微專題31解三角形中的要素

一、基礎學問：

1、正弦定理：一心=—也=」一=2R，其中R為ABC外接圓的半徑

sinAsinBsinC

正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化。其原則為關于邊，或是角的正弦值是否具

備齊次的特征。假如齊次則可干脆進行邊化角或是角化邊，否則不行行

例如：(1)sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C<?a2+b~-ab=c2

(2)ZJCOSC+ccosB=a=>sinBcosC+sinCcosB=sinA(恒等式)

,、besinBsinC

(3)—=--------

a~sinA

2、余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA

什少,、.b2+C1-a1

變式：⑴cosA=----------

2bc

①此公式通過邊的大小(角兩邊與對邊)可以推斷出4是鈍角還是銳角

當。2+02>42時，cos4>0,即A為銳角;

當〃+,2=。2(勾股定理)時，cosA=0,即A為直角；

當〃+02<。2時，cosA<0,即A為鈍角

②視察到分式為齊二次分式，所以已知a,A,c的值或者a:b:c均可求出cosA

22

(2)?=(/?+C)-2/?C(1+COSA)此公式在已知3+c和be時不須要計算出仇c的值，進

行整體代入即可

3、三角形面積公式：

(1)S=-a-h(。為三角形的底，為對應的高)

2

(2)S=—absinC=—bcsinA=—acsmB

222

(3)S=-(a+b+cYr(r為三角形內切圓半徑，此公式也可用于求內切圓半徑)

2'7

(4)海倫公式：S=-—-p=g(a+)+c)

(5)向量方法：S=g>H4-(-4(其中。力為邊所構成的向量，方向隨意)

證明：S=-absinC^S2=-a2b2sin2C=-aV(1-cos2C)

244v7

s=「，而卜=abcosC

坐標表示：a=(xpjj),Z>(%2,j2),則S=曰七力—犬2%|

4、三角形內角和A+5+C=?(兩角可表示另一角)。

sin(A+B)=sin(^—C)=sinC

cos(A+B)=cos(^-C)=-cosC

5、確定三角形要素的條件：

(1)唯一確定的三角形：

①已知三邊(SSS)：可利用余弦定理求出剩余的三個角

②已知兩邊及夾角(SAS)：可利用余弦定理求出第三邊，進而用余弦定理(或正弦定理)求

出剩余兩角

③兩角及一邊(AAS或ASA)：利用兩角先求出另一個角，然后利用正弦定理確定其它兩條邊

(2)不唯一確定的三角形

①已知三個角(AAA)：由相像三角形可知，三個角對應相等的三角形有多數多個。由正弦定

理可得：己知三個角只能求出三邊的比例：a:b:c=sinA:smB:sinC

②已知兩邊及一邊的對角(SSA)：比如已知a,。,A,所確定的三角形有可能唯一，也有可能

zyAA

是兩個。其緣由在于當運用正弦定理求5時，——=——nsin5=--------，而

sinAsinBa

Be］。,?］［三/］時，一個sin，可能對應兩個角(1個銳角，1個鈍角)，所以三角形可

能不唯一。(判定是否唯一可利用三角形大角對大邊的特點，詳細可參考例1)

6、解三角形的常用方法：

(1)干脆法：視察題目中所給的三角形要素，運用正余弦定理求解

(2)間接法：可以依據所求變量的個數，利用正余弦定理，面積公式等建立方程，再進行求

解

7、三角形的中線定理與角平分線定理

(1)三角形中線定理：如圖，設AO為「A3C的一條中線，則AB2+AC2

（知三求一）

證明：在，中

AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosADB①

AC2=AD2+DC2—2Ao-DCcosADC②

D為BC中點、:.BD=CD

ZADB+ZADC=7icosADB=—cosADC

：.①+②可得:

AB2+AC2=2(AD2+BD2)

(2)角平分線定理：如圖，設AD為A3C中/BAC的角平分線，則任=也

ACCD

證明：過。作DE〃AC交AB于E

BDBE

ZEDA=ZDAC

DC~AE

AD為NBAC的角平分線

:.ZEAD=ZDAC:.ZEDA=ZEAD

E4O為等腰三角形:.EA=ED

吧=里=里而由.BEDB4C可得:BEAB

DCAEEDEDAC

ABBD

~AC~~CD

二、典型例題:

例1：(1)ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,瓦c，若。=亞力=遙,3=60,則

C=_____

(2))ABC的內角A,3,C所對的邊分別為a,瓦c,若c=08=n,C=3O，則6=

hccsinB

思路：(1)由已知瓦瓦。求。可聯想到運用正弦定理：——二——nsinC=--------

sinBsinCb

代入可解得：sinC=-o由c<Z?可得：C<B=60,所以C=30

2

答案：C=30

hcAcin「

(2)由已知C,反c求5可聯想到運用正弦定理：——=-----nsinB=--------

sinBsinCc

代入可解得：sinB=—,則8=60或6=120,由c<3可得：C<B,所以3=60和

2

B=120均滿意條件

答案：3=60或3=120

小煉有話說：對比(1)(2)可發覺對于兩邊及一邊的對角，滿意條件的三角形可能唯一確

定，也有可能兩種狀況，在推斷時可依據“大邊對大角”的原則，利用邊的大小關系推斷出

角之間的大小關系，判定出所求角是否可能存在鈍角的狀況。進而確定是一個解還是兩個解。

例2：在,A3C中，BC=2,B=60,若4ABe的面積等于則AC邊長為

2

思路:通過條件可想到利用面積S與求出另一條邊AB,再利用余弦定理求出AC即

可

ABC2222

AB=1

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=l+4-2-2-=3

2

AC=6

答案：A/3

例3：(2012課標全國)己知a,。,c分別為.ABC三個內角A&C的對邊，且有

acosC+y/3asinC-b-c=0

(1)求A

(2)若a=2,且的面積為G，求心。

(1)思路：從等式acosC+百asinC-b-c=0入手，視察每一項關于。，反c齊次，考慮

利用正弦定理邊化角：

acosC+43asinC-Z?-c=0nsinAcosC+A/3sinAsinC-sinB-sinC=0,所涉及式

子與AC關聯較大，從而考慮換掉sin5=sin(A+C),綻開化簡后即可求出A

解：4cosC+y/3asinC-b-c=Q

nsinAcosC+v3sinAsinC-sinB-sinC=0

=>sinAcosC+^3smAsinC-sin（A+C）-sinC=O

nsinAcosC+V3sinAsinC-sinAcosC-sinCcosA-sinC=0

即V3sinA-cosA=1n2sin[A-?）=1nsin]A-看

62

7C7L.7C57r、

A——=一或A——二——（舍）

6666

A——

3

（2）思路：由（1）可得A=g,再由SMC=J5,a=2可想到利用面積與關于A的余弦

定理可列出仇c的兩個方程，解出dc即可

解：5ABe=g匕csinA=G=>Z?c=4

a2=1^+c2-2bccosA^>4=b2+c2-be

b2+c2-be=4-b2+c2=S一即妨b=2

=>可解得<

be=4be=4c=2

小煉有話說：通過第（1）問可以看出，在遇到關于邊角的方程時，可視察邊與角正弦中是否

具備齊次的特點，以便于進行邊角互化。另一方面當角A8,C同時出現在方程中時，通常要

從所給項中聯想到相關兩角和差的正余弦公式，然后選擇要消去的角

例4：如圖，在11ABe中，。是邊AC上的點，且AB=AD,2AB=6BD,BC=2BD,則

sinC的值為

思路：求sinC的值考慮把。放入到三角形中，可選的三角形有/ABC和一5DC,在BDC

中，已知條件有兩邊但是缺少一個角（或者邊）,看能否通過其它三角形求出所須

要素，在「A3。中，三邊比例已知，進而可求出再利用補角關系求出NBOC,從

而,8。。中已知兩邊一角，可解出C

解：由243=65。可設3。=2左則43=6左

:.AD=Wk,BC=4k

4￡>2+§￡）2482（辰）+（2/y一（瓜）6

二.在/AD5中,cosADB二

2ADBD—20k?2k—3

.1.cosBDC=-cosADB=：.sinBDC=

33

BDBC.八BD-sinBDC

在，BDC中，由正弦定理可得:----------=>sinC=

sinCsinBDC-------------------BC~~6

小煉有話說：（1）在圖形中求邊或角，要把邊和角放入到三角形當中求解，在選擇三角形時

盡量選擇要素多的，并考慮如何將所缺要素利用其它條件求出。

（2）本題中給出了關于邊的比例，通常對于比例式可考慮引入一個字母（例如本題中的左），

這樣可以將比例轉化為邊的詳細數值，便于計算

例5：已知,ABC中，a,b,c分別是角所對邊的邊長，若ABC的面積為S,且

2S=（a+by-c1,貝UtanC等于

91

思路：由已知2S=（a+〃）~—c?可聯想到余弦定理關于cosC的內容，而SugabsinC,所

以可以得到一個關于sinC,cosC的式子，進而求出tanC

,1

解：2s=（4+》）——0?o2?/absinC=a2+/—c2+2ab

而。2=〃2+/-2abcosC.\a2+b2-c2=labcosC代入可得：

absinC—lab+2abcosC=sinC=2+2cosC

,「4

sinC=—

sinC=2+2cosC5

22

sinC+cosC=1「3

cosC=——

4

...tanC——

3

4

答案：tanC=——

3

例6：在AABC中，內角A,3,C所對的邊分別為a,瓦c,己知AA3C的面積為3成?,

Z?-c=2,cosA=則a的值為.

4---------------

思路：已知cosA求。可以聯想到余弦定理，但要解出仇c的值，所以找尋解出仇。的條件，

SABC=-bcsinA=3^5,而sinA=Jl—cos?A=正代入可得》c=24,再由匕一c=2

可得a2=b2+c2-2bccosA=(/?-c)2+2bc-2bccosA=64,所以a=8

答案：8

例7：設ABC的內角A,5c所對邊的長分別為"c,若人sinA-Gacos3=0,且

zj

b2=ac,則——的值為()

b

A.——B.\/2C.2D.4

2

思路：由bsinA-64cos5=0可得：sinBsinA-^3sinAcosB=G,從而tanB=6,

jr

解得3=—,從尸=ac可聯想到余弦定理：b2=a2+c2-2?ccosB=a2+c2-ac,所以

3

a2+c2-ac=ac=>(a-eV=0,從而a=c再由/=a。可得a=Z?=c,所以「+0的

b

值為2

答案：C

Z7_1_

小煉有話說：本題的難點在于公式的選擇，〃=ac以及所求——也會讓我們想到正弦定理。

b

但是通過嘗試可發覺利用角進行計算較為困難。所以在解三角形的題目中，條件的特征確定

選擇哪種公式入手；假如所給是關于邊，角正弦的其次式，可以考慮正弦定理。假如條件中

含有角的余弦，或者是邊的平方項，那么可考慮嘗試余弦定理。

例8：設,ABC的內角A,5c所對邊的長分別為a,b,c,且/="+如4=2，則。=()

6

TC71371兀-3兀

A.—B.—C.——D.一或——

64444

思路：由片=尸—be的結構可以聯想到余弦定理：a1=b2+c2-2bccosA,可以此為突破

口，即根=〃+°2—2ACOSA,代入解得：—1次，進而求出。二號六人，

得到a,瓦c比例代入余弦定理可計算出C

解：由可得：a2=力一隊,

a2=b2+c2-2Z?ccosA

b1-bc=b2+C1-2Z?ccosA

c2=^s/3—ljb((逐一l)b代入至

可得:a2=Z?2-(V3-1)Z?2/.a=

:.a:b'.c=]:1：A/3-1

V2

a2+b2-c2

cosC=

lab

4

例9：已知；ABC的三邊長為三個連續的自然數，且最大內角是最小內角的2倍，則最小內角

的余弦值是（）

3572

A.-B.-C.—D.一

46103

思路：不妨考慮a<Z><c,將三個邊設為。=無一11=苞。=無+1,則C=2A,想到正弦定

rsiniwin2A

理一=——=------=2cosA,再將cosA利用余弦定理用邊表示，列方程解出x,從而求

asinAsinA

出cosA

解：設則〃=x-l,b=x,c=x+l

cc,csinCsin2A-4

C=2A=------=---------=2cosA

asinAsinA

———=匕———代入〃=x—l,b=x,c=x+l可得:

a2bcbe

x+1x+(x+1)-(x-1)

----二---------U~7------,解得：％=5

x-1x(x+l)

..a=4,b—5,c=6

b1+c2-a23

2bc4

答案：A

小煉有話說：本題的特色在于如何利用“最大內角是最小內角2倍”這個條件，可聯想到正

余弦的二倍角公式。本題采納正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之間與題目中邊的條件找

到聯系。假如采納余弦二倍角公式，則有cosC=2cos2A-1,即便運用余弦定理也會導致方

程次數過高，不利于求解。

例10：在ABC中，。為邊上一點，BD=^CD,ZADB=12Q,AD=2,若，A￡>C的

面積為3-石，則NB4C=

思路：要求出ZBAC,可在ABC中求解，通過視察條件

ZADB=12Q(ZADC=120),>10=2,5^=3-73,可從,ADC可解，解出A￡),AC,

進而求出6。，再在LABD中解出從而11ABe三邊齊備，利用余弦定理可求出NBAC

解：SADC=^AD-DCsinADC=3-y/3

:.BD=-DC=y[3-1

2

AC2=AD1+DC2-2AD-DC-cosADC=22+12(&—1)]—2?2?2(G—^cosg

=6(4-26)

AC=V6.(V3-1)

|H)SAB~=AD2+DB--2AD-DBcosADB

=22+(V3-1)2-2-2-(V3-1)COS^=6

AB=^

222

D_AB+AC-BC6+6(A/3-1)-13(&-1)]1

/.cosBAC=----------------------=------------L'L)二~~-=-

2ABAC2.V6-V6(A/3-1)2

.-.ZBAC=60

答案：ZBAC=60

小煉有話說：(1)本題與例4想法類似，都是把所求要素放入到三角形中，同時要通過條件

視察哪個三角形條件比較齊備，可作為入手點解出其他要素

(2)本題還可以利用協助線簡化運算，作40，3c于進而利用在ADM中

ZADC=60,4。=2得4"=百,,。〃=1,再用S加0=3—G解出⑺=2(6—1)

進而5。=百—1,則在3C上=3。+DM=石,CM=CD—DM=2百—3

所以NB4〃=45,tanMAC=C^~=2—G可得：ZMAC=15,所以/BAC=60

AM

三、近年好題精選

TT

1、設ABC的內角A,5c所對邊的長分別為a,A,c,且a=l,3=：,S.=2,貝!JsinA=

（）

A.巫B.巫C.叵D.1

10508210

2、設ABC的內角A,8,C所對邊的長分別為a,瓦c,且8=3,c=l,A=23,則a的值為

（）

A.V2B.2A/2C.6D.2A/3

3、在ABC中，D為BC邊上一低,DC=2BD,AD=72,ZADC=45，若AC=^AB,

則5￡>=（）

A.2+y/3B.4C.2+D.3+

sin2人

4、（2015,北京）在ABC中，〃=41=5,c=6,則------=________

sinC

5、（2015,廣東）設ABC的內角A&C的對邊分別為a,0,c，若。=百4113=1,。=巴，

26

貝!15=______

6、（2015,福建）若銳角ABC的面積為1。6,且AB=5,AC=8,則等于

答案：7

7、（2015,天津）在ABC中，內角A,&C的對邊分別為a,dc,已知ABC的面積為3,

b-c-2,cosA=--,則。的值為

4

8,（2014,天津）在ABC中，內角A,5,C的對邊分別為a,A,c,已知b—c=2a,

4

2sin5=3sinC,貝！IcosA的值為

7T

9、（2014,山東）在ABC中，已知A3/C=tanA,當A=—時，.ABC的面積為

6

10、（2014,遼寧）在ABC中，內角A&C的對邊分別為a,"c，且a>c,已知

1

BABC=2,cosB=—,/?=3,求:

(1)a,c的值

(2)cos(B—C)的值

11、（2015,陜西）設ABC的內角A&C的對邊分別為。，氏c,向量機=,,、&）與

n=(cosA,sinB)平行

(1)求A

（2）若。=近8=2,求ABC的面積

12、（2015,新課標H）在ABC中，。是上的點，AD平分NB4C,的面積

是ADC面積的2倍

⑴求小

sinC

(2)若AD=1,DC=Y-,求AC的長

2

3兀i—

13、(2015,安徽)在A5C中，A=——,A3=6,AC=,點。在邊上，AD=BD,

4

求AD的長

JT

14、(2015,江蘇)在ABC中，已知AB=2,AC=3,A=—

3

（1）求BC的長

(2)求sin2C的值

習題答案:

1、答案：A

=acsn

解析：SABC~iB-c=4^2

."2="+，—2〃c?os3代入可得：〃="32—214后,克=25

2

.,.5=5

ab.人a.n母

------=-------=>smA=--smB=-----

sinAsin5b10

2、答案：D

解析：A=2BsinA=sin2B=2sinBcosB

:.a=2bcosBcos5="+廠—"

2ac

a2+c2-b2/+1-9

a=2b-=>a=6,

2acla

=3,2—8)2/=24=>a=2百

3、答案：C

解析：設BD=x,則CD=2尤，由余弦定理可得:

|AB|2=\ADf+\BDf-2\AD\-\BD\COS135

|AC|2=|AD|2+|C￡>|2-2|A￡>|-|CD|COS45,代入可得:

\ABf=2+X2+2X

\AC\=42\AB\

\ACf=2+4x2-4x

2+x-+2x

解得：x=2+亞

22+4X2-4X

4、答案：1

sin2A、sinA?b1+c1-a1a.25+36-164,

解析:--------=2cosA4--------=2---------------------=2----------------------=1

sinCsinC2bcc2-5-66

5、答案：1

|7TJT27rah

解析：由sinB=—及C=—可得：B=-,從而A=——，由正弦定理可得：——=——，

2663sinAsinB

解得匕=1

6、答案：7

解析：由S4Bc=LA3?ACsinA,可得：sinA=—,即4=工，再由余弦定理可計算

ABC223

BC=VAC2+AB2-2AB-ACcosA=7

7、答案：8

解析：cosA=--nsinA=V1-cos2A=

44

/.5ABe=gbesinA=3A/15nbe=24

/.由余弦定理可得：a1=b2+c2-2bccosA=(Z?-c)2+2Z?c(l-cosA)=64

a=8

8、答案：---

4

解析：由2sin5=3sinC可得25=3c代入到人一c即可得到a:Z?:c=4:3:2,不妨

4

222

b+c-a9左2+4左2—16左2

設a=4左,5=3左,。=2左，則cosA=

2bc2,3k,2k4

9、答案：—

6

winA

解析：A5-AC=tanAnbccosA=------

cosA

7sinAsin2A1.1

/.be=——--?q=-Z?csinA=-——--二—tan2A=一

cosA…uABC22cos2A26

10>解析：由BA，BC=2可得：accosB=2

/.ac=6

由余弦定理可得：/=(〃+c)2_2〃c(i+cosB)即9=(a+c)2—16n〃+c=5

ac-6

a—3

a+c=5解得：<

c=2

a>c

1/------------242

(2)由cos3=—可得：sinB=，1一cos?5=-----

33

bc.「csinB4A/2

由正弦定理可知：—