技巧02填空題的答題策略與精準求解

、北京高考填空題定位

填空題不要求寫出計算或推理過程，只需要將結(jié)論直接寫出的“求解題”.填空題與選擇題也有質(zhì)的

區(qū)別：第一，表現(xiàn)為填空題沒有備選項，因此，解答時有不受誘誤干擾之好處，但也有缺乏提示之不足；

第二，填空題的結(jié)構(gòu)往往是在一個正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內(nèi)容（既可以是條件，也可以是

結(jié)論），留下空位，讓考生獨立填上，考查方法比較靈活.從歷年高考成績看，填空題得分率一直不很高，

因為填空題的結(jié)果必須是數(shù)值準確、形式規(guī)范、表達式最簡，稍有毛病，便是零分.因此，解填空題要求

在“快速、準確”上下功夫，由于填空題不需要寫出具體的推理、計算過程，因此要想“快速”解答填空

題，則千萬不可“小題大做”，而要達到“準確”，則必須合理靈活地運用恰當?shù)姆椒ǎ凇扒伞弊稚舷?/p>

功夫.

二、填空題答題策略

【方法一：直接法】

直接法就是從題設(shè)條件出發(fā)，運用定義、定理、公式、性質(zhì)、法則等知識，通過變形、推理、計算等,

得出正確結(jié)論，使用此法時，要善于透過現(xiàn)象看本質(zhì)，自覺地、有意識地采用靈活、簡捷的解法.

【方法二：數(shù)形結(jié)合法】

依據(jù)特殊數(shù)量關(guān)系所對應(yīng)的圖形位置、特征，利用圖形直觀性求解的填空題，稱為圖象分析型填空題,

這類問題的幾何意義一般較為明顯.由于填空題不要求寫出解答過程，因而有些問題可以借助于圖形，然

后參照圖形的形狀、位置、性質(zhì)，綜合圖象的特征，進行直觀地分析，加上簡單的運算，一般就可以得出

正確的答案.事實上許多問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)與形的結(jié)合，利用數(shù)形結(jié)合法解題既淺顯易懂，又能節(jié)省時

間.利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題能很好地考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握程度及靈活處理問題的能力，此類

問題為近年來高考考查的熱點內(nèi)容.

【方法三：等價轉(zhuǎn)化法】

將所給的命題進行等價轉(zhuǎn)化，使之成為一種容易理解的語言或容易求解的模式.通過轉(zhuǎn)化，使問題化

繁為簡、化陌生為熟悉，將問題等價轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出正確的結(jié)果.

【方法四：構(gòu)造法】

構(gòu)造型填空題的求解，需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學模型，從而簡化推理與計算

過程，使較復雜的數(shù)學問題得到簡捷的解決，它來源于對基礎(chǔ)知識和基本方法的積累，需要從一般的方法

原理中進行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過的類似問題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、

概率、幾何等具體的數(shù)學模型，使問題快速解決

1/35

【方法五：待定系數(shù)法】

待定系數(shù)法是一種常用的數(shù)學方法，對于某些數(shù)學問題，如果已知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則

可引進一些尚待確定的系數(shù)來表示這種結(jié)果，通過已知條件.建立起給定的算式和結(jié)果之間的恒等式得到以

待定系數(shù)為元的方程（組）或不等式（組）解之即得待定系數(shù)

【方法六：分類討論法】

在解答某些問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，

這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，

它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、

綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性。解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首

先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、

不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結(jié)果；最后得出結(jié)論

三、技巧實戰(zhàn)演練

【方法一：直接法】

例題如下：

1.設(shè)函數(shù)〃x）=2sinx；l,若因表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)y的值域是.

sinxI-，

2sinx_12sinx+25

【詳解】/（x）==（）~=2——）—,

sinx+2sinx+2sinx+2

因為,所以1Vsinx+243,

貝I]9V---<5,即一54---------

3sinx+2sinx+23

所以-342-.5<!，則-32，

sinx+233_

根據(jù)取整函數(shù)的定義可得函數(shù)y=[7（x）]的值域是{-3,-2,-1,0},

故答案為：{-3,-2,7,0}.

2.在V/3C中，。是邊/C的中點，若48=3,AC=6,BC=8,貝U3。=.

【詳解】

2/35

如圖，過點A作5c的平行線，過點C作ZB的平行線，兩平行線交于點E,

則四邊形ABCE為平行四邊形，AB=CE,BC=AE,ZABC+ZBCE=180°,

cosi)ABC=-cosDBCE,

BD=-BE=-y/BC*2*6+CE2-2BC-CE-cosABCE

22

^-y]BC2+AB2+2BC-AB-cosZBC

2

二1JBC?+AB?+2BCAB網(wǎng)+-叱

2V2AB-BC

=1yj2(AB2+BC2)-AC2=^^(32+82)-62=.

故答案為：回.

2

3.若函數(shù)/（%）=百sin5-cosox（G>0）在[0,1）上沒有最小值，則。的取值范圍是.

【詳解】由題意得/(工)=2—sin^rn:--COS61V=2sinOJDC-

(22J

由xw[0,l）得3_工￡一￡屹一二卜

666）

令7T-工7T,0-T7T1I，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)>=2sin/在j一rZ7TI?上沒有最小值?

6|_66J|_66y

?.?y=2sim在國上單調(diào)遞增，在g,管上單調(diào)遞減，

.7兀兀，3兀Eg4兀571

..——<69——<——,解得——<a）<——.

66233

故答案為：

4.若函數(shù)f（x）=a+6cosx+csinx的圖象經(jīng)過點（0,1）和僅卷），且xe時，歸2恒成立，則實

數(shù)。的取值范圍是.

【詳解】.."（x）經(jīng)過點（0,1）和

故/(%)=a+(1—〃)cosx+(1—4)sinx=q+(1—〃)(sinx+cosx)

3/35

=a+V2(l-a)sin[%+:J,

八//兀.兀/兀,3兀母,.(兀、)I

—,..一H—?—,..—Vsinx+—?],

24442\4J

當Q<1時，1—〃>0,/.1—?<V2(l—a)sin<V2(l—tz),

/.1<f(x)<y/2(l-a)+a,

要使一2V/(無)V2恒成立，只要血(l-a)+aV2,

即a2-V2，又。<1,從而―也<?<1;

當a=l時，/(x)=le[-2,2],

當a>l時，1—a<0,1—a>y/2—a)sin+—也Q—“)，

1>/(x)>應(yīng)(1-Q)+Q,

要使-2V/(x)V2恒成立，只要收(1-〃)+。2-2,解得〃(4+30，

又a>l,從而l<〃V4+3收，

綜上所述，。的取值范圍為-行《〃44+3五.

故答案為：-V2<6Z<4+3A/2.

5.若存在a也0?兀,2兀](。也。互不相等)，滿足卜苗04+同口融|+忖11℃|=3(切>0),則刃的取值范圍

為.

【詳解】存在。也[兀,2兀](。,仇。互不相等)，滿足卜in@a|+bin創(chuàng)+同口加=3,

則卜ina)a\=|sina)b\-|sincoc\=lf

不妨設(shè)兀<。<6<。〈2兀，且是相鄰最值點.

當sincoa=1,sincob--1,sin=1時，

—+2kn

7

a=-...........>7i

CD

則，左￡Z,解得kH—G3G2k-\—，左￡Z,

烏+2(左+1)兀42

c-----------------<2兀

co

513

由小人+相解得丘“

4/35

95

當左二1時，一(。工一，

42

139

當左=2時，—(。W—,

42

當上23時，2kH—>k+1-\—,

24

?「951「131

所以［才51口［了，+,|，

當sincoa=-1,sincob=1,sinoc=—1時,

--o+2hi

a=----------->7i

CD31

keZ,解得左+①42左一2,左EZ,

一巴+2(k+1)兀

c=------------------<271

CD

由左+一3＜2左一1彳，解得左5

424

117

當左=2時，—

42

13

當左23時，2k——＞上+1+—,

24

…「111

所以—,+＜^I,

…rl上「95]「11)

綜上所述，①GU丁，+8.

L42J[4)

故答案為：u

[42」[4/

6.在一座尖塔的正南方向地面某點A,測得塔頂?shù)难鼋菫?0。，又在此尖塔北偏東30。地面某點3,測得塔

頂?shù)难鼋菫?5。，且A,5兩點距離為7m,在線段上的點C處測得塔頂?shù)难鼋菫樽畲螅瑒t。點到塔底O

的距離為m.

【詳解】

如圖，尖塔為OP,設(shè)。尸二x,

5/35

則由題意可知ON=,OB=x,ZAOB=150°,

在△0/5中，由余弦定理可知AB2=OA2+OB2-2OAOB-cosZAOB,

解得X=即CM=亞，OB=5，

由線段45上的點C處測得塔頂?shù)难鼋菫樽畲罂芍猳c，NB,

故工3新sinG/03-ABOC,即,收倉防-=-^J7OC,

22222

Moc=—，

2

故答案為：立

2

7.如圖，在RtZ\48C中，點尸在斜邊4B的中線CD上，連結(jié)8尸，過點。作DE工CD交B尸于點E.若點

E恰好為B尸的中點，且。E=2,DF=3,則CF的長是.

由題意，在RtADE尸中，EF=ylDE2+DF2=7F+F=V13,

DF3

故FB=2屆,cos\)DFE=-=-/=,

EFVI3

在△OF5中，DB2=DF2+FB2-2xDFxFBxcosZDFE=3s+JT)-2x3x225,

故。8=5,

由題意。C=DB=5,&CF=CD—DF=5-3=2,

故答案為：2

8.函數(shù)/3=111畝3加,（：0%,—-：+1｝在［0,可上的最大值是

6/35

【詳解】畫出函數(shù)歹=sinx,y=cosx,歹=」■x+1在[0,兀]上的大致圖象如圖.

71

*_兀什1兀,3逝

X=一時，--X—1-1=—>---，

471442

si?n%,0八</x/<—兀

所以/(x)=14,

71,

COSX,a<XW兀

則/(%￥，

所以函數(shù)/'(X)在[0,可上的最大值是4.

故答案為：e

2

9.設(shè)函數(shù)y=Ksinx+cosx-加在xe[0,2兀(上恰有兩個零點七,工2,則匹+%2=

=2sin]x+.

【詳角牟】由題得y=6sinx+cosx—冽-m,

因為函數(shù)了=#sinx+cosx-機在xe[0,2rt|上恰有兩個零點x”乙,

所以方程2sin(x+^=冽在工￡[0,2可上恰有兩個根西戶2，

所以函數(shù)>=2sin[x+[與>=小圖象在xe[0,2可上恰有兩個交點,

7171兀,

令%+—=析7+—,左EZ=>X=E+—,左EZ,

623

即函數(shù)>=2sinx+1的對稱軸方程為x=hr+1兀,左eZ,

3

歹=2sin1x+E71)有兩條對稱軸為1=]和1=?，如圖,

所以在xe[0,2兀]h

6

4

47r

x'=--

2=m3

1

O27r%

7T

X——

3

-2=2sin(x+少

6

7/35

所以由函數(shù)尸2sin1x+.g時々，2H—Tb2兀—8兀

的圖象性質(zhì)可知再+迎=彳或丁.

故答案為：牛或牛.

10.已知函數(shù)/(x)=|sinx],XG[-271,271],則方程/(x)=1■的所有根的和等于.

【詳解】函數(shù)/(X)與函數(shù)y=g的圖象如下圖所示

y=f(x)

1

■^2

■'?\!?；?\

-2713K-71_匹O行匹16提273兀題〉兀左

2222

不妨設(shè)方程/(%)=；的所有根從小到大為再，入2，%3，%4戶5,%6，%7，%8，

由對稱性可知再+工2=-3兀,％3+工4=一兀汽+%6=兀次7+工8=3兀,

則方程/(%)=；的所有根的和等于0.

故答案為：0

【方法二：數(shù)形結(jié)合法】

例題如下

1.設(shè)尸是拋物線/=16尤上的一個動點，尸為拋物線的焦點，已知點4(5,2),貝力尸國+|尸可的最小值

為.

【詳解】如圖，過點/做準線x=-4的垂線，垂足為4,交拋物線于點P,由拋物線的定義可知|尸戶|=尸山,

故|尸4|+|尸尸閆尸到+|尸團=|44[=5一(-4)=9,即當尸、4、/三點共線時,距離之和最小為9.

2.若直線機x-y-l=0與曲線了=一2一(》一1)2有兩個不同的交點,則機的取值范圍為.

【詳解】由尸一4_(1)2得(f+r=仆0),

8/35

.?.曲線”一J1一(XT)2表示圓(x-iy+y2=l的下半圓,圓心為(1,0),半徑為1.

由題意得，直線機尤7-1=0過點尸QT),斜率為加.

如圖，當直線與半圓相切時，加=0,當直線過點/(2,0)時，加==0+=1=：1,

2-02

.?.小的取值范圍為(0,；.

故答案為：.

22

3.已知雙曲線5-1=1(°>0/>0)的左，右焦點分別為月,匕，過月的直線/與雙曲線的右支交于48兩

點，鳥的內(nèi)切圓的半徑的為斗，鳥的內(nèi)切圓半徑為與，若〃=3々，且麗=4a,則雙曲線的離

心率為.

【詳解】如圖，

由內(nèi)心性質(zhì)結(jié)合雙曲線定義可知4(。力)，Q(a^),分別過。「。2作/的垂線交/于點”,N,

設(shè)直線傾斜角為。(不妨設(shè)為銳角，由對稱性可知，不影響答案)，

在直角梯形。02兒亞中，作。/LQM,交于點R,

所以cos/RO02=4二2=cos。，貝ijcos0=』，即6=60°,

rx+r22

又由4月=48反令隹回=冽，|力閭二4加，

在△/片名，△幽瑪中有:

9/35

(4加+24)2=(4m)2+(2c-2-4m-2c-cosl20°

(m+2a)~=(m)2+(2c-2-m-2c-cos60°

聯(lián)立消去機得4用a-2*c=1即e=62

2a+c25

故答案為：y.

4.已知圓C:(x+1『+/=12,P(l,-2),M(0,3),A,8是圓C上的動點，且44依=，點N是線段N8

的中點，則當NPAW取得最大值時，|"M的值為.

【詳解】由題意得，C(-1,O),圓C半徑為20.

：(1+1)2+(-2)2<12,(0+1『+32<12,.?.點尸,M在圓C內(nèi).

如圖1,連接CN,CA,貝=

;點N是線段的中點，,CNL4B,

:NAPB*,J/同=|/N|=一|CN『=J12一|CN『,即|尸甘+口時=葭.

設(shè)N(x,y),則(x-l『+(y+2)2+(x+lf+y2=i2,整理得V+任+以=4,

二點N在圓/：V+(y+l)2=4上，圓心/(0,-1),圓/半徑為2.

如圖2,當直線與圓/：/+3+1丫=4相切時，/尸AW取得最大值，

10/35

此時MN'IN,\MN\==^（3+l）2-22=2A/3.

故答案為：2VL

5.已知曲線C:乎7M=1上任意一點尸(x,y),都有|x-2y+a|+”2y+2］的和為定值，則實數(shù)。的取值

范圍是.

；_y2=l,x>0,j>0

【詳解】曲線C:y+/=1,尤NO,”。,

y2

故曲線C的大致圖象:

其中片(6,0),巴(百,0),^(o,-V5),

雙曲線的圖象無限接近于漸近線N=gx,

|x-2y+a||x-2y+2|

#+22-+赤+2彳y為定值,

|x-2y+?|

所以+=4+4為定值,

Vl2+22

d_|x-2y+2|

分另U表示曲線上的點至U直線x-2y+2=0和直線工一2y+a=0是巨離,

11/35

當其僅當曲線上的點在兩條平行線之間時4+4有定值，如圖:

所以直線x-2y+a=0為曲線的切線或在曲線下方,

x-2y+a=0

由圖可知J/最多只有一個解,

2

彳+y=l,x>0,y<0

2

即2yz_即+(-1=0最多有一個負數(shù)解，需滿足直線x-2y+a=0在了軸上截距|<0,

當△=/-4義2義］：-11=0時，.=一2夜，此時2/-20〉+1=0的解為一^,符合題意;

所以A=/-4x2x］一1<0時，結(jié)合5<0,解得°<一2夜,

故可得a4-2a

故答案為：卜0-2行］

22

6.已知雙曲線C：'-方=l(a>0,6>0)的左、右焦點分別為《，F(xiàn)2,過片作一條漸近線的垂線，垂足為。,

延長與雙曲線的右支相交于點尸，若庭=3麗,則雙曲線C的離心率為.

22

【詳解】雙曲線的方程為一條漸近線方程為法-町=0,

ab

設(shè)￡(-。，0)，可得陽。|=="=6,

yja+bc

若造=3而,則|尸耳|=36,由雙曲線的定義可得歸閶=|尸耳卜2a=36-2a,

在直角三角形0耳。中，\OF^=c,COSZOFtQ=-,

c

國引+閥「T尸閭2

在中,COSZPFF=

{22x國鳥同產(chǎn)團

（2c）2+（3Z））2-（3^-2a）2

2x（2c）x（3b）

12/35

=cos/O^Q=-,

c

即有府一5+⑵方=',

所以462+12a6=12〃，即2=】，

a2

故答案為：孚

7.拓撲學中，所謂“樹”是指這樣一種圖形：在平面中，任意兩點都可以連線，從而可以形成連通.若兩點之

間的連通沒有回路，且任意兩點之間沒有不同的通路，則稱兩點具有唯一的連通.如圖：兩個點、三個點唯

一的連通均有一種，四個點唯一的連通有2種，五個點唯一的連通有3種，平面里六個點唯一的連通有—

【詳解】由前四種情況類比可得，當平面里有六個點的時候,

如圖，有以下四種方法：

①②③④

又從所給例子可以推斷，第一個點，不能連多個點，但允許第二個點（從下往上）連多個點，而且高度要

保持一致，所以當平面有六個點時，還有以下兩種方法：

⑤⑥

故答案為：6.

8.為了解學生的體能情況，抽取某學校一、二年級部分學生進行跳繩測試，將所得的數(shù)據(jù)整理后畫出頻率

分布直方圖（如圖），設(shè)一年級跳繩次數(shù)為X1,二年級跳繩次數(shù)為工，則。（XJD（XJ.（填“>”

13/35

【詳解】由兩個年級的跳繩次數(shù)的頻率分布直方圖可知，一年級的跳繩次數(shù)相對比較集中，二年級的跳繩

次數(shù)相對比較分散，

所以。（乜）＜。（元）

故答案為：＜.

9.在如圖所示的一組數(shù)據(jù)的莖葉圖中，有一個數(shù)字被污染后模糊不清，但曾計算得該組數(shù)據(jù)的極差與中位

數(shù)之和為62,則被污染的數(shù)字為.

2015

3113口

423578

【詳解】根據(jù)莖葉圖進行數(shù)據(jù)分析可得：極差為48-20=28,

因為極差與中位數(shù)之和為62,所以中位數(shù)為62-28=34,

設(shè)被污染的數(shù)字為則33+：+30=34,解得：。=5.

故答案為：5.

10.為了解某企業(yè)員工對黨史的學習情況，對該企業(yè)員工進行問卷調(diào)查，已知他們的得分都處在N,B,C,

。四個區(qū)間內(nèi)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到下面的統(tǒng)計圖.已知該企業(yè)男員工占。則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的個數(shù)

是.

女員工得分條形統(tǒng)計圖男員工得分扇形統(tǒng)計圖

①男、女員工得分在/區(qū)間的占比相同;

14/35

②在各得分區(qū)間男員工的人數(shù)都多于女員工的人數(shù)；

③得分在C區(qū)間的員工最多；

④得分在。區(qū)間的員工占總?cè)藬?shù)的20%.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)員工總?cè)藬?shù)為“個，

因為女員工人數(shù)為20+60+70+50=200,

所以上20？0=13-=2=解得〃=500,所以男員工人數(shù)為500-200=300,

n55

20

對于①,女員工得分在/區(qū)間的占比為礪=10%,男員工得分在/區(qū)間的占比為1-40%-35%-15%=10%,

故①正確；

對于②，女員工在/區(qū)間有20人，8區(qū)間有60人，C區(qū)間有70人，。區(qū)間有50人；

男員工在/區(qū)間有300xl0%=30人，B區(qū)間有300x40%=120人，C區(qū)間有300x35%=105人，。區(qū)間有

300xl5%=45人；

所以。區(qū)間男員工少于女員工，故②錯誤；

對于③，3區(qū)間有30+120=180人，C區(qū)間有70+105=175人，所以3區(qū)間人數(shù)比C區(qū)間多，故③錯誤；

對于④，。區(qū)間有50+45=95人，所以得分在。區(qū)間的員工占總?cè)藬?shù)的急=19%,故④錯誤；

綜上：①正確，②③④錯誤，故正確結(jié)論的個數(shù)是1.

故答案為：1.

【方法三：等價轉(zhuǎn)化法】

例題如下

1.如果連續(xù)自然數(shù)數(shù)列為,出，…，。〃滿足ig2+igi+工+ig1+工+…+坨i+L=[g〃，那么正整數(shù)

Ia\)\ai)\an)

n的最大值為.

【詳解】由已知得2?1+—?1+—--1+—\=n,即-----工-----」」一=〃.

IJIai)Ian)為a2a3a?

。"為連續(xù)自然數(shù),

c凡+1a,+n

.??上式可化簡為即2-二一=n,

axax

2n+2ai=na1,即(〃一2)(q—2)=4.

n-2=4n=6

要使〃最大，且〃EN*,則只能有即

%—2=1=3

15/35

該數(shù)列最多有6項，首項為3.

故答案為：6.

2.已知數(shù)列｛6｝滿足巴?。“+「。”+2=-g,若q=-i,出=[，則｛。”｝的前〃項積的最大值為.

【詳解】因為=-；，所以%+/%+2.%+3

兩式相除得展=1,即%+3=%，故數(shù)列的周期7=3,

an

由q=-l,t/2=1,可得%=3,設(shè)｛%｝的前〃項積為T,

所以當〃=3左/eN*時，<=[-￡|，當左=2時，4=（-￡|取最大值為

當〃=34+U：eN*時，（=（一￡|=,當左=1時，（=（一：取最大值為g.

當"=3萬+2,丘N*時，（jTjx（-l）xg=Jx[T],當人=1時，取最大值為f.

綜上所述，｛%｝的前"項積的最大值為;.

故答案為：；

3.若兩個等差數(shù)列｛g｝,帆｝的前"項和分別為4，B“,且滿足$=—則的值為____.

n〃ID"2Dg

【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)得，&+a=9他”fg,

._J^-2A-9X28.9

"b2+bs2紇214,

故答案為：9.

4.已知數(shù)列｛%｝的前“項和為S,,滿足q=1,當“W2時，年-4=2.給出下列四個結(jié)論:①當2=0時,

②當2=-3時，S。叫=2;

③當2=4時，V”22,S,,>2恒成立;

④當4>1時，｛%｝從第三項起為遞增數(shù)列.

其中所有正確結(jié)論的序號為.

【答案】①③④

16/35

【詳解】當2=0時，0-4=0,當"22時，S：=a；,所以用=。；=邑=&或$2=-%，

若邑=%=%+出=%，貝！J%=0,與題意矛盾，所以$2=-&nq+?=-。2n-2%=%n4=-；，

因為氏=〃；，所以S；=a；=>國=%或邑=-。3，

若5=%n%+%+%=%，則q+4=0，與題意矛盾，

所以S3=-a3nq+4+%=-%n-2%=%+%=；=%=-：，所以①正確；

當2=-3時，SH所以5；-（5.-5./2=-3=5.7（25.-5,7）=-3，

所以耳（2邑-Sj=-3nS2=-l,S2（253-52）=-3=>53=l,54（2S4-53）=-3^S4=-1,……，

所以｛Sj是以2為周期的周期數(shù)列，所以邑。24=邑=-1,所以②錯誤；

當彳=4時，S；-a；=4,所以S；-（S-S“j=4nSi（2S「S“T）=4,

1（4）4

所以"=彳丁+51（〃22）,因為％=1,2=4,所以1>0總->0,

由基本不等式可得s,=+S"。"=2,

4、

當且僅當【=S”TnSj,=4時，取等號，但因為瞟「片_=4,所以取不到等號，所以￡>2,所以③正確;

當力>1時，s；*=/,所以s；-（s“-s,j=4=九（2S“-九）=2,

所以S"=T丁+Si僅22）,因為%=1,2>1,

所以>0,S,T>0,由基本不等式可得s.=+S,>41,

21S"TJ

當且僅當【=S“_nSj,=2時，取等號，但因為睽所以取不到等號，所以<>VI,

17/35

由圖可知，當x>JE,y<0,有a?<0（?>3）,

所以｛0｝從第二項開始為遞減數(shù)列，

當“23且〃增大時，5小遞減，a“遞增，

所以｛%｝從第三項起為遞增數(shù)列，所以④正確；

故答案為：①③④

5.已知兩個等差數(shù)列2,6,10,202和2,8,14,…，200,將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大

的順序組成l個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為.

【詳解】等差數(shù)列2,6,10,…，202中，公差4=4；等差數(shù)列2,8,14,…，200中，公差義=6,4和

6的最小公倍數(shù)為12,

所以新數(shù)列｛%｝的公差d=12,首項4=2,所以％=12〃-10,

令%=12〃-10V200,解得“V17.5,故新數(shù)列共有17項，

所以新數(shù)列的各項之和為4=17x2+^|^xl2=1666,

故答案為：1666

6.意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,…，該數(shù)列的特

點是：從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列｛g｝稱為“斐

波那契數(shù)列”，則—…［心是斐波那契數(shù)列中的第項.

“2024

【詳解】依題意有：。〃+2=〃〃+1+%

一〃2024。2025=。2024(。2024+“2023)=。2024+〃2023(〃2023+。2022)

二。2024+。2023+〃2022(。2022+。2021)=。2024+。2023+。2022+〃2al

=〃2024+。2023+。2022FQ?+。］，

18/35

―“2025，

故答案為：2025.

%+1,〃為偶數(shù);

7.數(shù)列｛a/定義如下：％=1,且當〃N2時，an,，己知氏=二，則正整數(shù)n的值為.

---，〃為奇數(shù).7

a?_.

【詳解】由題設(shè)知，當”為偶數(shù)時，a>\.

當為奇函數(shù)時，an=—<1

因為%=萬>1，所以，〃為偶數(shù).

2215n

從而，=〒—1=亍>1，3是偶數(shù),

57/2

[58

則與=彳-1=亍>1,:是偶數(shù)，

4'/4

O1

則q=弓一1=亍<1,9是奇數(shù)；

8'/8

77—8

則ai!=7>1,二一是偶數(shù)，

I-13

依次可得：

嘖s=7-l=6>l,是偶數(shù)；

1616

M64

&=4一1=3>1,震偶數(shù);

128128

?^=3-1=2>1；空偶數(shù);

256256

。〃一8=2—1=1

〃一

所以，U8=ln〃=520.

512

故答案為：520

8.數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛a｝是等比數(shù)列，公比為q,數(shù)列包｝中，cn=anbn,S“是數(shù)列｛g｝的前〃

項和.若S,=11，%“=7,53m=-201（m為正偶數(shù)），則與"的值為.

19/35

【詳解】令/=%,B=S2m-Sm,C=S3m-S2m,

g為等比數(shù)列｛勾｝的公比，設(shè)”為等差數(shù)列｛%｝的公差，

?*'q"'A=+電區(qū)+…+。〃也")4"'=%3+1+%粼+2+…+4也“

m

B-qA=(5+i-%)bm+l+-+(a2m-am)b2m=md色向+…+，

同理C-=源魚+i+b2rH+2+…+&)=源+…+%””，

mm

：.C-q-B=q(B-qA),結(jié)合/=S“=11,B=S2m-Sm=-4,C=S3m-S2m=-208,

2、7

可得：11(/”)+8/”-208=0,解得U=4或尸=-六，

由于冽為正偶數(shù)，故/=-三52不合題意；

mm

設(shè)。=S4nl-邑a,同理可知。一/'C=q(C-qB),

BT#￡>=-208-4+4[-208-4-(-4)]=-832-768=-1600,

邑,"=D+S3m=-1600-201=-1801,

故答案為：-1801

9.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，數(shù)列也｝是等比數(shù)列，%+%=《，且狐=8.則%普+,3=

30408-1

【詳解】因為數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，且%+%=g，所以2g=*即％=g,

因為數(shù)列他,｝是等比數(shù)列，且她6品=8,所以反=8,即4=2,

所以二83.二3廿czs二2

b4b8Tb6T3

2

故答案為：—.

10.正項等差數(shù)列｛。"｝的前"項和為S",若1,4+2,幾成等比數(shù)列，則當?shù)淖钚≈禐?/p>

13

【詳解】設(shè)｛4｝的公差為d，則]義幾=%=(%+2『=>4+6d=(%+2/=>6d=a：+3%+4,

62

2

當且僅當q=2時取得等號.

20/35

故答案為：

【方法四：構(gòu)造法】

例題如下

2025—2加5-ln2

1.已知實數(shù)加，〃滿足——--m=---------In〃一InRe?。?。)=0,貝【J加〃=.

2025—2加

【詳解】因為^------m=0,所以e*-加_2冽=0,

2

故e2025=Zni/m，即2加+ln2m=2025,

即?地加+山？冽=2025.

5-ln25-ln2

由^-----lnn-ln(2e2O2O]=0,得^——lw?-ln2-2020=0

n''eto,

即e5-to2B+5-ln2w=2025.

令〃x)=x+e，，

因為/'(x)=l+e*>0,

所以函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，

jfQ/(ln2m)=/(5-ln2n)=2025,

故ln2加=5-ln2〃，解得ln4加〃=5,

、5

所以mn=一e.

4

5

故答案為：e

4

2.已知“X)的定義域是(0,”)，且〃x)</(x),則不等式?一"，+幻〉1一2/(2)的解是

【詳解】依題意，不等式+x)>丁-2/(2)o〃廠+")>坐，

ex+xe

令函數(shù)g(%)=△3,%>0，求導得g'(x)=/(')_"")，由/(x)</'(%),

eex

得g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(0,”)上單調(diào)遞增，原不等式為g(—+x)>g(2),

因止匕f+x>2，解得％<-2或x>l,

所以原不等式的解集為(-叱-2)U(L+8).

故答案為：(-*-2)U(l,+8)

3.函數(shù)/(x)在R上的導數(shù)為了'⑺，若/(%)-r(%)<0,且/(加-1)=屋-2必/(2024),則加=

21/35

【詳解】令g(x)=g,由g，(x)=/^FH,且-/(x)<0,則g<x)>0,

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，由不等式/W-l)=e"T025/(2024),則坐”=八管),

eme

可得%-1=2024,解得加=2025.

故答案為：2025.

4.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足"2)=20,且/("的導函數(shù)/'(x)滿足/(x)>6d+2,則不等式

>2x3+2x的解集為

【詳解】令g(x)=/(x)-2尤3-2尤，貝i]g[x)=/(x)-6尤2-2>0,

所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，

g^g(2)=/(2)-2x23-2x2=20-16-4=0,

故原不等式等價于g(x)>g⑵,所以x>2,

所以不等式/(x)>2/+2x的解集為(2,+8).

故答案為：(2,+8).

5.已知定義在R上的函數(shù)/(x)存在導數(shù)，對任意的實數(shù)x,都有〃x)-x)=2x,且當xe(0,+s)時，

/'(x)>l恒成立，若不等式/⑷--。經(jīng)2.-1恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

【詳解】由"x)-/(-x)=2x,得〃x)-x=/(r)-(-x),

記g(x)=/(x)-x,則有g(shù)(x)=g(-x),即g(x)為偶函數(shù),

又當xe(0,+s)時，g'(x)=/(x)_l>0恒成立，即g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

由/(°)一)(I一a)22a-1,得/(?)-a>/(l-a)-(l-a),

于是g(a)±g(l-a),即g(⑷)2g(|l-a|),

因此|a閆l-a|,即/Nl+az-2a,解得awL