第2講基本初等函數、函數與方程第1頁考情分析第2頁總綱目錄考點一

基本初等函數圖象與性質考點二函數零點考點三函數實際應用第3頁考點一

基本初等函數圖象與性質1.指數與對數式七個運算公式(1)am·an=am+n;(2)(am)n=amn;(3)loga(MN)=logaM+logaN;(4)loga

=logaM-logaN;(5)logaMn=nlogaM;(6)

=N;(7)logaN=

.(a>0且a≠1,b>0且b≠1,M>0,N>0)第4頁2.指數函數與對數函數增減性指數函數y=ax(a>0,且a≠1)與對數函數y=logax(a>0,且a≠1)增減性分0<a<1和a>1兩種情況,當a>1時,在定義域內都為增函數,當0<a<1時,在定

義域內都為減函數.第5頁經典例題(1)(課標全國Ⅰ,9,5分)已知函數f(x)=lnx+ln(2-x),則

()A.f(x)在(0,2)單調遞增B.f(x)在(0,2)單調遞減C.y=f(x)圖象關于直線x=1對稱D.y=f(x)圖象關于點(1,0)對稱(2)(天津,6,5分)已知奇函數f(x)在R上是增函數.若a=-f

,b=f(log24.1),c=f(20.8),則a,b,c大小關系為

()A.a<b<c

B.b<a<c

C.c<b<a

D.c<a<b第6頁答案(1)C(2)C解析(1)函數f(x)=lnx+ln(2-x)=ln[x(2-x)],其中0<x<2,則函數f(x)由f(t)=

lnt,t(x)=x(2-x)復合而成,由復合函數單調性可知,x∈(0,1)時,f(x)單調

遞增,x∈(1,2)時,f(x)單調遞減,則A、B選項錯誤;t(x)圖象關于直線x=

1對稱,即t(x)=t(2-x),則f(x)=f(2-x),即f(x)圖象關于直線x=1對稱,故C選

項正確,D選項錯誤.故選C.(2)∵f(x)為奇函數,∴f(-x)=-f(x),∴a=-f(-log25)=f(log25),而log25>log24.1>2>20.8,且y=f(x)在R上為增函數,∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),即a>b>c,故選C.第7頁方法歸納研究指數、對數函數圖象應注意問題(1)指數函數、對數函數圖象和性質受底數a影響,處理與指數、對

數函數尤其是與單調性相關問題時,首先要看底數a范圍.(2)研究對數函數性質,應注意真數與底數限制條件.第8頁跟蹤集訓1.(課標全國Ⅰ,8,5分)若a>b>0,0<c<1,則

()A.logac<logbc

B.logca<logcbC.ac<bc

D.ca>cb

答案

B∵0<c<1,∴當a>b>1時,logac>logbc,A項錯誤;∵0<c<1,∴y=logcx在(0,+∞)上單調遞減,又a>b>0,∴logca<logcb,B項正確;∵0<c<1,∴函數y=xc在(0,+∞)上單調遞增,又∵a>b>0,∴ac>bc,C項錯誤;∵0<c<1,∴y=cx在(0,+∞)上單調遞減,又∵a>b>0,∴ca<cb,D項錯誤.故選B.第9頁2.(課標全國Ⅱ,8,5分)函數f(x)=ln(x2-2x-8)單調遞增區間是

(

)A.(-∞,-2)

B.(-∞,1)

C.(1,+∞)

D.(4,+∞)答案

D由x2-2x-8>0可得x>4或x<-2,所以x∈(-∞,-2)∪(4,+∞),令u=x2-2x-8,則其在x∈(-∞,-2)上單調遞減,在x∈(4,+∞)上單調遞增.又因為y=lnu在u∈(0,+∞)上單調遞增,所以y=ln(x2-2x-8)在x∈(4,+∞)上單調遞增.故選D.第10頁3.(四川成都第二次模擬)已知函數f(x)=ax(a>0,且a≠1)反函數

圖象經過點

.若函數g(x)定義域為R,當x∈[-2,2]時,有g(x)=f(x),且函數g(x+2)為偶函數,則以下結論正確是

()A.g(π)<g(3)<g(

)

B.g(π)<g(

)<g(3)C.g(

)<g(3)<g(π)

D.g(

)<g(π)<g(3)答案

C∵函數f(x)=ax(a>0,且a≠1)反函數圖象經過點

,∴

=

,∴a=

,∵g(x+2)是偶函數,∴g(-x+2)=g(x+2),∴g(3)=g(1),g(π)=g(4-π),∵4-π<1<

,又當x∈[-2,2]時,g(x)單調遞減,∴g(4-π)>g(1)>g(

),即g(

)<g(3)<g(π),故選C.第11頁考點二

函數零點函數零點與方程根、函數圖象關系函數F(x)=f(x)-g(x)零點就是方程f(x)=g(x)根,即函數y=f(x)圖象與

函數y=g(x)圖象交點橫坐標.第12頁經典例題(1)已知函數f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).當2<a<3<b<4時,函數f(x)

零點x0∈(n,n+1),n∈N*,則n=

()A.1

B.2

C.3

D.4(2)(課標全國Ⅲ,12,5分)已知函數f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點,

則a=

()A.-

B.

C.

D.1第13頁答案(1)B(2)C解析(1)∵2<a<3<b<4,∴f(1)=loga1+1-b=1-b<0,f(2)=loga2+2-b<0.又∵f(3)=loga3+3-b,loga3>1,-1<3-b<0,∴f(3)>0,即f(2)f(3)<0,故x0∈(2,3),即n=2.故選B.(2)由函數f(x)有零點得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0

有解,令t=x-1,則上式可化為t2-1+a(et+e-t)=0,即a=

.第14頁令h(t)=

,易得h(t)為偶函數,又由f(x)有唯一零點得函數h(t)圖象與直線y=a有唯一交點,則此交點

橫坐標為0,所以a=

=

,故選C.第15頁方法歸納1.確定函數零點慣用方法(1)解方程法;(2)利用零點存在性定理;(3)數形結合,利用兩個函數圖象交點求解.2.利用函數零點情況求參數值或取值范圍方法(1)利用零點存在性定理構建不等式求解.(2)分離參數后轉化為求函數值域(最值)問題.(3)轉化為兩熟悉函數圖象位置關系問題,從而構建不等式(組)求

解.第16頁跟蹤集訓1.(河南焦作模擬)已知函數f(x)滿足:①定義域為R;②?x∈R,都有f(x+2)=f(x);③當x∈[-1,1]時,f(x)=-|x|+1.則方程f(x)=

log2|x|在區間[-3,5]內解個數是

()A.5

B.6

C.7

D.8第17頁答案

A畫出y1=f(x),y2=

log2|x|圖象如圖所表示,由圖象可得所求解個數為5.第18頁2.已知函數f(x)=cos

,g(x)=2-

|x-2|,x∈[-2,6],則函數h(x)=f(x)-g(x)全部零點之和為

()A.6

B.8

C.10

D.12第19頁答案

D函數h(x)=f(x)-g(x)零點之和可轉化為f(x)=g(x)根之和,

即轉化為y1=f(x)和y2=g(x)兩個函數圖象交點橫坐標之和.又由函數g(x)=2-

|x-2|與f(x)圖象均關于x=2對稱,可知函數h(x)零點之和為12.

第20頁考點三

函數實際應用1.應用函數模型處理實際問題普通程序

?

?

?

2.函數相關應用題常見類型及解題關鍵(1)常見類型:與函數相關應用題,經常包括物價、旅程、產值、環境保護

等實際問題,也可包括角度、面積、體積、造價最優化問題.(2)解題關鍵:解答這類問題關鍵是準確建立對應函數解析式,然后運

用函數、方程、不等式和導數相關知識綜合解答.第21頁經典例題(1)某企業為激勵創新,計劃逐年加大研發資金投入.若該企業

年整年投入研發資金130萬元,在此基礎上,每年投入研發資金比上一

年增加12%,則該企業整年投入研發資金開始超出200萬元年份是

()(參考數據:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)A.

B.

C.

D.(2)某工廠某種產品年固定成本為250萬元,每生產x千件該產品需另

投入成本為G(x)(單位:萬元),當年產量不足80千件時,G(x)=

x2+10x;當年產量大于80千件時,G(x)=51x+

-1450.已知每件產品售價為0.05萬元.經過市場分析,該工廠生產產品能全部售完,則該工廠在

這一產品生產中所獲年利潤最大值是

萬元.第22頁解析(1)設第n(n∈N*)年該企業整年投入研發資金開始超出200萬

元.依據題意得130(1+12%)n-1>200,則lg[130(1+12%)n-1]>lg200,∴lg130+(n-1)lg1.12>lg2+2,∴2+lg1.3+(n-1)lg1.12>lg2+2,∴0.11+(n-1)×0.05>0.30,解得n>

,又∵n∈N*,∴n≥5,∴該企業整年投入研發資金開始超出200萬元年份是.故選

B.(2)設年利潤為L(x)萬元.∵每件產品售價為0.05萬元,∴x千件產品答案(1)B(2)1000第23頁銷售額為0.05×1000x=50x萬元.①當0<x<80時,年利潤L(x)=50x-

x2-10x-250=-

x2+40x-250=-

(x-60)2+950,∴當x=60時,L(x)取得最大值,且最大值為L(60)=950;②當x≥80時,L(x)=50x-51x-

+1450-250=1200-

≤1200-2

=1200-200=1000,當且僅當x=

,即x=100時,L(x)取得最大值1000,因為950<1000,∴當產量為100千件時,該

工廠在這一產品生產中所獲年利潤最大,最大年利潤為1000萬元.第24頁方法歸納處理函數實際應用題兩個關鍵點(1)認真讀題,縝密審題,準確了解題意,明確問題實際背景,然后進行科

學地抽象概括,將實際問題歸納為對應數學問題.(2)要合理選取參數變量,設定變量之后,就要尋找它們之間內在聯絡,

選取恰當代數式表示問題中關系,建立對應函數模型,最終求解

數學模型使實際問題獲解.第25頁跟蹤集訓1.某電腦企業在甲、乙兩地各有一個分企業,甲分企業現有某型號電腦

6臺,乙分企業現有同一型號電腦12臺.現A地某單位向該企業購置該

型號電腦10臺,B地某單位向該企業購置該型號電腦8臺.已知從甲

地運往A、B兩地每臺電腦運費分別是40元和30元.從乙地運往A、B

兩地每臺電腦運費分別是80元和50元.若總運費不超出1000元,則調

運方案種數為

()A.1

B.2

C.3

D.4第26頁答案

C設總運費為y元,甲地調運x臺電腦至B地,則剩下(6-x)臺電

腦調運至A地;乙地應調運(8-x)臺電腦至B地,調運12-(8-x)=(x+4)臺電腦

(0≤x≤6,x∈N)至A地.則總運費y=30x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20x+960,∴y=20x+960(0≤x≤6,x∈N).若y≤1000,則20x+960≤1000,得x≤2.又

0≤x≤6,x∈N.∴0≤x≤2,x∈N.∴x=0,1,2,即有3種調運方案.第27頁2.(湖北七市(州)聯考)某工廠產生廢氣經過過濾后排放,過濾過

程中廢氣污染物數量P(毫克/升)與時間t(小時)關系為P=P0e-kt.假如

在前5小時消除了10%污染物,那么污染物降低19%需要花費時間

為

小時.答案10解析前5小時污染物消除了10%,此時污染物剩下90%,即t=5時,P=0.9

P0,則(e-k)5=0.9,∴e-k=

=0.

,∴P=P0e-kt=P0(0.

)t.當污染物降低19%時,污染物剩下81%,此時P=0.81P0,代入得0.81=(0.

)t,解得t=10,即需要花費10小時.第28頁1.函數y=

定義域為

()A.

B.

C.(1,+∞)

D.

∪(1,+∞)隨堂檢測答案

A要使函數有意義,需滿足

解得

<x<1.第29頁2.已知函數f(x)=

-log2x.在以下區間中,包含f(x)零點區間是

()A.(0,1)

B.(1,2)C.(2,4)

D.(