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江蘇省泰州市2025年高三考前熱身數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂工具,也稱陀羅.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,粗線畫出的是某個(gè)陀螺的三視圖,則該陀螺的表面積為()A. B.C. D.2.設(shè)向量,滿足,,,則的取值范圍是A. B.C. D.3.已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),則||FA|﹣|FB||的值等于()A. B.8 C. D.44.若x,y滿足約束條件則z=的取值范圍為()A.[] B.[,3] C.[,2] D.[,2]5.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.86.下列說(shuō)法正確的是()A.命題“,”的否定形式是“,”B.若平面,,,滿足,則C.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布(),若,則D.設(shè)是實(shí)數(shù),“”是“”的充分不必要條件7.對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析,給出如下一組樣本數(shù)據(jù):,,,,下列函數(shù)模型中擬合較好的是()A. B. C. D.8.在等差數(shù)列中,若,則()A.8 B.12 C.14 D.109.已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,且,,為邊上的中線,若,則的面積為()A. B. C. D.10.已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn),則等于()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則().A. B. C. D.12.下列函數(shù)中,在區(qū)間上為減函數(shù)的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若一組樣本數(shù)據(jù)7,9,,8,10的平均數(shù)為9,則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為______.14.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線在點(diǎn)處的切線與x軸相交于點(diǎn)A,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若點(diǎn),的面積為3,則的值是______.15.設(shè)點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上,點(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上,則線段PQ長(zhǎng)度的最小值為_________16.棱長(zhǎng)為的正四面體與正三棱錐的底面重合,若由它們構(gòu)成的多面體的頂點(diǎn)均在一球的球面上,則正三棱錐的內(nèi)切球半徑為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,,,.(1)證明:平面;(2)若,,為線段上一點(diǎn),且,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知等差數(shù)列an,和等比數(shù)列b(I)求數(shù)列{an}(II)求數(shù)列n2an?a19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若的最小值為,且,求的最小值.20.(12分)某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品,每件產(chǎn)品不合格的概率均為,現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù),要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過(guò)合格檢驗(yàn),已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)件該產(chǎn)品,且每件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立.若每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次,所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多,該工廠提出以下檢驗(yàn)方案:將產(chǎn)品每個(gè)一組進(jìn)行分組檢驗(yàn),如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格,則說(shuō)明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格,若檢驗(yàn)不合格,則說(shuō)明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品,再對(duì)該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn),如此,每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)次或次.設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品,記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)為.(1)求的分布列及其期望;(2)(i)試說(shuō)明,當(dāng)越小時(shí),該方案越合理,即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少;(ii)當(dāng)時(shí),求使該方案最合理時(shí)的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù).21.(12分)已知是遞增的等比數(shù)列,,且、、成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè),,求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(10分)已知分別是的內(nèi)角的對(duì)邊,且.(Ⅰ)求.(Ⅱ)若,,求的面積.(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

畫出幾何體的直觀圖,利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可,【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖:上部是底面半徑為1,高為3的圓柱,下部是底面半徑為2,高為2的圓錐,幾何體的表面積為:,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的表面積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.2.B【解析】

由模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】,當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積,考查模長(zhǎng)公式,準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.3.C【解析】

將直線方程代入拋物線方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義即可得出的值.【詳解】F(1,0),故直線AB的方程為y=x﹣1,聯(lián)立方程組,可得x2﹣6x+1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=6,x1x2=1.由拋物線的定義可知:|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴||FA|﹣|FB||=|x1﹣x2|=.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.4.D【解析】

由題意作出可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為連接點(diǎn)和可行域內(nèi)的點(diǎn)的直線斜率的倒數(shù),數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意作出可行域,如圖,目標(biāo)函數(shù)可表示連接點(diǎn)和可行域內(nèi)的點(diǎn)的直線斜率的倒數(shù),由圖可知,直線的斜率最小,直線的斜率最大,由可得,由可得,所以,,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了非線性規(guī)劃的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】

由三視圖還原出原幾何體,得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后計(jì)算體積.【詳解】由三視圖知原幾何體是一個(gè)四棱錐,四棱錐底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,高為2,直觀圖如圖所示,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查棱錐的體積公式,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.6.D【解析】

由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項(xiàng)A;可能相交,可判斷B選項(xiàng);利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C;或,利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項(xiàng)D.【詳解】命題“,”的否定形式是“,”,故A錯(cuò)誤;,,則可能相交,故B錯(cuò)誤;若,則,所以,故,所以C錯(cuò)誤;由,得或,故“”是“”的充分不必要條件,D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷,涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等,是一道容易題.7.D【解析】

作出四個(gè)函數(shù)的圖象及給出的四個(gè)點(diǎn),觀察這四個(gè)點(diǎn)在靠近哪個(gè)曲線.【詳解】如圖,作出A,B,C,D中四個(gè)函數(shù)圖象,同時(shí)描出題中的四個(gè)點(diǎn),它們?cè)谇€的兩側(cè),與其他三個(gè)曲線都離得很遠(yuǎn),因此D是正確選項(xiàng),故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查回歸分析,擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)越多,說(shuō)明擬合效果好.8.C【解析】

將,分別用和的形式表示,然后求解出和的值即可表示.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,則由,,得解得,,所以.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解,難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)的值,可通過(guò)構(gòu)建和的方程組求通項(xiàng)公式.9.B【解析】

延長(zhǎng)到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,根據(jù)余弦定理可求出,進(jìn)而可得的面積.【詳解】解:延長(zhǎng)到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,則,,,在中,則,得,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用,考查三角形面積公式的應(yīng)用,其中根據(jù)中線作出平行四邊形是關(guān)鍵,是中檔題.10.B【解析】

先由三角函數(shù)的定義求出,再由二倍角公式可求.【詳解】解:角的終邊與單位圓交于點(diǎn),,故選:B【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)的定義和二倍角公式,是基礎(chǔ)題.11.A【解析】

先化簡(jiǎn)求出,即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋运怨蔬x:A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,注意計(jì)算的準(zhǔn)確度,屬于簡(jiǎn)單題目.12.C【解析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對(duì)于B選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對(duì)于C選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù);對(duì)于D選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷,熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】

根據(jù)題意,由平均數(shù)公式可得,解得的值,進(jìn)而由方差公式計(jì)算,可得答案.【詳解】根據(jù)題意,數(shù)據(jù)7,9,,8,10的平均數(shù)為9,則,解得:,則其方差.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考平均數(shù)、方差的計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意求出的值,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】

對(duì)求導(dǎo),再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得切線方程,令,可得點(diǎn)橫坐標(biāo),由的面積為3,求解即得.【詳解】由題,,切線斜率,則切線方程為,令,解得,又的面積為3,,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線,難度不大.15.【解析】

由解析式可分析兩函數(shù)互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對(duì)稱,則點(diǎn)到的距離的最小值的二倍即為所求,利用導(dǎo)函數(shù)即可求得最值.【詳解】由題,因?yàn)榕c互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對(duì)稱,設(shè)點(diǎn)為,則到直線的距離為,設(shè),則,令,即,所以當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題.16.【解析】

由棱長(zhǎng)為的正四面體求出外接球的半徑,進(jìn)而求出正三棱錐的高及側(cè)棱長(zhǎng),可得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直,進(jìn)而求出體積與表面積,設(shè)內(nèi)切圓的半徑,由等體積,求出內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由題意可知:多面體的外接球即正四面體的外接球作面交于,連接,如圖則,且為外接球的直徑,可得,設(shè)三角形的外接圓的半徑為,則,解得,設(shè)外接球的半徑為,則可得,即,解得,設(shè)正三棱錐的高為,因?yàn)椋裕裕哉忮F的三條側(cè)棱兩兩相互垂直,所以,設(shè)內(nèi)切球的半徑為,,即解得:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查多面體與球的內(nèi)切和外接問題,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意借助幾何體的直觀圖進(jìn)行分析.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)證明見解析(2)【解析】

(1)利用線段長(zhǎng)度得到與間的垂直關(guān)系,再根據(jù)線面垂直的判定定理完成證明;(2)以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值等于線面角的正弦值,計(jì)算出結(jié)果.【詳解】(1)∵,,∴,∴,∵,平面,∴平面(2)由(1)知,,又為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,∵,∴,設(shè)是平面的一個(gè)法向量則,即,取得∴∴直線與平面所成的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明以及用向量法求解線面角的正弦,難度一般.用向量方法求解線面角的正弦值時(shí),注意直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值等于線面角的正弦值.18.(I)an=2n-1,bn=【解析】

(I)直接利用等差數(shù)列,等比數(shù)列公式聯(lián)立方程計(jì)算得到答案.(II)n2【詳解】(I)a1=b解得d=2q=3,故an=2n-1(II)n=14+【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列,裂項(xiàng)求和,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.19.(1)或(2)最小值為.【解析】

(1)討論,,三種情況,分別計(jì)算得到答案.(2)計(jì)算得到,再利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由,解得.所以所求不等式的解集為或.(2)根據(jù)函數(shù)圖像知:當(dāng)時(shí),,所以.因?yàn)椋桑芍裕?dāng)且僅當(dāng),,時(shí),等號(hào)成立.所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對(duì)值不等式,函數(shù)最值,均值不等式,意在考查學(xué)生對(duì)于不等式,函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.20.(1)見解析,(2)(i)見解析(ii)時(shí)平均檢驗(yàn)次數(shù)最少,約為594次.【解析】

(1)由題意可得,的可能取值為和,分別求出其概率即可求出分布列,進(jìn)而可求出期望.(2)(i)由記,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證出;記,當(dāng)且取最小值時(shí),該方案最合理,對(duì)進(jìn)行賦值即可求解.【詳解】(1)由題,的可能取值為和,故的分布列為由記,因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增,故越小,越小,即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少,該方案越合理記當(dāng)且取最小值時(shí),該方案最合理,因?yàn)椋詴r(shí)平均檢驗(yàn)次數(shù)最少,約為次.【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望,考查了分析問題、解決問題的能力,屬于中檔題.21.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題中條件求出的值,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)求得,然后利用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】(Ⅰ)設(shè)數(shù)列的公比為,由題意及,知.、、成等差數(shù)列成等差數(shù)列,,,即,解得或(舍去),.數(shù)列的通項(xiàng)公式為;(Ⅱ

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