專項訓練八圖形折疊的相關計算1.(2024·唐山曹妃甸區(qū)模擬)如圖,在三角形紙片ABC中,∠ADB=90°,把△ABC沿AD翻折180°,若點B落在點C的位置,則線段AD是 ()A.邊BC上的中線 B.邊BC上的高C.△ABC的角平分線 D.以上三種都成立2.(2023·威海)如圖,四邊形ABCD是一張矩形紙片.將其按如圖所示的方式折疊:使DA邊落在DC邊上,點A落在點H處,折痕為DE;使CB邊落在CD邊上,點B落在點G處,折痕為CF.若矩形HEFG與原矩形ABCD相似,AD=1,則CD的長為 ()A.2-1 B.5-1 C.2+1 D.5+13.(2024·廊坊廣陽區(qū)二模)數(shù)學課上,同學們用△ABC紙片進行折紙操作.按照下列各圖所示的折疊過程,線段AD是△ABC中線的是 ()ABCD4.(2023·嘉興)如圖,已知矩形紙片ABCD,其中AB=3,BC=4,現(xiàn)將紙片進行如下操作:第一步,如圖1將紙片對折,使AB與DC重合,折痕為EF,展開后如圖2;第二步,將圖2中的紙片沿對角線BD折疊,展開后如圖3;第三步,將圖3中的紙片沿過點E的直線折疊,使點C落在對角線BD上的點H處,如圖4,則DH的長為 ()??圖1圖2?圖3圖4A.32 B.85 C.535.(2023·赤峰)如圖,把一個邊長為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊,使點C與AB延長線上的點Q重合,DE交BC于點F,交AB延長線于點E.DQ交BC于點P,DM⊥AB于點M,AM=4.下列結論:①DQ=EQ;②BQ=3;③BP=158;④BD∥FQ.其中正確的是 (A.①②③ B.②④C.①③④ D.①②③④6.(2024·唐山玉田縣二模)如圖1,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點,將△ADE沿線段DE向下折疊,得到圖2,下列關于圖2的結論中,不一定成立的是 ()圖1圖2A.DE∥BCB.△DBA是等腰三角形C.點A落在BC邊的中點D.∠B+∠C+∠1=180°7.(2024·邯鄲三模)觀察發(fā)現(xiàn):在三角形中,大角對大邊,小角對小邊.猜想證明:如圖1,在△ABC中,∠C>∠B.求證:AB>AC.證明:將△ABC沿直線MN(①)折疊,使點B與點C重合,如圖2.∴∠ABC=∠MCN,∴BM=CM(②).在△ACM中,AM+CM>AC(③),∴AM+BM>AC(④),∴AB>AC.下列說法不正確的是 ()圖1圖2A.①處的MN垂直平分BCB.②表示等角對等邊C.③表示三角形的兩邊之和大于第三邊D.④表示等式的基本性質8.(2024·石家莊正定縣一模)如圖,在三角形紙片ABC中,AB=AC,∠B=20°,點D是邊BC上的動點,將三角形紙片沿AD對折,使點B落在點B'處,當B'D⊥BC時,則∠BAD= ()A.25°或115° B.35°或125°C.25°或125° D.35°或115°9.(2024·牡丹江)小明同學手中有一張矩形紙片ABCD,AD=12cm,CD=10cm,他進行了如下操作:第一步,如圖1,將矩形紙片對折,使AD與BC重合,得到折痕MN,將紙片展平.第二步,如圖2,再一次折疊紙片,把△ADN沿AN折疊得到△AD'N,AD'交折痕MN于點E,則線段EN的長為 ()圖1圖2A.8cm B.16924C.16724cm D.5510.(2024·唐山三模)四邊形ABCD的邊長如圖所示,∠BAD=90°,∠ABC=120°,E為邊AD上一動點(不與A,D兩點重合),連接BE,將△ABE沿直線BE折疊,點A的對應點為點F,則點C與點F之間的距離不可能是 ()A.3 B.4 C.5 D.811.(2024·甘孜州)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=4,折疊△ABC,使點A與點B重合,折痕DE與AB交于點D,與AC交于點E,則CE的長為.

12.(2024·常州)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是邊AC的中點,E是邊BC上一點,連接BD,DE.將△CDE沿DE翻折,點C落在BD上的點F處,則CE=.

13.(2023·潛江)如圖,將邊長為3的正方形ABCD沿直線EF折疊,使點B的對應點M落在邊AD上(點M不與點A,D重合),點C落在點N處,MN與CD交于點P,折痕分別與邊AB,CD交于點E,F,連接BM.(1)求證:∠AMB=∠BMP.(2)若DP=1,求MD的長.1.(2024·邯鄲叢臺區(qū)模擬)如圖,一根直的鐵絲AB=20cm,欲將其彎折成一個三角形,在同一平面內操作如下:①量出AP=5cm;②在點P右側取一點Q,使點Q滿足PQ>5cm;③將AP向右翻折,BQ向左翻折.若要使A,B兩點能在點M處重合,則PQ的長度可能是 ()A.12cm B.11cm C.10cm D.7cm2.(2024·滄州一模)如圖,E是菱形ABCD的邊BC上的點,連接AE.將菱形ABCD沿AE翻折,點B恰好落在CD的中點F處,則tan∠ABE的值是 ()A.4 B.5 C.13 D.153.(2024·河南)如圖,在平面直角坐標系中,正方形ABCD的邊AB在x軸上,點A的坐標為(-2,0),點E在邊CD上.將△BCE沿BE折疊,點C落在點F處.若點F的坐標為(0,6),則點E的坐標為.

【詳解答案】基礎夯實1.D解析:∵把△ABC沿AD翻折180°,點B落在點C的位置,∴AB=AC,BD=CD,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=12∴AD⊥BC,∴線段AD是邊BC上的中線,也是邊BC上的高,還是△ABC的角平分線.故選D.2.C解析:由折疊可得DH=AD,CG=BC.∵四邊形ABCD為矩形,∴AD=BC=1.∴DH=CG=1.設CD的長為x,則HG=x-2.∵四邊形HEFG為矩形,∴EH=1,∵矩形HEFG與原矩形ABCD相似,∴EHCD=HGAD,即1x=x-21.解得x=2+1(負值舍去)3.C解析:A.沿AD折疊,點C落在BC邊上的點E處,則D是CE的中點,∴AD不是△ABC的中線,故A選項不符合題意;B.沿AD折疊,點C落在AB邊上的點E處,∴ED=CD,不能得到CD=BD,故B選項不符合題意;C.沿DE折疊使點C與點B重合,∴BD=CD,∴D是BC的中點,∴AD是△ABC的中線,故C選項符合題意;D.沿AD折疊,點C落在三角形外的點E處,∴CD=DE,不能得到CD=BD,∴D選項不符合題意.故選C.4.D解析:如圖,連接CH.由折疊可知EB=EH=EC.∴點B,C,H在以點E為圓心,BC為直徑的圓上.∴∠BHC=90°.∴CH⊥BD.∵在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,∴CD=AB=3.∴BD=BC2+CD2=5.∴CH=BC·CDBD=125.∵tan5.A解析:由折疊性質可知∠CDF=∠QDF,CD=DQ=5,∵CD∥AB,∴∠CDF=∠E,∴∠QDF=∠E,∴DQ=EQ=5,故①正確;∵DQ=CD=AD=5,DM⊥AB,∴MQ=AM=4,∵AB=5,∴MB=AB-AM=5-4=1,∴BQ=MQ-MB=4-1=3,故②正確;∵CD∥AB,∴△CDP∽△BQP,∴CPBP=CDBQ=53,∵CP+BP=BC=5,∴BP=38BC=158,故③正確;∵CD∥AB,∴△CDF∽△BEF,∴DFEF=CDBE=58,∴EFDE=86.C解析:A.∵在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點,∴DE∥BC,故本選項正確;B.由折疊的性質可得BD=AD,∴△DBA是等腰三角形,故本選項正確;C.由折疊的性質可得AD=BD,AE=EC,但不能確定AB=AC,故本選項錯誤;D.如題圖1,在△ABC中,∠BAC+∠B+∠C=180°,如題圖2,由折疊的性質可得∠BAC=∠1,∴∠B+∠C+∠1=180°,故本選項正確.故選C.④表示等量代換,故④不正確,符合題意.故選D.8.A解析:如圖1,B'D⊥BC,且點B'與點A在直線BC的異側,由折疊得∠ADB'=∠ADB,∵∠ADB'+∠ADB+∠BDB'=360°,且∠BDB'=90°,∴2∠ADB+90°=360°,∴∠ADB=135°,∵∠B=20°,∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-135°-20°=25°;圖1圖2如圖2,B'D⊥BC,且點B'與點A在直線BC的同側,∵∠ADB'=∠ADB,且∠BDB'=90°,∴∠ADB'+∠ADB=2∠ADB=∠BDB'=90°,∴∠ADB=45°,∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-45°-20°=115°.綜上所述,∠BAD=25°或115°.故選A.9.B解析:∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD=10cm,由折疊可得AM=12AB=5cm,AD=AD'=12cm,MN⊥AB,∠DAN=∠D'AN∴四邊形AMND是矩形,∴MN∥AD,MN=AD=12cm,∴∠DAN=∠ANM,∴∠ANM=∠D'AN,∴EA=EN,設EA=EN=xcm,則EM=(12-x)cm,在Rt△AME中,根據(jù)勾股定理可得AM2+ME2=AE2,即52+(12-x)2=x2,解得x=16924,即EN=16924cm10.D解析:如圖1所示,連接CF,圖1根據(jù)折疊的性質,我們可以得到△ABE≌△FBE,∴BF=AB=3,∵BC=5,根據(jù)三角形三邊關系BC+BF>FC,可以得到3+5>FC,∴FC<8,當折疊后F落在BC上時,如圖2,圖2此時CF為最小值,CF=BC-BF=5-3=2,故CF的取值范圍為2≤CF<8.故選D.11.3解析:由折疊的性質,∴AE=BE,∵AC=8,∴AE=AC-CE=8-CE,∴BE=8-CE,在Rt△BCE中,BC2+CE2=BE2,∴16+CE2=(8-CE)2,解得CE=3.12.32解析:∵∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是邊AC∴CD=12AC∴BD=BC∵將△CDE沿DE翻折,點C落在BD上的點F處,∴CD=DF=3,CE=EF,∠EFD=90°,∴BF=BD-DF=2,∠BFE=90°,設CE=x,則EF=x,BE=BC-CE=4-x,在Rt△BFE中,由勾股定理,得(4-x)2=x2+22,解得x=32,∴CE=313.解:(1)證明:由翻折和正方形的性質可得∠EMP=∠EBC=90°,EM=EB.∴∠EMB=∠EBM.∴∠EMP-∠EMB=∠EBC-∠EBM,即∠BMP=∠MBC.∵四邊形ABCD是正方形,∴AD∥BC.∴∠AMB=∠MBC.∴∠AMB=∠BMP.(2)如圖,延長MN,交BC的延長線于點Q.∵AD∥BC,∴△DMP∽△CQP.又∵DP=1,正方形ABCD的邊長為3,即CD=3,∴CP=CD-DP=2.∴MDQC∴QC=2MD,QP=2MP.設MD=x,則QC=2x.∴BQ=3+2x.由(1)知∠BMP=∠MBC,即∠BMQ=∠MBQ,∴MQ=BQ=3+2x.∴MP=13MQ=3+2在Rt△DMP中,MD2+DP2=MP2,∴x2+12=3+2x32.解得x1=0(舍去),x2=125∴MD=125能力提升1.D解析:設PQ=xcm(x>5),∵AP=5cm,PQ=xcm,∴BQ=AB-AP-PQ=20-5-x=(15-x)(cm),將AP向右翻折,BQ向左翻折,∴AP=MP,MQ=BQ,∵△MPQ符合三角形三邊關系,∴|MQ-MP|<PQ<MQ+MP,即|15-x-5|<x<15-x+5,解得5<x<10.故選D.2.D解析:如圖,過點A作AG⊥CD,垂足為G,∵四邊形ABCD為菱形,菱形ABCD沿AE翻折,∴AB=AD,AB=AF,∠ABE=∠D,∴AD=AF,∴△ADF為等腰三角形,∵AG⊥DF,∴點G為DF中點,∵點F為CD中點,∴AD=CD=4DG,設DG=a,則AD=4a,在Rt△ADG中,AD2=AG2+DG2,∴(4a)2=AG2+a2,∴AG=15a,∴tan∠ABE=tanD=AGDG=3.(3,10)解