2025屆上海市六校聯考高三下學期期末教學統一檢測試題數學試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則的虛部是A．3 B． C． D．2．設為虛數單位，則復數在復平面內對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函數，則的最小值為()A． B． C． D．4．某中學有高中生人，初中生人為了解該校學生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人，則的值為（）A． B． C． D．5．年部分省市將實行“”的新高考模式，即語文、數學、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學、生物、政治、地理四選二，若甲同學選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學同時選擇歷史和化學的概率為A． B．C． D．6．已知集合，集合，則等于（）A． B．C． D．7．已知實數，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．如圖是一個算法流程圖，則輸出的結果是（）A． B． C． D．9．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作一條直線與雙曲線右支交于兩點，坐標原點為，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．設集合，，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．一個圓錐的底面和一個半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個圓錐軸截面底角的大小是（）A． B． C． D．12．設是虛數單位，，，則（）A． B． C．1 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中，的系數為________．14．已知兩個單位向量滿足，則向量與的夾角為_____________.15．在中，內角所對的邊分別為，若，的面積為，則_______，_______．16．若實數滿足不等式組，則的最小值是___三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知多面體中，、均垂直于平面，，，，是的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．18．（12分）已知函數.（1）討論函數f(x)的極值點的個數；（2）若f(x)有兩個極值點證明.19．（12分）在平面直角坐標系中，為直線上動點，過點作拋物線:的兩條切線，，切點分別為，，為的中點.（1）證明:軸；（2）直線是否恒過定點?若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由.20．（12分）已知函數為實數)的圖像在點處的切線方程為.（1）求實數的值及函數的單調區間；（2）設函數，證明時，.21．（12分）如圖，四棱錐中，側面為等腰直角三角形，平面．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值．22．（10分）已知點和橢圓.直線與橢圓交于不同的兩點，.（1）當時，求的面積；（2）設直線與橢圓的另一個交點為，當為中點時，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

因為，所以的虛部是.故選B．2、A【解析】

利用復數的除法運算化簡，求得對應的坐標，由此判斷對應點所在象限.【詳解】，對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：A.【點睛】本小題主要考查復數除法運算，考查復數對應點所在象限，屬于基礎題.3、C【解析】

利用三角恒等變換化簡三角函數為標準正弦型三角函數，即可容易求得最小值.【詳解】由于，故其最小值為：.故選：C.【點睛】本題考查利用降冪擴角公式、輔助角公式化簡三角函數，以及求三角函數的最值，屬綜合基礎題.4、B【解析】

利用某一層樣本數等于某一層的總體個數乘以抽樣比計算即可.【詳解】由題意，，解得.故選：B.【點睛】本題考查簡單隨機抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數等于某一層的總體個數乘以抽樣比，本題是一道基礎題.5、B【解析】

甲同學所有的選擇方案共有種，甲同學同時選擇歷史和化學后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據古典概型的概率計算公式，可得甲同學同時選擇歷史和化學的概率，故選B．6、B【解析】

求出中不等式的解集確定出集合，之后求得.【詳解】由，所以，故選：B.【點睛】該題考查的是有關集合的運算的問題，涉及到的知識點有一元二次不等式的解法，集合的運算，屬于基礎題目.7、B【解析】

畫出可行域，根據可行域上的點到原點距離，求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由，，三點所圍成的三角形及其內部，如圖中陰影部分，而可理解為可行域內的點到原點距離的平方，顯然原點到所在的直線的距離是可行域內的點到原點距離的最小值，此時，點到原點的距離是可行域內的點到原點距離的最大值，此時.所以的取值范圍是.故選：B【點睛】本小題考查線性規劃，兩點間距離公式等基礎知識；考查運算求解能力，數形結合思想，應用意識.8、A【解析】

執行程序框圖，逐次計算，根據判斷條件終止循環，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，執行上述的程序框圖：第1次循環：滿足判斷條件，；第2次循環：滿足判斷條件，；第3次循環：滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，輸出計算結果，故選A．【點睛】本題主要考查了循環結構的程序框圖的結果的計算與輸出，其中解答中執行程序框圖，逐次計算，根據判斷條件終止循環是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．9、B【解析】

由題可知，，再結合雙曲線第一定義，可得，對有，即，解得，再對，由勾股定理可得，化簡即可求解【詳解】如圖，因為，所以.因為所以.在中，，即，得，則.在中，由得.故選：B【點睛】本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質的應用，屬于中檔題10、C【解析】

由得出，利用集合的包含關系可得出實數的取值范圍.【詳解】，且，，.因此，實數的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用集合的包含關系求參數，考查計算能力，屬于基礎題.11、D【解析】

設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,再表達圓錐表面積與球的表面積公式,進而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選：D【點睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎題.12、C【解析】

由，可得，通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解：，，解得：.故選:C.【點睛】本題考查了復數的運算，考查了復數相等的涵義.對于復數的運算類問題，易錯點是把當成進行運算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據二項展開式定理，求出含的系數和含的系數，相乘即可.【詳解】的展開式中，所求項為：，的系數為.

故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式定理的應用，屬于基礎題.14、【解析】

由得，即得解.【詳解】由題意可知，則.解得，所以，向量與的夾角為.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的數量積的計算和夾角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.15、【解析】

由已知及正弦定理，三角函數恒等變換的應用可得，從而求得，結合范圍，即可得到答案運用余弦定理和三角形面積公式，結合完全平方公式，即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面積公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得【點睛】本題主要考查了運用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎，只要按照題意運用公式即可求出答案16、-1【解析】作出可行域，如圖：由得,由圖可知當直線經過A點時目標函數取得最小值，A（1,0）所以-1故答案為-1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）．【解析】

（1）取的中點，連接、，推導出四邊形為平行四邊形，可得出，由此能證明平面；（2）由，得平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，在平面內過點作于點，就是到平面的距離，也就是點到平面的距離，由此能求出直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）取的中點，連接、，、分別為、的中點，則且，、均垂直于平面，且，則，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，因此，平面；（2）由，平面，平面，平面，點到平面的距離等于點到平面的距離，在平面內過點作于點，平面，平面，，，，平面，即就是到平面的距離，也就是點到平面的距離，設，則到平面的距離，，因此，直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，是中檔題．18、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）求得函數的定義域和導函數，對分成三種情況進行分類討論，判斷出的極值點個數.（2）由（1）知，結合韋達定理求得的關系式，由此化簡的表達式為，通過構造函數法，結合導數證得，由此證得成立.【詳解】（1）函數的定義域為得，（i）當時；，因為時，時，，所以是函數的一個極小值點；（ii）若時，若，即時，，在是減函數，無極值點.若，即時，有兩根，不妨設當和時，，當時，，是函數的兩個極值點，綜上所述時，僅有一個極值點；時，無極值點；時，有兩個極值點．（2）由（1）知，當且僅當時，有極小值點和極大值點，且是方程的兩根，，則所以設，則，又，即，所以所以是上的單調減函數，有兩個極值點，則【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的極值點，考查利用導數證明不等式，考查分類討論的數學思想方法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.19、（1）見解析（2）直線過定點.【解析】

（1）設出兩點的坐標，利用導數求得切線的方程，設出點坐標并代入切線的方程，同理將點坐標代入切線的方程，利用韋達定理求得線段中點的橫坐標，由此判斷出軸.（2）求得點的縱坐標，由此求得點坐標，求得直線的斜率，由此求得直線的方程，化簡后可得直線過定點.【詳解】（1）設切點，，，∴切線的斜率為，切線：，設，則有，化簡得，同理可的.∴，是方程的兩根，∴，，，∴軸.（2）∵，∴.∵，∴直線：，即，∴直線過定點.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查直線過定點問題，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.20、(1);函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為;(2)詳見解析.【解析】

試題分析：（1）由題得，根據曲線在點處的切線方程，列出方程組，求得的值，得到的解析式，即可求解函數的單調區間；（2）由（1）得根據由，整理得，設，轉化為函數的最值，即可作出證明.試題解析：（1）由題得，函數的定義域為，，因為曲線在點處的切線方程為，所以解得.令，得，當時，，在區間內單調遞減；當時，，在區間內單調遞增.所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.（2）由（1）得，.由，得，即.要證，需證，即證，設，則要證，等價于證：.令，則，∴在區間內單調遞增，,即，故.21、（1）見解析（2）【解析】

（1）根據平面，利用線面垂直的定義可得，再由，根據線面垂直的判定定理即可證出.（2）取的中點，連接，以為坐標原點，分別為正半軸建立空間直角坐標系求出平面的一個法向量，利用空間向量法即可求解.【詳解】因為平面平面，所以由為等腰直角三角形，所以又，故平面.取的中點，連接，因為，所以因為平面，所以平面所以平面如圖，以為坐標原點，分別為正半軸建立空間直角坐標系則，又，所以且于是設平面的法向量為，則令得平面的一個法向量設直線與平面所成的角為，則【點睛】本題考查了線面垂直的定義、判定定理以及空間向量法求線面角，屬于中檔題.22、（1）；（2）或【解析】

（1）聯立直線的方程和橢圓方程，求得交點的橫坐標，由此