立體幾何第八章第4講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)高考要求考情分析1.以立體幾何的有關(guān)定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面垂直、面面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理，并能夠證明相關(guān)性質(zhì)定理．2．能運用線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)定理證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題常常融合平行與垂直等多種關(guān)系一起考查，既有選擇題、又有解答題，考查邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測糾偏11．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義：如果一條直線l與平面α內(nèi)的______直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．任意(2)判定定理與性質(zhì)定理：兩條相交直線a，b?α

a∩b＝O

l⊥a

l⊥b

平行a⊥α

b⊥α

2．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是________，就說這兩個平面互相垂直．直二面角(2)判定定理和性質(zhì)定理：垂線l?β

l⊥α

交線α⊥β

l?β

α∩β＝a

l⊥a

[特別提醒]1．兩個重要結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法)．2．使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就垂直于這個平面”．1．下列命題中錯誤的是(

)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β【答案】D

2．(2019年安徽江南十校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是(

)A．α⊥β且m?α

B．m⊥n且n∥βC．m∥n且n⊥β

D．m⊥n且α∥β【答案】C

【解析】由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知C正確．3．(多選題)(2019年惠州模擬改編)PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A，B兩點的任一點，則下列關(guān)系正確的是(

)A．PA⊥BC

B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB

D．PC⊥BC【答案】ABD

【解析】由PA⊥平面ACB?PA⊥BC，A正確；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，B，D正確；無法判斷AC⊥PB，C不正確．故選ABD．4．(一題兩空)在三棱錐P－ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.(1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的______心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的______心．【答案】(1)外(2)垂5．(一題兩空)如圖，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________．【答案】AB，BC，AC

AB

【解析】因為PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直線AB，BC，AC.因為AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC.又因為AP?平面PAC，所以AB⊥AP，與AP垂直的直線是AB.在用線面垂直的判定定理證明線面垂直時，易忽視說明平面內(nèi)的兩條直線相交，而導(dǎo)致被扣分，這一點在證明中要注意．口訣：線不在多，重在相交．判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(

)(2)垂直于同一個平面的兩平面平行．(

)(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面．(

)(4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×重難突破能力提升2直線與平面垂直的判定與性質(zhì)所以四邊形MEFD是平行四邊形，所以EF∥MD.因為PD＝AD，所以MD⊥PA.因為AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因為PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.【規(guī)律方法】(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．(3)線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線垂直．平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【規(guī)律方法】(1)證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理．(2)已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．平行垂直中探索性問題

如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點F為CE的中點．(1)求證：AE∥平面BDF；(2)點M為CD上任意一點，在線段AE上是否存在點P，使得PM⊥BE？若存在，確定點P的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．【解析】(1)證明：連接AC交BD于O，連接OF，如圖1所示．因為四邊形ABCD是矩形，所以O(shè)為AC的中點．又F為EC的中點，所以O(shè)F為△ACE的中位線，所以O(shè)F∥AE.又OF?平面BDF，AE?平面BDF，所以AE∥平面BDF.

(2)當(dāng)P為AE中點時，有PM⊥BE.證明如下：取BE中點H，連接DP，PH，CH，如圖2所示．因為P為AE的中點，H為BE的中點，所以PH∥AB.又AB∥CD，所以PH∥CD，所以P，H，C，D四點共面．因為平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD?平面ABCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面BCE.又BE?平面BCE，所以CD⊥BE.因為BC＝CE，H為BE的中點，所以CH⊥BE.又CD∩CH＝C，所以BE⊥平面DPHC.又PM?平面DPHC，所以BE⊥PM，即PM⊥BE.【規(guī)律方法】(1)求條件探索性問題的主要途徑：①先猜后證，即先觀察并嘗試給出條件再證明；②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性．(2)涉及點的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，探索點的存在問題時，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點．追蹤命題直擊高考3【典例精析】

典例．(2020年北碚區(qū)校級模擬)如圖所示，四棱錐P－ABCD

的底面ABCD為矩形，PA⊥PD，其中M，N分別為PB，PC中點．(1)求證：MN∥平面PAD；(2)若平面PAD⊥底面ABCD，求證：PA⊥平面PCD.【考查角度】三角形中位線定理、線面平行的判定定理、線面垂直與面面垂直的判定定理性質(zhì)定理．【考查目的】考查數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，體現(xiàn)直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．【思路導(dǎo)引】(1)利用三角形中位線定理、線面平行的判定定理即可得出．(2)利用線面垂直與面面垂直的判定定理性質(zhì)定理即可得出結(jié)論．【解析】證明：(1)因為M，N分別是PB，PC的中點，所以MN∥BC.又因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD，所以MN∥AD，又MN?平面PAD，AD?平面PAD，所以MN∥平面PAD，(2)因為底面ABCD為矩形，所以CD⊥AD.又因為平面PAD⊥底面ABCD且平面PAD∩底面ABCD＝AD.且CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD.又因為PA?平面PAD，所以PA⊥CD.又因為PA⊥PD，PD、CD?平面PCD，PD∩CD＝D，所以PA⊥平面PCD.【拓展延伸】1．三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化在證明兩平面垂直時，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決．如有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．2．三種垂直關(guān)系的證明(1)判定線線垂直的方法：①定義：兩條直線所成的角為90°；②平面幾何中證明線線垂直的方法；③線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b?α?a⊥b；④線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α?a⊥b.(2)判定線面垂直的常用方法：①利用線面垂直的判定定理；②利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”；③利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則與另一個平面也垂直”；④利用面面垂直的性質(zhì)．(3)判定面面垂直的方法：①利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；②判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β.【真題鏈接】

【解析】(1)證明：因為在平行四邊形ABCM中，∠ACM＝90°，所以AB⊥AC.又AB⊥DA，AD∩AC＝A，所以AB⊥平面ADC.因為AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.3．(2019年北京)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點．(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；(3)棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由．【解析】(1)證明：因為四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，所以BD⊥PA，BD⊥AC.因為PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)因為在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點，∠ABC＝60°，所以AB⊥AE，PA⊥AE.因為PA∩AB＝A，所以AE⊥平面PAB.因為AE