新民學校2024—2025學年度第一學期期中考試高三數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．已知正三棱柱所有棱長均為2，則該正三棱柱的體積為（

）A． B．4 C． D．4．在△ABC中，內角滿足，則△ABC的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形5．已知向量，，若，則的值為（

）A． B． C． D．6．冰箱空調等家用電器使用了氟化物，氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層，使臭氧量Q呈指數函數型變化．當氟化物排放量維持在某種水平時，臭氧量滿足關系式，其中是臭氧的初始量，e是自然對數的底數，t是時間，以年為單位．若按照關系式推算，經過年臭氧量還保留初始量的四分之一，則的值約為（）（

）A．584年 B．574年 C．564年 D．554年7．已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．48．已知則（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知復數滿足，則（

）A．B．C．的虛部為8D．在復平面內對應的點位于第一象限10．已知數列的前項和，則（

）A．不是等差數列 B．C．數列是等差數列 D．11．（多選題）已知函數，則（

）A．函數在區間上單調遞減B．函數在區間上的最大值為1C．函數在點處的切線方程為D．若關于的方程在區間上有兩解，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知平面向量，則.13．已知函數是定義在上的奇函數，當時，,則.14．已知函數滿足為的導函數，.若，則數列的前2025項和為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數．（1）若，求函數的極值；（2）討論函數的單調性．16．在△ABC中，．（1）求；（2）若△ABC的面積為，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求a的值．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．17．已知函數.（1）求的最小正周期；（2）求在區間上的最值及相應的的值.18．已知等比數列的各項均為正數，且，.（1）求的通項公式；（2）數列滿足，求的前n項和.19．已知有窮數列的各項均為正整數，記集合的元素個數為.（1）若數列為，試寫出集合，并求的值；（2）若是遞增數列且，求證：是等比數列；參考答案：題號12345678910答案CDABDDDBACDBC題號11答案AC6．D【詳解】由題意知，，則，解得年.故選：D．7．D【詳解】對求導得，由得，則，即，所以，當且僅當時取等號．故選：D．11．AC【詳解】因為，，所以，令，即；令，即，所以函數在區間上單調遞減，在上單調遞增，故A正確；因為，，所以函數在區間上的最大值為4，故B錯誤；因為，，所以函數在點處的切線方程為，即，故C正確；因為，函數大致圖象如圖，要使方程在區間上有兩解，則，故D錯誤.12．13．1214．【詳解】由題意知，所以，即，又因為，所以，所以，，將兩式相加可得：.故答案為：.15．【詳解】（1）.所以或時，，時，，則在上遞減，在遞增，所以的極小值為，極大值為.（2），當時，，所以在上遞增，當時，或時，；時，，所以在上遞增，在上遞減，當時，或時，；時，，所以在上遞增；在上遞減．16．【詳解】（1）因為，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，所以，又，所以，得到，所以.（2）選條件①：由（1）知，，根據正弦定理知，，即，所以角有銳角或鈍角兩種情況，存在，但不唯一，故不選此條件.選條件②：因為，所以，又，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.選條件③：因為，所以，由，得到，又，由(1)知，所以又由正弦定理得，，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.17．【詳解】（1）函數的最小正周期是.（2），，，此時，，此時，18．詳解】（1）設數列的公比為，則，，解得，所以，即的通項公式為；（2）方法一：由題可知，則，