數學

貴州專版2025第三章函數微專題二次函數的最值與取值范圍問題(8年4考：2023·24(2)(3)，2022·24(3)，2021·24(3)，2019·24(3))欄目導航對稱軸確定時的最值問題類型一對稱軸不確定時的最值問題類型二考向1

不限定自變量范圍求最值例1關于二次函數y＝x2＋4x－7的最大(小)值，敘述正確的是(

)A.當x＝2時，函數有最大值B.當x＝2時，函數有最小值C.當x＝－1時，函數有最大值D.當x＝－2時，函數有最小值典例精析典例精析對稱軸確定時的最值問題類型一D對二次函數表達式進行配方，根據二次函數的性質求解.例2二次函數y＝－(x－2)2－3，當x＝____時有最____值______.觀察其表達式，根據二次函數的性質求解.2大－3考向2

限定自變量范圍求最值或函數取值范圍例3已知函數y＝－x2－2x＋5，當自變量x在下列取值范圍內時，分別求函數的最大值和最小值，并求當函數取最大(小)值時所對應的自變量x的值：(1)x≤－2；解：根據題意，畫出y＝－x2－2x＋5的簡圖如圖所示.∵y＝－x2－2x＋5＝－(x＋1)2＋6，∴當x＝－1時，函數y最大等于6.∵x＜－1時，y隨x的增大而增大，∴x≤－2時，在x＝－2處取最大值y＝－(－2)2－2×(－2)＋5＝5.(2)x≤2；解：當x≤2時，則x＝－1時有最大值y＝6.(3)－2≤x≤1；解：當－2≤x≤1時，則x＝－1時有最大值y＝6；x＝1時有最小值y＝2.(4)0≤x≤3.解：當0≤x≤3，則x＝0時有最大值y＝5；x＝3時有最小值y＝－10.1.畫簡圖.2.觀察圖象，描出最高點和最低點.考向3

限定自變量范圍求參數的值或取值范圍例4二次函數y＝－x2－2x＋c在－3≤x≤2的范圍內有最小值－5，則c的值是_______.二次函數對稱軸為x＝－1，a＜0，x的值離對稱軸越遠，y的值越小.3例5當m≤x≤m＋1，函數y＝x2－2x＋1的最小值為1，則m的值為_______.－1或2利用二次函數圖象上點的坐標特征找出當y＝1時x的值，結合當m≤x≤m＋1時函數有最小值1，即可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論.1.當0≤x≤m時，函數y＝－x2＋4x－3的最小值為－3，最大值為1，則m的取值范圍是(

)A.0≤m≤2

B.0≤m＜4

C.2≤m≤4

D.m≥22.已知關于x的二次函數y＝x2－4x＋m在－1≤x≤3的取值范圍內最大值為7，則該二次函數的最小值是_________.對應練習C－2方法指導位置a＞0a＜0范圍在對稱軸左側

最大值為ym，最小值為yn

最大值為yn，最小值為ym范圍跨越對稱軸

在對稱軸處取得最小值，m和n中距離對稱軸較遠處取得最大值在對稱軸處取得最大值，m和n中距離對稱軸較遠處取得最小值方法指導范圍在對稱軸右側最大值為yn，最小值為ym最大值為ym，最小值為yn考向1

已知開口方向型例6已知二次函數y＝x2＋bx＋c(b，c為常數).(1)當b＝2，c＝－3時，求二次函數的最小值；典例精析典例精析對稱軸不確定時的最值問題類型二解：當b＝2，c＝－3時，二次函數的表達式為y＝x2＋2x－3，即y＝(x＋1)2－4，∴當x＝－1時，y有最小值－4.(1)利用配方法得到y＝(x＋1)2－4，然后根據二次函數的性質解決問題；(2)當c＝5時，在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下，與其對應的函數值y的最小值為－5，求b的值.

(1)由配方法可求頂點坐標；(2)判斷該二次函數圖象與x軸交點的個數，并說明理由；解：當a＝1時，有1個交點；當a≠1時，有2個交點.理由：∵Δ＝(a＋1)2－4a×1＝(a－1)2≥0，∴當a＝1時，有1個交點；當a≠1時，有2個交點.(2)由根的判別式可求解；

(3)分a＞0或a＜0兩種情況討論，結合離對稱軸的遠近可求解.1.這種形式的二次函數的對稱軸是變動的，而自變量的取值范圍是固定的，要求其最值，需要討論對