù)的關(guān)系可得：X|+X2=—-,xx=—,

ax2a

.b2-Aac_1（bVc

??4〃4義［"a

=：（玉+%2）2一為％2

2

=^［（^+^2）-4.^2］

：.b2-4ac>4a2,故⑤符合題意;

故選：C.

A考向三二次函數(shù)的最值

11.(2024.山東日照.中考真題)已知二次函數(shù)>+bx+c(aH0)圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)

過點(TO),對稱軸為直線x=2.對于下列結(jié)論：①人<0;②a+c=6;③多項式爾+bx+c可因式

分解為(x+D(x-5)；④當加>-9。時，關(guān)于x的方程?+法+C=加無實數(shù)根.其中正確的個數(shù)有()

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握

二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.①根據(jù)圖像分別判斷。，b,。的符號即可；②將點(1,0)代入

函數(shù)即可得到答案；③根據(jù)題意可得該函數(shù)與x軸的另一個交點的橫坐標為5,即可得到

&+fot+c=a(x+l)(%-5)；④由一*=2,a+c=6得至=,c=-5a,將x=2代入函數(shù)得y=—9a,

從而推出當〃，＞-9。時,該拋物線與直線了=加的圖象無交點，即可判斷.

【詳解】解：由題圖可知。＜0,O0，-:＞0

2a

:.b＞0

abc＜0,故①正確；

當x=ll時，a-b+c=Q，即a+c=6,故②正確；

??二次函數(shù)與無軸的一個交點的橫坐標為-1,對稱軸為直線x=2,

，二次函數(shù)與x軸的另一個交點的橫坐標為5,

二多項式加+fot+c=4z(x+l)(x-5),故③錯誤；

.2=2

2a

b=-4a

a+c=b

c=-5a

???當x=2時，＞有最大值，即y=4Q+2b+c=4〃-8。-5。=-9a,

當＞-9a時，拋物線y=ax2+bx+c與直線＞=機的圖象無交點，

即關(guān)于X的方程辦2+bx+c=m無實數(shù)根，故④正確.

綜上，①②④正確.

故選：C.

12.（2024?四川眉山?中考真題）定義運算：a?b=[a+2b）[a-b），例如4③3=（4+2x3）（4-3），則函數(shù)

y=（x+1）③2的最小值為（）

A.-21B.-9C.-7D.-5

【答案】B

【分析】本題考查二次函數(shù)求最值，根據(jù)新定義，得到二次函數(shù)關(guān)系式，進而利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最

值即可.

【詳解】解：由題意得，y=（x+l）02=（x+l+2x2）（x+l-2）=（x+5）（x-l）,

即y=X?+4x-5=（x+2）2-9,

,當x=-2時，函數(shù)>=（彳+1）@2的最小值為-9.

故選：B.

13.（2024?四川樂山?中考真題）已知二次函數(shù)/=/-2x（74X4FT）,當--1時,函數(shù)取得最大值；當

x=1時，函數(shù)取得最小值，則:的取值范圍是（）

A.0<Z<2B,0</<4C,2</<4D.t>2

【答案】c

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識.熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

由y=x2-2x=（x-l『-l,可知圖象開口向上，對稱軸為直線x=l,頂點坐標為，當X=T時，y=3,

即（T，3）關(guān)于對稱軸對稱的點坐標為（3,3），由當產(chǎn)-1時，函數(shù)取得最大值；當工=1時，函數(shù)取得最小值，

可得1V”1V3,計算求解，然后作答即可.

【詳解】解："=x2-2x=（x-l）2一1,

???圖象開口向上，對稱軸為直線尤=1，頂點坐標為（1，-1）,

當x=T時，P=3,

（T，3）關(guān)于對稱軸對稱的點坐標為（3,3）,

???當尤=-1時，函數(shù)取得最大值；當》=1時，函數(shù)取得最小值,

解得，2<t<4,

故選：C.

14.(2024?四川?中考真題)在完成勞動課布置的“青裸生長狀態(tài)觀察”的實踐作業(yè)時，需要測量青棵穗長.同

學們查閱資料得知：由于受儀器精度和觀察誤差影響,〃次測量會得到〃個數(shù)據(jù)4,出，…，％,如果。與

各個測量數(shù)據(jù)的差的平方和最小，就將。作為測量結(jié)果的最佳近似值.若5名同學對某株青棵的穗長測量

得到的數(shù)據(jù)分別是：5.9,6.0,6.0,6.3,6.3(單位：cm),則這株青棵穗長的最佳近似值為cm.

【答案】6.1

【分析】根據(jù)題意，這些青棵穗的最佳近似長度可以取使函數(shù)V=(“-5.9)2+2X(4_6.0)2+2xg_6.3『為最

小值的“的值，整理上式，并求出青棵穗長的最佳近似長度.

【詳解】解：由題意，〃與各個測量數(shù)據(jù)的差的平方和>=("5.9『+2x(°_6.0『+2x(°-6.3)2

=-11.8。+34.81+2。？—24。+72+24——25.267+79.38

—5ci~—61<2+186.19,

-61

a==6.1時，y有最小值,

2x5

二青棵穗長的最佳近似長度為6.1cm.

故答案為：6.1.

15.(2024?廣西?中考真題)課堂上，數(shù)學老師組織同學們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)v=x?+2辦+。-3的最值

問題展開探究.

【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法.

(1)老師給出。=-4,求二次函數(shù)］，=/+2辦+.-3的最小值.

①請你寫出對應的函數(shù)解析式；

②求當x取何值時，函數(shù)y有最小值，并寫出此時的y值；

【舉一反三】老師給出更多a的值，同學們即求出對應的函數(shù)在x取何值時，y的最小值.記錄結(jié)果，并整

理成下表：

a-4-2024

X*20-2-4

y的最小值*-9-3-5-15

注：*為②的計算結(jié)果.

【探究發(fā)現(xiàn)】老師："請同學們結(jié)合學過的函數(shù)知識，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn).”

甲同學：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取x=-〃，就能得到)，的最小值.”

乙同學：“我發(fā)現(xiàn)，7的最小值隨?值的變化而變化，當?由小變大時，y的最小值先增大后減小，所以我猜

想的最小值中存在最大值."

(2)請結(jié)合函數(shù)解析式y(tǒng)=*+2g+。-3,解釋甲同學的說法是否合理？

(3)你認為乙同學的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由.

【答案】(1)①y=f-"-7;②當x=4時，＞有最小值為-23(2)見解析(3)正確，-'

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：

(1)①把。=-4代入解析式，寫出函數(shù)解析式即可；②將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，進行求解即可；

(2)將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行解釋即可；

(3)將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，表示出N的最大值，再利用二次函數(shù)求最值即可.

【詳解】解：(1)①把。=-4代入y=x?+2ax+。-3,得：

y=x2+2-(-4)x+(-4)-3=x2-8x-7;

?*.y=—8x-7;

2X2

y=x-Sx-7=(-4)-23,

.?.當x=4時，V有最小值為-23;

(2)：y=尤2+2ax+?-3=(x+a)~-a2+a-3,

:拋物線的開口向上，

???當尤=-。時，＞有最小值；

???甲的說法合理；

(3)正確;

?y—x2+2ux+a—3=(x+0?—ct~+a—3,

.?.當x=-a時，了有最小值為一片+”3,

2_n

即：Nmin="+"3=-

4

:?當時，Wn有最大值，為一］.

A考向四待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

16.（2024?貴州?中考真題）如圖，二次函數(shù)>="2+樂+。的部分圖象與工軸的一個交點的橫坐標是-3,

頂點坐標為（T，4）,則下列說法正確的是（）

A.二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=l

B.二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2

C.當x<-1時，夕隨x的增大而減小

D.二次函數(shù)圖象與>軸的交點的縱坐標是3

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，對稱性，增

減性判斷選項A、B、C,利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，再求出與y軸的交點坐標即可判定選項D.

2

【詳解】解：：二次函數(shù)y=ax+bx+c的頂點坐標為（T4）,

,二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=-1,故選項A錯誤；

:二次函數(shù)了=。/+樂+屈勺圖象與》軸的一個交點的橫坐標是-3，對稱軸是直線x=-l,

???二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是1,故選項B錯誤；

:拋物線開口向下，對稱軸是直線x=—,

.?.當x<-1時，y隨x的增大而增大，故選項C錯誤；

設(shè)二次函數(shù)解析式為尸“X+1)2+4,

把(TO)代入，得0=a(-3+以+4,

解得a=T,

j=-(x+l)2+4,

當x=0時，^=-(0+1)2+4=3,

二次函數(shù)圖象與)，軸的交點的縱坐標是3,故選項D正確，

故選D.

17.(2024?遼寧?中考真題)如圖,在平面直角坐標系中，拋物線了=ax2+bx+3與X與相交于點A,3,點

3的坐標為⑶。),若點。(2,3)在拋物線上，則的長為.

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練求解二次函數(shù)的解析式是

解題的關(guān)鍵先利用待定系數(shù)法求得拋物線＞=-—+2》+3，再令＞=0得0=*+2x+3解得％=-1或x=3,

從而即可得解.

【詳解】解:把點3⑶。)，點。(2,3)代入拋物線＞=渡+法+3得，

JO=9。+36+3

[3=4。+26+3'

解得[a=-.1’

拋物線y=~x2+2%+3,

令V=°，得0=—X2+2%+3,

解得％=-1或%=3,

???4—L0),

故答案為：4

18.（2024?西藏?中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線＞="2+樂+3（0*0）與x軸交于,5（3,0）

（2）如圖（甲），設(shè)點C關(guān)于直線/的對稱點為點D,在直線I上是否存在一點P,使*PD有最大值？若

存在,求出血-尸。的最大值；若不存在，請說明理由；

2

⑶如圖（乙），設(shè)點M為拋物線上一點，連接MC，過點M作兒交直線/于點N.若tanNMCN=],

求點M的坐標.

【答案】⑴y=*+2x+3

（2）PA-PD存在最大值；最大值為V10

（3）點A/■的坐標為（TO）或或（"l。）或（3,0）

【分析】（1）把/（-1，。）,8（3,0）代入拋物線求出。、6的值,即可得出拋物線的解析式；

（2）先求出點C的坐標為（0,3），連接尸C、PD、PA，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出尸。=尸。,PA-PC=PA-PD,

得出當尸/-PC最大時，最大，根據(jù)當點4、C、P三點在同一直線上時，尸/-尸。最大，即當點P

在點P時,P4-PD最大,求出最大值即可；

（3）過點M作〃了軸，過點C作CD，DE于點。，過點N作NE1DE于點E,設(shè)點M的坐標為：

（加，-加2+2加+3），得出=卜/+2加+3-3卜卜加2+2司,NE-\m-]\,證明ACZM/SAMEN,得出

器=寢=5，從而得出3卜加+2加|=2何-1|，分四種情況：當機4°時，當°＜“V1時，當1〈機V2時，

NEMN311

當加＞2時，分別求出點M的坐標即可.

【詳解】（1）解：把/（TO），8（3,0）代入了="2+法+3（./0）得：

]〃-6+3=0

19。+36+3=0'

解得4[a=2—\,

二拋物線的解析式為:y-—%2+2x+3;

(2)解：P/-尸。存在最大值；

把x=0代入.v=-x2+2x+3得：y=3,

二點。的坐標為(0,3),

Vy=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

,拋物線的對稱軸為直線x=l,

連接尸。、PD、PA，如圖所示：

V點C關(guān)于直線I的對稱點為點D,點P在直線I上,

PC=PD,

：.PA-PC=PA-PD,

.?.當尸/-PC最大時，PA-PD最大,

；?當點/、C、尸三點在同一直線上時，尸/-尸。最大，即當點尸在點尸'時，尸/-9最大，

:.尸/-最大值為：AC=yJl2+32=710.

(3)解：過點“作切〃了軸，過點。作CDLDE于點D,過點N作NELDE于點E,如圖所示：

?:CM工MN,

???ZCAW=90°z

八…MN2

..tanZ.MCN=----=—.

CM3

設(shè)點M的坐標為：(m,-m2+2冽+3),

DM=|-m2+2m+3-3|=|-m2+2m|,NE=\m

???ZCMN=ANEM=ZCDM=90°,

JZDCM+ZCMD=ZCMD+ZNME=90°,

???ZDCM=/NME,

:,ACDMSAMEN,

.NE_MN_2

**M7-CA7-3，

,帆7_2

|-m2+2m|3

2|-m2+2m|=3|m-l|

當加W0時,-m2+2m<0，冽一l<0,則：

2m2-4m=3-3m,

3

解得：%=T,加2=5(舍去)，

此時點M坐標為：(-1,0);

當0〈加V1時，一加2+2〃？>0,m-1<0，貝(］：

-2m2+4m=3-3m,

解得：叫=3（舍去），m2=1

此時點M坐標為："1

當1<加《2時，-m2+2m>0,m-l>0,貝［］：

-2m2+4m=3m-3,

3

解得：叫=3,加2=-1（舍去），

此時點M坐標為：;

當加>2時，-m2+2m<0,m—1>0，則：

2m2-4m=3m-3,

解得：叫=3,（舍去），

此時點M坐標為：（3,0）；

綜上分析可知：點M坐標為：（TO）或CJ或或（3,0）.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，求二次函數(shù)解析式，軸對稱的性質(zhì)，兩點間距離公式，解

直角三角形的相關(guān)計算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握

相關(guān)的判定和性質(zhì)，注意進行分類討論.

19.（2024湖北中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線了=--+樂+3與x軸交于點/（TO）和點2,與

y軸交于點c.

⑵如圖，M是第一象限拋物線上的點，ZMAB=ZACO,求點”的橫坐標；

⑶將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為L,Z與了軸交于點N.設(shè)L的頂點橫坐標為〃，NC的

長為d.

①求”關(guān)于〃的函數(shù)解析式；

②乙與X軸圍成的區(qū)域記為u,u與A/BC內(nèi)部重合的區(qū)域(不含邊界)記為沙.當d隨〃的增大而增大，

且印內(nèi)恰好有兩個橫、縱坐標均為整數(shù)的點時，直接寫出n的取值范圍.

【答案】(1)6=2

Q

⑵點”的橫坐標為§

⑶①"=]〃[!〃,或":T);②-Id-G或應

[-n+1(-1<H<1)

【分析】(1)用待定系數(shù)法求解即可；

(2)設(shè)〃(加,--+2加+3)，作軸于點H,構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)或者相似建立關(guān)于

m的方程求解即可；

(3)①由二次函數(shù)平移可得出圖象L的解析式為y=-(x-療+4=*+2〃x-〃2+4,從而得到

CN=d=\-n2+4-3\=\-n2+1|,再分類討論去絕對值即可；

②根據(jù)題干條件得出整數(shù)點@1),(0,2),(1,1)，再分別兩兩進行分類討論，建立二次函數(shù)不等式即可解決.

【詳解】(1)解：.:二次函數(shù)y=-Y+及+3與X軸交于4-1,0),

.-,0=-1-/>+3,

解得：b=2;

(2)Q6=2,

二二次函數(shù)表達式為：y=-x2+2^+3=-(x-iy+4,

令y=0,解得X=-1或x=3,令x=0得y=3,

.?一(-1.0),5(3,0),C(0,3),

+2m+3),

作九軸于點“，如圖，

AMAB=ZACO,

/.tanZMAB=tanZACO,即---=---,

'閃AHOC'

.—m2+2m+31

m+13

Q

解得加=§或m=-1(舍去),

o

的橫坐標為§；

(3)①。??將二次函數(shù)沿水平方向平移，

二.縱坐標不變?yōu)?,

,圖象L的解析式為.y=-(x-”)2+4=-x2+2nx-n2+4,

.1.N(0,-+4)f

^d=CN=\-n2+4-3^\-n2+\\,

n2-1(n>-1)

…~[-n2+\(-1<?<1)'

^7f?2-1(n>l^n<-1)—「一，

②由①得[=2),nL畫出大致圖象如下,

[-n+1(-1<?<1)

"隨著〃增加而增加,

/.-\<n<0或〃>1,

A45C中含(0,1),(。，2),(1,1)三個整點(不含邊界)，

當U內(nèi)恰有2個整數(shù)點(0,1),(。⑵時,

當x=0時，/>2，當x=1時，％V1,

.卜/+4>2

—\/2<W<V2,〃N1+或〃41-\/3,

-y/2,<7?<1-/

v—1<H<0或〃21,

-147241-；

當U內(nèi)恰有2個整數(shù)點(0,1),(1,1)時，

當x=0時，l<yL<2，當x=l時，為>1,

1<-?2+4<2

"-(1-?)2>1，

〃4-V2V2,1—A/3<??<1+V3,

V2<M<A/3,

-1<7?<0或“21,

??-V2<?<73；

當U內(nèi)恰有2個整數(shù)點(。，2),(1,1)時，此種情況不存在，舍去.

綜上所述，”的取值范圍為-IV”VI-道或亞V”6.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，包括用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式及二次函數(shù)與線段交點的問

題，也考查了二次函數(shù)與不等式，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)

合法是解題關(guān)鍵.

20.(2024?吉林?中考真題)小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識，設(shè)計了一個計算程序，其程序框圖如圖(1)

所示,輸入x的值為-2時,輸出〕，的值為1；輸入x的值為2時,輸出y的值為3；輸入x的值為3時，輸

出J，的值為6.

(圖I)（圖2）

⑴直接寫出左，。，6的值.

(2)小明在平面直角坐標系中畫出了關(guān)于x的函數(shù)圖像，如圖(2).

I.當J，隨X的增大而增大時，求X的取值范圍.

H.若關(guān)于x的方程爾+a+3-/=0”為實數(shù))，在0<x<4時無解，求』的取值范圍.

III,若在函數(shù)圖像上有點P,Q(P與Q不重合).尸的橫坐標為m,Q的橫坐標為-優(yōu)+1.小明對P,Q

之間(含P,0兩點)的圖像進行研究，當圖像對應函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接

寫出m的取值范圍.

【答案】⑴左=1，。=13=-2

(2)I:x<Opgx>l;II：1<2或，211;III：-l<m<0pgl</M<2

【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像與性