2025屆河北省承德市第八中學高三3月總復習質檢（一模）數學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．己知，，，則（）A． B． C． D．2．復數（）A． B． C．0 D．3．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．44．已知函數，若關于的方程有4個不同的實數根，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．5．若函數在處有極值，則在區間上的最大值為（）A． B．2 C．1 D．36．已知函數的圖象的一條對稱軸為，將函數的圖象向右平行移動個單位長度后得到函數圖象，則函數的解析式為（）A． B．C． D．7．中，點在邊上，平分，若，，，，則（）A． B． C． D．8．某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內為（）A． B． C． D．9．已知，，為圓上的動點，，過點作與垂直的直線交直線于點，若點的橫坐標為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．拋物線y2=ax(a>0)的準線與雙曲線C:x28A．8 B．6 C．4 D．211．A． B． C． D．12．設復數滿足為虛數單位)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左焦點為，、為雙曲線上關于原點對稱的兩點，的中點為，的中點為，的中點為，若，且直線的斜率為，則__________，雙曲線的離心率為__________．14．如圖，在菱形ABCD中，AB=3，，E，F分別為BC，CD上的點，，若線段EF上存在一點M，使得，則____________，____________．（本題第1空2分，第2空3分）15．一次考試后，某班全班50個人數學成績的平均分為正數，若把當成一個同學的分數，與原來的50個分數一起，算出這51個分數的平均值為，則_________．16．設為正實數，若則的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在銳角中，，，分別是角，，所對的邊，的面積，且滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．18．（12分）設函數．（1）當時，求不等式的解集；（2）若對任意都有，求實數的取值范圍．19．（12分）在極坐標系中，已知曲線C的方程為（），直線l的方程為.設直線l與曲線C相交于A，B兩點，且，求r的值.20．（12分）已知函數.（1）若函數不存在單調遞減區間，求實數的取值范圍；（2）若函數的兩個極值點為，，求的最小值.21．（12分）已知函數.（1）設，若存在兩個極值點，，且，求證：；（2）設，在不單調，且恒成立，求的取值范圍.（為自然對數的底數）.22．（10分）某生物硏究小組準備探究某地區蜻蜓的翼長分布規律，據統計該地區蜻蜓有兩種，且這兩種的個體數量大致相等，記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長（單位：）分別為隨機變量，其中服從正態分布，服從正態分布.（Ⅰ）從該地區的蜻蜓中隨機捕捉一只，求這只蜻蜓的翼長在區間的概率；（Ⅱ）記該地區蜻蜓的翼長為隨機變量，若用正態分布來近似描述的分布，請你根據（Ⅰ）中的結果，求參數和的值（精確到0.1）；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，從該地區的蜻蜓中隨機捕捉3只，記這3只中翼長在區間的個數為，求的分布列及數學期望（分布列寫出計算表達式即可）.注:若，則，，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先將三個數通過指數，對數運算變形，再判斷.【詳解】因為，，所以，故選：B.【點睛】本題主要考查指數、對數的大小比較，還考查推理論證能力以及化歸與轉化思想，屬于中檔題.2、C【解析】略3、A【解析】

由傾斜角的余弦值，求出正切值，即的關系，求出雙曲線的離心率.【詳解】解：設雙曲線的半個焦距為，由題意又，則，，，所以離心率，故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質，屬于基礎題4、C【解析】

求導，先求出在單增，在單減，且知設，則方程有4個不同的實數根等價于方程在上有兩個不同的實數根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，解得，，故當時，，當，，且，故方程在上有兩個不同的實數根，故，解得.故選：C.【點睛】本題考查確定函數零點或方程根個數.其方法：(1)構造法：構造函數(易求，可解)，轉化為確定的零點個數問題求解，利用導數研究該函數的單調性、極值，并確定定義區間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出的圖象草圖，數形結合求解；(2)定理法：先用零點存在性定理判斷函數在某區間上有零點，然后利用導數研究函數的單調性、極值(最值)及區間端點值符號，進而判斷函數在該區間上零點的個數.5、B【解析】

根據極值點處的導數為零先求出的值，然后再按照求函數在連續的閉區間上最值的求法計算即可.【詳解】解：由已知得，，，經檢驗滿足題意.，.由得；由得或.所以函數在上遞增，在上遞減，在上遞增.則，，由于，所以在區間上的最大值為2.故選：B.【點睛】本題考查了導數極值的性質以及利用導數求函數在連續的閉區間上的最值問題的基本思路，屬于中檔題．6、C【解析】

根據輔助角公式化簡三角函數式，結合為函數的一條對稱軸可求得，代入輔助角公式得的解析式.根據三角函數圖像平移變換，即可求得函數的解析式.【詳解】函數，由輔助角公式化簡可得，因為為函數圖象的一條對稱軸，代入可得，即，化簡可解得，即，所以將函數的圖象向右平行移動個單位長度可得，則，故選：C.【點睛】本題考查了輔助角化簡三角函數式的應用，三角函數對稱軸的應用，三角函數圖像平移變換的應用，屬于中檔題.7、B【解析】

由平分，根據三角形內角平分線定理可得，再根據平面向量的加減法運算即得答案.【詳解】平分，根據三角形內角平分線定理可得，又，，，，..故選：.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算，屬于基礎題.8、C【解析】程序在運行過程中各變量值變化如下表：KS是否繼續循環循環前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環的條件應為k>5?本題選擇C選項.點睛：使用循環結構尋數時，要明確數字的結構特征，決定循環的終止條件與數的結構特征的關系及循環次數．尤其是統計數時，注意要統計的數的出現次數與循環次數的區別．9、A【解析】

由題意得，即可得點M的軌跡為以A，B為左、右焦點，的雙曲線，根據雙曲線的性質即可得解.【詳解】如圖，連接OP，AM，由題意得，點M的軌跡為以A，B為左、右焦點，的雙曲線，.故選：A.【點睛】本題考查了雙曲線定義的應用，考查了轉化化歸思想，屬于中檔題.10、A【解析】

求得拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，解得兩交點，由三角形的面積公式，計算即可得到所求值．【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準線為x=-a4，雙曲線C:x28-y24【點睛】本題考查三角形的面積的求法，注意運用拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎題．11、A【解析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，是基礎的計算題．12、B【解析】

易得，分子分母同乘以分母的共軛復數即可.【詳解】由已知，，所以.故選：B.【點睛】本題考查復數的乘法、除法運算，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設，，根據中點坐標公式可得坐標，利用可得到點坐標所滿足的方程，結合直線斜率可求得，進而求得；將點坐標代入雙曲線方程，結合焦點坐標可求得，進而得到離心率.【詳解】左焦點為，雙曲線的半焦距．設，，，，，，即，，即，又直線斜率為，即，，，，在雙曲線上，，即，結合可解得：，，離心率.故答案為：；.【點睛】本題考查直線與雙曲線的綜合應用問題，涉及到直線截雙曲線所得線段長度的求解、雙曲線離心率的求解問題；關鍵是能夠通過設點的方式，結合直線斜率、垂直關系、點在雙曲線上來構造方程組求得所需變量的值.14、【解析】

根據題意，設，則，所以，解得，所以，從而有.15、1【解析】

根據均值的定義計算．【詳解】由題意，∴．故答案為：1．【點睛】本題考查均值的概念，屬于基礎題．16、【解析】

根據，可得，進而，有，而，令，得到，再用導數法求解，【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，令，，所以，當時，，當時，所以當時，取得最大值，又，所以取值范圍是，故答案為：【點睛】本題主要考查基本不等式的應用和導數法求最值，還考查了運算求解的能力，屬于難題，三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、A【解析】

由正弦定理化簡得，解得，進而得到，利用正切的倍角公式求得，根據三角形的面積公式，求得，進而化簡，即可求解.【詳解】由題意，在銳角中，滿足，由正弦定理可得，即，可得，所以，即，所以，所以，則，所以，可得，又由的面積，所以，則.故選：A.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應用，以及三角形的面積公式和正切的倍角公式的綜合應用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.18、（1）（2）【解析】

利用零點分區間法，去掉絕對值符號分組討論求并集，對恒成立，則，由三角不等式，得求解【詳解】解：當時，不等式即為，可得或或，解得或或，則原不等式的解集為若對任意、都有，即為，由，當取得等號，則，由，可得，則的取值范圍是【點睛】本題考查含有兩個絕對值符號的不等式解法及利用三角不等式解恒成立問題.（1）含有兩個絕對值符號的不等式常用解法可用零點分區間法去掉絕對值符號，將其轉化為與之等價的不含絕對值符號的不等式(組)求解（2）利用三角不等式把不等式恒成立問題轉化為函數最值問題.19、【解析】

先將曲線C和直線l的極坐標方程化為直角坐標方程，可得圓心到直線的距離，再由勾股定理，計算即得.【詳解】以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，可得曲線C：（）的直角坐標方程為，表示以原點為圓心，半徑為r的圓.由直線l的方程，化簡得，則直線l的直角坐標方程方程為.記圓心到直線l的距離為d，則，又，即，所以.【點睛】本題考查曲線和直線的極坐標方程化為直角坐標方程，是基礎題.20、（1）（2）【解析】分析：（1）先求導，再令在上恒成立，得到上恒成立，利用基本不等式得到m的取值范圍.(2)先由得到，再求得，再構造函數再利用導數求其最小值.詳解：（1）由函數有意義，則由且不存在單調遞減區間，則在上恒成立，上恒成立（2）由知，令，即由有兩個極值點故為方程的兩根，，，則由由，則上單調遞減，即由知綜上所述，的最小值為.點睛：（1）本題主要考查利用導數求函數的單調區間和極值，考查利用導數求函數的最值，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的難點有兩個，其一是求出,其二是構造函數再利用導數求其最小值.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）先求出，又由可判斷出在上單調遞減，故，令，記，利用導數求出的最小值即可；（2）由在上不單調轉化為在上有解，可得，令，分類討論求的最大值，再求解即可.【詳解】（1）已知，，由可得，又由,知在上單調遞減，令，記，則在上單調遞增；，在上單調遞增；，（2），，在上不單調，在上有正有負，在上有解，，，恒成立，記，則，記，，在上單調增，在上單調減.于是知（i）當即時，恒成立，在上單調增，，，.（ii）當時，，故不滿足題意.綜上所述，【點睛】本題主要考查了導數的綜合應用，考查了分類討論，轉化與化歸的思想，考查了學生的運算求解能力.22、（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）由題知這只蜻蜓是種還是種