第01講

長方體和正方體的認識【知識梳理】一、長方體的認識1、認識長方體的面、棱、頂點。（1）從不同的角度觀察同一個長方體。把長方體放在桌面上，無論從哪個角度觀察，最多只能同時觀察到長方體的三個面。（2）長方體的棱和頂點。長方體兩個面相交的線叫作長方體的棱，三條棱相交的點叫作長方體的頂點。2、長方體的特征。長方體是由6個長方形（也可能有2個相對的面是正方形）圍成的立體圖形，它有6個面、12條棱和8個頂點。在一個長方體中，相對的面完全相同，相對的棱長度相等。3、長方體長、寬、高的含義。長方體相交于同一頂點的三條棱的長度，分別叫作它的長、寬、高。4、長方體的長、寬、高不是固定不變的，它與長方體的擺放方式有關。長方體相交于同一頂點的三條棱中，通常把水平方向的兩條棱分別叫作它的長和寬，把豎直方向的一條棱叫作它的高。二、正方體的認識1、正方體也叫立方體。它是由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形。它的6個面是完全相同的正方形，12條棱的長度都相等，有8個頂點。2、正方體的長、寬、高相等，都叫正方體的棱長。3、長方體和正方體的特征的異同。①相同點:都有6個面、12條棱、8個頂點，相對的面完全相同，相對的棱長度相等。②不同點:長方體的6個面都是長方形（也可能有2個相對的面是正方形）;一般情況下，棱有3組，每組4條棱長度相等。正方體的6個面是完全相同的正方形;每條棱的長度都相等。三、正方體、長方體的展開圖1、把一個正方體沿一條棱剪開，如下圖所示。正方體的展開圖是由6個完全相同的正方形組成的，可以通過觀察、折疊找到3組相對的面。2、沿長方體的棱把長方體剪開，展開圖中有3組相對的面，相對的面完全相同，相對的面完全隔開。3、沿著正方體（或長方體）的棱將它剪開，可以把正方體（或長方體）展開成一個平面圖形，這個平面圖形就是正方體（或長方體）的展開圖。在展開圖中，正方體的6個面完全相同（長方體相對的面完全相同），相對的面完全隔開。【典型例題】例1下圖是一個長方體禮品盒，把長方體禮品盒沿虛線捆扎，至少需要()厘米長的彩帶。A．38 B．40 C．42 D．36【分析】根據長方體的特征，它的12條棱分為互相平行（相對）的3組，每組4條棱的長度相等，根據題意，長方體的長是6厘米，寬是5厘米，高是4厘米，彩帶的長度就是長×2＋寬×2＋高×4，代入數據，即可解答。【詳解】6×2＋5×2＋4×4＝12＋10＋16＝22＋16＝38（厘米）故選擇：A【點評】根據考查長方體棱長的應用，根據長方體特征進行解答。例2如圖所示，這個展開圖能折成一個長方體（字母露在外面），如果F面在前面，從左面看是B面，那么()面在上面，()面在后面。【答案】C

A例3一個長方體無蓋紙盒長4分米，寬3分米，高2分米。下面每個方格的邊長表示1分米。請將紙盒的展開圖補充完整，并計算出做這個紙盒至少需要多少平方分米紙板。（運用長方形的面積公式進行解答）【分析】根據長方體的特征可知，長方體相對面的面積相等，無蓋長方體也就是由一個底面和4個側面（前、后面和左、右面）圍成的，然后根據展開圖，運用長方形的面積公式進行計算即可。【詳解】紙盒的展開圖如下：4×3＋（4×2＋3×2）×2＝12＋28＝40（平方分米）答：做這個紙盒至少需要40平方分米紙板。【點睛】此題考查的目的是理解掌握長方體展開圖的特征，展開后是長方形，關鍵是熟記公式。【過關檢測】一、選擇題1．有一物體長80厘米、寬60厘米、高175厘米，下列選項中最有可能的是（

）。A．微波爐 B．手機 C．冰箱 D．公共汽車2．李叔叔用80厘米長的鐵絲正好做了一個長方體框架，長10厘米，左、右側面是正方形，這個長方體框架的高是（

）厘米。A．4 B．5 C．8 D．103．如圖，把一個正方體的6個面分別編號1、2、3、4、5、6，根據圖中提供的3種擺放情況，1，2分別和（

）相對。A．3，4 B．4，6 C．4，54．一根長（

）cm的鐵絲，剛好可以圍成一個棱長為4cm的正方體框架。A．16 B．48 C．64 D．965．下面圖形不是正方體展開圖的是（

）。A．

B．

C．

D．

二、填空題6．在如圖中標出它的長、寬和高。7．長方體的展開圖由()個長方形組成，且相對面的面積()；正方體的展開圖是由()個()的正方形組成的。8．先想一想將這個展開圖圍成正方體后的形狀，再填空。

1和________相對2和________相對3和________相對9．做一個棱長5cm的正方體鐵絲框架，需要________cm鐵絲。如果要做一個像兩個這樣的正方體拼起來那樣大小的長方體框架，可以比原來兩個正方體框架少用________cm鐵絲。10．強強做一個長方體的框架一共用了156厘米的鐵絲（連接處忽略不計），相交于一個頂點的三條棱的長度之和是()厘米。三、計算題11．計算下面圖形的棱長總和。（單位：cm）

四、作圖題12．下圖正方體的上半部分涂上了陰影，請在展開圖上將陰影部分補充完整。13．下面的方格紙上畫了一個長方體展開圖的三個面，請繼續畫出展開圖的另外三個面。五、解答題14．快遞公司要把一個棱長為40厘米的正方體的物體用紙箱包裝好后，再用包裝帶按如圖所示的方法捆扎起來，接頭處需要30厘米。捆扎這個物體一共需要多少米包裝袋？15．宣紙質地柔軟，經久耐用，被稱為“千年壽紙”。陳師傅將宣紙裁成了如圖A的形狀，藝術創作后，準備加上木條制作成如圖B所示的長方體燈罩，要做出這樣一個燈罩，至少需要多少厘米的木條？參考答案1．C【分析】根據長方體的特征和生活經驗可知，一個長80厘米、寬60厘米、高175厘米的物體，那么微波爐的要小于這個尺寸，手機也遠遠小于這個尺寸，公共汽車要大于這個尺寸，只有冰箱的尺寸比較符合。【詳解】由分析可知：有一物體長80厘米、寬60厘米、高175厘米，下列選項中最有可能的是冰箱。故答案為：C【點睛】本題考查長方體的認識，根據生活經驗和數據的大小是解題的關鍵。2．B【分析】根據題意，這個長方體的棱長和是80厘米。將棱長和除以4，求出長、寬、高之和，再將其減去長10厘米，即可求出寬和高的和。又因為左、右側面是正方形，那么寬和高相等，那么將寬和高的和除以2，即可求出高。【詳解】80÷4＝20（厘米）（20－10）÷2＝10÷2＝5（厘米）所以，這個長方體框架的高是5厘米。故答案為：B【點睛】本題考查了長方體的棱長和，長方體棱長和＝（長＋寬＋高）×4，那么長＋寬＋高＝長方體棱長和÷4。3．B【分析】根據正方體的三種不同的放置，每種放置都能看到的3個面上的數字，可以采取排除法進行解答。【詳解】三種不同的置都能看到數字3，3的對面不可能是1，2，4，6，所以3的對面是5；由圖1和圖2可知，1的對面不可能是2，3，6，5，所以1的對面是4；那么2的對面一定是6。1，2分別和4，6相對。故答案為：B【點睛】解答此題主要抓住出現次數最多的數字，排除和這個數字相鄰的數字，就可以找到這個數字的對面是幾，再看另一個出現次數最多的數字同樣用排除法解答。4．B【分析】根據“正方體棱長和＝棱長×12”，代入數據計算，即可求出這根鐵絲的長度。【詳解】4×12＝48（cm）所以，一根長48cm的鐵絲，剛好可以圍成一個棱長為4cm的正方體框架。故答案為：B【點睛】明確正方體的12條棱長是相等的，是解答此題的關鍵。5．B【分析】根據正方體展開圖的類型，主要分為“1－4－l”型，“2－3－1”型，“2－2－2”型，“3－3”型，據此判斷解答即可。【詳解】A．，屬于“1－4－l”型，可以折成正方體，是正方體的展開圖；B．，不屬于正方體展開圖類型，不是正方體的展開圖；C．，屬于“1－4－l”型，可以折成正方體，是正方體的展開圖；D．屬于“1－4－l”型，可以折成正方體，是正方體的展開圖。故答案為：B【點睛】本題考查正方體的展開圖，明確正方體的展開圖的特征是解題的關鍵。6．見詳解【分析】根據長方體的特征，底面中較長的棱就是長方體的長，較短的棱就是長方體的寬，垂直于底面的棱就是長方體的高，據此解答。【詳解】如圖所示：

【點睛】本題主要考查長方體的認識，明確長方體的特征是解題的關鍵。。7．6相等6相同【分析】長方體的每個面都是長方形（特殊情況下有2個正方形的面），相對的面完全相同，面積相等。正方體的每個面都是正方形，每個面完全相同。據此解題。【詳解】長方體的展開圖由6個長方形組成，且相對面的面積相等；正方體的展開圖是由6個相同的正方形組成的。【點睛】本題考查了長方體和正方體的展開圖，掌握長方體和正方體的特征是解題的關鍵。8．465【分析】正方體的展開圖中相對的兩個面不相連，即“上下隔一行，左右隔一列”。另外，展開圖的對面之間不能有公共邊或公共點（相對的面不相鄰）。據此解答即可。【詳解】根據“上下隔一行”可知，3和5相對；根據2和4有公共點、2和1有公共邊，可推出2和6相對；剩下的1和4相對。所以1和4相對，2和6相對，3和5相對。【點睛】直接判斷一個數字的對面是什么數字比較難，可根據相對面的規律用排除法解決。9．6040【分析】根據正方體的棱長總和＝棱長×12，長方體的棱長總和比兩個這樣正方體的棱長總和少用了8個棱長，據此解答即可。【詳解】5×12＝60（cm）8×5＝40（cm）所以需要60cm的鐵絲，可以比原來兩個正方體框架少用40cm鐵絲。【點睛】此題主要考查正方體的棱長總和公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。10．39【分析】相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。根據題意，用一根鐵絲做一個長方體框架，那么鐵絲的長度等于長方體的棱長總和；求相交于一個頂點的三條棱的長度之和，就是求長方體的長、寬、高的和；根據長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4可知，長方體的長、寬、高的和＝棱長總和÷4，代入數據計算即可求解。【詳解】156÷4＝39（厘米）相交于一個頂點的三條棱的長度之和是39厘米。【點睛】本題考查長方體的特征以及長方體棱長總和公式的靈活運用。11．88cm【分析】根據長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，已知長方體的長為10cm，寬和高都為6cm，把數據代入到公式中，即可得解。【詳解】（10＋6＋6）×4＝22×4＝88（cm）即長方體的棱長總和是88cm。12．見詳解【分析】本題屬于“1—4—1”型的正方體展開圖，折成正方體后，1號和6號是相對面，2號和4號是相對面，3號和5號是相對面，其中3號全部涂上陰影，與3號相鄰的1號、2號、4號、6號一半涂上陰影，1號和2號右半部分涂上陰影，4號左半部分涂上陰影，6號下半部分涂上陰影，據此解答。【詳解】分析可知：【點睛】本題主要考查正方體的展開圖，明確展開圖中的涂色正方形與哪些面相鄰，關鍵要有空間想象能力。13．見詳解【分析】長方體有6個面，相對的面完全相同，相對的面不相鄰；根據長方體的特征及展開圖的特點畫出長方體表面展開圖的另外三個面，并標上相應的名稱。【詳解】如圖所示：【點睛】運用空間想象力，結合長方體的特征、長方體展開圖的特點解題。14．3.5米【分析】觀察題意可知，包裝帶的長度＝8條正方體的棱長＋接頭處，已知正方體的棱長為40厘米，用40×8＋30即可求出捆扎這個物體一共需要多少厘米包裝帶，然后把單位換算成米，據此解答。【詳解】40×8＋30＝320＋