試題PAGE1試題2024北京和平街一中高二（下）期中數學第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.函數的導數為（）A. B. C. D.2.已知隨機變量的分布列為：X01Pa則的數學期望的值是（）A. B. C. D.3.從1，2，3，4，5中不放回地抽取2個數，則在第1次抽到奇數的條件下，第2次又抽到奇數的概率是（）A. B. C. D.4.是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是下列選項中的（）A. B. C. D.5.在的展開式中，常數項為（

）A. B. C.120 D.1606.已知函數在定義域D內導數存在，且，則“”是“是的極值點”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.如圖，中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙，假設中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙安排2人，夢天實驗艙安排1人.若安排甲、乙兩人同時在一個艙內做實驗，則不同的安排方案共有（）A.12種 B.16種 C.20種 D.24種8.已知函數，則下列選項正確的是（）.A. B.C. D.9.反射性元素的特征是不斷發生同位素衰變，而衰變的結果是放射性同位素母體的數目不斷減少，但其子體的原子數目將不斷增加，假設在某放射性同位素的衰變過程中，其含量N（單位：貝克）與時間t（單位：天）滿足函數關系（e為自然對數的底數），其中為時該同位素的含量，已知當時，該放射性同位素含量的瞬時變化率為，則（）A.12貝克 B.12e貝克 C.24貝克 D.24e貝克10.已知函數，下列命題正確的是（）①是奇函數；②在R上是增函數；③方程有且僅有1個實數根；④如果對任意，都有，那么的最大值為2.A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11.設函數，則__________．12.把5件不同產品擺成一排，若產品A與產品B不相鄰，則不同的擺法有_____________種.13.的展開式中的系數是________，二項式系數的和是________.14.已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為______．15.已知偶函數在區間上單調遞減，且，則不等式的解集為__________.16.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.每個瓶子的造價P1（單位：元）、瓶內飲料的獲利P2（單位：元）分別與瓶子的半徑r（單位：cm，）之間的關系如圖甲、乙所示.設制造商的利潤為，給出下列四個結論：①當時，；②在區間上單調遞減；③在區間上存在極小值；④在區間上存在極小值.其中所有正確結論的序號是_________.三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.）17.已知函數．（1）求的單調區間；（2）求在上的最值．18.已知箱中裝有2個白球，1個紅球和3個黑球，現從該箱中任取（無放回，且每球取到的機會均等）3個球，（1）求取出的三個球的顏色互不相同的概率；（2）記隨機變量X為取出3球中白球的個數，求X的分布列及期望．19.第屆冬季奧林匹克運動會于年月日在北京、張家口盛大開幕．為保障本屆冬奧會順利運行，共招募約萬人參與賽會志愿服務．賽會共設對外聯絡服務、競賽運行服務、媒體運行與轉播服務、場館運行服務、市場開發服務、人力資源服務、技術運行服務、文化展示服務、賽會綜合服務、安保服務、交通服務、其他共類志愿服務．（1）甲、乙兩名志愿者被隨機分配到不同類志愿服務中，每人只參加一類志愿服務．已知甲被分配到對外聯絡服務，求乙被分配到場館運行服務的概率是多少？（2）已知來自某中學的每名志愿者被分配到文化展示服務類的概率是，設來自該中學的名志愿者被分配到文化展示服務類的人數為，求的分布列與期望；（3）萬名志愿者中，歲人群占比達到，為了解志愿者對某一活動方案是否支持，通過分層抽樣獲得如下數據：歲人群其它人群支持不支持支持不支持方案人人人人假設所有志愿者對活動方案是否支持相互獨立．將志愿者支持方案的概率估計值記為，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估計值記為，試比較與的大小．（結論不要求證明）20.已知，．（1）求曲線在點處的切線；（2）若函數在區間上存在極值，求的取值范圍；（3）若，設，試判斷函數在區間上的單調性，并說明理由．21.設函數．（1）若，①求曲線在點處的切線方程；②當時，求證：．（2）若函數在區間上存在唯一零點，求實數的取值范圍．

參考答案第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.【答案】B【分析】由常用函數的導數公式和導數的運算法則即可得答案.【詳解】，故選：B.2.【答案】A【分析】根據分布列的性質可求出，再根據期望公式即可求出隨機變量的數學期望.【詳解】根據分布列的性質，得，解得，所以隨機變量的數學期望為．故選：A.3.【答案】C【分析】根據條件概型的知識求得正確答案.【詳解】在第1次抽到奇數的條件下，余下個奇數和個偶數，再次抽取時，抽到奇數的概率為.故選：C4.【答案】C【分析】根據導函數的正負與原函數單調性的關系，結合圖象進行判斷即可.【詳解】由導函數的圖象可知：當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，只有選項C符合，故選：C5.【答案】A【分析】先求出通項，然后令的指數為零求出，再代入計算可得．【詳解】二項式展開式的通項為（且），令解得，故常數項為.故選：A6.【答案】B【分析】先驗證充分性，不妨設，在處有，但為單調遞增函數，不是極值點；再驗證必要性，即可得結果．【詳解】充分性：不妨設，則，在處有，但是，為單調遞增函數，在處不是極值，故充分性不成立．必要性：根據極值點的性質可知，極值點只能在函數不可導的點或導數為零的點，因為函數在定義域內可導，所以不存在不可導的點，因此導數為零的點就是極值點，故必要性成立．故選：B7.【答案】B【分析】按照元素甲、乙所在艙位進行討論，特殊元素優先考慮即可求解.【詳解】按照甲、乙兩人同時在天和核心艙或問天實驗艙兩種情況討論：①若甲、乙兩人同時在天和核心艙，則需要從剩余4人中再選1人，剩下的3人去剩下的兩個艙位，則有種可能；②若甲、乙兩人同時在問天實驗艙，則剩下的4人選3人去天和核心艙即可，共有種可能，根據分類加法計算原理，共有種可能，故選：B.8.【答案】D【分析】利用導數判斷的單調性，結合單調性比較大小.【詳解】因為在上恒成立，可知在上單調遞增，又，所以.故選：D.9.【答案】C【分析】求出關于的導函數，由求得，再計算即得．【詳解】由題意，，，．故選：C．10.【答案】B【分析】對于①，根據奇函數的定義判斷，對于②，對函數求導后利用導數判斷，對于③，令，可得，再結合零點存在性定理分析判斷，對于④,問題轉化為恒成立，構造函數，求導后分析判斷.【詳解】對于①，因為的定義域為，且，所以是奇函數，所以①正確，對于②，由，得，所以在上是增函數，所以②正確，對于③，令，因為，所以方程所以有一個根為0，因為，，所以方程在至少有一個根，所以③錯誤，對于④，若對任意，都有，即恒成立，令，則，，當且僅當，即時取等號，因為，所以取不到等號，所以，若，則恒成立，所以在上遞增，所以，即恒成立，若，則存在使，所以當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以在上，有不合題意，綜上，，所以的最大值為2，所以④正確，故選：B【點睛】關鍵點睛：此題考查函數與方程的綜合應用，考查導數的應用，第④個解的關鍵是將問題轉化為恒成立，然后構造函數，利用導數結合基本不等式討論.第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11.【答案】【分析】由的導數為，將代入，即可求出結果.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：.12.【答案】72【分析】利用間接法求出5件不同的產品排成一排及產品與產品相鄰的情況，即可得出結論.【詳解】5件不同的產品擺成一排共有，產品與產品相鄰，把和看做一個元素,使得它與另外3個元素排列，再者和之間還有一個排列，共有，所以產品與產品不相鄰，不同的擺法有.故答案為：7213.【答案】①.10②.32【分析】寫出二項式展開式的通項公式，令即可求出的系數，二項式系數的和為，代入的值即可求解．【詳解】的展開式的通項公式為，令，得的系數為，二項式系數的和為.故答案為：10；32.14.【答案】【分析】根據導數的性質，結合常變最分離法、反比例函數的單調性進行求解即可.【詳解】由題意得，，則由題意可知在上，恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，因為在上，，所以．故答案為：15.【答案】【分析】根據函數的單調性和奇偶性求解抽象不等式即可.【詳解】由題知：在區間上單調遞減，在上單調遞增，且，當時，，，，符合題意，當時，，，，不符合題意，當時，，，，符合題意，當時，，，，不符合題意，綜上的解集為故答案為：16.【答案】①③④【分析】根據函數在某點處的幾何意義可逐一判斷.【詳解】由圖可知：當時，，故，故①正確；,當時，由圖象可知，在處的切線斜率大于在處的切線斜率，故，因此在區間上單調遞增，②錯；根據圖象可知：圖象先快后慢，而圖象先慢后快，所以可得在上的變化是先減后增，故由極小值，③正確；，當趨近于時，在處的切線斜率明顯大于在處的切線斜率，而當趨近于0時，在處的切線斜率明顯大于在處的切線斜率，所以可得在上的變化是先減后增，故由極小值，故④正確.故答案為：①③④三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.）17.【答案】（1）減區間為，增區間為和（2）最大值為，最小值為【分析】（1）求出，利用函數的單調性與導數的關系可求得函數的增區間和減區間；（2）求出函數在區間上的極大值和極小值，再與、比較大小，即可得出結論.【小問1詳解】解：因為，其中，則，由可得，由可得或，所以，函數的減區間為，增區間為和.【小問2詳解】解：列表如下：增極大值減極小值增又因為，，則，因此，函數在上的最大值為，最小值為.18.【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【分析】（1）通過古典概型公式及組合方法即可求出答案；（2）通過超幾何分布求概率的方法求出概率及分布列，進而根據期望公式求出期望即可.【小問1詳解】設取出的三個球的顏色互不相同的事件為M，∴.【小問2詳解】由題意得X取0，1，2，則，，．所以X的分布列為X012P∴.19.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【分析】（1）根據古典概型的計算公式直接計算；（2）分別計算概率并列出分布列，并求期望；（3）根據古典概型計算公式分別計算與，并比較大小.【小問1詳解】由已知共類志愿服務，甲被分配到對外聯絡服務，且甲、乙兩名志愿者被隨機分配到不同類志愿服務中，故乙可被分配的志愿服務共，所以乙被分配到場館運行服務的概率為；【小問2詳解】由已知可得隨機變量的可能取值為，，，故，，，分布列如下：期望；【小問3詳解】由已知得志愿者支持方案的概率估計值記為，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估計值記為，故.20.【答案】（1）（2）（3）函數在區間上的單調遞減.【分析】（1）根據導數的幾何意義得曲線在點處的切線方程為，再結合題意得，進而得答案；（2）由題知在區間上有變號零點，進而分和兩種情況討論求解即可；（3）由題知，進而判斷的單調性并進而結合得函數在上恒成立，進而判斷單調性.【小問1詳解】因為，所以，，則，所以函數在出的切線方程為，即.【小問2詳解】由（1）得，因為函數在區間上存在極值，所以在區間上有變號零點，當時，在區間上單調遞增，，故不符合題意；當時，在區間上單調遞減，且當趨近于時，趨近于，故要使在區間上有變號零點，則，即，綜上，，即的取值范圍是.【小問3詳解】函數在區間上單調遞減，理由如下：，，，所以，令，則在恒成立，所以函數在上單調遞減，由于，所以函數在上恒成立，所以函數在區間上的單調遞減.21.【答案】（1）①；②證明見解；（2）.【分析】（1）①當時，求得，得到，進而求得曲線在點處的切線方程；②令，利用導數求得在單調遞減，得到，即可求解；（2）求得，令，分和兩種情況，結合和單調性，求得，設使得，利用