第五講離散方程求解屠基元教授清華大學(xué)墨爾本皇家理工大學(xué)第1頁2控制方程向代數(shù)方程轉(zhuǎn)化I均勻發(fā)燒無限大平板穩(wěn)定導(dǎo)熱問題。xyzABTA=100oCTB=400oCLq=500W/m3控制體體積

x

x

xPEWew1234TATB

x/2

x/2大平板區(qū)域有限體積離散第2頁3控制方程向代數(shù)方程轉(zhuǎn)化

II對(duì)于恒定傳熱系數(shù)和熱流量，方程變?yōu)椋阂刖€性近似梯度：將上述方程進(jìn)行重新整理，得到代數(shù)方程：第3頁4控制方程向代數(shù)方程轉(zhuǎn)化III對(duì)于節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3，系數(shù)為

：對(duì)于節(jié)點(diǎn)1，系數(shù)為：對(duì)于節(jié)點(diǎn)4，系數(shù)為：控制體體積

x

x

xPEWew1234TATB

x/2

x/2第4頁5控制方程向代數(shù)方程轉(zhuǎn)化

IV控制體每一節(jié)點(diǎn)系數(shù)值代數(shù)方程矩陣形式：代入第5頁6二維離散化I一維網(wǎng)格二維網(wǎng)格第6頁7二維離散化

II因?yàn)榇鷶?shù)方程式以上方程適合用于內(nèi)部點(diǎn):對(duì)于節(jié)點(diǎn)或點(diǎn)第7頁8矩陣求解I

對(duì)于線性代數(shù)：

反演方法效率不高

高斯消元法并非最好方法

對(duì)于方程個(gè)數(shù)較多方程組，能夠利用迭代法求解第8頁9矩陣求解II

每個(gè)節(jié)點(diǎn)未知變量普通形式能夠?qū)懗桑褐匦屡帕猩鲜龇匠蹋醚趴杀扔鞣ǖ簁+1

為新迭代級(jí)

對(duì)于高斯-賽德爾迭代方法k為上一步迭代級(jí)

收斂性判據(jù)第9頁10迭代法

–雅可比喻法利用雅可比迭代方法求解方程組演示第10頁11迭代方法–高斯-賽德爾方法利用高斯-賽德爾迭代方法求解方程組示例第11頁12二維熱傳導(dǎo)–高斯-賽德爾方法利用高斯-賽德爾迭代方法求解方程組第12頁差分方程求解將前面得到差分方程改寫為，或者簡單寫成矩陣形式，其中，第13頁差分方程求解第14頁差分方程求解與方程（1）對(duì)比，知，由方程（1）系數(shù)陣[A]特殊性，通常稱之為三對(duì)角方程（Tri-diagonalequation)三對(duì)角方程能夠采取非常高效追趕法（TDMA法）求解基于矩陣分解屬于必須掌握內(nèi)容第15頁差分方程求解TDMA法Fortran源程序第16頁計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)：算例求解下面一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題：第17頁計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)：算例求解區(qū)域離散化：內(nèi)節(jié)點(diǎn)法：先劃分控制容積，在確定節(jié)點(diǎn)均勻網(wǎng)格：

x=x將整個(gè)求解區(qū)域劃分為（N-2）個(gè)控制容積，N個(gè)節(jié)點(diǎn)（包含2個(gè)邊界節(jié)點(diǎn)）內(nèi)部節(jié)點(diǎn)差分方程第18頁計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)：算例其中，第19頁計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)：算例注意：采取內(nèi)節(jié)點(diǎn)法劃分網(wǎng)格時(shí)，近邊界節(jié)點(diǎn)與其它內(nèi)部節(jié)點(diǎn)不盡相同，所以必須單獨(dú)考慮。123NN-1(

x)w(

x)e(

x)e當(dāng)i＝2時(shí)(

x)w=?

x

w=W=1所以，當(dāng)i＝2時(shí)第20頁計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)：算例所以，當(dāng)i＝2時(shí)，第21頁計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)：算例當(dāng)i＝3，4，…，N-2時(shí)，第22頁計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)：算例一樣，當(dāng)i＝N-1時(shí)(

x)e=?

x

e=E=N所以，當(dāng)i＝N-1時(shí)123NN-1(

x)w(

x)e(

x)e第23頁計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)：算例所以，當(dāng)i＝N-1時(shí)，第24頁計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)：算例最終得到由（N－2）個(gè)方程組成方程組為求解上面方程，即可得到（N－2）個(gè)未知數(shù)，即，T2,T3,T4,…….,TN-1。第25頁計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)：算例注意：上面方程組是非線性，必須用迭代法求解求解方法：假定一個(gè)溫度分布：Ti，i＝1，2，3，。。。，N計(jì)算

i，i＝1，2，3，。。。，N計(jì)算a,b,c,d用TDMA法求解方程組，得到新溫度分布：Ti’計(jì)算：Max{abs(Ti-Ti’),i＝1,2,3,……,N}判斷：abs(Ti-Ti’)是否小于（精度要求）假如不能滿足精度要求，令Ti＝Ti’，重復(fù)上面計(jì)算滿足精度要求：計(jì)算結(jié)束第26頁計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)：算例希望大家用計(jì)算機(jī)完成上面計(jì)算，并與下面分析解結(jié)果比較：第27頁尤其提醒計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)地位關(guān)鍵：掌握循環(huán)變量使用基礎(chǔ)：對(duì)算法清楚透徹把握保障：細(xì)心細(xì)心再細(xì)心第28頁29迎格調(diào)式I包含對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)控制方程：網(wǎng)格雷諾數(shù)第2