烏魯木齊地區2025年高三年級第一次質量監測

數學（問卷）

（卷面分值：150分；考試時間：120分鐘）

注意事項：

1.本試卷分為問卷（4頁）和答卷（4頁），答案務必書寫在答卷（或答題卡）的

指定位置上.

2.答題前，先將答卷密封線內的項目（或答題卡中的相關信息）填寫清楚.

第I卷（選擇題共58分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選

項中只有一項是符合題目要求的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1.已知集合/={1,3,5},5={0,1,2,4},則NU8=（）

A.{0,123,4,5}B.{0,1,2,4}C.{1,3,5}D.{1}

1-i

2.復數」=（）

i

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

3.在公差不為0的等差數列{%}中，若=5（%+%）,貝！］左=（）

A.7B.8C.9D.10

4.新高考改革方案采用“3+1+2”模式，“3”即全國統考的語文、數學、外語，“1”即在物理、

歷史2門首選科目中選考1門，“2”即在思想政治、地理、化學、生物學4門再選科目中選

考2門.選考方案有（）

A.6種B.8種C.12種D.15種

5.已知等邊三角形/3C的邊長是2,D、E分別是48、/C的中點，則屁.麗=（）

A30_3

C.-D.—

2222

6.若。,6eR,則下列命題正確的是()

A.若a>6,則/>"B.若a#b,則a2Hb2

C.若“＜同，則/＜〃D.若a＞問，則a?〉/；?

7.如圖，一個圓柱形容器中盛有水，圓柱母線叫=4,若母線N4放置在水平地面上時,

試卷第1頁，共4頁

水面恰好過CM的中點，那么當底面圓O水平放置時，水面高為()

A2V3n473「2石口4c

A.------B.------C.—H---D.—H-----

3n3Ti37i3n

8.已知函數/'(x)=|x-a|,g(x)=x+-,當x>0時，/(x)<g(x),則。的取值范圍是()

A.(-oo,0]B.(ro,8]C.[0,2]D.[0,8]

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得

0分.

9.關于雙曲線4/+64=0,下列說法正確的有()

A.實軸長為16B.焦點坐標為(0,4行)，(0,-46)

C.離心率為1D.漸近線方程為>=土?

10.關于x的函數/(x)=sin(x+a)+sin(尤+夕)，下列結論正確的有()

A.函數f(x)的最小正周期7=兀

B.若a+6=0,則/'(X)是奇函數

C.若a+￡=?則苫=:是/'(x)圖象的一條對稱軸

D.若/(O)=g,/0]=:，則cos(a-6)=-：

11.給定棱長為1的正方體N5CD-44G〃，M是正方形4DA4內(包括邊界)一點，

下列結論正確的有()

A.三棱錐M5C的體積為定值

B.若點〃在線段/。上，則異面直線8M與瓦C所成角為定值

C.若點”在線段幺2上，則的最小值為亞瑟

試卷第2頁，共4頁

D.若BM=",則點”軌跡的長度為拽兀

33

第n卷(非選擇題共92分)

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.

12-已知/(")=優1則/嗎下—；

13.李明上學有時坐公交車，有時騎自行車，他記錄了多次所花時間，假設坐公交車用時X

和騎自行車用時Y都服從如圖的正態分布.星期一李明出門有38min可用，他應該選擇

交通工具；星期二李明出門有34min可用，他應該選擇交通工具；

1A

度曲爹子苜曲線

司~^6303438Z/min

22

14.已知橢圓C：方=1(°>6>0)的左焦點為耳，過點片且傾斜角為60。的直線交y軸

于點交橢圓C于A,3兩點(A點在B點左側)，I凰=8:7,則橢圓C的離心率

為.

四、解答題：本大題共5小題，共計77分.解答應在答卷的相應各題中寫出文字

說明，證明過程或演算步驟.

7T

15.在V/BC中，角A,B,C的對邊分別為b,c,已知。=3,6=2,C=-.

(1)求V/2C的面積；

(2)求VABC中ZC的角平分線的長.

16.如圖，一個質點從原點0出發，每隔1s向左或向右移動一個單位，每次移動時向右移動

的概率為0.6,記〃s后質點所在的位置是.

(1)求P。=-2)；

(2)至少幾秒后才能使得E(%)22.

17.如圖，及4和。C都垂直于平面48C,且E/=2DC,尸是線段BE上一點.

試卷第3頁，共4頁

E

(1)若//平面證明尸是5E的中點；

(2)若/B=5C=CZ),ABLBC,平面。斯與平面/CF夾角的余弦值為正，求名.

18.已知拋物線C：/=2px(O<p<5)的焦點為尸，點尸,,4)在C上，且|PF|=5.

⑴求C的方程；

⑵過點尸的直線交C于A,8兩點(異于點尸).

⑴若PA工PB,求朋；

(ii)過點尸與直線N3垂直的直線交C于。，E兩點，設線段的中點分別為

N,0是坐標原點，求A(W面積的取值范圍.

19.已知〃x)=--2xlnx-l.

(1)求證：當x>l時，/(X)>0；

n]

⑵設丁7一叱

自1+k

(i)求證：數列｛4｝為遞減數列；

(ii)求證：|??|<|.

試卷第4頁，共4頁

1.A

【分析】由并集的運算即可求解；

【詳解】由/={1,3,5},5={0,1,2,4）,

則/U8={0,l,2,3,4,5},

故選：A

2.D

【分析】根據復數的除法計算后可得正確的選項.

【詳解】lzl=（：；）（；）=一一,

1ix㈠）

故選：D.

3.D

【分析】根據等差數列前項和公式和等差數列的通項公式計算即可.

【詳解】設等差數列{與}的公差為"，則130,

由航0—5（4+做）彳導，10%+45d=5〔%+<?]+（左一1）d],

所以9=左一1,即左=10.

故選：D.

4.C

【分析】利用組合知識和分步乘法計數原理得到答案.

【詳解】從物理、歷史2門首選科目中選考1門，有C；=2種選擇,

在思想政治、地理、化學、生物學4門再選科目中選考2門，有C：=6種選擇，

故選考方案有2x6=12種.

故選：C

5.B

【分析】將向量就、函用基底{強，元}表示，然后利用平面向量數量積的運算性質可求

得麗?麗的值.

【詳解】如下圖所示：

答案第1頁，共15頁

A

因為等邊三角形NBC的邊長是2,D、￡分別是45、NC的中點，則函=-g而，

_—，1—.1—.

由通k=就k得而k-第=就k-屁k，^^BE=-BA+-BC,

由平面向量數量積的定義可得瓦?元=|國網cos^=22xl=2,

因止匕，礪.麗=g（切+困?]=可=q（茄.瑟+就）=）2H22）=一]

故選：B.

6.D

【分析】利用特殊值判斷A、B、C,利用不等式的性質判斷D.

【詳解】對于A：當a=0,6=T時滿足。＞6,但是/＜62,故人錯誤;

對于B：當。=1,6=-1時滿足。片6,但是/=62,故B錯誤；

對于C：當。=-2,6=-1時滿足。＜何，但是二〉〃，故c錯誤;

對于D：若。＞網,則同＞碓0,所以，＞時,則〃＞廬,故D正確;

故選：D

7.B

【分析】根據兩種放置方式水的體積不變即可求得.

【詳解】如圖，

設圓柱底面半徑為，，則當母線力4水平放置時，圓柱中含水部分可以看作是以弓形R4C為

答案第2頁，共15頁

底，為高的柱體,

因為水面過CM的中點，貝1]N8OC=2N8CM=3-,

則弓形8/C的面積為v=--—r2---r2sin—=—

123233

當底面圓。水平放置時，底面圓的面積為邑=萬產，設水面高為

則由水的體積不變可得：=:星?刀日n1(冗丫A/3F...121

R|J—(-------------------------)-AA=-7ir?h,

334y13

解的：h=--^~.

3n

故選：B.

8.D

【分析】取特值/■⑵wg⑵解得0VaV8,整理可得-1)42尤3+2一,換元令yf>0,

3

構建/7(。=24+20>0，根據導數的幾何意義求臨界狀態，結合圖象即可得結果?

【詳解】因為當x>0時，/(x)<g(x),

則/(2)Vg(2),gp|2-a|<2+p

整理可得42一84?0，解得0<4<8,

若04〃V8,貝！—,

整理可得^Z(X2-1)<2X3+2X2,

33

令￡=丁>0,則可得a("l)42M+2f，

構建〃?)=2”+2f,/>0,則〃?)=3〃+2>0,

可知蛇)在(0,+e)內單調遞增，

若尸a(…l)與)=3)相切,

(I\

設切點坐標為力,24+2,0,切線斜率左=3a+2,

I7

j*3

則切線方程為尸12碎+2%]=(3瓜+2)(x―。)，整理可得了=(3“+2卜

3

注意到直線尸。("1)過定點(L0),則卜a+21蠟=0，

答案第3頁，共15頁

結合圖象可知：0<?<8,所以。的取值范圍是［0,8］.

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：取特指確定。的必要條件，這樣可以簡化討論和計算.

9.ABC

【分析】將雙曲線方程化為標準形式，求解長軸判斷A,求解焦點坐標判斷B,求解離心率

判斷C,求解漸近線方程判斷D即可.

【詳解】因為4/-『+64=0,所以/一4/-64=0,

則》2_收=64,化簡得］———=1,貝!Ia=8,6=4,c=4石，

6416

對于A,則實軸長為2a=16,故A正確，

對于B,焦點坐標為(0,4班)，(0,-46)，故B正確，

對于C,離心率為e=￡=迪=",故C正確，

。82

對于D,漸近線方程為y=±2x,故D錯誤.

故選：ABC

10.BCD

【分析】對于A：舉反例說明即可；對于B：整理可得/(x)=2cosa-sinx,即判斷奇偶性;

對于C：整理可得/(x)=sin(x+a)+cos(x-a),根據對稱性的定義分析判斷；對于D：代

入可得sincz+sin"=J,cosa+cos/?=i,兩式平方相加整理即可.

【詳解】函數/(可的定義域為R,

答案第4頁，共15頁

對于選項A：例如a=0,，=兀，

貝！Jf(x)=sinx+sin(X+TI)=sinx-sinx=0,

此時函數/(x)無最小正周期，故A錯誤；

對于選項B：若a+，=0,即夕=一。，

可得/(%)=sin(x+a)+sin(x-a)=2cose-sinx,

可知函數/(x)為奇函數，故B正確；

jrJT

對于選項C：若a+，=5，即，=—a+,,

可得/(x)=sin(x+a)+sin,_a+g]=sin卜+a-cosq一a),

貝1/(巴―%]=sin仔_(x一°)]+cosF-(x+a)]=co《x-a)+si/x+@=/，，

所以X=:是/(X)圖象的一條對稱軸，故C正確;

對于選項D：若/'(0)=5，f

.Tt??1

+smI—+pI=cosa+cos/?=—,

因為⑸na+sin￡)2+(cosa+cos/7)2=2+2?osacos￡+sinasin夕>2+2cos,

i1i3

即2+2cos(a-￡)=w+1=丁整理可得cos(a-￡)=-“故D正確;

故選：BCD.

11.ABC

【分析】建立空間直角坐標系，求出底面積，再利用點到平面的距離公式求出點面距離，求

出體積是定值判斷A,利用線線角的向量求法求出線線角，得到定值判斷B,作出展開圖，

利用先判斷最小值是線段45,再利用余弦定理求解其長度判斷C,求出軌跡方程，再利用

圓的弧長公式求解弧長判斷D即可.

【詳解】如圖，以。為原點，建立空間直角坐標系，連接

答案第5頁，共15頁

對于A,易得面”8CC1的法向量為￡=(0,1,0),設M到面穌8cq的距離為d,

由點到平面的距離公式得〃=咋也=1,而邑=1x1x1」

7122

則乂TBCML.GBCVXIX；］,即三棱錐C「AffiC的體積為定值，故A正確,

對于B,因為點”在線段上，所以而=/C位(0V2V1),

而1(1,0,0),A(0,0,1),則唐=(-1,0,1),翔=(x-l,0,z),

得到x—1=—%,z=4,解得x=1—%,即Af(l—4,0,4),

|(-l)x^-A)+(-l)x^|

則cosp二而方［吟故￡=(

J(T)2+(T)2XJ(T)2+(-不2+才

即異面直線四與瓦C所成角為定值，故B正確,

對于C,如圖，將面4AzM沿著NR翻折，使面42'與面N2G4共面，

答案第6頁，共15頁

Di

由題意得四邊形4，。/是正方形，四邊形/2GA是矩形，

,JIJI11

得到N//。=/。①臺=5,AD,AAX=-,ZA^AB=-

而"4+M8248,則42的長度即為所求最小值，

由余弦定理得-也=『+『一(4'『，解得=52+正，故C正確,

22x1x11

對于D,如圖，連接8加，此時2(1,1,0),Af(x,0,z),

則由兩點間距離公式得BM=7(x-l)2+(-l)2+z2=7(x-l)2+l+z2,

因為BM=￥，所以J(XT)2+I+ZJy,

兩邊同時平方得(Al)?+1+/，化簡得(x-l)2=；,

則W的軌跡是以A為圓心，Y1為半徑的圓弧，

3

由正方體性質得44。=與，貝IJ弧長為且、巴=也無，

2326

即點M軌跡的長度不為還兀，故D錯誤.

3

故選：ABC

【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵是建立空間直角坐標系，然后求解出軌跡方程，再利用弧長

公式得到所要求的軌跡長度即可.

答案第7頁，共15頁

1

12.-##0.5

2

【分析】利用指數函數，對數函數的運算性質求解即可.

【詳解】因為〃力=「XT',所以溫A10°=l,

則(C=/(103)=lgl(F=1.

故答案為：y

13.自行車公交車

【分析】應選擇在給定時間內不遲到的概率大的交通工具，結合圖形，比較概率的大小可得

答案.

【詳解】由題意，應選擇在給定時間內不遲到的概率大的交通工具.

根據X和y的分布密度曲線圖可知：p(^<34)>p(r<34),尸(y>38)<p(x>38),

可得P(X438)<P(y?38),

若有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大，應選擇騎自行車；

若有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大，應選擇坐公交車；

故答案為：騎自行車；坐公交車.

14-I

【分析】設直線為y=6(x+c),求得/縱坐標，由|/耳|：|孫|=8:7求得人的坐標，代入

橢圓方程即可求解.

【詳解】由題設，令直線為y=V^(x+c),

因為瑪：|九陰|=8:7

答案第8頁，共15頁

可得又均<0，

yM7

可得：”=一,c,再結合y=g（x+c）,

可得貓=-緊

代入橢圓方程絲岑+更竺=1,又〃=/-c2,

49a249〃

225c2192c2,

所以k+碰一fl

化簡可得：（/一9c，卜9/一25c2）=0,因為a>c,

易知49/一25。2>0

所以02=902,即“=3c

c1

所以e，二

a3

故答案為：

15.⑴孚

⑵竽

【分析】（1）根據面積公式運算求解即可；

（2）設角平分線為CD,根據面積關系運算求解即可.

71

【詳解】（1）因為。=3,b=2,C=|,

所以VABC的面積為SABC=—absvaC=—x3x2sin-=.

"c2232

（2）設角平分線為CD,

因為&N5C=S4CAD+邑CBD

貝!J=—a\CD\sin—+—b\CD\sin—,

232626

BP-x3x2x—=-x3C￡>x--Ux2C￡>U,解得CD=述,

2222225

所以/C的角平分線的長為迪.

5

16.（1）0.1536

⑵至少10s后

答案第9頁，共15頁

【分析】(1)根據題意分析可知X?8(〃,0.6),a?=2X-n,可得尸(&=-2)=P(X=1),

結合二項分步運算求解；

(2)由⑴結合期望的性質可得E(%)=02",令E(a")Z2,運算求解即可.

【詳解】(1)記〃s后質點向右移動的次數為X.

則X?8(〃,0.6),且%=l-X+(-l)-(?-^)=2X-?,

可得知=2X-4,令%=-2,即2X-4=-2,解得X=l,

則尸(%=-2)=尸(X=l)=C；x06x0.43=0.1536.

(2)由(1)可知：E(a,J=E(2X-〃)=2E(X)-〃=2x〃x0.6-〃=0.2〃，

令E(。”)=0-2"22,解得"210,

所以至少10s后才能使得E(a?)>2.

17.(1)證明見解析

(八里」

【分析】(1)根據線面平行的性質可得刊M〃CD,進而根據四邊形C,尸。是平行四邊形,

即可求解，

(2)建立空間直角坐標系，求解平面法向量，即可根據向量的夾角公式求解.

【詳解】(1)過點尸作■ra/〃NE交48于點M,連接CA/,

則尸/〃/E〃CD,即尸、M、C、。四點共面，

DF//平面ABC,。廠u平面FMCD，平面句10。平面ABC=CM,

/.DF//CM,又,：FM//CD,

???四邊形.。是平行四邊形，.是成的中點

E

(2)ABLBC,E/_L平面

答案第10頁，共15頁

以3為坐標原點，8/為尤軸，8c為了軸，過B平行于E4的直線為z軸，建立坐標系3-xyz.

記N5=BC=CD=1,則/(1,0,0),5(0,0,0),C(0,l,0),￡>(0,1,1),￡(1,0,2),

設麗=彳礪，則前=（40,2幾），即點尸的坐標為（4。,24）,赤=（1,0,2）,麗=（0,1,1）,

設平面BDE的一個法向量為4=（%,必,％）,

BE-nx=0&+2Z]=0xl=2

即,令Z]=-l,則則*=(2,1,-1),

BD?4=0.%+Z]=0乂=1

就=(-1,1,0),萬=(幾-1,0,22),

設平面NC尸的一個法向量為%=（*2，%/2）,

AC-n2=0\-x2+y2=Q

，

JF.^=0[(A-1)X2+2/IZ2=0

%=1—(

1-2

令迎=1,貝上1-4,貝11%=I4,

z=----<~zT

,224

因為平面。跖與平面NCF的夾角余弦值為變,

所以卜0s%，T=

整理得111萬一34之一1=0,解得4=；或4=-*（舍）,

18.⑴/=4x

(2)(i)—；(ii)[6,+co)

【分析】（1）根據焦半徑公式以及點的坐標即可聯立方程求解,

答案第11頁，共15頁

7

（2）聯立直線與拋物線的方程，根據向量垂直的坐標運算即可求解加=--，進而根據焦點

弦公式求解（i）,根據中點坐標求解直線"N的方程，即可直線"N與x軸的交點，根據三

角形面積公式，結合基本不等式求解即可.

【詳解】（1）由題意可得

a+—=5fn=2fp=8,

2，解得,或,（舍）.所以C的方程為r=4x

[16=2?p["4t?=l

（2）（i）由（1）可得P（4,4）.設直線的方程為x=+l卜S（x2,y2）.

由方程組2:，消去x，得r-4叩-4=0,

U=4x

貝ljA=16機2+16>0,弘+%=4加,匕％=-4

所以尸/=（再-4,乂—4）=（my1-3,yx-4）,PB-（x2-4,y2-4）=（my2-3,y2-4）.

由尸/_L尸3可得

尸/?尸2=（〃沙1-3）（叼2-3）+（必-4）（%-4）=（%2+1）必%-（3%+4）（/+%）+25

=-4（〃?2+1）-4m（3m+4）+25=（3-4加）（4加+7）=0

解得加=-;7或"，=3：（舍）.所以直線的方程為》+7白-1=0.

444

765

\AB\=X[+X2+2=（ji+）2）+4=丁；

（ii）由（i）可得=4加，幾為=T，故石+工2=加（%+y2）+2=4加2+2,

故"（2加之+1,2加）,

將加換成一~^可得—^+1,---],

mymmJ

當加=±1時，M（3,2）,N（3,-2）或M（3,-2）,N（3,2）,故直線7W的方程為x=3,

2

2m——

________mm

當加w±l時,

52

2m2+l-^y-lm-1

m

故直線MV的方程為>-2冽=（x-2比2-1）,

m-1v/

令P=0,得x=3,S^OMN=^x3x\yM-y^=3m+-^->6,

2m

答案第12頁，共15頁

當且僅當加=±1時等號成立，所以面積的取值范圍為[6,+8).

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：(1)幾何法，若題目的條件能

明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；(2)代數法，若題目的條件能體現

一種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值，如本題需先將△MCW

的面積用表示出來，然后再利用基本不等式長最值.

19.(1)證明見解析

(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析

【分析】(1)對函數/(力求導，并構造°(x)=/'(x),利用導數判斷出函數的單調性和最值,

即可證明出不等式;

(2)⑴a?+1-an=—5--In,令