第十四章整式的乘法與因式分解（知識歸納+題型突破）1.理解并掌握同底數冪的乘法．2.理解并掌握乘法公式的基本運算．3.理解并掌握因式分解．一、同底數冪的乘法性質(其中都是正整數).即同底數冪相乘，底數不變，指數相加.要點詮釋：（1）同底數冪是指底數相同的冪，底數可以是任意的實數，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數冪相乘時，也具有這一性質，即（都是正整數）.（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數冪的積，其中它們的底數與原來的底數相同，它們的指數之和等于原來的冪的指數。即（都是正整數）.二、冪的乘方法則(其中都是正整數).即冪的乘方，底數不變，指數相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(，均為正整數)（2）逆用公式：，根據題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.三、積的乘方法則(其中是正整數).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(為正整數).（2）逆用公式：逆用公式適當的變形可簡化運算過程，尤其是遇到底數互為倒數時，計算更簡便.如：注意事項（1）底數可以是任意實數，也可以是單項式、多項式.（2）同底數冪的乘法時，只有當底數相同時,指數才可以相加.指數為1，計算時不要遺漏.（3）冪的乘方運算時，指數相乘，而同底數冪的乘法中是指數相加.（4）積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數)都要分別乘方.（5）靈活地雙向應用運算性質，使運算更加方便、簡潔.（6）帶有負號的冪的運算，要養成先化簡符號的習慣.四、單項式乘單項式單項式與單項式相乘，把它們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數作為積的一個因式.要點詮釋：（1）單項式的乘法法則的實質是乘法的交換律和同底數冪的乘法法則的綜合應用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數等于各系數的積，是把各單項式的系數交換到一起進行有理數的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數冪的乘法，按照“底數不變，指數相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結果仍為單項式，也是由系數、字母、字母的指數這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.五、單項式與多項式相乘的運算法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質是利用乘法的分配律將其轉化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數與原多項式的項數相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結果.六、多項式與多項式相乘的運算法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數應該等于兩個多項式的項數之積.多項式與多項式相乘的最后結果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.七、平方差公式平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.要點詮釋：在這里，既可以是具體數字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉化為公式的標準型（2）系數變化：如（3）指數變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如八、完全平方公式完全平方公式：兩數和(差)的平方等于這兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.以下是常見的變形：九、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.要點詮釋：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.十、補充公式；；；.十一、因式分解把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.要點詮釋：（1）因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結果只能是整式的積的形式.（2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.十二、公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.要點詮釋：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數字系數和字母兩部分：①公因式的系數是各項系數的最大公約數.②字母是各項中相同的字母，指數取各字母指數最低的.十三、提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．要點詮釋：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多項式各項的公因式.（3）當多項式第一項的系數是負數時，通常先提出“—”號，使括號內的第一項的系數變為正數，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變為：“＋1”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現錯誤.十四、公式法——平方差公式兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的積，即：要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數（整式）的和與這兩個數（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.十五、公式法——完全平方公式兩個數的平方和加上（減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.右邊是兩數的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.【考點一同底數冪相乘】例題：（2023春·陜西西安·七年級統考階段練習）計算的結果是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·陜西榆林·七年級統考期末）計算的結果是(

)A． B． C． D．2．（2023·上海·七年級假期作業）計算下列各式，結果用冪的形式表示．(1)；(2)；(3)．【考點二同底數乘法的逆用】例題：（2023春·江西吉安·七年級統考期中）若，則．【變式訓練】1．（2023春·廣東佛山·七年級校考階段練習）已知，，則．2．（2023春·廣東深圳·七年級校考期末）已知，，則的值為．【考點三冪的乘方運算】例題：（2023春·浙江紹興·七年級統考期末）計算．【變式訓練】1．（2023春·河北唐山·七年級統考期中）計算：．2．（2023春·江蘇南京·七年級南京市百家湖中學校考階段練習）計算的結果是．3．（2023春·七年級單元測試）化簡：（1）；（2）．【考點四冪的乘方的逆用】例題：（2023春·安徽六安·七年級統考期末）如果，則．【變式訓練】1．（2023春·廣東茂名·七年級統考期中）若，，則．2．（2023春·廣東佛山·七年級校聯考期中）已知，則．【考點五積的乘方運算】例題：（2023春·重慶南岸·七年級統考期末）計算：．【變式訓練】1．（2023春·廣東深圳·七年級統考期末）計算：．2．（2022春·七年級單元測試）計算：．【考點六積的乘方的逆用】例題：（2023春·江蘇揚州·七年級校考期末）計算的結果是．【變式訓練】1．（2023春·江西撫州·七年級南城縣第二中學校考階段練習）計算：．2．（2023春·山東濟南·七年級校考階段練習）若，，則代數式的值是．【考點七同底數冪的除法】例題：（2023·天津河東·統考二模）計算的結果是.【變式訓練】1．（2023·陜西漢中·統考二模）計算：．2．（2023春·浙江·七年級專題練習）計算：（1）；（2）；（3）．【考點八同底數冪除法的逆用】例題：（2023春·四川成都·七年級成都實外校考期中）若，，則的值是．【變式訓練】1．（2023春·江蘇南京·七年級統考期末）若，，則．2．（2023春·江西吉安·七年級統考期末）已知，，，則．【考點九計算單項式乘單項式】例題：（2023·上海·七年級假期作業）計算：．【變式訓練】1．（2023春·陜西寶雞·七年級統考期末）計算的結果是（

）A． B． C． D．2．（2023春·湖南益陽·七年級統考期末）計算：．【考點十利用單項式乘法求字母或代數式的值】例題：（2023春·浙江·七年級專題練習）已知單項式與的積為，那么、的值為（

）A．， B．，C．， D．，【變式訓練】1．（2023春·七年級課時練習）若，則的值分別為（）A．3，2 B．2，3 C．3，3 D．2，22．（2023春·浙江·七年級專題練習）若單項式和3xy的積為，則ab的值為（）A．30 B．20 C．﹣15 D．15【考點十一計算單項式乘多項式】例題：（2023春·廣東河源·七年級統考期末）計算：．【變式訓練】1．（2023春·廣東佛山·七年級統考期末）計算：．2．（2023春·廣西貴港·七年級統考期末）計算：【考點十二利用單項式乘多項式求字母的值】例題：（2023春·江蘇·七年級專題練習）已知中不含x的二次項，則．【變式訓練】1．（2023春·七年級課時練習）若的結果中不含項，則．2．（2023春·七年級課時練習）若恒成立，則．【考點十三單項式乘多項式的應用】例題：（2023春·貴州六盤水·七年級校聯考階段練習）如圖，大小兩個正方形邊長分別為、．

(1)用含、的代數式陰影部分的面積；(2)若，求陰影部分面積．【變式訓練】1．（2023·上海·七年級假期作業）王老師家買了一套新房，其結構如圖所示（單位：）．他打算將臥室鋪上木地板，其他地方鋪地磚．(1)木地板和地磚分別需要多少平方米？(2)如果地磚的價格為每平方米x元，木地板的價格為每平方米元，那么王老師需要花多少錢？2．（2023秋·河北唐山·七年級唐山市第十二中學校考期末）如圖，將邊長為的小正方形和邊長為的大正方形放在同一平面上．(1)用、表示陰影部分的面積______．（寫最簡結果）(2)計算當，時，陰影部分面積．(3)試著說明：白色部分面積與的大小無關．【考點十四計算多項式乘多項式】例題：（2023秋·吉林長春·八年級統考期末）計算：．【變式訓練】1．（2023·上海·七年級假期作業）計算：(1)；(2)；(3)．2．（2023秋·八年級課時練習）計算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【考點十五(x+p)(x+q)型多項式乘法】例題：（2023春·浙江·七年級專題練習）計算：(1)(2)(3)(4)【變式訓練】1．（2023春·江蘇·七年級專題練習）探索題：(1)計算：＝，＝，＝；(2)發現：＝；并證明你的發現．2．（2023春·江蘇·七年級專題練習）在運算中，我們如果能總結規律，并加以歸納，得出數學公式，一定會提高解題的速度．在解答下列問題中，請探究其中的規律．(1)計算后填空：_________；_________；_________；(2)歸納猜想后填空：____________(3)運用（2）中得到的結論，直接寫出計算結果：______．【考點十六多項式乘多項式——化簡求值】例題：（2023春·浙江金華·七年級統考期末）先化簡，再求值：，其中．【變式訓練】1．（2023春·湖南益陽·七年級統考期末）先化簡，再求值：，其中．2．（2023·吉林松原·統考二模）先化簡，再求值：，其中，．【類型十七利用乘法公式進行簡便運算】例題：（2023春·廣西北海·七年級統考期中）用簡便方法計算：(1)(2)【變式訓練】1．（2023春·北京海淀·七年級校考期末）用簡便方法計算：．2．（2023春·江蘇常州·七年級統考期中）用簡便方法計算：(1)(2)