淺析構造法在中學數學中的應用摘要構造法是一種體現數學思維的技巧方法，需要使用者擁有一定的技巧性和創新性，在構造過程中需要使用數學中觀察發現、比較類推和歸納推理的思想。它在中學數學學習中的使用頻率很高，是一種非常重要的數學工具。使用構造法需要擁有較強的觀察能力、綜合應用能力和創造能力，需要根據題目的特點，進行總結整理，對題目進行深入的分析。在解決一些數學問題時，它使用新的觀點來觀察、分析和理解。本文通過舉例，對構造法在中學數學中的應用做出了一些歸納、整理和總結，分別具體地討論了構造法在函數問題、幾何問題、構造方程等方面的應用。從而將構造法的抽象性在具體的例子中直觀地體現出來，可以更好的對學過的知識進行深入的理解歸納，也對未掌握知識的探索發現，完成構造法在中學數學中的有效體現。關鍵詞：構造法；幾何圖形；方程；函數目錄引言 11構造法在函數中的應用 11.1用構造三角函數法求解問題 11.2構造函數解決代數問題 32構造法在平面圖形中的應用 42.1構造平面圖形解決最值問題 42.2幾何問題的證明 63構造法在方程中的應用 83.1構造方程解決代數問題 83.2構造方程解決數列問題 93.3構造方程解決幾何問題 10結束語 12參考文獻 13引言在中學數學的研究中，許多問題用單一的常規方法是不能很好地解決的。此時，必須使用其他方法來解決問題，構造方法便是是其中的一種方法。使用構造法體現了數學發現的創造性思維特征。使用構造法不是憑空想象，也不是隨便捏造，它是基于我們所學的知識和題目所給的條件特征，通過仔細的觀察和分析，思考它們之間的關聯信息，進而尋找解決問題的方法。這種解決問題的方法不僅鞏固了學生的基礎知識，而且提高了學生的觀察，分析，聯想和假設的數學能力，激發了學生的創新思維。因此，在中學數學教育中，必須重視對學生的日常訓練，使學生學會使用構造法去解決問題，并運用創造性思維建立數學模型來解決問題。使用構造法解決問題，不僅更加方便高效，學生們還可以從中獲得學習的樂趣，體驗成功的感覺，從而提升了學生對數學的興趣和熱情，提高了學生的數學涵養和能力。1構造法在函數中的應用用構造三角函數法求解問題三角函數是在高中數學學習內容中非常重要的一部分。研究三角函數主要方式與代數和幾何有關，它是學習其他部分知識的重要工具，也是考察基礎的重要內容。使用三角函數的解題方法靈活多樣，學生掌握起來略顯困難。例1若已知，則.解從問題可以看出，我們可以構造角使成已知角的兩倍。因為，所以例2計算：[1].解我們可以看出，這道題目給出了三個角度不同的角，其中與互余，與相差，是比較特殊的角.這時我們可以嘗試將所有的角轉化成后，再用三角函數的誘導公式以及兩角和與差的公式來解決，便可很輕松的得出答案.原式例3已知，且、、均為正.求證：證明這道題目給出角的限制條件，我們可以構造相應的三角形，最后利用正弦定理或余弦定理來解答.從題目中可以得出，、、三個角中至少有兩個銳角，我們可以設、為銳角，則，，且.因此可構造一個以、、為內角的，不妨設，，.在中，由余弦定理得.由正弦定理得，，，為外接圓半徑.代入上式得，即.所以.構造函數解決代數問題在求解一些數學問題時，根據問題的條件，建立新的關系函數，利用性質函數求解原問題。這個過程就是思維創造的過程，具有極大的靈活性和技巧性。在運用的過程中，我們要抓住關鍵信息，靈活運用。例4求證：如果，那么[2].證明構造函數易證在上是奇函數且單調遞減因為所以,即.又因為是增函數所以即.例5求函數的最大值.解從題目中所給的條件看出且，由此我們能夠聯想到三角函數的關系式，構造函數來解決問題.令所以當即時，.2構造法在平面圖形中的應用2.1構造平面圖形解決最值問題在很多最值問題上，常規的代數方法往往不能解決問題。這時我們可以考慮用構造圖形的方法，構造出一個平面圖形并在坐標軸上表示出來，從而求出函數的最值。這種方法需要培養學生的創造性思維，并靈活地使用數形結合的方法，需要對解析幾何公式和各種形狀圖形有深入的了解，并且需要對他們的數量，公式，形狀等其他的性質有著準確深刻的理解。建立構造法的關鍵是敢于聯想，善于構造圖形去解決問題。例6求函數的最小值.圖1解可將函數變形為：此變形式我們可以看成與和的距離之和，又因為是軸上的動點，所以我們可以在軸上找一點，使得與的距離和與的距離之和為最小值。點和分別在軸的上、下兩側，連接與軸的交點為，間的距離就是函數的最小值（如圖1），為.例7求函數的最值.解從幾何意義上分析，我們可以把原式看作是動點與定點連線的斜率,并且由此構造一個單位圓.從而把求函數最值問題轉化為探究單位圓上動點與定點直線斜率的問題[3].圖2如圖2，當直線在切點處的斜率分別為最大值和最小值時，此時運動點在單位圓上運動時處于極限狀態，我們不妨設切點分別為、,易知：所以即最小值為，最大值為.例8已知，，，求的最大值[4].解由于，，，又涉及到、、、、，而，.通過這個每個式子都含有的量，我們可構造出兩個共邊的直角三角形，最后結合三角形面積即可求解.圖3如圖3，以、為直角邊及、為直角邊分別構造和..而.亦及，故的最大值是.2.2幾何問題的證明在解決幾何問題時，借助相關的性質和巧妙的結構，尋找之間的聯系并構造，可以讓我們可以快速找到解決問題的方法，提高解題的效率。構造法不僅使證明問題更容易解決，而且還有助于提高學生的數學思維能力,從而提高解決證明幾何問題的能力。例9如圖4，在中，斜邊的中垂線與直角的平分線相交于點.求證：.證明：我們從已知條件和所給的圖形很容易聯想到是的外接圓⊙的直徑，只需作⊙，證明點在圓上就可以得證.作的外接圓⊙，則為直徑，為圓心圖4垂直平分通過弧的中點是的平分線也通過弧的中點、的交點必為弧的中心即點在⊙上.例10如圖5，在中，，，的對邊分別為，，，且，求證[5].圖5證明：在這道題里，我們可以根據已知條件，通過構造相似三角形這個數學模型，來求證等式的形式特征，并利用相似三角形的性質，通過構造相似三角形來解決問題.延長至點，使，連接，,.,即.,,從而，故.3構造法在方程中的應用3.1構造方程解決代數問題作為中學數學最重要的研究內容之一，方程式經常涉及許多難題和要點，研究方程的方法也多種多樣。尤其是當他們需要用構造法來解決問題，學生往往不知道該怎么去解決問題。如果用定向思維很難解決問題，或者問題越來越麻煩，可以考慮逆向思維，如構造一個方程，將問題轉化為熟悉的問題，從而巧妙而簡單地解決問題。例11設為實數，且，求的最值.解設①而②由①、②可解得.所以可看成是方程的兩個實數根，由，解得.而根據題意又有，所以.所以的最大值為9，最小值為1.例12求證：當取遍所有實數時，代數式的值中至多有三個正整數[6].證明令，整理得.當時，方程化成.即時，，此時代數式的值中只有一個正整數.當時，由于，所以關于的方程的判別式，即,所以.所以的正整數值為1,2,3，即代數式的值中有三個正整數.綜上所述，代數式的值中至多有三個正整數.例13求證[7].證明設,,則，.所以.由此得到關于的方程：，即.因方程的跟的判別式，無實數根，只有，即.3.2構造方程解決數列問題數列的通項公式是研究數列性質和處理諸如“求和”之類的綜合問題的重要基礎。構造方法主要通過遞推式的變形，例如拆解和拼湊，或者構造輔助級數、輔助方程等來解決問題。例14若數列滿足：且，試求[8].解將原遞推公式展開得①將①式中的換成，得，即②由①、②知是方程的兩根.根據韋達定理有，所以.所以是以2為公差的等差數列，易求得首項為，故有，所以.例15已知，，求的通項公式.解可設，整理得.又設，代入由待定系數法即得.所以構成了以為首項，3為公比的等比數列從而，故.例16已知數列中，，，求數列通項[9].解設即將數列構造為整理即得.由待定系數法可知：，解得.所以，數列是以為首項，2為公比的等比數列，故.3.3構造方程解決幾何問題我們在談求解析幾何問題時，普通的幾何方法無法為我們提供思路，這時我們可以考慮構造輔助方程，利用方程組來解決問題，往往會取得解題的突破口，“無中生有”正是構造法的精神所在。例17已知，求證：[10].證明因為，，所以、是方程的兩根.因為，可知點介于方程的兩根之間，所以.例18已知，直線與直線的交點在直線上，則.解由已知可設兩直線的交點為，且、為方程的兩個根.根據韋達定理有，所以.例19過點引直線與橢圓相交于、兩點，若恰好是線段的中點，求直線的方程.解設，則，因為點、在橢圓上，所以整理得，即直線的方程.結束語從上面的例子中不難看出，合理巧妙地運用構造法去解決幾何、函數以及方程問題都往往有著意想不到的效果。通過簡單的“構造”，很多問題便可以快速高效地解決。使用構造法解題側重于“構造”，我們往往通過仔細地觀察和分析，找到問題和條件它們之間的聯系，從而獲得了解決問題方案。因此，在解題沒有思路是，如果能夠啟發學生從多個角度和渠道進行廣泛的聯想，或許從中獲得許多巧妙、新穎、獨特且簡單有效的解題方法，從而增強了他們對知識的理解和運用。引導學生恰當地使用構造法去解決問題，往往可以培養他們分析問題的能力，提高他們的思維靈活性，在“構造”的過程中去發現并欣賞數學的美，體驗解決數學問題的樂趣。參考文獻[1]臧華.“構造法”在三角函數求值中的應用[J].《新高考：高一數學》,2017:34-35.[2]高等數學習題全解全析[M].上海:高等教育出版社,2007.[3]線性代數與空間解析幾何學習指導[M].北京:中國人民大學出版社,2009.[4]劉聰勝,吳健.妙用構造法求最值[J].數理化解題研究:初中版,2015:13-14.[5]潘麗麗.構造法在平面幾何問題解決中的應用[J].數學學習與研究,2013:34-36.[6]耿瑞照.構造方程法在解題中的妙