2024年中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)（全國(guó)通用版）

二次函數(shù)與幾何圖形綜合型專題

題型解讀

二次函數(shù)綜合題是中考的必考題，一方面考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，幾何圖形的

性質(zhì)與判定，圖形變換等；另一方面考查了方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)建

模思想等.主要類型包括：線段問題，角度問題，面積問題，全等、相似三角形存在性問題，平行四

邊形存在性問題，特殊三角形存在性問題等.

類型一線段問題

解法指導(dǎo)

1.確定線段長(zhǎng)

兩點(diǎn)之間的距離可以根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)度，已知點(diǎn)A（xi，-），點(diǎn)8（血，/），則

垃+（%-,也可以構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出.在求這類問題時(shí)首先應(yīng)該明白

與龍軸平行的直線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)都相同，且兩點(diǎn)間的距離是橫坐標(biāo)相減的絕對(duì)值；與y軸平行的直線

上點(diǎn)的橫坐標(biāo)都相同，且兩點(diǎn)間的距離是縱坐標(biāo)相減的絕對(duì)值.

2.線段數(shù)量關(guān)系問題

根據(jù)前面所得的線段長(zhǎng)，結(jié)合題干中線段間的數(shù)量關(guān)系，利用勾股定理或相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比

例，列出方程求解即可.（注意排除不符合題意的數(shù)值）

3.求線段最大值問題

根據(jù)前面所得的線段長(zhǎng)的關(guān)系式，構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值，可得到線段長(zhǎng)

的最大值（注意自變量的取值范圍）；求兩條線段和的最小值時(shí)，常用“將軍飲馬”模型.

典例精析

例1如圖1,已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A（0,3）和兩點(diǎn)，直線AB

與無軸相交于點(diǎn)C,P是直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸。,無軸交AB于點(diǎn)D

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若PE//X軸交AB于點(diǎn)E,求PD+PE的最大值.

c=3,

解析：⑴將A（0,3）,3（1,一2）代入y=-J+Zzx+c,得＜79解得

24+/。=一了‘一?

所以該拋物線的解析式為y=-7+公+3.

(2)設(shè)直線AB的解析式為y=fcc+w.

/C、-J，1J

將4(0,3),8工,一2代入〉=丘+”，得卜_9解得｛=一展

5"一了[“=3.

3

所以直線A3的解析式為y=-|x+3.

33

在》=--x+3中，令y=0,則-—x+3=0,解得％=2.所以C(2,0).

因?yàn)槭琌_Lx軸，PE〃x軸，所以N0EP=NACO,ZDPE=ZAOC=90°.所以RtZ\OPEsRt/\AOC

所以p必n=土PF，即P2D=O絲A=三3.所以pE=*2p￡>.所以pQ+pE=5?pD

OAOCPEOC233

設(shè)P(a,-fl2+2a+3),則。[a,-ga+3；

所以PD=(-(r+2a+3)

所以。+差.

因?yàn)?±5<0,所以當(dāng)。=7'時(shí)，PO+PE有最大值，最大值為24坦5.

3448

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A(4,0)的直線AB與y軸交于點(diǎn)8(0,4).經(jīng)

過原點(diǎn)。的拋物線產(chǎn)-尤2+bx+c交直線于點(diǎn)A,C,拋物線的頂點(diǎn)為D.

(1)求拋物線y=-x2+6x+c的解析式；

(2)M是線段AB上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)MN〃y軸且MN=2時(shí)，求點(diǎn)M的坐

標(biāo).

類型二角度問題

解法指導(dǎo)

如果要證明兩角相等，可通過平行線、等邊對(duì)等角、軸對(duì)稱或相似三角形求解；如果要構(gòu)造一個(gè)

45。的角，可通過等腰直角三角形、同弧所對(duì)圓周角等于90。圓心角的一半、平分直角等解決；在二倍

角的問題中，可利用等腰三角形頂角的外角等于底角的2倍，構(gòu)造二倍角，再利用正切三角函數(shù)計(jì)算.

典例精析斗

例2如圖2,拋物線>=0?+%無+c(aWO)與x軸交于Z^\

A(-2,0),B(8,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,4),連接AC,BC.

(1)求拋物線的解析式；70B

(2)尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).圖2

解析：(1)由A(-2,0),8(8,0),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-8).

將C(0,4)代入y=a(尤+2)(尤-8),得4=-16a,解得。=-；.

2

所以拋物線的解析式為y=」(x+2)(x-8)=-1X+-X+4.

-442

(2)①當(dāng)點(diǎn)尸在BC上方時(shí)，如圖3所示.

因?yàn)樗訮C〃A8所以C,尸兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等.所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4.

將力=4代入>=-—x2+—x+4,得4=-—/+—x+4,解得不=0,&=6.

4242

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,4).

圖3圖4

②當(dāng)點(diǎn)P在BC下方時(shí)，如圖4所示.

設(shè)PC交x軸于點(diǎn)H.因?yàn)樗訦C=HB.

設(shè)HC=HB=m,貝l|OH=OB-HB=8-m.

在RtZ\COH中，由勾股定理，得OC2+OH2=CH2,即4?+(8-加2=m2,解得m=5.

所以。8=3.所以H(3,0).

設(shè)直線PC的解析式為y=kx+n.

[〃=4,k=—

將C(0,4),H(3,0)代入y=fci+〃，得＜解得《3

3k+〃=0,.

i[n=4.

4

所以直線PC的解析式為y=-§x+4.

4,34

y=——x+4,x——，

x=0,3所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為f—?——

聯(lián)立《；解得＜或<

y=4100

y=——x2+—x+4,y=----

42-9

<34100

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（6,4）或鼻，—刀

跟蹤訓(xùn)練

2.如圖，拋物線y=-7+bx+c與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線8c的解析式為y=x-3.

（1）求拋物線的解析式;

（2）點(diǎn)。是拋物線上一點(diǎn)，若/ACQ=45°,求點(diǎn)0的坐標(biāo).

第2題圖

類型三面積問題

解法指導(dǎo)

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果三角形的一邊與坐標(biāo)軸平行或重合，就把這邊作三角形的底邊，直接

用面積公式計(jì)算；如果三角形的三邊都不與坐標(biāo)軸平行或重合，可用“鉛垂高”法.如圖，過△ABC的

三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫做^A8C的“水平寬”（a）,

中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫做的“鉛垂高”。7）,則SAABc='a/i，即三角形

2

面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.求圖形面積的最值時(shí)，常利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決.

典例精析

例3如圖5,已知直線y=：x+4與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線》二蘇+及十。經(jīng)過A,

C兩點(diǎn)，且與工軸的另一個(gè)交點(diǎn)為5,對(duì)稱軸為％=-1.

(1)求拋物線的解析式;

(2)。是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為徵，求

四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo).

圖5

4一

解析：(1)在y=§x+4中，當(dāng)y=0時(shí)，％=-3,當(dāng)x=0時(shí)，y=4,所以A(-3,0),C(0,4).

因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x=-1,所以5(1,0).

設(shè)拋物線的解析式為y=“(x-1)(X+3).

4

將C(0,4)代入y=a(x-1)(x+3),得4=-3a,解得a=--.

所以拋物線的解析式為y=-±(x-1)(x+3)=--x2--x+4.

333

(2)如圖5,過點(diǎn)。作OE〃y軸交AC于點(diǎn)E

因?yàn)辄c(diǎn)O的橫坐標(biāo)為機(jī)，所以￡)(加,—gm?一[m+4],根+“.

48(4)4

所以DE=--m2-—m+4-—m+4=--m2-4m.

3313J3

所以S^ADC=—DE,OA=—x?——m2—4m|x3=-2m2-6m.

22I3)

ii(3Y25

因?yàn)镾^ABC=-AB-OC=-x4x4=8,所以S=S?ADC+S^ABC=-2m2-6m+8=-2m+-+一.

22V2

因?yàn)?2<0,所以當(dāng)根=-士時(shí)，S取得最大值，最大值為2.

22

當(dāng)根=-3時(shí)，-匕扇-§〃什4=--§、[_2]+4=5.所以此時(shí)點(diǎn)￡＞的坐標(biāo)為(一3,5].

2333I2J3I2J(2)

跟蹤訓(xùn)練

3.如圖，拋物線y=a？+b尤+c與x軸交于點(diǎn)4(-4,0),B(2,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,2).

(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;

(2)點(diǎn)尸為拋物線上一點(diǎn)，連接CP,若直線CP把四邊形C8B4的面積分為1：5的兩部分，求點(diǎn)P

的坐標(biāo).

類型四相似三角形存在性問題

解法指導(dǎo)

探究?jī)蓚€(gè)三角形相似的存在性問題，往往沒有明確指出兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角(尤其是以文字形式

出現(xiàn)讓證明兩個(gè)三角形相似)，或者涉及動(dòng)點(diǎn)位置的不確定，此時(shí)應(yīng)考慮不同的位置關(guān)系，分情況討

論.

典例精析

例4

如圖6,拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A(-1,0),8兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)。的橫

坐標(biāo)為1.

(1)求拋物線的解析式;

(2)過點(diǎn)C作直線/與y軸垂直，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E,連接A。，AE,DE,在直線/下

方的拋物線上是否存在一點(diǎn)過點(diǎn)〃作ME，/,垂足為凡使以M,F,E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角

形與△AOE相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖6

解析：(1)因?yàn)轫旤c(diǎn)。的橫坐標(biāo)為1,所以拋物線的對(duì)稱軸為尤=1.

因?yàn)锳(-1,0),所以8(3,0).

設(shè)拋物線的解析式為y=a(尤+1)(x-3).

將C(0,3)代入y=a(尤+1)(x-3),得3=-3a,解得a=-l.

所以拋物線的解析式為產(chǎn)-(x+1)(x-3)=-x12+2x+3.

(2)因?yàn)閥=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以。(1,4).

由拋物線的對(duì)稱性可知E(2,3).

因?yàn)锳(-1,0),所以+42=2迅,DE=^/(2-1)2+(4-3)2=,AE=J(2+1J+3?

=3后.

因?yàn)?2石)2=(0)2+(30)I即小，所以△AOE是直角三角形，且NAE

止90。，匹

AE3

設(shè)M"-產(chǎn)+2什3)(Y0或1>2),貝！JEb二小2|,MF=3-(-尸+2什3)=t2-2t.

FF1MF1

因?yàn)镹MbE=NAEO=90°,所以當(dāng)△MEb與△A0后相似時(shí)，有——=—和——=一兩種情況：

MF3EF3

①當(dāng)空=!時(shí)，上二4=工，整理，得(t-2)2(t2-9)=0,解得t=2(舍去)或t=3或t=-3；

MF3t2-2t3

②當(dāng)

竺時(shí)，1二#='，整理，得(t-2)2(9t2-l)=0,解得t=2(舍去)或t=!(舍去)或t

EF3|r-2|33

-..1.

3，

所以點(diǎn)"的坐標(biāo)為(3,0)或(-3,-12)或卜

綜上，存在點(diǎn)使以M,F,E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△&￡>￡相似，此時(shí)點(diǎn)"的坐標(biāo)為(3,

0)或(-3,-12)或

跟蹤訓(xùn)練

4.如圖，已知拋物線y=-2f+b元+c與無軸交于點(diǎn)A,B(2,0)(A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,

對(duì)稱軸是苫=,，尸是第一象限內(nèi)拋物線上的任一點(diǎn).

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)過點(diǎn)P作x軸的垂線與線段BC交于點(diǎn)垂足為若以P,M,C為頂點(diǎn)的三角形與△BMW

相似，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

類型五平行四邊形存在性問題

解法指導(dǎo)

已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，利用平行四邊形對(duì)邊平行且相等或?qū)蔷€互相平分的性質(zhì)可以確定

第四個(gè)頂點(diǎn)；已知平行四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，通過平移或者過中點(diǎn)作直線可以確定另外兩個(gè)頂點(diǎn).矩形

的存在性問題可轉(zhuǎn)化為直角三角形的存在性問題來解決.菱形的存在性問題可轉(zhuǎn)化為等腰三角形的存

在性問題來解決.正方形的存在性問題可轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的存在性問題來解決.

典例精析

例5如圖7,在平面直角坐標(biāo)系尤中，己知拋物線y=a/+x+c經(jīng)過A(-2,0),B(0,4)兩

點(diǎn)，直線x=3與無軸交于點(diǎn)C.

(1)求a,c的值；

(2)P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段OC和直線x=3上是否分別存在點(diǎn)F,G,

使8,F,G,P為頂點(diǎn)的四邊形是以8尸為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

圖7

解析：(1)把A(-2,0),B(0,4)代入y=/+x+c,得，一之+°-°，解得產(chǎn)--展

c=4，

i[c=44.

所以。的值為-工，C的值為4.

2

(2)由(1)知拋物線的解析式為y=-」/+x+4.

2

設(shè)P['-g/+r+4).

當(dāng)B,F,G,尸為頂點(diǎn)的四邊形是以8尸為一邊的矩形時(shí)，有點(diǎn)尸在點(diǎn)G上方和點(diǎn)尸在點(diǎn)G下方兩

種情況：

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)G上方時(shí)，如圖8所示，過點(diǎn)P作尸HJ_y軸于點(diǎn)H,則/尸“8=/八76=/80/=90°.

因?yàn)樗倪呅?PG尸是矩形，所以8P=GRNPBF=/BFG=90°.

KZCFG+ZBFO=ZBFO+ZOBF=ZOBF+ZPBH=ZPBH+ZHPB=900,所以/CFG=/OBE

ZHPB,/PBH=NBFO.所以APf/B2AFCG.所以CF=PH=3OF=3-t.

因?yàn)镹PBH=NBFO,所以tan/PB#=tanN8F0.

匚匚zPHOBt4

所以一=—，R即n一；--------------，解得九=0(舍去)，t2=l.

BHOF二/+/+4-43—t

2

②當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)G下方時(shí)，如圖9所示，過點(diǎn)G作GN，y軸于點(diǎn)N,過點(diǎn)P作尸軸于點(diǎn)

同①可得MF=GN=3,OF=t-3,ZMPF=ZOFB,所以tan尸尸=tanNO尸A

MFOB34?曰1+720Tl-^/20T...

所以——二——，即Rn「--------二——，解得ti=」——，t2=---(z舍去).

MPOF，由+4—44

2

所以O(shè)F=yT1.所以《嗎Tl,o].

綜上，存在點(diǎn)FG,使8,F,G,P為頂點(diǎn)的四邊形是以8F為一邊的矩形，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,0)

跟蹤訓(xùn)練

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>="2+6尤+2經(jīng)過A(-；，0j,兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)尸在拋物線上，過點(diǎn)尸作尸。，犬軸，交直線BC于點(diǎn)D若以P,D,O,C為頂點(diǎn)的四邊

形是平行四邊形，求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo).

類型六特殊三角形存在性問題

解法指導(dǎo)

探究等腰三角形存在性問題，常用“兩圓一線”法，即分別以定長(zhǎng)線段的兩端點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)

為半徑畫兩個(gè)圓，再作定長(zhǎng)線段的垂直平分線，則圓上各點(diǎn)及垂直平分線上各點(diǎn)都是符合題意的等腰

三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)(三個(gè)頂點(diǎn)在同一直線上的點(diǎn)除外)，如圖①所示；探究直角三角形存在性問題,

常用“一圓兩線”法，即以定長(zhǎng)線段為直徑畫圓，再分別過定長(zhǎng)線段的兩端點(diǎn)作這條線段的垂線，則

圓上各點(diǎn)及垂線上各點(diǎn)都是符合題意的直角三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)(三個(gè)頂點(diǎn)在同一直線上的點(diǎn)除外)，

如圖②所示.

典例精析

例6如圖10,拋物線y=o?+2x+c的對(duì)稱軸是x=l,與x軸交于點(diǎn)A,B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,

連接AC.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)己知。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作。無軸，垂足為M,OW交直線2C

于點(diǎn)N,是否存在這樣的點(diǎn)N,使得以A,C,N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析：(1)因?yàn)閽佄锞€y=a/+2x+c的對(duì)稱軸是x=LB(3,0),所以A(7,0).

,.八、O(a—2+c=0,-jrfa=—1,

將A(-1,0),B(3,0)代入y=a?+2無+c,得《解得《

[9a+6+c=0,[c=3.

所以拋物線的解析式為y=-/+2x+3.

(2)由(1)可知C(0,3),故設(shè)直線3c的解析式為y=fcv+3.

將8(3,0)代入y=fcc+3,得女+3=0,解得左=7.

所以直線BC的解析式為y=-尤+3.

設(shè)。G,-P+27+3),則N(f,-f+3),其中0<t<3.

因?yàn)锳(-1,0),C(0,3),所以AC2=12+32=10,AV=(f+1)2+(-Z+3)2=2於-4汁10,

C砰=F+(3+-3)2=2/.

當(dāng)以A,C,N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，分三種情況：

①當(dāng)AC=AN時(shí)，4。2=4解，即10=2--4什10,解得〃=2,a=0(舍去).

所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,1)；

②當(dāng)AC=CN時(shí)，AC2^CN2,即10=2巴解得君，t2=-下(舍去).

所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(君，3-逐)；

③當(dāng)AN=CN時(shí)，4儲(chǔ)=。M，即2戶-4什10=2匕解得f=之.

2

所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為段）

綜上，存在這樣的點(diǎn)N,使得以A,C,N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2,1）或

（小，3-百）

跟蹤訓(xùn)練

6.如圖，拋物線y=-—無2+法+。經(jīng)過點(diǎn)8（4,0）和點(diǎn)C（0,2）,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,連接

2

AC,BC.

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）如圖，若。是線段AC的中點(diǎn)，連接8。，在y軸上是否存在點(diǎn)E,使得△BOE是以8。為斜邊

的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

AO

第6題圖

參考答案

—16+4Z?+c=0,解得ri'

1.解:(1)將A(4,0),0(0,0)代入廠--+人工+和得

c=0,[c=Q

所以拋物線的解析式為產(chǎn)-爐+4%.

（2）設(shè)直線A5的解析式為y=Zx+zn.

{4k+tn—0,（左二—],

將A（4,0）,B（0,4）代入廠乙+徵，得1解得《

[m=4,[m=4.

所以直線A8的解析式為y=-x+4.

設(shè)M（3-/+4）,則N（3-尸+4。，其中0&S4.

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N上方時(shí)，MN=-t+4-（-產(chǎn)+4f）=?2-5/+4=2,整理，得

產(chǎn)-5什2=0,解得仁三晅，仁把晅（舍去）.所以點(diǎn)用的坐標(biāo)為

22

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N下方時(shí)，MN="2+4t-（“+4）=-r+5t-4=2,整理，得R-5什6=0,解得。=2,七=3.

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,2）或（3,1）,

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（三姮，土叵]或（2,2）或（3,1）.

122J

2.解：（1）在y=x-3中，當(dāng)y=0時(shí)，X=3,當(dāng)x=0時(shí)，y=-3,所以3（3,0）,C（0,-3）.

一9+3b+c=0,fb=4,

將8(3,0),C(0,-3)代入丁=-/+法+小得。解得

c=-3,c=-3

所以拋物線的解析式為尸-?+4x-3.

(2)因?yàn)?3=0C,所以NOC3=NOBC=45°.因?yàn)镹ACQ=45°，所以N3CQ=N0CA.

如圖，過點(diǎn)C作/BCQ=/OCA交拋物線于點(diǎn)。，過點(diǎn)8作BE,8c交CQ于點(diǎn)E,過E點(diǎn)作￡尸，無

軸于點(diǎn)F.

因?yàn)椤?=1,0c=3,所以tan/0CA=，J^以tan/8CE=^=L

3BC3

因?yàn)锽C=JOB：+oc?=3&,所以8后=應(yīng).

因?yàn)镹OBC=45°,所以/班戶=45°.所以尸=1.所以￡(4,-1).

設(shè)直線CE的解析式為y=kx+a.

將E(4,-1),C(0,-3)代入y=fcv+a,得尸""-一!解得＜%=5

\a=-3,,

i[a=~：

所以直線CE的解析式為y=1x-3.

y=-x+4x-3,iy=.

3.解：(1)因?yàn)閽佄锞€y=a/+6x+c與x軸交于點(diǎn)A(-4,0),B(2,0),所以設(shè)拋物線的解析

式為

y=a(x+4)(x-2).將C(0,2)代入y=a(x+4)(尤-2),得2=-8“，解得a=-1.

所以這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-工(尤+4)(x-2)=--%2--x+2.

442

(2)如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E

因?yàn)橹本€CP把四邊形CBPA的面積分為1：5的兩部分，S&PCB：SNCA=gBE?(yc-yp):

X(yc-yp)=BE：AE,所以BE：AE=1：5或5：1.

因?yàn)锳8=6,所以AE=5或AE=1,即點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,0)或(-3,0).

因?yàn)橹本€CP過點(diǎn)C(0,2),所以設(shè)直線CP的解析式為y=fct+2.

7

將(1,0),(-3,0)分別代入〉=依+2,解得七-2或七］

7

所以直線C尸的解析式為y=-2x+2或尤+2.

14

y=—2,x+2,y=-x+2,X=—

-3x—6,3

聯(lián)立11。或??解得(舍去)或或＜

y=—x2----x+2,12y=-1010

42yx—x+2,y=—

=-429

-10)或H10

~9

4.解：(1)因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)3(2,0),對(duì)稱軸是苫=工，所以A(-1,0).

2

所以拋物線的解析式為>=-2(x+1)(x-2)=-2X2+2X+4.

(2)設(shè)尸(f,-2r+2r+4),貝！IOH=t.所以BH=2-t.

由(1)知8(2,0),C(0,4),所以02=2,OC=4.

因?yàn)镹CMP=NBMH,ZBHM=90°,所以當(dāng)以P,M,C為頂點(diǎn)的三角形與△BMH相似時(shí)，有/

CPM=90°和/PCM=90°兩種情況：

①當(dāng)/CPM=90°時(shí)，如圖①所示，則/8HM=/CPM=90°.

所以C尸〃x軸.所以點(diǎn)C與點(diǎn)尸關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱.

因?yàn)镃(0,4),拋物線的對(duì)稱軸為x=4，所以尸(1,4)；

2

第4題圖

②當(dāng)/PCM=90°時(shí)，如圖②所示，過點(diǎn)P作尸軸于點(diǎn)E,則/尸￡^=/8。^=/尸皿=90°.

所以ZPCE+ZCPE=NPCE+NBCO=9Q。.所以/CPE=ZBCO.所以△PECs△。。區(qū)

r-r-KIPECEt—2廠+2/+4—4A^jzg?/小+、3r>(335A

所以一=—,即Bn一=-------------,解得ri=0(舍去)，叁=一.所以用一,一

COBO424(48J

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,4)或

—a——b+2=0,a——1,