專題01勾股定理

「勾股定理

-勾股定理與網(wǎng)格三角形

經(jīng)

優(yōu)

典

選

基

提

-勾股也與現(xiàn)數(shù)

礎(chǔ)

升題型歸納

題

題-勾股定理解三角形

勾股磔綜合應(yīng)用」

-勾股定理的簡單應(yīng)用

-弦圖計(jì)算

--------------1

題型01勾股定理

1.（23-24八年級上廣東深圳,期末）在Rd48C中，ZC=90°,BC=\,AC=2,則N2的長是

（）

A.1B.5/3C.2D.V5

2.（22-23八年級上?廣東深圳?期末）如圖，一個(gè)長為5m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端離地面的垂

直距離為4m,則梯子的底端離墻的距離是（）

A.3mB.4mC.5mD."im

3.（22-23八年級上?廣東深圳?期末）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著

名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.下列各組數(shù)中，是"勾股數(shù)”的是（）

A.2,3,4B.4,5,6C.7,8,9D.6,8,10

勾股定理與網(wǎng)格三角形

1.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）如圖，由六個(gè)邊長為1的小正方形構(gòu)成一個(gè)大長方形，連接小

正方形的三個(gè)頂點(diǎn),可得到V/8C,則V/8C中8c邊上的高是（）

C

A.--A/TOB.V2C.2也D.-V10

55

2.（22-23八年級上?廣東深圳?期末）學(xué)習(xí)了勾股定理之后，老師給大家留了一個(gè)作業(yè)題，小明看了

之后，發(fā)現(xiàn)三角形各邊都不知道，無從下手，心中著急.請你幫助一下小明.如圖，V/8C的頂點(diǎn)

A,B,。在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，ADL4C于點(diǎn)。，則5。的長為（）

A

81624

A.-B.一C.—D.——

5555

3.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)B,C都在格

點(diǎn)上，以/為圓心，48為半徑畫弧，交最上方的網(wǎng)格線于點(diǎn)。，則CD的長為（）

B.0.8C.3-V5D.V13

勾股定理的證明

1.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）如圖1,以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較

小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大的正方形內(nèi)，若知道圖中陰影部分的面積，則一定能

求出（）

2

B.最大正方形的面積

C.較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積D.最大正方形與直角三角形的面積和

2.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）如圖，在四邊形中，AB//DE,AB_LBD,點(diǎn)、C是邊BD

上一■點(diǎn)，BC=DE=a,CD=AB=b,AC=CE=c.

⑴求證：YABCaCDE；

（2）試?yán)眠@個(gè)圖形證勾股定理.

勾股定理與無理數(shù)

1.（22-23八年級上?廣東深圳?期末）如圖，已知點(diǎn)/到數(shù)軸的距離為1,則數(shù)軸上8點(diǎn)所

表示的數(shù)為（）

C.V3D.V5

2.（20-21八年級上?廣東深圳?期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)C所表示的數(shù)是（）

3

-Ok

//i'

i'

/?\

-J____LZ1_L___I￡>

-10123,4

A.2V2B.3.7C.3.8D.V13

勾股定理解三角形

1.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）如圖，四邊形ABCO中，AC=BC=BD,且AC，BD,若

4B=8,則S“BD=1)

2.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）如圖，4D1A8于點(diǎn)/,于點(diǎn)瓦點(diǎn)￡是C。的中點(diǎn),

連按已知知48=8,/。=5,BC=9,貝I]4E1的長為.

3.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）如圖，在和RtAaDE中，N4BC=NBDE=90°,點(diǎn)A

在邊。￡的中點(diǎn)上，若AB=BC,DB=DE=2,連結(jié)CE,則CE的長為.

4.（22-23八年級上?廣東深圳?期末）如圖所示，等腰RtZi/BC與等腰RSD/E中,

ABAC=ADAE=90°,AB=AC=2,AD=AE=\,貝！]如+國2=.

4

5.（22-23八年級上?廣東深圳?期末）如圖，已知/8=12,8c于點(diǎn)8,于點(diǎn)/,點(diǎn)、E

是C。的中點(diǎn)，連接/￡并延長交BC于點(diǎn)尸，AD=5,BC=10,則/E的長為.

6.（19-20八年級上?廣東深圳?期末）如圖，在放△ABC中，乙4c3=90。，4c=BC=4,點(diǎn)E在4c

上，且/E=l,連接3E,4BEF=90°,且BE=FE,連接CF,則CF的長為

7.（23-24八年級上?廣東深圳,期末）如圖，已知點(diǎn)A,8為直線外兩點(diǎn)，且在異側(cè)，連接

AB,分別過點(diǎn)A作/C,九W于點(diǎn)C,過點(diǎn)8作8OLMV于點(diǎn)。，點(diǎn)尸是線段AD上一點(diǎn)，連接CF

交48于點(diǎn)E.

（1）下列條件：

①點(diǎn)尸是。3的中點(diǎn);

②點(diǎn)￡是48的中點(diǎn);

5

③點(diǎn)E是CF的中點(diǎn).

請從中選擇一個(gè)能證明AC=BF的條件，并寫出證明過程；

⑵若4C=BF,且/C=5,BD=13,CE=6,求CD的長.

8.（22-23八年級上?廣東深圳?期末）如圖，在VA8C中，過點(diǎn)3作，C4交C4的延長線于點(diǎn)，

過點(diǎn)C作CELR4交加的延長線于點(diǎn)￡,延長AD,CE相交于點(diǎn)尸，BF=AC=45.

⑴求證：4BEF咨ACE4；

（2）若CE=2,求2。的長.

[I

|題型06|勾股定理的簡單應(yīng)用

1.（20-21八年級上?廣東深圳?期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸（3,4）到原點(diǎn)的距離是（）

A.3B.4C.5D.7

2.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）如圖，臺風(fēng)過境后，一根垂直于地面的大樹在離地面6機(jī)處撕

裂折斷，大樹頂部落在離大樹底部8加處，則大樹折斷之前的高度是（）.

6

A.10mB.14mC.16mD.18m

3.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）明朝數(shù)學(xué)家程大位在數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》中，以《西江

月》詞牌敘述了一道"蕩秋千"問題：平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離

地.意思是：如圖，秋千04靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺（N2=l尺），將它往前推進(jìn)兩步，一步

合5尺（C/'=10尺），此時(shí)踏板離地五尺（HO=5尺），則秋千繩索。的長度為（）

4.（23-24八年級上?廣東深圳,期末）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了筆記本電腦的張角大小的實(shí)踐探究活

動(dòng).如圖，當(dāng)張角為48/尸時(shí)，頂部邊緣8處離桌面的高度3c為7cm,此時(shí)底部邊緣A處與C處

間的距離/C為24cm,小組成員調(diào)整張角的大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角為40/尸時(shí)（。是B的

對應(yīng)點(diǎn)），頂部邊緣。處到桌面的距離DE為20cm,則底部邊緣A處與E之間的距離/后為（）

A.V69cmB.loVScmC.21cmD.15cm

5.（21-22八年級上?廣東深圳?期末）現(xiàn)有一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊(duì)員決定用消防車上的云梯救人，

如圖（1）已知云梯最多只能伸長到15m,消防車高3m.救人時(shí)云梯伸長至最長，在完成從12m高

處救人后，還要從15m高處救人，這時(shí)消防車要從原處再向著火的樓房靠近的距離/C為（）

7

Q)

C.7米D.9米

6.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）七巧板是我國古代勞動(dòng)智慧的結(jié)晶，被西方人稱為“東方魔

板”.下面的兩幅圖是樂樂同學(xué)由同一副七巧板拼成的.已知七巧板拼成的正方形（如圖1）的邊長

為6,則拼成的“揚(yáng)帆起航"圖案（如圖2）陰影部分的面積為

7.（22-23八年級上?廣東深圳?期末）有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度DE=0.5m,

將它往前推送21n（水平距離2。=2m）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度8b=1.5m,秋千的繩索始

終拉得很直，求繩索ND的長度.

8.（21-22八年級上?廣東深圳?期末）在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題,

這個(gè)問題的意思是有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆

8

葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請問這個(gè)水

池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各為多少？

9.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）我國某巨型摩天輪的最低點(diǎn)距離地面10m,圓盤半徑為50m.摩

天輪的圓周上均勻地安裝了若干個(gè)座艙（本題中將座艙視為圓周上的點(diǎn)），游客在距離地面最近的位

置進(jìn)艙.小明、小麗先后從摩天輪的底部入艙出發(fā)開始觀光，當(dāng)小明觀光到點(diǎn)尸時(shí)，小麗到點(diǎn)。,

此時(shí)NPOQ=90°,且小麗距離地面20m.

口）/\。?尸與人。。。全等嗎？為什么？

（2）求此時(shí)兩人所在座艙距離地面的高度差.

I

題型07弦圖計(jì)算

1.（20-21八年級上?廣東深圳?期末）如圖是由4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正

方形圖案，大正方形面積為48,小正方形面積為6,若用x,y表示直角三角形的兩直角邊長

（x>y）,貝！l（x+y）2的值為（）

9

A.60B.79C.84D.90

2.（19-20八年級上?廣東深圳?期末）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正

方形圖案，已知大正方形面積為49,小正方形面積為4,若用X,?表示直角三角形的兩直角邊

（x>y）,下列四個(gè)說法：

(1)x2+y2=49,②x-y=2,③2中+4=49,④x+y=9.

其中說法正確的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

3.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）"趙爽弦圖"巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代

數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的"趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方

形.其中c=100,b-a=2Q,則每個(gè)直角三角形的面積為.

4.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）2002年在北京石開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)

家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.如圖，弦圖是由四個(gè)能夠重合的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一

個(gè)大正方形.若48=10,AF=8,則小正方形EFGH的面積為.

10

初中

5.（20-21八年級上廣東深圳?期末）如圖是，趙爽弦圖"，AABH,ABCG,VCD尸和是四個(gè)全

等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形.如果48=10,且4ff:4E=3:4.那么AH等

優(yōu)選提升題|

勾股定理與折疊問題

1.（18-19八年級上?廣東深圳?期末）如圖，四邊形是邊長為9的正方形紙片，將其沿兒W折疊,

使點(diǎn)8落在C。邊上的9處，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)為H,且9C=3,則/〃的長是（）

C.2.25D.2.5

2.（21-22八年級上?廣東深圳?期末）如圖，三角形紙片ABC,點(diǎn)。是8c邊上一點(diǎn)，連接AD,把A4AD

沿著40翻折，得到DE與NC交于點(diǎn)G,連接BE交/。于點(diǎn)尸.若DG=GE,AF=4,BF

=2,A/1OG的面積為《，則點(diǎn)尸到3c的距離為（）

2

初中11

初中

.V5r275r475n46

5553

3.（22-23八年級上?廣東深圳?期末）如圖，三角形紙片N3C中，點(diǎn)。是8C邊上一點(diǎn)，連接AD,

把△/AD沿著直線翻折，得到A4ED,DE交NC于點(diǎn)G,連接2E交/D于點(diǎn)?若DG=EG,

9

/尸=4,AB=5,A4EG的面積為5,則夕方的值為（）

4.（18-19八年級上?廣東深圳?期末）如圖，RM4BC中，AB=9,BC=6,乙8=90。，將“8C折疊，使

N點(diǎn)與BC的中點(diǎn)。重合，折痕為MN,則線段3N的長為（）

55

A.-B.-C.4D.5

32

5.（18-19八年級上?廣東深圳?期末）如圖，將長方形/2CZ）沿著對角線8。折疊，使點(diǎn)C落在C'處,

BC'交AD于點(diǎn)、E.若4B=4,AD=8,則VHDE的面積為.

6.（22-23八年級上?廣東深圳?期末）如圖，AABCZC=90",AC=3,AB=5,點(diǎn)D是邊BC上一

點(diǎn).若沿AD將4ACD翻折，點(diǎn)C剛好落在AB邊上點(diǎn)E處，則BD=.

7.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）如圖，直線48：y=-2x+加與坐標(biāo)軸交于/、3兩點(diǎn)，點(diǎn)。為

初中12

初中

第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接2D且軸，過點(diǎn)（0,6）且平行于x軸的直線/交4D于點(diǎn)C,交4B于點(diǎn)

F,連接BD,BD1AB,AABD沿著直線48翻折，得到AABE,點(diǎn)￡正好落在直線/上，若S^ACE=24,

則EF的長為.

8.（19-20八年級上?廣東深圳?期末）如圖，把一張長方形紙片折疊起來，使其對角頂點(diǎn)/與

C重合，D與G重合.若長方形的長2C為8,寬4B為4,求：

⑴/尸的長;

（2）求陰影部分三角形GED的面積.

勾股定理與面積問題

1.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）如圖，分別以V4BC的三邊BC,NC為邊向外側(cè)作正方

形4FG3,正方形跳/LG,正方形/CDE,連接斯，GH,DZ,再過A作NK1.8C于K,延長K4

交所于點(diǎn)①S正方形,GB+S正方9coE=S正方形BHZG；②EM=MF；（3）2AM=BC；④當(dāng)/8=3,

BC=5,/R4C=90°時(shí)，S陰影部分=20.其中正確的結(jié)論共有（）個(gè)

初中13

初中

A.1B.2C.3D.4

2.（20-21八年級上?廣東深圳?期末）如圖，在RtA42c中，N2C4=90。，△尸/B中邊上的高等于

的長度，△Q8C中8c邊上的高等于8c的長度，中/C邊上的高等于NC的長度，且

△P4B,AQBC的面積分別是10和8,則的面積是（）

3.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）畢達(dá)哥拉斯樹也叫"勾股樹"，是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理所

畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的樹狀圖形，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三

角形.如圖，若正方形/、B、C、。的邊長分別是2,3,1,2,則正方形G的邊長是.

4.（22-23八年級上廣東深圳?期末）如圖,在此A48c中，NA4c=90。,*分別以48、BC、ZC為邊

向上作正方形/GF8、正方形2CAE、正方形/。3，點(diǎn)E在尸G上，若AC=2,BC=5,則圖中

陰影的面積為.

初中14

初中

5.（21-22八年級上?廣東深圳?期末）勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理.在我國古算書《周髀算經(jīng)》

中就有"若勾三，股四，則弦五”的記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可

以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，乙B/C=90。，AB=3,AC=4,點(diǎn)D,

E,F,G,H,/都在矩形后W的邊上，則矩形KLM/的面積為（）

C.110D.121

勾股定理與最短路徑

1.（21-22八年級上?廣東深圳,期末）如圖，已知圓柱底面的周長為8dm,圓柱高為3dm,在圓柱的

側(cè)面上，過點(diǎn)”和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為（）dm.

A.11B.2755C.25/73D.10

2.（22-23八年級上?廣東深圳?期末）如圖是放在地面上的一個(gè)長方體盒子，其中48=18cm,

BC=12cm,8尸=10cm,點(diǎn)M在棱43上，且2M=6cm,N是尸G的中點(diǎn)，一只螞蟻要沿著長方

體盒子的表面從點(diǎn)M爬行到點(diǎn)M它需要爬行的最短路程為（）

A.20cmB.2>/iO6cniC.(12+2>/y4)cmD.18cm

初中15

初中

3.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）如圖，這是一個(gè)供滑板愛好者使用的U型池的示意圖，該U型

池可以看作是長方體去掉一個(gè)"半圓柱"而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為8nl的半圓，其邊緣

/8=CD=20m,點(diǎn)￡在CD上，CE=5m,一名滑板愛好者從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)，則他滑行的最短距離

為（）m（邊緣部分的厚度可以忽略不計(jì)，萬取3）

A.17B.31C.4734D.3789

4.（21-22八年級上?廣東深圳?期末）如圖，在長方體透明容器（無蓋）內(nèi)的點(diǎn)3處有一滴糖漿，容

器外/點(diǎn)處的螞蟻想沿容器壁爬到容器內(nèi)吃糖漿，已知容器長為5cm,寬為3cm,高為4cm,點(diǎn)/

距底部1cm,請問螞蟻需爬行的最短距離是（容器壁厚度不計(jì)）（）

A.3Vr7cmB.V65cmC.sVScmD.Jl13cm

5.（23-24八年級上?廣東深圳,期末）如圖，圓柱體的底面圓周長為16cm,高為6cm,3c是上

底面的直徑.一只螞蟻從圓柱的表面點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,則爬行的最短路程為

cm.

6.（21-22八年級上?廣東深圳?期末）如圖，圓柱形容器高為12cm,底面周長為10cm.在容器內(nèi)壁

距離容器底部3cm的點(diǎn)2處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，距離容器上沿3cm與蚊子

相對的點(diǎn)/處，則壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距離為cm（不計(jì)壁厚）.

初中16

初中

7.（20-21八年級上?廣東深圳?期末）如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點(diǎn)3離點(diǎn)C的距

離為5,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)5,需要爬行的最短距離是.

8.（22-23八年級上?廣東深圳?期末）如圖，一個(gè)無蓋長方體的小杯子放置在桌面上,

AB=BC=6cm,CZ)=10cm；

⑴一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿小杯子外表面爬到。點(diǎn)，求螞蟻怎樣走最短，最短路程是多少？

（2）為了怕杯子落入灰塵又方便使用，現(xiàn)在需要給杯子蓋上蓋子，并把一雙筷子放進(jìn)杯子里，請問,

筷子的最大長度是多少？

勾股定理綜合應(yīng)用

/.（22-23八年級上?廣東深圳?期末）如圖，已知MV//AKAB//DE,NC〃。尸，點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè).

初中17

初中

⑴如圖1,求證：/ABC=/ADE；

(2)如圖2,點(diǎn)G是。E上一點(diǎn)，連接NG,己知NC_L3/，AGLDE.

①若/O=EG,且。￡=7,/G=3,求線段。G的長;

②若40=20,點(diǎn)E到的距離與線段/G的長度之比為5：4,求線段DE的長.

2.(23-24八年級上.廣東深圳.期末)如下圖，某學(xué)校計(jì)劃在校內(nèi)一道路旁建造超市，將地圖簡化,

如圖1所示，宿舍樓A與校內(nèi)道路/的距離為50米,教學(xué)樓8與校內(nèi)道路/的距離為160米,

B

I

I

CI

I

I

I

4I

I

ID.

II

III

-R~N~

圖2

初中18

初中

XTY

圖5圖6

⑴請?jiān)趫D1中畫出點(diǎn)P（點(diǎn)P在道路/上，道路寬度忽略不記），使學(xué)生從宿舍樓A走到超市尸，再

走到教學(xué)樓所走路程最短，并求出最短路程.

⑵如圖2所示，若宿舍樓A和教學(xué)樓B之間有一面70米長的校園文化墻CD,文化墻CD垂直于校

內(nèi)道路/,。到校內(nèi)道路/的距離。尺為40米，"7?=120米，RN=90米，現(xiàn)在依然要求學(xué)生從宿舍

樓A走到超市尸，再走到教學(xué)樓8所走路程最短.

①眾所周知，"兩點(diǎn)之間，線段最短"，但由于文化墻這個(gè)障礙物的存在，需要研究兩點(diǎn)之間不

同折線長度的大小關(guān)系，他認(rèn)為耳+42,并進(jìn)行了證明，請你將下述證明過程補(bǔ)充完

整：

證明：如圖4,延長H4交于點(diǎn)/,

■：A'P2+P2B=A'P2+P2I+IB,A'P2+P2I>A'I

:.A'P2+P2B>A'I+IB

X'.'A'I+IB=A'Pi+P[I+IB,,

:.A'I+IB>A'P{+P{B

:.A'P2+P2B>A'Pi+PlB

②如圖5,延長8。交校內(nèi)道路/于點(diǎn)T,過A作于點(diǎn)X,丫是/上7右側(cè)的一點(diǎn)，利用①中

證明的結(jié)論，可判斷超市戶的位置應(yīng)位于（從以下四個(gè)選項(xiàng)中選擇）.

A.X左側(cè)B.線段XT上C.線段7T上（不含點(diǎn)7）D.￥右側(cè)

③請?jiān)趫D6中畫出超市產(chǎn)的位置，并求出最短路程.

初中19

初中

3.（19-20八年級上?廣東深圳?期末）我們新定義一種三角形：若一個(gè)三角形中存在兩邊的平方差等

于第三邊上高的平方，則稱這個(gè)三角形為勾股高三角形，兩邊交點(diǎn)為勾股頂點(diǎn).

?特例感知

①等腰直角三角形—勾股高三角形（請?zhí)顚?是"或者"不是"）；

②如圖1,己知NIBC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)，CD是邊上的高.若

BD=2AD=2,試求線段CD的長度.

?深入探究

如圖2,已知為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)且C/>C2,CD是N2邊上的高.試探究

線段與C8的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

圖2

?推廣應(yīng)用

如圖3,等腰A48C為勾股高三角形，其中23=/C>8C,CD為N8邊上的高，過點(diǎn)。向8c邊引

平行線與/C邊交于點(diǎn)￡若CE=a,試求線段。E的長度.

圖3

初中20

初中

專題01勾股定理

「勾股定理

-勾股定理與網(wǎng)格三角形

經(jīng)

優(yōu)

典

選

基

提

-勾股也與現(xiàn)數(shù)

礎(chǔ)

升題型歸納

題

題-勾股定理解三角形

勾股磔綜合應(yīng)用」

-勾股定理的簡單應(yīng)用

-弦圖計(jì)算

--------------1

題型01勾股定理

4.（23-24八年級上廣東深圳,期末）在中，ZC=90°,BC=\,AC=2,則48的長是

（）

A.1B.A/3C.2D.V5

【答案】D

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】用勾股定理解三角形

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，注意：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平

方.根據(jù)勾股定理求出N8即可.

【詳解】解：???NC=90。，BC=\,4c=2,

AB=dAC。+BC。=Vl2+22=V5，

故選D.

5.（22-23八年級上?廣東深圳,期末）如圖，一個(gè)長為5m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端離地面的垂

直距離為4m,則梯子的底端離墻的距離是（）

初中21

初中

A.3mB.4mC.5mD."Im

【答案】A

【難度】0.94

【知識點(diǎn)】用勾股定理解三角形

【分析】根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：梯子的底端離墻的距離為=3m.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理.

6.（22-23八年級上?廣東深圳?期末）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著

名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)"的是（）

A.2,3,4B.4,5,6C.7,8,9D.6,8,10

【答案】D

【難度】0.94

【知識點(diǎn)】勾股樹（數(shù)）問題

【分析】根據(jù)“勾股數(shù)”的定義，逐項(xiàng)判斷，即可求解.

【詳解】解：A、22+32^4\不是"勾股數(shù)"，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、42+52^62,不是“勾股數(shù)”,故本選項(xiàng)不符合題意；

C、72+82^92,不是"勾股數(shù)"，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、62+82=102,是“勾股數(shù)"，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義若對瓦c滿足/+〃=c2的三個(gè)正整數(shù),

稱為勾股數(shù).

勾股定理與網(wǎng)格三角形

4.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）如圖，由六個(gè)邊長為1的小正方形構(gòu)成一個(gè)大長方形，連接小

初中22

初中

正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得到V/8C,則V/8C中8c邊上的高是（）

A

/

2__3__

A.yA/TOB.y[2C.2V2D.yVTo

【答案】A

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】勾股定理與網(wǎng)格問題、利用網(wǎng)格求三角形面積

【分析】本題考查了勾股定理以及三角形的面積，根據(jù)題意得出V/8C的面積等于正方形面積減去

其他3個(gè)三角形的面積是解題的關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理求出的長，再利用三角形的面積求出三角

形的高即可.

【詳解】解:設(shè)V/BC中3c邊上的高為〃，

由勾股定理，得3c?4彳手"?麗，

?,-5^c=2x3-^xlxl-|xlx3-^x2x2=2,S=180/=1義.力=①,

222“BC222

,V10/7、

---------------2,

2

解得〃二l而

；.V/8C中8c邊上的高是：麗.

故選：A.

5.（22-23八年級上?廣東深圳?期末）學(xué)習(xí)了勾股定理之后，老師給大家留了一個(gè)作業(yè)題，小明看了

之后，發(fā)現(xiàn)三角形各邊都不知道，無從下手，心中著急.請你幫助一下小明.如圖，V/8C的頂點(diǎn)

A,B,C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，于點(diǎn)。，則8。的長為（）

A

初中23

初中

481624

A.-B.一C.—D.——

5555

【答案】C

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】勾股定理與網(wǎng)格問題

【分析】由勾股定理求出/C=5,再由等面積法求出3。即可.

【詳解】解：由勾股定理得：=工7=5,

■.■BD1AC,

??.A4BC的面積二第。二！，4,4,

22

16

??BD—,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及三角形面積的計(jì)算，熟練掌握勾股定理及等面積法的應(yīng)用是解題

的關(guān)鍵.

6.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)B,C都在格

點(diǎn)上，以4為圓心，45為半徑畫弧，交最上方的網(wǎng)格線于點(diǎn)。，則CD的長為（）

B.0.8C.3-V5D.V13

【答案】C

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】勾股定理與網(wǎng)格問題

【分析】連接AD,由勾股定理求出DE,即可得出CD的長.

【詳解】解：如圖，連接AD,貝|AD=AB=3,

由勾股定理可得，Rt^ADE中，DE=y]AD2-AE2=75>

又「CE=3,

?,.CD=3-V5,