青海省西寧市第二十一中學(xué)2025屆高三下-期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點(m,8)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，則（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b2．已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，不等式對于恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．3．已知，則（）A．2 B． C． D．34．已知點，若點在曲線上運動，則面積的最小值為（）A．6 B．3 C． D．5．三棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．若，則下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．7．把函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象．給出下列四個命題①的值域為②的一個對稱軸是③的一個對稱中心是④存在兩條互相垂直的切線其中正確的命題個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．3 D．49．已知集合，集合，則A． B．或C． D．10．已知是等差數(shù)列的前項和，，，則（）A．85 B． C．35 D．11．二項式的展開式中，常數(shù)項為（）A． B．80 C． D．16012．設(shè)為拋物線的焦點，，，為拋物線上三點，若，則（）.A．9 B．6 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限，則實數(shù)的范圍為______.14．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則的值為__________．15．已知，記，則的展開式中各項系數(shù)和為__________．16．已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，其中，，則的值為_______________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在極坐標(biāo)系中，已知曲線C的方程為（），直線l的方程為.設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，且，求r的值.18．（12分）已知是拋物線：的焦點，點在上，到軸的距離比小1.（1）求的方程；（2）設(shè)直線與交于另一點，為的中點，點在軸上，.若，求直線的斜率.19．（12分）已知橢圓的短軸長為，離心率，其右焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）過作夾角為的兩條直線分別交橢圓于和，求的取值范圍.20．（12分）電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計男女1055合計(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.63521．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上每一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，得到曲線，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線與曲線交于點，將射線繞極點逆時針方向旋轉(zhuǎn)交曲線于點.（1）求曲線的參數(shù)方程；（2）求面積的最大值．22．（10分）一張邊長為的正方形薄鋁板（圖甲），點，分別在，上，且（單位：）.現(xiàn)將該薄鋁板沿裁開，再將沿折疊，沿折疊，使，重合，且重合于點，制作成一個無蓋的三棱錐形容器（圖乙），記該容器的容積為（單位：），（注：薄鋁板的厚度忽略不計）（1）若裁開的三角形薄鋁板恰好是該容器的蓋，求，的值；（2）試確定的值，使得無蓋三棱錐容器的容積最大.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先利用冪函數(shù)的定義求出m的值，得到冪函數(shù)解析式為f（x）＝x3，在R上單調(diào)遞增，再利用冪函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可得到a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知，m﹣1＝1，∴m＝2，∴點（2，8）在冪函數(shù)f（x）＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3，∴冪函數(shù)解析式為f（x）＝x3，在R上單調(diào)遞增，∵，1＜lnπ＜3，n＝3，∴，∴a＜b＜c，故選：B.【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小，屬于中檔題.2、A【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，由此可將不等式化為；利用分離變量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到結(jié)果.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱又在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)，即對于恒成立在上恒成立，即的取值范圍為：本題正確選項：【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題，涉及到恒成立問題的求解；解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，從而利用分離變量法來處理恒成立問題.3、A【解析】

利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案．【詳解】，；；故選：．【點睛】本題考查了函數(shù)值的求法，考查對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，解題時注意函數(shù)性質(zhì)的合理應(yīng)用．4、B【解析】

求得直線的方程，畫出曲線表示的下半圓，結(jié)合圖象可得位于，結(jié)合點到直線的距離公式和兩點的距離公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.【詳解】解：曲線表示以原點為圓心，1為半徑的下半圓(包括兩個端點)，如圖，直線的方程為，可得，由圓與直線的位置關(guān)系知在時，到直線距離最短，即為，則的面積的最小值為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積最值，解題關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系，確定半圓上的點到直線距離的最小值，這由數(shù)形結(jié)合思想易得．5、B【解析】由題，側(cè)棱底面，，，，則根據(jù)余弦定理可得，的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑，則該三棱錐的外接球的表面積為點睛：本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵．6、B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對選項逐一判斷即可.【詳解】選項A：由于，即，，所以，所以，所以成立；選項B：由于，即，所以，所以，所以不成立；選項C：由于，所以，所以，所以成立；選項D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故選：B.【點睛】本題考查不等關(guān)系和不等式，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

由圖象變換的原則可得,由可求得值域；利用代入檢驗法判斷②③；對求導(dǎo),并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.【詳解】由題,,則向右平移個單位可得,,的值域為,①錯誤；當(dāng)時,,所以是函數(shù)的一條對稱軸,②正確；當(dāng)時,,所以的一個對稱中心是,③正確；,則,使得,則在和處的切線互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個.故選:C【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖像變換,考查代入檢驗法判斷余弦型函數(shù)的對稱軸和對稱中心,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.8、A【解析】

根據(jù)題意，由拋物線的方程可得其焦點坐標(biāo)，由此可得雙曲線的焦點坐標(biāo)，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，解可得，由離心率公式計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，拋物線的焦點為，則雙曲線的焦點也為，即，則有，解可得，雙曲線的離心率.故選：A．【點睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是求出拋物線焦點的坐標(biāo)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．9、C【解析】

由可得，解得或，所以或，又，所以，故選C．10、B【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，求得，由此求得.【詳解】設(shè)公差為，則，所以，，，.故選：B【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前項和的計算，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

求出二項式的展開式的通式，再令的次數(shù)為零，可得結(jié)果.【詳解】解：二項式展開式的通式為，令，解得，則常數(shù)項為.故選：A.【點睛】本題考查二項式定理指定項的求解，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項展開式的通式，是基礎(chǔ)題.12、C【解析】

設(shè)，，，由可得，利用定義將用表示即可.【詳解】設(shè)，，，由及，得，故，所以.故選：C.【點睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題，考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的能力，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點，在第二象限，得，且，從而求出實數(shù)的范圍．【詳解】解：∵復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限，∴，且，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點之間的關(guān)系，解不等式，且是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

先利用輔助角公式將轉(zhuǎn)化成,根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)得出,從而得出函數(shù)解析式,最后求出即可.【詳解】解:,又因為定義在上的奇函數(shù),則,則,又因為,所以,,所以.故答案為:【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡,三角函數(shù)的奇偶性和三角函數(shù)求值,考查了基本知識的應(yīng)用能力和計算能力,是基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)定積分的計算，得到，令，求得，即可得到答案．【詳解】根據(jù)定積分的計算，可得，令，則，即的展開式中各項系數(shù)和為.【點睛】本題主要考查了定積分的應(yīng)用，以及二項式定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)定積分的計算和二項式定理求得的表示是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

根據(jù)題意，判斷出，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再令數(shù)列中的，，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，列出等式，求出和的值即可.【詳解】解：由，其中，，可得，則，令，，可得.①又令數(shù)列中的，，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以.②根據(jù)①②得出，.所以.故答案為.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

先將曲線C和直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，可得圓心到直線的距離，再由勾股定理，計算即得.【詳解】以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，可得曲線C：（）的直角坐標(biāo)方程為，表示以原點為圓心，半徑為r的圓.由直線l的方程，化簡得，則直線l的直角坐標(biāo)方程方程為.記圓心到直線l的距離為d，則，又，即，所以.【點睛】本題考查曲線和直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，是基礎(chǔ)題.18、（1）（2）【解析】

（1）由拋物線定義可知，解得，故拋物線的方程為；（2）設(shè)直線：，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理算出的中點，又，所以直線的方程為，求出，利用求解即可.【詳解】（1）設(shè)的準(zhǔn)線為，過作于，則由拋物線定義，得，因為到的距離比到軸的距離大1，所以，解得，所以的方程為（2）由題意，設(shè)直線方程為，由消去，得，設(shè)，，則，所以，又因為為的中點，點的坐標(biāo)為，直線的方程為，令，得，點的坐標(biāo)為，所以，解得，所以直線的斜率為.【點睛】本題主要考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的運算求解能力.涉及拋物線的弦的中點，斜率問題時，可采用韋達(dá)定理或“點差法”求解.19、（1）；（2）.【解析】

（1）由已知短軸長求出，離心率求出關(guān)系，結(jié)合，即可求解；（2）當(dāng)直線的斜率都存在時，不妨設(shè)直線的方程為，直線與橢圓方程聯(lián)立，利用相交弦長公式求出，斜率為，求出，得到關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式的特點用“”判別式法求出范圍，當(dāng)有一斜率不存在時，另一條斜率為，根據(jù)弦長公式，求出，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）由得，又由得，則，故橢圓的方程為.（2）由（1）知，①當(dāng)直線的斜率都存在時，由對稱性不妨設(shè)直線的方程為，由，，設(shè)，則，則，由橢圓對稱性可設(shè)直線的斜率為，則，.令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，由得，所以，即，且.②當(dāng)直線的斜率其中一條不存在時，根據(jù)對稱性不妨設(shè)設(shè)直線的方程為，斜率不存在，則，，此時.若設(shè)的方程為，斜率不存在，則，綜上可知的取值范圍是.【點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，注意根與系數(shù)關(guān)系、弦長公式、函數(shù)最值、橢圓性質(zhì)的合理應(yīng)用，意在考查邏輯推理、計算求解能力，屬于難題.20、(1)無關(guān)；(2)，.【解析】

(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而可得列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得.因為3.030<3.841，所以我們沒有充分理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)．(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率.由題意知X～B(3，)，從而X的分布列為X0123PE(X)＝np＝＝.D(X)＝np(1－p)＝21、（1）（為參數(shù)）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)伸縮變換結(jié)合曲線的參數(shù)方程可得出曲線的參數(shù)方程；（2）將曲線的方程化為普通方程，然后化為極坐標(biāo)方程，設(shè)點的極坐標(biāo)為，點的極坐標(biāo)為，將這兩點的極坐標(biāo)代入橢圓