試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁河北省保定市2025屆高三第一次模擬考試數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．設集合A=xx2<A．?1,4 B．?2,12．已知向量a=3,m,b=A．4 B．?2 C．4或?23．設Sn為等差數列{an}的前n項和，若S4A．?14 B．?12 C．124．設a=50.4,bA．a<b<c B．c<a5．函數fx=mx?A．3 B．e C．1 D．16．已知拋物線y2=2px的焦點為F，點A,B,C在拋物線上，FA．3 B．4 C．5 D．67．已知三棱錐A?BCD中，CD⊥平面ABD，ABA．12π B．24π C．40π8．在△ABC中，∠BAC=120°A．3 B．33 C．4213二、多選題9．下列選項正確的是（

）A．設X是隨機變量，若X～NB．已知某組數據分別為1，2，3，5，6，6，7，9，則這組數據的上四分位數為6C．二項式2x3D．設X是隨機變量，若X～B10．已知函數fx=2A．函數fx的最小正周期為B．函數fx關于點?C．函數y=fx的圖像向左平移πD．函數gx=fx?a11．已知函數fx=x3+bx2+cx+dA．實數c為0 B．1mC．f1>3三、填空題12．設α是第二象限角，Px,1為其終邊上一點，且cosα13．已知F1,F2分別為雙曲線C:x2a2?y2b14．現有n個串聯的信號處理器單向傳輸信號，處理器的工作為：接收信號——處理并產生新信號——發射新信號．當處理器接收到一個A類信號時，會產生一個A類信號和一個B類信號并全部發射至下一個處理器；當處理器接收到一個B類信號時，會產生一個A類信號和兩個B類信號，產生的B類信號全部發射至下一個處理器，但由接收B類信號直接產生的所有A類信號只發射一個至下一個處理器．當第一個處理器只發射一個A類信號至第二個處理器，按上述規則依次類推，若第n個處理器發射的B類信號數量記作bn，即b1=0，則b4=四、解答題15．在四棱錐Q?ABCD(1)若QA=5,Q(2)若平面QAD⊥平面ABCD，且二面角16．已知函數f((1)當a=2時，求曲線y=(2)討論函數f(17．為測試某人工智能機器人在動態環境中執行路徑規劃的能力，命令該人工智能機器人在動態環境中執行路徑規劃任務，任務規則如下：該機器人需要依次通過5個關鍵區域，成功通過3個區域即認為其完成任務，每個區域存在動態障礙物，機器人成功通過一個區域的概率為23，被障礙物阻擋的概率為1(1)若任務在過第4個區域后終止且人工智能機器人完成任務，求此事件的概率；(2)記任務結束時該人工智能機器人的總得分為X，求X的分布列和數學期望.18．已知橢圓E:x2a2+y2b(1)求橢圓E的標準方程；(2)矩形ABCD為橢圓E(3)過橢圓E的蒙日圓上一點P作橢圓的兩條切線，切點分別為M,N，且直線OM,O19．數學中的數除了實數，復數之外，還有四元數.一般地，形如z=a+bi+cj+dk的數為四元數，其中a,b,c,d都是實數，i(1)若z=1+(2)已知四元數zn（i）若an=1（ii）若數列an,bn,cn答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《河北省保定市2025屆高三第一次模擬考試數學試題》參考答案題號12345678910答案DCABDBDCACACD題號11答案ABD1．D【分析】解不等式求得集合A，進而求得A∩【詳解】x2<10所以A=所以A∩B=故選：D2．C【分析】由向量加法和模長運算的坐標表示計算即可.【詳解】a+∵a兩邊平方后化簡可得m=4或故選：C3．A【分析】根據給定條件，結合等差數列前n項和公式，列式求出公差即可.【詳解】設等差數列{an}的公差為d，由S解得d=?3故選：A4．B【分析】根據指數函數的單調性以及對數函數的單調性分別判斷出a,【詳解】由指數函數y=a=又c=所以c<故選：B5．D【分析】拆分絕對值后轉變為方程根的個數問題，分離參數，利用導數分析單調性和極值，綜合可得.【詳解】令fx=0當x≥1e時，tx=所以當x∈1e,1時，t'x>0所以函數tx在x=1處取得極大值t1=1，且當0<x<則t'x=lnxx2當x→0+綜上，y=m與函數tx圖象有三個交點時0<m<1所以m的取值可以是1e故選：D6．B【分析】利用拋物線定義將FA+FB+FC=12轉化為A【詳解】由題：F(p2由拋物線定義知：FA又F為△ABC的重心，所以x故選：B.7．D【分析】先根據正弦定理求底面△ABD外接圓半徑r，再根據三棱錐A【詳解】在△ABD中，A所以cosB=B設△ABD外接圓半徑為r，則ADsin又CD⊥平面ABD，且CD則R2所以三棱錐A?BC故選：D8．C【分析】通過向量關系建立等式，再結合已知條件轉化為可求最值的形式，進而求得最大值.【詳解】因為D為BC中點，所以A兩邊平方可得AD已知∠BAC則AB所以1=14設AB=c，A令t=2c+b4=將其看作關于c的一元二次方程7c因為c存在，所以判別式Δ=即25t2?28t2+112≥故2AB+故選：C.9．AC【分析】A選項，按正態分布的表達含義可得結果；B選項，按百分位數的求解方法計算即可；C選項，表達二項式的通項，令字母因數部分指數為零可得解；D選項，按二項分布的方差公式及性質運算即可.【詳解】A選項：若X～N3B選項：1，2，3，5，6，6，7，9，這組數據已按從小到大排好序，共有8個數據，上四分位數是第75百分位數，因為75%所以75百分位數是這組數據中第6個和第7個數的平均數，為6+C選項：二項式2x3?令12-4k為T4D選項：若X～Bn所以X～B9則D3故選：AC.10．ACD【分析】由三角恒等變換化簡函數fx.求出函數的周期判斷A選項；求出函數對稱中心判斷B選項；由函數的平移得到平移后的函數解析式，從而知道函數的對稱性判斷C選項；求出其導函在對應區間上的值域，由題意建立不等式組，解得a【詳解】函數fx對于A選項：∵ω=2，∴對于B選項：令2x+π6=對于C選項：平移后的函數hx=fx+對于D選項：g′x=f′x?a=4cos故選：ACD.11．ABD【分析】先根據函數的單調性，可判斷出f′x=0有兩個解，一個是0，另一個大于2，可求c的值及b的取值范圍；再根據方程fx=0【詳解】因為fx=x因為函數fx在?∞,所以方程f′其中一個根為0，即f′0=0另一根：3x+2b=0?所以fx=x3+bx所以fx=x由2m+2n+又?b由f2=0?8+4當b=?3時，d所以fx=0只有兩個根，與f因為f1=1因為b<?3，所以f因為m?n2=m+n因為b<?3，所以b故選：ABD12．?【分析】根據余弦函數的定義列方程解出x，再利用正切函數的定義求解即可.【詳解】由題：cosα又α是第二象限角，所以x=所以tanα故答案為：?313．2【分析】由已知可推得∠POF2=【詳解】如圖，設Q為PF由題意：|OP|所以Q是線段F1所以∠F又直線OP，OQ是雙曲線的漸近線，由雙曲線對稱性知所以∠POF所以ba所以離心率e=故答案為：214．80【分析】設第n個處理器發射的A類信號數量記作an，易得當n≥2時，第n個處理器發射的A類信號數量為n?1，從而可求出數列an的通項，由題意可得當n≥【詳解】設第n個處理器發射的A類信號數量記作an則a1由題意，當n≥2時，第n個處理器發射的A類信號數量為即當n≥2時，當n≥2時，則b2故當n≥3時，可得bn又b2所以數列bn+n從第二項開始是以3所以bn+n當n=所以bn故答案為：8；0,15．(1)證明見解析(2)13【分析】（1）取AD的中點O，連接OC,OQ，利用勾股定理的逆定理可得OQ⊥（2）過O作OM⊥CD于點M，連接QM，可證CD⊥QM，進而得∠QM【詳解】（1）取AD的中點O，連接O因為QA=Q又因為QA=5因為∠ABC=60所以OC=C所以OQ⊥OC，又AD所以OQ⊥平面ABCD，又OQ?（2）過O作OM⊥CD于點由（1）可知QO⊥AD，又平面QAD⊥所以QO⊥平面ABCD，又C又QO∩OM=O，QO又QM?平面QO所以∠QMO為二面角Q?C所以∠QMO=60°，在在Rt△OMD中，OD所以QO=32，在Rt△所以QD16．(1)2x(2)答案見解析.【分析】（1）把a=2代入，求出函數（2）求出函數f(x)【詳解】（1）當a=2時，函數f(x)=3所以曲線y=f(x)在(（2）函數f(x)求導得f′當a≤0時，由f′(x)>函數f(x)在(當0<a<3時，由f′(x)>函數f(x)在(當a=3時，f′(x)≥當a>3時，由f′(x)>0，得函數f(x)在(所以當a≤0時，函數f(x)當0<a<3時，函數f(當a=3時，函數f(當a>3時，函數f(x)17．(1)827(2)分布列見解析，1079【分析】（1）根據已知，對應事件為機器人通過了第4個區域，且前3個區域通過2個區域、被阻擋1區域，應用重復獨立事件的概率求法求概率；（2）根據已知有X的可能值為18,【詳解】（1）在過第4個區域后終止任務且人工智能機器人完成任務，所以機器人通過了第4個區域，且前3個區域通過2個區域、被阻擋1區域，故事件概率為C3（2）由題意，總得分X的可能值為18,前3次都成功通過，此時X=18，則前3次有2次成功通過、1次被阻擋，第4次成功通過，此時X=15，則前4次有2次成功通過、2次被阻擋，第5次成功通過，此時X=12，則前4次有2次成功通過、2次被阻擋，第5次被阻擋，此時X=3，則前3次有1次成功通過、2次被阻擋，第4次被阻擋，此時X=?3前3次都被阻擋，此時X=?9所以X分布列如下，X1815123??P8816821則E(18．(1)x2(2)323(3)證明見解析.【分析】（1）由橢圓所過的點列出關于a,（2）分“外切矩形ABCD四邊所在切線存在斜率不存在”和“外切矩形ABCD四邊所在切線斜率都存在”，設切線lAB：y=kx+mk≠0，與橢圓聯立方程，利用位置關系結合判別式求出（3）證明：設切線lPM：y=k0x+m【詳解】（1）由題得a=所以橢圓E的標準方程為x2（2）當外切矩形ABCD四邊所在切線存在斜率不存在時，此時矩形A當外切矩形AB則可設切線lA聯立x2則Δ=由題可設切線lCD：切線lCD和lA由題可設切線lB聯立x2則Δ=由題可設切線lAD：切線lBC和lA所以由對稱性可得矩形ABCD令h=k2+1所以0<則S=